Прямой АВ параллельна оси проекций ОХ, искомая плоскость будет горизонтально-проектирующей – во фронтальной плоскости след плоскости Р будет перпендикулярным оси ОХ.
Поэтому построить надо только горизонтальный след плоскости Р, проходящий через вертикальную проекцию точки С и перпендикулярный вертикальной проекции прямой АВ.
Горизонтальный след плоскости Р – перпендикуляр из точки пересечения вертикального следа плоскости Р с осью проекций.
Исходная статья
Литература
Х. А. Арустамов «Сборник задач по начертательной геометрии», М., 1971 г.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Построение плоскости перпендикулярной к прямой" в других словарях:
Дано. Прямая АВ и точка С. Требуется. Провести через точку С плоскость Р, перпендикулярную к прямой АВ. Решение. Поскольку и горизонтальная и вертикальная проекции прямой АВ перпендикулярны оси проекций ОХ, любая плоскость со следами… … Википедия
Перпендикулярность бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и. т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности. Содержание 1 Перпендикулярность прямых на плоскости … Википедия
Содержание: 1) Основные понятия. 2) Teopия Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… …
Содержание: 1) Основные понятия. 2) Теория Ньютона. 3) Эфир Гюйгенса. 4) Принцип Гюйгенса. 5) Принцип интерференции. 6) Принцип Гюйгенса Френеля. 7) Принцип поперечности колебаний. 8) Завершение эфирной теории света. 9) Основание эфирной теории.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ГОСТ 22268-76: Геодезия. Термины и определения - Терминология ГОСТ 22268 76: Геодезия. Термины и определения оригинал документа: 114. Абрис Ндп. Кроки D. Gelandeskizze Gelandekroki E. Outline Field sketch F. Croquis Схематический чертеж участка местности Определения термина из разных документов … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.… … Большая советская энциклопедия
МИКРОСКОП - (от греч. mikros малый и skopeo смотрю), оптический инструмент для изучения малых предметов, недоступных непосредственному рассмотрению невооруженным глазом. Различают простой М., или лупу, и сложный М., или микроскоп в собственном смысле. Лупа… … Большая медицинская энциклопедия
Прозрачный кристалл минерала, называемого исландским шпатом (известковый шпат, кальцит), будучи положен на рисунок или чертеж, показывает их линии раздвоенными. Покрывая одну грань такого кристалла непрозрачной пластинкой, в которой сделан… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Рис. 4.17 Рис. 4.18
Если плоскость задана пересекающимися прямыми (рис. 4.17), то решение задачи сводится к проведению через точку А пары прямых, параллельных заданным.
Если плоскость задана следами (4.18), то построение может быть выполнено по следующему алгоритму:
1. Через точку А проводим, например, горизонталь искомой плоскости Q, параллельную горизонталям заданной плоскости Р.
2. Через эту горизонталь проводим искомую плоскость параллельно заданной. Фронтальный след Q V проводим через фронтальную проекцию п" фронтального следа горизонтали параллельно следу P V ; горизонтальный след Q H - через точку Q Х параллельно следу Р Н .
Задача 2. Через точку А (а, а" ) провести плоскость Q , перпендикулярную к прямой (рис. 4.19).
 |
а) Требуется показать искомую плоскость пересекающимися прямыми. В этом случае наиболее просто построить плоскость Q главными линиями — горизонталью и фронталью, проходящими через точку А (а, а") .
Рис. 4.19 Рис. 4.20
б) Требуется показать искомую плоскость следами. Построение может быть выполнено по следующему алгоритму. Через точку А проводим горизонталь плоскости Q перпендикулярно к отрезку ВС. Затем через эту горизонталь проводим искомую плоскость перпендикулярно к прямой ВС. Фронтальный след Q V проводим через фронтальную проекцию п" фронтального следа горизонтали перпендикулярно b"с′ ; горизонтальный след Q H — через точку Q Х перпендикулярно к bс.
Задача 3 . Через точку А (а, а") провести плоскость Q, перпендикулярную к заданной плоскости Р и проходящую через точку схода следов Q Х на оси X (рис. 4.20).
Известно, что плоскость Q будет перпендикулярна к заданной плоскости Р, если она проходит через перпендикуляр к ней или перпендикулярно к линии, лежащей в плоскости Р.
На рис. 4.20 решение задачи выполнено по плану, использующему первое из этих условий:
1. Через заданную точку А проведен перпендикуляр к плоскости Р (am+P H , a′m′+P V ).
2. Через этот перпендикуляр и заданную точку Q X проведена искомая плоскость Q . При этом след Q Н проведен через горизонтальную проекцию т горизонтального следа перпендикуляра и точку Q X ; след Q V — через фронтальную проекцию п′ фронтального следа перпендикуляра и точку Q X .
Искомую плоскость можно было бы построить и пересекающимися прямыми, если через точку Q X провести какую-либо прямую, имеющую общую точку с перпендикуляром.
Задача 4. Через точку А (а, а" )провести прямую, перпендикулярную к прямой ВС.
Искомый перпендикуляр лежит в плоскости, перпендикулярной к заданной прямой ВС.
Поэтому задача может быть решена по следующему алгоритму:
1. Через точку А проводим плоскость Q , перпендикулярную к прямой ВС.
2. Определяем точку К (k, k") пересечения прямой ВС с плоскостью Q при помощи горизонтально-проецирующей плоскости S .
3. Соединяем точки А и К .
 |
На эпюре, решая задачу по этому алгоритму, можно плоскость показать двумя пересекающимися главными линиями (h×f ) (рис. 4.21) или следами (рис. 4.22).
Рис. 4.21 Рис. 4.22
Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей ABC и DEF .
Эту задачу можно решать с использованием задачи на пересечение прямой с плоскостью. На рис. 4.23 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF . Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника ABC .
Например, чтобы найти точку М пересечения стороны DF с плоскостью ABC , через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р ABC по прямой I II df и 12 m искомой точки М . Затем находят фронтальную проекцию m " точки М . Точку N пересечения прямой EF с плоскостью ABC находят, используя фронтально-проецирующую плоскость Q , которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой III IV . На пересечении горизонтальных проекций ef и 34 получают горизонтальную проекцию n искомой точки N .
Соединив попарно точки m " и n ", m и n , получают проекции линии пересечения MN плоскостей ABC и DEF .
Видимость частей отрезков плоскостей устанавливается способом конкурирующих точек.
Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.
На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM - фронтальна этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к АN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.
Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185).
Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.
Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.
Итак, если в системе π 1 , π 2 горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонталъно- и фронталъно-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости . Но для профильно-проеци- рующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя
проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецйрующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость,
Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.
На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. α. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.
На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.
Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A"D" и A"D" и горизонталь А"Е", А"Е", Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.
Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"⊥A"D", M"N"⊥А"Е". Почему проекции на рис. 188 на участках A"N" и А"М" показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.
На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В"С", то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В"С". Поэтому A"N"⊥В"С". Проекция A"N"||оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N"(N" - фронтальная проекция фронтального следа горизонтали AN) след f" 0α ⊥В"С", получена точка Х α и проведен след h" 0α ||A"N" (h" 0α ⊥В"С").
На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А"М"⊥В"С", A"N"⊥В"С"); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.
Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следую-щий план построения проекций искомой прямой:
1) через точку А провести плоскость (назовем ее γ), перпендикулярную к ВС;
2) определить точку К пересечения прямой ВС с пл. γ;
3) соединить точки А и К отрезком прямой линии.
Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.
Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (γ), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В"С".
Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. γ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюгцая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом (β"). Пл. β пересекает пл. γ по прямой с проекциями 1"2" и 1"2". В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. γ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК⊥ВС.
В § 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему π 1 , π 2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы π 3 , π 1 , в которой пл. π 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем сравнить построения, данные на рис. 92 и 191.
На рис. 192 изображены плоскость общего положения - α, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. π 1 в точке В".
Угол φ 1 между пл. α, и пл.π 1 и угол φ между прямой AM и пл. π 1 являются острыми углами прямоугольного треугольника В"AM", и, следовательно, φ 1 +φ=90°. Аналогично, если пл.α составляет с пл. π 2 угол σ 2 , а прямая AM, перпендикулярная к α, составляет с пл. π 2 угол σ, то σ 2 +σ=90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна составлять с пл.π 1 угол φ 1 , а с пл. π 2 угол σ 2 , может быть построена, лишь если 180° > φ 1 +σ 2 >90°.
Действительно, складывая почленно φ 1 + φ=90° и σ 2 +σ=90°, получим φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, т. е. φ 1 +σ 2 90°. Если взять φ 1 +σ 2 =90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять φ 1 +σ 2 =180°, то получится профильная плоскость, т.е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.
В рамках этой темы необходимо уметь:
- 1. Задавать плоскость, перпендикулярную к прямой.
- 2. Задавать прямую, перпендикулярную к плоскости.
При решении этих взаимосвязанных задач важно понимать, как должны быть направлены проекции перпендикуляра по отношению к проекциям плоскости. Для уяснения этого решим задачи А и Б.
Задача А
Условие. Через точку А, взятую на прямой гп, провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой.
Решение. Известно, что плоскость перпендикулярна прямой, сели две прямые, расположенные в этой плоскости, перпендикулярны заданной прямой.
Поэтому в нашем случае через точку А достаточно провести две прямые, каждая из которых была бы перпендикулярна т. Тогда эти прямые в паре определят искомую плоскость.
Пусть одной из прямых, определяющих эту плоскость, станет горизонталь. Ее фронтальная проекция 1ъ пройдет горизонтально (рис. 4.7), а горизонтальная проекция h| - под прямым углом к m 1 (на основании теоремы о проекциях прямого угла).
Второй прямой, определяющей искомую плоскость, будет фронталь. Ес горизонтальная проекция f| пройдет горизонтально.
а фронтальная проекция f2 - иод прямым углом к mi (на основании той же теоремы).
Рис. 4.7
Таким образом, задача решена. Анализируя ее, мы можем заметить, что по отношению к построенной плоскости (f х h) заданная прямая m является перпендикуляром. Отсюда следует важный практический вывод:
горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна проходить под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.
Задача Б
Условия. Опустить перпендикуляр из точки В на плоскость DEF (с определением его видимости но отношению к плоскости).
Рис. 4.8а - графические условия задачи
Рис. 4.86
Рис. 4.8в - определение основания и натуральной величины перпендикуляра
Решение. Вначале вычертим проекции DEF и В (рис. 4.8а).
Приступив к решению задачи, выделим в ней три
характерных этапа:
- 1. Построение направлений для проекций перпендикуляра.
- 2. Построение основания перпендикуляра (точки его пересечения с плоскостью).
- 3. Определение натуральной величины перпендикуляра.
Выполним эти построения. Сначала наметим направление
проекций перпендикуляра. Для этого предварительно в плоскости DEF нужно провести горизонталь h и фронталь f, которые являются ориентирами для его проекций.
Теперь найдем основание перпендикуляра как точку пересечения полученной прямой с плоскостью DEF. Эта задача нам уже знакома (см. п. 3.3.4). В рассмотренном примере искомая точка К лежит за пределами треугольника, ограничивающего плоскость (рис. 4.8в). Она расположена на прямой 2-3, которая, по построению, принадлежит плоскости DEF. Значит, ей принадлежит и точка К. Если проекции перпендикуляра частично или полностью заслоняются проекциями треугольника DEF, то дополнительно необходимо определить видимость перпендикуляра но отношению к плоскости.
Натуральная величина перпендикуляра ВК может быть найдена любым из методов, рассмотренных ранее в и. 2.2. На рисунке 4.8в для этой цели использован метод прямоугольного треугольника.
Отметим, что данная задача зачастую формулируется как определение расстояния от точки В до плоскости треугольника DEF.
Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей является важной графической операцией при решении метрических задач.
Построение перпендикуляра к прямой или плоскости основывается на свойстве прямого угла, которое формулируется следующим образом: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то угол проецируется в натуральную величину на эту плоскость.
Рисунок 28
Сторона ВС прямого угла АВС, изображенного на рисунке 28, параллельна плоскости П 1 . Следовательно, проекция угла АВС на эту плоскость будет представлять прямой угол А 1 В 1 С 1 =90.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. При построении перпендикуляра из множества прямых принадлежащих плоскости, выбирают прямые уровня - горизонталь и фронталь. В этом случае горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно горизонтали, а фронтальную -перпендикулярно фронтали. На примере, изображенном на рисунке 29, показано построение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником АВС, из точки К. Для этого сначала проводим горизонталь и фронталь в плоскости. Затем из фронтальной проекции точки К проводим перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, а из горизонтальной проекции точки - перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали. Затем строим точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью при помощи вспомогательной секущей плоскости Σ. Искомая точка - F. Таким образом, полученный отрезок КF является перпендикуляром к плоскости АВС.
Рисунок 29
На рисунке 29 изображено построение перпендикуляра КF к плоскости АВС.
Две плоскости перпендикулярны, если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым другой плоскости. Построение плоскости перпендикулярной данной плоскости АВС показано на рисунке 30. Через точку М проводится прямая МN, перпендикулярная плоскости АВС. Горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна АС, так как АС является горизонталью, а фронтальная проекция перпендикулярна АВ, так как АВ - фронталь. Затем через точку М проводится произвольная прямая EF. Таким образом, плоскость перпендикулярна АВС и задана двумя пересекающимися прямыми EF и MN.
Рисунок 30
Этот способ применяется для определения натуральных величин отрезков общего положения, а также углов наклона их к плоскостям проекций. Для того, чтобы определить натуральную величину отрезка этим способом, необходимо достроить прямоугольный треугольник к одной из проекций отрезка. Другим катетом будет являться разность высот или глубин конечных точек отрезка, а гипотенуза - натуральной величиной.
Рассмотрим пример: на рисунке 31 дан отрезок АВ общего положения. Требуется определить его натуральную величину и углы его наклона к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.
Проводим перпендикуляр к одному из концов отрезка на горизонтальной плоскости. Откладываем на нем разность высот (ZA-ZB) концов отрезка и достраиваем прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является натуральной величиной отрезка, а угол между натуральной величиной и проекцией отрезка - натуральной величиной угла наклона отрезка к плоскости П 1 . Порядок построений на фронтальной плоскости тот же самый. По перпендикуляру откладываем разность глубин концов отрезка (YA-YB). Полученный угол между натуральной величиной отрезка и его фронтальной проекцией - это угол наклона отрезка к плоскости П 2 .
Рисунок 31
1. Сформулируйте теорему о свойстве прямого угла.
2. В каком случае прямая перпендикулярна плоскости?
3. Сколько прямых и сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку пространства?
4. Для чего применяется способ прямоугольного треугольника?
5. Как при помощи этого способа определить угол наклона отрезка общего положения к горизонтальной плоскости проекций?