3. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми: AB и A 1 C. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C. В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1. В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна. Следовательно,
Решение 1. Пусть O 1 – центр правильного шестиугольника A 1 …F 1. Тогда прямая AO 1 параллельна прямой BC 1, и искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен углу B 1 AO 1. В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 имеем: O 1 B 1 = 1; AB 1 =AO 1 =. Применяя теорему косинусов, получим.
Решение 2. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка С 1 имеет координаты (1,5, 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0,5, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем,. Следовательно, косинус угла между прямыми AB 1 и BС 1 равен 0,75.
Решение 2. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1). Тогда точка D 1 имеет координаты (1, 1). Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (0, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем,. Следовательно, косинус угла между прямыми AB 1 и BС 1 равен.
Решение 1. Докажем, что угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о. Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. А именно, если ортогональная проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Ортогональная проекция BE 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B, перпендикулярная AB 1. Следовательно, прямая BE 1 также будет перпендикулярна прямой AB 1, т.е. искомый угол равен 90 о.
Решение 2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB 1, и обозначим G 1 ее точку пересечения с прямой A 1 B 1. Искомый угол равен углу E 1 BG 1. Сторона BG 1 треугольника E 1 BG 1 равна. В прямоугольном треугольнике BEE 1 катеты BE и EE 1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE 1 равна. В прямоугольном треугольнике G 1 A 1 E 1 катеты A 1 G 1 и A 1 E 1 равны соответственно 2 и. Следовательно, гипотенуза G 1 E 1 равна. Таким образом, в треугольнике BE 1 G 1 имеем: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. По теореме, обратной к теореме Пифагора, получим, что угол E 1 BG 1 равен 90 о.
Решение 3. Введем систему координат, считая началом координат точку A, точка B имеет координаты (1, 0, 0), точка A 1 имеет координаты (0, 0, 1), точка E имеет координаты (0, 0). Тогда точка E 1 имеет координаты (0, 1), Вектор имеет координаты (1, 0, 1), вектор имеет координаты (-1, 1). Воспользуемся формулой выражающий косинус угла между векторами через их скалярное произведение и длины. Имеем и, следовательно, угол между прямыми AB 1 и BE 1 равен 90 о.
13. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и A 1 B 1 C. Решение: Обозначим O, O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1. Искомым линейным углом будет угол OCO 1. В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно,
16. В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDF 1 и AFD 1. Ответ: Решение: Пусть O – центр призмы, G, G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1. Искомый угол равен углу GOG 1. В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о.
Куб 1 В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AC и BD 1. Ответ. 90 о.
Куб 2 В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BD 1. Ответ. 90 о.
Куб 3 В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1. Ответ. 90 о.
Куб 4 В единичном кубе A…D 1 найдите косинус угла между прямыми AE и BE 1, где E и E 1 – середины ребер соответственно BC и B 1 C 1. Решение. Через точку A проведем прямую AF 1, параллельную BE 1. Искомый угол равен углу EAF 1. В треугольнике AEF 1 AE = AF 1 = , EF 1 = . По теореме косинусов находим Ответ.
Куб 5 В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AE и BF 1, где E и F 1 – середины ребер соответственно BC и C 1 D 1. Решение. Из точки F 1 опустим перпендикуляр F 1 F на прямую CD. Прямая AE перпендикулярна BF, следовательно, она перпендикулярна BF 1. Ответ. 90 о.
Пирамида 1 В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AD и BC. Ответ: 90 о.
Пирамида 1 В правильном тетраэдре ABCD точки E, F, G – середины ребер AB, BD, CD. Найдите угол EFG. Решение. Прямые EF и FG параллельны прямым AD и BC, которые перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен 90 о. Ответ: 90 о.
Пирамида 2 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE. Решение. Через точку E проведем прямую, параллельную SA. Она пересечет основание в точке O. Искомый угол равен углу OEB. В прямоугольном треугольнике OEB имеем: OB = Ответ: , OE = . Следовательно,
Пирамида 3 В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, F – середины ребер SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF. Решение. Обозначим G середину ребра AD. Прямая GF параллельна AE. Искомый угол равен углу BFG. В треугольнике BFG имеем: BF = GF = , BG = . По теореме косинусов находим Ответ:
Пирамида 4 В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SA и BF. Ответ: 90 о.
Пирамида 5 В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G – середина ребра SC. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BG. Решение. Обозначим H середину отрезка AC. Прямая GH параллельна SA. Искомый угол равен углу BGH. В треугольнике BGH имеем: BH= 0, 5, GH = 1. Ответ:
Призма 1 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1. Решение: Достроим призму до 4 -х угольной призмы. Проведем AD 1 параллельно BC 1. Искомый угол будет равен углу B 1 AD 1. В треугольнике AB 1 D 1 Используя теорему косинусов, находим
Призма 2 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D, E – середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BE. Решение. Обозначим F середину отрезка AC. Прямая EF параллельна AD. Искомый угол равен углу BEF. В треугольнике BGH имеем: По теореме косинусов находим Ответ.
Призма 3 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BD 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 BD 1. В прямоугольном треугольнике B 1 BD 1 B 1 D 1 = ; B 1 B =1; BD 1=2. Следовательно, искомый угол равен 60 о. Ответ. 60 о.
Призма 4 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми AA 1 и BE 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 BE 1. В прямоугольном треугольнике B 1 BE 1 катет B 1 E 1 равен 2; катет B 1 B равен 1. Следовательно, Ответ. 2.
Призма 5 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AС 1 и BE. Ответ. 90 о.
Призма 6 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AD 1 и BF. Ответ. 90 о.
Призма 7 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1. Ответ. 90 о.
Призма 8 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми BA 1 и FC 1. Решение: Через середину O отрезка FC 1 проведем прямую PP 1, параллельную BA 1. Искомый угол равен углу POC 1. В треугольнике POC 1 имеем: PO = ; OC 1= PC 1= Следовательно, Ответ. .
Призма 9 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1. Решение: Пусть O 1 –центр правильного 6 -ка A 1…F 1. Тогда AO 1 параллельна BC 1, и искомый угол равен углу B 1 AO 1. В равнобедренном треугольнике B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= Применяя теорему косинусов, получим
Призма 10 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 AE 1. В треугольнике B 1 AE 1 AB 1= ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Следовательно,
Призма 11 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BF 1. Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы. На оси призмы отложим O 1 O 2 = OO 1. Тогда F 1 O 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу BF 1 O 2. В треугольнике BF 1 O 2 BO 2= BF 1 = 2; F 1 O 2 = По теореме косинусов, имеем
Призма 12 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CD 1. Решение: Искомый угол равен углу CD 1 E. В треугольнике CD 1 E CD 1= ED 1 = ; CE = По теореме косинусов, имеем
Призма 13 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CE 1. Решение: Заметим, что CE 1 параллельна BF 1. Следовательно, искомый угол равен углу между AB 1 и BF 1, который был найден ранее. А именно,
Призма 14 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CF 1. Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы. На оси призмы отложим O 1 O 2 = OO 1. Тогда F 1 O 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу CF 1 O 2. В треугольнике CF 1 O 2 CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = Тогда
Призма 15 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CA 1. Решение: На продолжении BB 1 отложим B 1 B 2 = BB 1. Тогда A 1 B 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу CA 1 B 2. В треугольнике CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = Тогда
Призма 16 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и DF 1. Решение: Заметим, что DF 1 параллельна CA 1. Следовательно, искомый угол равен углу между AB 1 и CA 1, который был найден ранее. А именно,
Призма 17 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и DA 1. Решение: На продолжении BB 1 отложим B 1 B 2 = BB 1. Тогда A 1 B 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу DA 1 B 2. В треугольнике DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = Следовательно, искомый угол равен 90 o.
Призма 18 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и DC 1. Решение: Пусть O – центр основания призмы. Отрезки OC 1 и OB 1 будут равны и параллельны отрезкам AB 1 и DC 1, соответственно. Искомый угол будет равен углу B 1 OC 1. В треугольнике B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Тогда, по теореме косинусов
Призма 19 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AC 1 и BD 1. Решение: Заметим, что AE 1 параллельна BD 1. Следовательно, искомый угол равен углу C 1 AE 1. В треугольнике C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = По теореме косинусов, имеем
Призма 20 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AC 1 и BE 1. Решение: Заметим, что отрезок GG 1, проходящий через середины ребер AF и C 1 D 1, параллелен и равен отрезку AC 1. Искомый угол равен углу G 1 OE 1. В треугольнике G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 = ; G 1 E 1 = По теореме косинусов, имеем.
ЕГЭ 2010. МАТЕМАТИКА
Задача С2
Рабочая тетрадь
Под редакцией и
Издательство МЦНМО
2010
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
– показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;
– проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;
– развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения;
– повышение вычислительной культуры учащихся.
Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.
Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один бал начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один бал начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ.
Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.
В случае успешного решения этих задач можно переходить к выполнению заключительных диагностических работ, содержащих задачи разных типов.
В конце пособия даны ответы ко всем задачам.
Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии в 10-11 классах, а также при организации обобщающего повторения или самостоятельных занятиях геометрией.
Диагностическая работа
1.1. В единичном кубе A …D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1.
1.2.
В единичном кубе A
…D
1 найдите угол между прямыми DA
1 и BD
1.
1.3 . ABCA 1B 1C AD 1 и CE 1, где D 1 и E 1 – соответственно середины ребер A 1C 1 и B 1C 1.
2.1. A …F AF и плоскостью
2.2.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой CC
1 и плоскостью
2.3
. SABCD
BE
и плоскостью SAD
, где E
– середина ребра SC
.
3.1.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями
AFF 1 и DEE 1.
3.2. В единичном кубе A …D
ADD
1 и BDC
1.
3.3.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1D
1 ACB
1 и BA
1C
1.
4.1. В правильной шестиугольной призме A …F A до прямой D 1F 1.
4.2.
В единичном кубе A
…D
A
до прямой BD
1.
4.3. SABCDEF F до прямой BG , где G – середина ребра SC .
5.1. В единичном кубе A …D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA 1.
5.2.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A
до плоскости SBC
.
5.3.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости BFE
1.
6.1.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
SA
и BC
.
6.2. В единичном кубе A …D AB 1 и BC 1.
6.3.
В правильной шестиугольной призме A
…F
AA
1 и CF
1.
Решения задач 1.1 – 1.3 диагностической работы
1.1.
Первое решение
. Прямая AD
1 параллельна прямой BC
1 и, следовательно, угол между прямыми AB
1 и BC
1 равен углу B
1AD
1. Треугольник B
1AD
1 равносторонний и, значит, угол B
1AD
1 равен 60о.
Второе решение A , осями координат – прямые AB , AD , AA 1. Вектор имеет координаты (1, 0, 1). Вектор имеет координаты (0, 1, 1). Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между векторами и . Получим и, значит, угол равен 60о. Следовательно, искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен 60о.
Ответ. 60о.
1.2. Первое решение . Рассмотрим ортогональную проекцию AD 1 прямой BD 1 на плоскость ADD 1. Прямые AD 1 и DA 1 перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DA 1 и BD 1 также перпендикулярны, т. е. искомый угол между прямыми DA 1 и BD 1 равен 90о.
Второе решение
. Введем систему координат, считая началом координат точку A
, осями координат – прямые AB
, AD
, AA
1. Вектор имеет координаты (0, -1, 1). Вектор имеет координаты (-1, 1, 1). Скалярное произведение этих векторов равно нулю и, значит, искомый угол между прямыми DA
1 и BD
1 равен 90о.
Ответ. 90о.
1.3 . Первое решение . Обозначим D и F 1 соответственно середины ребер AC и A 1B 1.
Прямые DC
1 и DF
1 будут соответственно параллельны прямым AD
1 и CE
1. Следовательно, угол между прямыми AD
1 и CE
1 будет равен углу C
1DF
1. Треугольник C
1DF
1 равнобедренный, DC
1 = DF
1 = , C
1F
1 = . Используя теорему косинусов, получаем 
.
Второе решение
. Введем систему координат, считая началом координат точку A
, как показано на рисунке. Точка C
имеет координаты , точка D
1 имеет координаты , точка E
1 имеет координаты . Вектор имеет координаты . Вектор имеет координаты 
. Косинус угла между прямыми AD
1 и CE
1 равен косинусу угла между векторами и . Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между векторами. Получим .
Ответ. 0,7.
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми
1.
В кубе A
…D
1 найдите косинус угла между прямыми AB
и CA
1.
2. В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра CD . Найдите косинус угла между прямыми BC и AE .
3. В правильной треугольной призме ABCA 1B 1C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и CA 1.
4.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
E
– середина ребра SD
SB
и AE
.
5.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB
и FE
1.
6. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1.
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF SB и AE .
8. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD .
Решения задач 2.1 – 2.3 диагностической работы
2.1. Решение. Пусть O – центр нижнего основания призмы. Прямая BO параллельна AF . Так как плоскости ABC и BCC 1 перпендикулярны, то искомым углом будет угол OBC . Так как треугольник OBC равносторонний, то этот угол будет равен 60о.
Ответ. 60о.
2.2.
Решение
. Так как прямые BB
1 и CC
1 параллельны, то искомый угол будет равен углу между прямой BB
1 и плоскостью BDE
1. Прямая BD
, через которую проходит плоскость BDE
1, перпендикулярна плоскости ABB
1 и, значит, плоскость BDE
1 перпендикулярна плоскости ABB
1. Следовательно, искомый угол будет равен углу A
1BB
1, т. е. равен 45о.
Ответ. 45о.
2.3. Решение . Через вершину S проведем прямую, параллельную прямой AB , и отложим на ней отрезок SF , равный отрезку AB . В тетраэдре SBCF все ребра равны 1 и плоскость BCF параллельна плоскости SAD . Перпендикуляр EH , опущенный из точки E на плоскость BCF , равен половине высоты тетраэдра, т. е. равен . Угол между прямой BE и плоскостью SAD равен углу EBH , синус которого равен .
Ответ. .
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью
1.
В кубе A
…D
1 найдите тангенс угла между прямой AC
1 и плоскостью
2.
В кубе A
…D
AB
и плоскостью
CB 1D 1.
3.
В правильном тетраэдре ABCD
точка E
– середина ребра BD
. Найдите синус угла между прямой AE
и плоскостью
4. В правильной треугольной призме ABCA 1B 1C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой BB 1 и плоскостью
AB
1C
1.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью
6.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
BC
и плоскостью
7. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью
8. В правильной шестиугольной призме A …F BC 1 и плоскостью
Решения задач 3.1 – 3.3 диагностической работы
3.1.
Первое решение
. Так как плоскость FCC
1 параллельна плоскости DEE
AFF
1 и FCC
1. Так как плоскости AFF
1 и FCC
1 перпендикулярны плоскости ABC
AFC
, который равен 60о.
Второе решение . Так как плоскость AFF 1 параллельна плоскости BEE 1, то искомый угол равен углу между плоскостями BEE 1 и DEE 1. Так как плоскости BEE 1 и DEE 1 перпендикулярны плоскости ABC , то соответствующим линейным углом будет угол BED , который равен 60о.
Ответ. 60о.
3.2.
Решение
. Так как плоскость ADD
1 параллельна плоскости BCC
1, то искомый угол равен углу между плоскостями BCC
1 и BDC
1. Пусть E
– середина отрезка BC
1. Тогда прямые CE
и DE
будут перпендикулярны прямой BC
1 и, следовательно, угол CED
будет линейным углом между плоскостями BCC
1 и BDC
1. Треугольник CED
прямоугольный, катет CD
равен 1, катет CE
равен . Следовательно, 
.
3.3. Пусть DE
– линия пересечения данных плоскостей, F
– середина отрезка DE
, G
– середина отрезка A
1C
1. Угол GFB
1 является линейным углом между данными плоскостями. В треугольнике GFB
1 имеем: FG
=
FB
1 = , GB
1 = . По теореме косинусов находим 
.
Ответ. .
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями
1.
В кубе A
…D
1 найдите тангенс угла между плоскостями
ABC и CB 1D 1.
2.
В кубе A
…D
B
A 1C 1 и AB 1D 1.
3.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
ABC и CA 1B 1.
4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями S
AD
и SBC
.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями
SBC и SCD .
6.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
SBC и SEF .
7. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями
SAF и SBC .
8. В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями
ABC и DB 1F 1.
Решения задач 4.1 – 4.3 диагностической работы
4.1. Решение. Так как прямая D 1F 1 перпендикулярна плоскости AFF 1, то отрезок AF 1 будет искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую D 1F 1. Его длина равна .
4.2. Первое решение AH прямоугольного треугольника ABD 1, в котором AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Для площади S . Откуда находим AH = .
Второе решение . Искомым перпендикуляром является высота AH прямоугольного треугольника ABD 1, в котором AB = 1, AD 1 = , BD 1 = . Треугольники BAD 1 и BHA AD 1:BD 1 = AH :AB . Откуда находим AH = .
Третье решение
. Искомым перпендикуляром является высота AH
прямоугольного треугольника ABD
1, в котором AB
= 1, AD
1 = , BD
1 = . Откуда 
и, следовательно, 
Ответ. .
4.3. Искомое расстояние от точки F до прямой BG равно высоте FH треугольника FBG , в котором FB = FG = , BG = . По теореме Пифагора находим FH = .
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой
1.
В единичном кубе A
…D
1 найдите расстояние от точки B
до прямой DA
1.
2.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B
до прямой AC
1.
3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF .
4.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки B
до прямой SA
.
5.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B
до прямой A
1F
1.
6. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой A 1D 1.
7.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B
до прямой FE
1.
8. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AD 1.
Решения задач 5.1 – 5.3 диагностической работы
5.1.
Первое решение
. Пусть O
– середина отрезка BD
. Прямая BD
перпендикулярна плоскости AOA
1. Следовательно, плоскости BDA
1 и AOA
A
на плоскость BDA
1, является высота AH
прямоугольного треугольника AOA
1, в котором AA
1 = 1, AO
= , OA
1 = . Для площади S
этого треугольника имеют место равенства . Откуда находим AH
= .
Второе решение . Пусть O – середина отрезка BD . Прямая BD перпендикулярна плоскости AOA 1. Следовательно, плоскости BDA 1 и AOA 1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость BDA 1, является высота AH прямоугольного треугольника AOA 1, в котором AA 1 = 1, AO = , OA 1 = . Треугольники AOA 1 и HOA подобны по трем углам. Следовательно, AA 1:OA 1 = AH :AO . Откуда находим AH = .
Третье решение
. Пусть O
– середина отрезка BD
. Прямая BD
перпендикулярна плоскости AOA
1. Следовательно, плоскости BDA
1 и AOA
1 перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки A
на плоскость BDA
1, является высота AH
прямоугольного треугольника AOA
1, в котором AA
1 = 1, AO
= , OA
1 = . Откуда 
и, следовательно, 
Ответ. .
5.2.
Первое решение
. Пусть O
AO
параллельна прямой BC
SBC
O
до плоскости SBC
. Пусть G
– середина отрезка BC
. Тогда прямая OG
перпендикулярна BC
O
на плоскость SBC
, является высота OH
прямоугольного треугольника SOG
. В этом треугольнике OG
= , SG
= , SO
= . Для площади S
этого треугольника имеют место равенства . Откуда находим OH
= .
Второе решение . Пусть O – центр основания пирамиды. Прямая AO параллельна прямой BC и, значит, параллельна плоскости SBC . Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки O до плоскости SBC . Пусть G – середина отрезка BC . Тогда прямая OG перпендикулярна BC и искомым перпендикуляром, опущенным из точки O на плоскость SBC , является высота OH прямоугольного треугольника SOG . В этом треугольнике OG = , SG = , SO = . Треугольники SOG и OHG подобны по трем углам. Следовательно, SO :SG = OH :OG . Откуда находим OH = .
Ответ. .
5.3. Первое решение
. Пусть O
и O
1 – центры оснований призмы. Прямая AO
1 параллельна плоскости BFE
1 и, следовательно, расстояние от точки A
до плоскости BFE
1 равно расстоянию от прямой AO
1 до плоскости BFE
1. Плоскость AOO
1 перпендикулярна плоскости BFE
1 и, следовательно, расстояние от прямой AO
1 до плоскости BFE
1 равно расстоянию от прямой AO
1 до линии пересечения GG
1 плоскостей AOO
1 и BFE
1. Треугольник AOO
1 прямоугольный, AO
=
OO
1 = 1, GG
1 – его средняя линия. Следовательно, расстояние между прямыми AO
1 и GG
1 равно половине высоты OH
треугольника AOO
1, т. е. равно .
Второе решение . Пусть G – точка пересечения прямых AD и BF . Угол между прямой AD и плоскостью BFE 1 равен углу между прямыми BC и BC 1 и равен 45о. Перпендикуляр AH , опущенный из точки A на плоскость BFE 1, равен . Так как AG = 0,5, то AH = .
Ответ. .
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости
1.
В единичном кубе A …D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости CB 1D 1.
2.
В единичном кубе A …D 1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDC 1.
3.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости BCA
1.
4.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости CA
1B
1.
5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCD .
6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до плоскости SDE .
7. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости DEA 1.
8. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости DEF 1.
Решения задач 6.1 – 6.3 диагностической работы
6.1. Решение. Прямая BC параллельна плоскости SAD , в которой лежит прямая SA . Следовательно, расстояние между прямыми SA и BC равно расстоянию от прямой BC до плоскости SAD .
Пусть E и F соответственно середины ребер AD и BC . Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF . В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = , высота SO равна . Для площади S треугольника SEF имеют место равенства , из которых получаем .
6.2.
Решение
. Плоскости AB
1D
1 и BDC
1, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.
Диагональ CA 1 куба перпендикулярна этим плоскостям. Обозначим E и F точки пересечения диагонали CA 1 соответственно с плоскостями AB 1D 1 и BDC 1. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми AB 1 и BC 1. Пусть O и O 1 соответственно центры граней ABCD и A 1B 1C 1D 1 куба. В треугольнике ACE отрезок OF параллелен AE и проходит через середину AC . Следовательно, OF ACE и, значит, EF = FC . Аналогично доказывается, что O 1E – средняя линия треугольника A 1C 1F и, значит, A 1E = EF . Таким образом, EF составляет одну треть диагонали CA 1, т. е. EF = .
Ответ. .
6.3. Решение . Расстояние между прямыми AA 1 и CF 1 равно расстоянию между параллельными плоскостями ABB 1 и CFF 1, в которых лежат эти прямые. Оно равно .
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми
1.
В единичном кубе A
…D
1 найдите расстояние между прямыми BA
1 и DB
1.
2.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми CC
1 и AB
.
3.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB
и CB
1.
4.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB
и AC
.
5.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA
и CD
.
6.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
SB
и AF
.
7.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB
и AE
.
8.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB
1 и EF
1.
Диагностическая работа 1
1. В кубе A …D 1 найдите угол между прямыми BA 1 и B 1D 1.
2. В правильной треугольной призме ABCA 1B 1C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1.
3.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB
1 и DC
1.
4. В кубе A …D 1 найдите синус угла между прямой A 1 D 1 и плоскостью
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой AB и плоскостью
6.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AF
1 и плоскостью
7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями
ABC
и SCD
.
8.
В правильной шестиугольной призме A
…F
AFF 1 и BCC 1.
9. В кубе A …D 1 найдите косинус угла между плоскостями
AB
1D
1 и CB
1D
1.
10. В единичном кубе A …D 1 найдите расстояние от точки B до прямой DA 1.
11. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой EB 1.
12.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A
до прямой SD
.
13. В единичном кубе A …D 1 найдите расстояние от точки B до плоскости DA 1C 1.
14. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BFA 1.
15.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A
до плоскости SCE
.
16.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA
1 и BC
.
17. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB 1 и CD 1.
18. В единичном кубе A …D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BD 1.
Диагностическая работа 2
1. В кубе A …D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BD 1.
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SB . Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE .
3. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1.
4. В кубе A …D 1 найдите синус угла между прямой DD 1 и плоскостью
5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой AF и плоскостью
6. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BC 1 и плоскостью
7.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями
ABC и SEF .
8.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1 найдите угол между плоскостями
AFF 1 и BDD 1.
9. В кубе A …D 1 найдите тангенс угла между плоскостями
ABC
и DA
1C
1.
10.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до прямой CB
1.
11.
В правильной шестиугольной призме A
… F
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до прямой BE
1.
12. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A до прямой SC .
13.
В единичном кубе A
…D
1 найдите расстояние от точки B
до плоскости AB
1D
1.
14.
В правильной шестиугольной призме A
…F
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости CEF
1.
15.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки A
до плоскости SBF
.
16.
В правильной треугольной призме ABCA
1B
1C
1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA
1 и BC
1.
17. В правильной шестиугольной призме A …F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BB 1 и FE 1.