Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.
Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.
Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:
Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.
Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.
27-5+15=37 (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).
Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.
Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.
Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:
Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.
Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.
Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?
Решение примеров со скобками
Разберём конкретный пример:
- При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
- Начать следует с умножения, далее – сложение.
- После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
- По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
- Завершающим этапом станет .
Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:
Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.
Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.
7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)
Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.
Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.
Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.
И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .
В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.
Навигация по странице.
Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание
В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :
- действия выполняются по порядку слева направо,
- причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.
Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.
Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.
Пример.
Выполните действия 7−3+6 .
Решение.
Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .
Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .
Ответ:
7−3+6=10 .
Пример.
Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .
Решение.
Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.
Ответ:
Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.
Пример.
Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .
Решение.
Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 - значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .
В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Ответ:
17−5·6:3−2+4:2=7 .
На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .
Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание - следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.
Определение.
Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .
В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками
Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.
Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.
Пример.
Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .
Решение.
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .
Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .
Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .
Ответ:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .
Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.
Пример.
Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .
Решение.
Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .
Ответ:
4+(3+1+4·(2+3))=28 .
Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.
Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .
113. 1) На двух полках 84 книги (рис. 6); если с одной полки снять 12 книг, то на обеих полках книг будет поровну. Сколько книг было на каждой полке?
2) (Устно.) Площадь земли в 1800 кв. м разделена между двумя застройщиками так, что один получил на 100 кв. м меньше другого. Определить, сколько земли получил каждый застройщик.
114. 1) Одно число больше другого на 113, а их сумма равна 337. Найти эти числа.
2) Одно число меньше другого на 244, а их сумма равна 566. Найти эти числа.
115. 1) Сумма двух чисел равна 987, а их разность равна 333. Найти эти числа.
2) При сложении двух чисел получилось 824, а при вычитании из большего числа меньшего получилось 198. Найти эти числа.
По примеру задачи 113 графически изобразите условия задач 116 и 117 и устно решите их.
116. 1) На одной полке 80 книг, а на другой 100. Сколько книг нужно переложить со второй полки на первую, чтобы на обеих полках их стало поровну?
2) У одной девочки 90 орехов, а у другой 60. Сколько орехов должна отдать первая девочка второй, чтобы у них стало орехов поровну?
117. 1) У двух мальчиков 300 марок; если один из них даст другому 30 марок, то у обоих мальчиков марок окажется поровну. Сколько марок у каждого мальчика?
2) 86 пионеров уезжали в лагерь на двух автобусах. После посадки пришлось двух человек пересадить из первого автобуса во второй, чтобы в каждом автобусе было поровну. Сколько человек было в каждом автобусе сначала?
118. 1) Который теперь час, если прошедшая часть суток на 3 часа 30 мин. больше оставшейся?
2) Который теперь час, если прошедшая часть суток на 6 час. 20 мин. меньше оставшейся?
119. 1) Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми 400 км, и через 4 часа встретились. Определить скорость каждого автомобиля, если один из них ехал быстрее другого на 12 км в час.
2) Две автомашины перевезли 21 т груза, сделав по 6 рейсов. Определить грузоподъёмность каждой машины, если первая перевозила каждый раз на 500 кг меньше второй.
120. 1) Двигаясь на байдарке по течению реки, спортсмен проехал за один час 13 км 200 м, а против течения реки он проезжал за час только 8 км 800 м. Найти скорость течения реки и скорость движения байдарки в стоячей воде. (Изобразите графически.)
2) Два лыжника, находившиеся друг от друга на расстоянии б км 700 м, вышли одновременно навстречу друг другу и через 20 мин. встретились. Когда же они вышли в одном направлении, то через 20 мин. второй лыжник отстал от первого на 300 м. Найти скорость каждого лыжника.
121. 1) Два смежных участка земли прямоугольной формы имеют одинаковую ширину 72 м, и сумма длин обоих участков равна 240 м. Площадь первого участка на 28 а 80 кв. м больше площади второго. Какова площадь каждого участка?
2) Два смежных участка прямоугольной формы имеют одинаковую ширину 56 м, и сумма площадей этих участков составляет 140 а. Найти площадь каждого участка, если длина одного из них на 70 м больше длины другого.
122. 1) В Ленинграде в день летнего солнцестояния (22 июня) день на 13 час. 40 мин. длиннее ночи. Определить момент захода солнца, если восходит оно в этот день в 2 часа 37 мин.
2) В Москве в день зимнего солнцестояния (23 декабря) день на 10 час. короче ночи. Определить момент восхода солнца, если заходит оно в 15 час. 58 мин.
123. 1) В рабочем посёлке за три года было построено 1 648 кв. м жилой площади. Во второй год было построено на 136 кв. м больше, чем в первый, а в третий год было построено столько, сколько за два первых года вместе. Сколько квадратных метров жилой площади было построено в каждом году?
2) В совхозе за три года было распахано 4 850 га целинных земель. Во втором году было распахано на 225 га больше, чем в первом, а в третьем году столько, сколько в первом и во втором году вместе. Сколько гектаров целинных земель было распахано в каждом году?
124. 1) Группа школьников за три дня проехала на велосипедах 228 км. Во второй день они проехали такое же расстояние, как и в первый день, а в третий - на 12 км больше, чем во второй день. Какое расстояние проезжали школьники за каждый день? Найти скорость их движения в каждый день, если они были в пути в первый день 9 час, во второй - 8 час. и в третий - 7 час.
2) В столовую привезли картофель, свёклу и морковь - всего 3 т 360 кг. Моркови и свёклы было одинаковое количество, а картофеля на 1 т 200 кг больше, чем моркови. Сколько картофеля, моркови и свёклы привезли в столовую? За сколько дней израсходуют картофель, морковь и свёклу, если ежедневно расходуют 128 кг картофеля, 36 кг свёклы и 24 кг моркови?
125. 1) Три школы собрали всего 37 т 690 кг железного лома. Первая школа собрала на 1 т 80 кг больше второй и на 3т 920 кг больше третьей. Сколько денег получит каждая школа за лом, если была установлена средняя цена по 8 руб. за 1 т?
2) Три пионерских отряда собрали вместе 5 т 380 кг бумажной макулатуры. Первый отряд собрал на 960 кг меньше третьего, а второй отряд на 530 кг меньше третьего. На какую сумму собрал макулатуру каждый отряд, если 1 т её стоит 20 руб.?
126. 1) В двух пачках вместе 270 тетрадей (рис. 7). Сколько тетрадей в каждой пачке, если известно, что в одной из них в 4 раза больше, чем в другой?
Рассмотрите рисунок и используйте его для решения задачи.
2) На трёх полках расположены книги так, что на второй полке книг вдвое больше, чем на первой, а на третьей втрое больше, чем на второй. Определить, сколько книг на каждой полке, если известно, что на всех трёх полках находится 171 книга. (Изобразите условие задачи графически по примеру предыдущей задачи.)
127. 1) Картина с рамой стоит 19 руб. 80 коп., причём картина в 10 раз дороже рамы. Сколько стоит картина и сколько стоит рама?
2) Стакан с подстаканником стоит 2 руб. 52 коп., причём стакан в 6 раз дешевле подстаканника. Сколько стоит стакан и сколько стоит подстаканник?
128. 1) Одно из слагаемых в 7 раз больше другого, а сумма их равна 144. Найти каждое слагаемое.
2) Сумма двух чисел равна 729, причём первое слагаемое в 8 раз меньше второго. Найти каждое слагаемое.
129. 1) Уменьшаемое в четыре раза больше вычитаемого, а разность равна 12 738. Найти уменьшаемое и вычитаемое.
2) Вычитаемое в шесть раз меньше уменьшаемого, а разность равна 10 385. Найти уменьшаемое и вычитаемое.
130. 1) Который теперь час, если прошедшая часть суток в 3 раза меньше оставшейся?
2) Который теперь час, если оставшаяся часть суток в 2 раза меньше прошедшей?
131. 1) Совершая туристский поход в 100 км, пионеры сделали большой привал. После привала они прошли ещё 10 км, и тогда осталось идти в 3 раза больше, чем было пройдено. На каком расстоянии от начала пути был сделан большой привал?
2) В бочке было 180 л воды. Сначала девочки полили помидоры, а затем 60 л истратили на поливку огурцов, и тогда на остальные овощи осталось воды в 3 раза меньше, чем ушло на поливку помидоров и огурцов. Сколько воды ушло на поливку помидоров?
132. 1) Спортсмен метнул копьё в 5 раз, или на 48 м, дальше, чем толкнул ядро. Сколько метров пролетело копьё и сколько ядро? (Изобразите условие задачи графически.)
2) Прыжок спортсмена в длину оказался на 450 см, или в 4 раза, больше его прыжка в высоту. Определить величину прыжков в длину и в высоту.
133. 1) Ширина прямоугольного участка, занимаемого школьным фруктовым садом, на 120 м меньше длины. Школьники расчистили примыкающий к саду пустырь. После этого длина и ширина сада увеличились на 40 м каждая, и длина стала в два раза больше ширины. Сколько фруктовых деревьев было в саду прежде и сколько удалось посадить ввновь, если под каждое дерево отводили 50 кв. м?
2) Длина прямоугольного участка, примыкающего к болоту, на 70 м больше ширины. После осушительных работ длину и ширину увеличили на 20 м, и тогда длина участка оказалась вдвое больше ширины. Найти прежнюю площадь участка и узнать, на сколько она увеличилась.
134. 1) На запасных путях станции стояли два состава одинаковых вагонов. В одном составе было на 12 вагонов больше, чем в другом; когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, то длина одного состава оказалась в 4 раза больше длины другого. Сколько вагонов было в каждом составе? (Изобразите условие задачи графически.)
2) Один кусок проволоки на 54 м длиннее другого. После того как от каждого из кусков отрезали по 12 м, второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Найти длину каждого куска проволоки.
135. 1) При посещении выставки было куплено 78 детских билетов и 16 билетов для взрослых, причём за всё было уплачено 12 руб. 60 коп. Определить цену билетов, если детский билет В 3 раза дешевле билета для взрослого.
2) В кассе магазина находятся пятирублёвые и десятирублёвые кредитные билеты, всего на сумму 1 050 руб. Сколько денежных знаков того и другого достоинства имеется в кассе, если десятирублёвых вдвое больше, чем пятирублёвых?
136. 1) Первый экскаватор вынимает в час на 60 куб. земли больше, чем второй. Оба экскаватора вынули вместе 10 320 куб. м земли, причём первый работал 20 час, а второй 18 час. Сколько кубических метров вынимает каждый экскаватор в час?
2) 8 кг очищенных орехов содержат столько же жиров, сколько 6 кг сливочного масла, причём в 1 кг масла на 200 г жиров больше, чем в 1 кг орехов. Сколько жиров содержит 1 кг масла и 1 кг орехов?
137 *. 1) Для туристского похода, совершаемого 46 школьниками, были приготовлены шестиместные и четырёхместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все туристы разместились в 10 лодках и свободных мест не осталось? (Рис. 8.)
2) В мастерской из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов, затратив на тетради одного сорта по 8 листов, а на тетради другого сорта по 12 листов. Сколько сделали тетрадей того и другого сорта отдельно?
138 *. 1) Коллективный огород площадью в два с половиной гектара разбили на 70 участков размерами в 250 кв. м и 400 кв. м. Сколько тех и других участков было в коллективном огороде?
2) (Древняя китайская задача.) В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что всего в клетке 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
139 *. 1) В кассе продано 400 билетов в мягкие и жёсткие вагоны для проезда до одного и того же пункта ценой в 10 руб. 45 коп. и 7 руб. 05 коп. Сколько продано тех и других билетов в отдельности, если все 400 билетов стоят 3 160 руб.?
2) У кассира набралось 50 монет по 20 коп. и по 15 коп., всего на сумму 9 руб. Определить, сколько было у кассира монет по 20 коп. и сколько по 15 коп.
140. 1) Вычислите пропущенные значения указанных величин:
2) Пешеход проходит за час 4 км, лыжник 9 км, а велосипедист проезжает 12 км. Какое расстояние каждый из них может пройти или проехать за 4 часа? Сколько времени понадобится каждому из них, чтобы пройти или проехать 180 км? (Время для отдыха не учитывать.)
141. 1) Электрический поезд из девяти вагонов прошёл мимо наблюдателя за 12 сек. С какой скоростью шёл поезд, если длина каждого вагона 16 м?
2) Зазор на стыках рельсов служит причиной стука колёс при движении поезда. Пассажир за одну минуту насчитай 80 ударов. Какова скорость поезда, выраженная в километрах в час, если длина рельса 9 м?
142. 1) С противоположных концов катка длиной в 90 м бегут навстречу друг другу два мальчика (рис. 9,а).Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если первый мальчик пробегает в секунду 9 м, а второй 6 м?
2) По условию первой задачи узнайте, через сколько секунд первый мальчик опередит второго на 30 м, если они одновременно побегут из одного места и в одном направлении (рис. 9, б).
143. 1) Кондуктор пассажирского поезда, скорость которого 50 км в час, заметил, что встречный товарный поезд, идущий со скоростью 40 км в час, прошёл мимо него за 10 сек. Определить длину товарного поезда.
2) Два пассажира метро, начавшие одновременно - один спуск, а другой подъём по движущейся лестнице метро, встретились через 30 сек. Определить длину наружной части лестницы, если скорость её движения 1 м в секунду.
144. 1) Два самолёта вылетели одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 2400 км, и встретились через 4 часа. Определить скорость второго самолёта, если скорость первого была 350 км в час.
2) От двух пристаней, расстояние между которыми 660 км, отправились одновременно навстречу друг другу два парохода. Первый пароход проходил в среднем 250 м в минуту. Определить скорость второго парохода, если через 8 час. после начала движения между пароходами оставалось 396 км.
145. 1) Из Москвы и Калинина в Ленинград по одному и тому же шоссе выехали одновременно две машины. Из Москвы - легковая, а из Калинина - грузовая. Грузовая двигалась со средней скоростью 40 км в час. Определить скорость легковой машины, если она догнала грузовую через 8 час, а расстояние от Москвы до Калинина 168 км.
Напишите решение в виде числовой формулы.
2) Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 8 км, одновременно и в одном направлении вышел пешеход со скоростью 5 км в час и выехал автобус. Определить скорость автобуса, если через 12 мин. он догнал пешехода.
146. 1) В 8 час. утра группа пионеров отправилась пешком из города в совхоз, проходя 4 км 800 м в час, а в 11 час. вслед за ними выехала группа пионеров на велосипедах со скоростью 12 км в час. Определить расстояние от города до совхоза, если обе группы прибыли в совхоз одновременно.
2) В 9 час. из одного города в другой вышел пассажирский поезд со скоростью 40 км в час, а в 11 час. вслед за ним вышел скорый поезд со скоростью 58 км в час. Во сколько часов следует остановить пассажирский поезд для того, чтобы пропустить скорый, если для безопасности движения расстояние между поездами не должно быть меньше 8 км?
147. 1) Из пункта А вышел автобус со скоростью 30 км в час и через 15 мин. догнал пешехода, который вышел из пункта Б одновременно с выездом автобуса из пункта А. Пешеход шёл со скоростью б км в час. Найти расстояние между пунктами.
2) В полдень от пристани отошел пароход со скоростью 16 км в час. Через 3 часа от той же пристани по тому же направлению отошёл пароход, который через 12 час. после своего выхода догнал первый пароход. Определить скорость второго парохода,
148. 1) (Старинная задача.) Собака гонится за кроликом, находящимся в 150 футах от неё. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик прыгает на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?
2) Собака погналась за лисой, находящейся от неё на расстоянии 120 м. Через сколько времени собака догонит лису, если лиса пробегает в минуту 320 м, а собака 350 м?
149. 1) Колесо, длина окружности которого 1 м 2 дм, на некотором расстоянии обернулось 900 раз. Сколько раз обернётся на том же расстоянии колесо, длина окружности которого на 8 дм больше первого?
Напишите решение в виде числовой формулы.
2) Переднее колесо на расстоянии 720 м обернулось на 40 оборотов больше, чем заднее колесо. Найти длину окружности переднего колеса, если длина окружности заднего колеса 2 м.
150. 1) Расстояние от колхоза до станции, равное 6 км, пешеход проходит за час, а велосипедист проезжает за 30 мин. На каком расстоянии от колхоза и через сколько времени после начала движения они встретятся, если одновременно отправятся велосипедист из колхоза, а пешеход со станции?
2) Из двух городов вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 18 час. Определить скорости поездов, зная, что разность их скоростей равна 10 км в час, а расстояние между городами 1620 км.
151. 1) Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух станций, расстояние между которыми равно 794 км. Первый поезд проходил 52 км в час, а второй 42 км в час. Пройдя 416 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько часов один из поездов вышел раньше другого?
2) Из города А вышел поезд по направлению к городу Б со средней скоростью 50 км в час. Через 12 час. с аэродрома того же города вылетел самолёт, который полетел в том же направлении со скоростью, в 7 раз большей скорости поезда, и нагнал его ровно на полпути от А до Б. Определить расстояние от А до Б.
152. По спортивной круговой дорожке, длина которой 720 м, движутся два конькобежца. Скорость первого 10 м в секунду, а второго 8 м в секунду. Они начали движение одновременно и из одного места спортивной дорожки. Через какие промежутки времени первый конькобежец будет обгонять второго, если они будут двигаться в одном направлении? Через какие промежутки времени они будут встречаться, если будут двигаться в противоположных направлениях?
153. 1) Уроки в школе начинаются в 8 час. 30 мин. утра. Каждый урок продолжается 45 мин. Перемены между вторым и третьим и между третьим и четвёртым уроками по 20 мин., а остальные по 10 мин. Определить время начала и конца каждого из 6 уроков.
2) Решить ту же задачу, если начало уроков в 2 часа дня.
154. 1) Учебный год в школах разбивается на четыре четверти: I четверть - с 1 сентября по 6 ноября включительно, II четверть - с 9 ноября по 29 декабря, III четверть - с 11 января по 24 марта, IV -с 3 апреля по 30 мая. Определить продолжительность каждой четверти.
2) Сколько полных лет, месяцев и дней прошло со дня вашего рождения?
155. 1) Первый советский искусственный спутник Земли был запущен 4 октября 1957 г„ а прекратил своё существование 3 января 1958 г. Сколько времени находился в полёте первый советский искусственный спутник Земли?
2) Второй советский искусственный спутник Земли был запущен 3 ноября 1957 г., а прекратил своё существование 14 апреля 1958 г. Сколько времени находился в полёте второй советский искусственный спутник Земли?
156. 1) 7 мая 1895 г. А. С. Попов демонстрировал первый в мире радиоприёмник, За 332 года 8 дней до этого начал печатать первые в России книги Иван Фёдоров. Когда начал печатать книги Иван Фёдоров?
2) Первое кругосветное путешествие, которое совершили русские моряки Крузенштерн и Лисянский, началось 7 августа 1803 г. Моряки находились в плавании 3 года и 14 дней. Когда они вернулись на родину?
157. 1) Великий русский математик Н. И. Лобачевский родился 20 ноября 1792 г., а умер 12 февраля 1856 г. Сколько времени жил Н. И. Лобачевский?
2) Великий русский математик П. Л. Чебышев родился 26 мая 1821 г., а умер 8 декабря 1894 г. Сколько времени жил II Л. Чебышев?
158. 1) Сарай, имеющий форму параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 8 м, ширина 6 м, высота б м. Определить вес сена в сарае, если 10 куб. м сена весят 6 ц.
2) Сколько трёхтонных машин понадобится для перевозки поленницы дров, длина которой 6 м, ширина 2 м и высота 3 м, если 2 куб. м дров весят 1 т?
159. 1) Длина классной комнаты 8 м, ширина 6 м, а высота 3 м 50 см. Найти объём (кубатуру) классной комнаты.
2) Длина спортивного зала 25 м, ширина 16 м, а высота 5 м 50 см. Найти кубатуру спортивного зала.
160. 1) Потолок имеет длину 11 м, а ширину на 5 м меньше длины. Сколько листов сухой штукатурки потребуется для обивки потолка, если ширина листа 1 м 5 дм, а длина 2 м?
2) Две комнаты имеют одинаковую площадь, но различную длину и ширину. Первая комната имеет длину 12 м, а ширину 6 м. Определить ширину второй комнаты, если длина её на 3 м меньше длины первой комнаты.
161. 1) Участок земли прямоугольной формы шириной 18 м и площадью 576 кв. м надо огородить проволокой в 6 рядов. Сколько потребуется проволоки?
2) Из прямоугольного листа стекла, длина которого 24 см, а ширина 22 см, нужно нарезать прямоугольные пластинки размерами 8 см х б см. Какое наибольшее число пластинок можно при этом получить? (Изобразите решение на чертеже, приняв одну клетку в тетради за 1 см.)
162. 1) В каждом из трёх приведённых примеров вычислите пропущенное значение указанной величины:
2) Ученик в течение 8 дней прочитал половину книги, читая ежедневно по 12 страниц. После этого, чтобы прочитать книгу к сроку, он стал прочитывать ежедневно на 4 страницы больше. На сколько дней ученик получил книгу?
163. 1) Библиотеке нужно было переплести 1 800 книг. Три мастерские брались каждая самостоятельно выполнить заказ: первая в 20 дней, вторая в 30 дней и третья в 60 дней. Чтобы закончить переплёт книг возможно скорее, решили передать заказ сразу всем трём мастерским. Во сколько дней закончат работу мастерские, работая одновременно?
2) Чтобы выкачать воду из трюма, поставили два насоса: первый выкачивал 20 вёдер в минуту, а второй 30 вёдер в минуту. Сначала работал один первый насос, а через 30 мин. начал работать и второй насос, после чего оба насоса выкачали всю воду через 1 час 30 мин. Сколько воды было в трюме и во сколько времени была бы выкачана вся вода, если бы с самого начала работали оба насоса?
164. 1) Район запланировал произвести ремонт трёх шоссейных дорог длиной: первая 80 км, вторая 98 км и третья 112 км. Определить затраты на ремонт каждой дороги, если расходы на ремонт 1 км одинаковы и на ремонт первой дороги отпущено на 2 160 руб. меньше, чем на ремонт второй.
2) Группа пионеров производила посадку деревьев на улицах города. На одной улице нужно было вырыть 20 одинаковых ям для деревьев, на другой 15 и на третьей 35. За сколько часов были вырыты все ямы, если на первой улице пионеры работали на 1 час 30 мин. меньше, чем на третьей?
165. 1) За б час. работы первый ученик изготовил на 4 детали больше второго, а мастер изготовил на 36 деталей больше первого ученика и в три раза больше второго. Сколько минут затрачивал на изготовление одной детали мастер и каждый из учеников?
2) За 4 часа 30 мин. первый ученик изготовил на три детали меньше второго, а мастер изготовил в три раза больше первого ученика и на 27 деталей больше второго. Сколько минут затрачивал на изготовление одной детали мастер и каждый из учеников?
166. 1) Ширина прямоугольного участка земли на 80 м меньше его длины. Определить площадь участка, если длина забора вокруг него 800 м.
2) Участок земли прямоугольной формы огорожен изгородью длиной в 200 м, причём длина его на 20 м больше ширины. Участок разделили на две части, из которых одна на 200 кв. м больше другой. Найти площадь каждой части.
167. 1) Бригада превысила сменное задание по добыче руды в 4 раза и дала на 24 т больше задания. Сколько тонн руды выработала бригада за смену и каково было сменное задание?
2) Бронза содержит 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть цинка. Сколько будет весить кусок бронзы, в котором цинка на 1 кг 484 г меньше, чем олова?
168. 1) Две автомашины перевезли за 2 дня со склада в магазин 96 т различного товара, причем в первый день было перевезено на 12 т больше, чем во втором Определить грузоподъёмность каждой машины, если известно, что в первый день первая машина сделала 9 поездок, а вторая 12; во второй день первая машина сделала 3 поездки, а вторая 12 поездок.
2) Мастерская получила два куска материи на сумму 1 980 руб. Цена материи в первом куске 39 руб. за метр, а во втором 40 руб. за метр. Сколько метров материи было в каждом куске, если второй кусок стоил на 420 руб. дороже первого?
169. 1) Мотоциклист должен был проехать расстояние между двумя пунктами, равное 600 км, со скоростью 30 км в час, но в дороге он вынужден был задержаться на 4 часа. Чтобы прибыть вовремя на место назначения, он должен был после остановки удвоить свою скорость. На каком расстоянии от начала движения произошла задержка?
2) Пионер, получая еженедельный журнал, успевал прочитать его к моменту получения следующего номера. За время пребывания в деревне у него накопилось 6 номеров, и по возвращении он решил прочитывать за неделю 3 номера. Через сколько недель будут прочитаны вое полученные журналы?
170. 1) Отец старше сына на 24 года. Сколько лет сыну, гели через 3 года он будет в 5 раз моложе отца?
2) Сыну сейчас 14 лет, а пять лет назад он был в 5 раз моложе своего отца. Сколько в данное время лет отцу?
171. 1) Экскурсанты за два дня израсходовали 156 руб. Во второй день они израсходовали в 2 раза больше, чем в первый, и ещё 6 руб. Сколько рублей расходовали экскурсанты ежедневно?
2) От стальной полосы длиной 350 мм были отрезаны 2 большие и 4 малые заготовки, после чего остался кусок в 22 мм. Определить размеры заготовок, если большая заготовка в 2 раза длиннее малой.
172. 1) На базе было 180 т овощей, которыми она снабжала 20 столовых. Через три недели к этой базе прикрепили ещё 15 столовых. За сколько недель израсходовали запас овощей, если каждая столовая расходовала в средн-ем 900 кг овощей в неделю?
2) При облицовке мрамором стен вестибюля метро первая бригада устанавливала 14 кв. м, а вторая 12 кв. м плит за смену. Размеры вестибюля: 24 м х 8 м х 4 м. В стенах четыре прохода размерами 2м х 3 м. За сколько дней будет закончена работа, если вторая бригада начала работать раньше первой на 2 дня?
173. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 4 часа расстояние между ними оказалось 292 км. Определить скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.
2) Два города находятся на расстоянии 900 км друг от друга. Из одного города вышел поезд, а из другого города одновременно с поездом и в одном направлении вылетел самолёт и через 3 часа догнал поезд. Определить скорости поезда и самолёта, если скорость поезда в 7 раз меньше скорости самолёта.
174. 1) Несколько учащихся внесли на покупку книг по 50 коп., но оказалось, что собранная сумма на 1 руб. 50 коп. меньше стоимости книг. Когда же каждый из учащихся добавил по 10 коп., то вся собранная сумма денег превысила стоимость книг на 70 коп. Сколько было учащихся и сколько стоили книги?
2) Для оплаты путёвки каждый экскурсант внёс 1 руб. 20 коп., но оказалось, что не хватает 1 рубля. Когда каждый участник внёс ещё по 10 коп., то оказалось, что 1 рубль остаётся лишним. Сколько человек участвовало в экскурсии и сколько стоила путёвка?
175. 1) Мастерская сшила 8 одинаковых пальто и несколько одинаковых костюмов, истратив 61 м материи. На каждое пальто расходовалось 3 м 25 см материи, а на каждый костюм на 25 см больше, чем на пальто. Сколько костюмов сшила мастерская?
2) Измените условие задачи: найденное число костюмов считайте известным, все остальные числа оставьте без изменения и найдите, сколько пальто сшила мастерская. Составьте условие новой задачи.
3) Составьте новую задачу, сходную с двумя первыми, используя количество расходуемой материи на пошивку пальто и костюма. Остальные числа измените.
176. В таблице приведены летние и осенне-зимние нормы кормов (в граммах в день) для крольчат.
Подсчитайте, сколько различных кормов потребуется, чтобы вырастить 50 голов молодняка: летом, осенью и зимой. Узнайте цену кормов и подсчитайте расходы.
177. 1) Начертите столбчатую диаграмму, подсчитав число пятёрок, четвёрок, троек и неудовлетворительных отметок, полученных учениками класса на последней контрольной работе по арифметике.
Указание. При построении диаграммы за основание каждого столбика возьмите две клетки в ширину, а на каждую полученную учащимися отметку - одну клетку в высоту.
2) Сколько в вашем классе учеников? Сколько из них пионеров? Начертите диаграмму.
178. Лабораторная работа «Провешивание прямой линии на местности».
Класс разбивается на звенья по 3 человека в каждом (первый - старший, второй и третий подносят и устанавливают вехи).
Необходимые инструменты: 6-8 вех.
Ход работы: 1) отметить вехами конечные точки А и Б (рис. 10),
2) установить между вехами А и Б промежуточные вехи так, чтобы они составляли одну прямую.
Раздел 1 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
§ 15. Примеры и задачи на все действия с натуральными числами
Вычисляя значения числовых выражений, следует не забывать о порядке действий.
Порядок выполнения действий определяется следующими правилами:
1. В выражениях со скобками сначала вычисляются значения выражений в скобках.
2. В выражениях без скобок сначала выполняются возведение в степень, затем по порядку слева направо умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Пример 1. Обчисли: 8 ∙ (27 + 13) - 144: 2.
Решения.
1) 27 + 13 = 40;
2) 8 ∙ 40 = 320;
3) 144: 2 = 72;
4) 320 - 72 = 248.
Пример 2. Найди значение выражения (х2 - у: 13) ∙ 145, если х = 12, у = 91.
Решения. Если х = 12, у = 91, то (х2 - у: 13) ∙ 145 = (122 - 91: 13) ∙ 145 = (144 - 7) ∙ 145 = 137 ∙ 145 = 19 865.
Там, где это целесообразно, можно использовать свойства действий. Например, значение выражения 438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 можно вычислить так:
438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 = (438 - 338) ∙ 39 = 100 ∙ 39 = 3900.
По каким правилам определяется порядок действий при вычислении числовых выражений?
Начальный уровень
522. Обчисли (устно):
1) 42 + 38 - 7; 2) 24 ∙ 10: 2;
3) 27 - 30: 5; 4) 42: 6 + 35: 7;
5) 8 (23 - 19); 6) (12 + 18) : (12 - 7).
Средний уровень
523. Обчисли:
1) 426 ∙ 205 - 57 816: 72;
2) (362 195 + 86 309) : 56;
3) 2001: 69 + 58 884: 84;
4) 42 275: (7005 - 6910).
524. Обчисли:
1) 535 ∙ 207 - 32 832: 76;
2) 1088: 68 + 57 442: 77;
3) (158 992 + 38 894) : 39;
4) 249 747: (4905 - 1896).
525. За 5 ч теплоход прошел 175 км, а поезд за 3 ч - 315 км. Во сколько раз скорость поезда больше скорости теплохода?
526. За 5 ч товарный поезд проехал 280 км, а скорый поезд за 3 ч проехал 255 км. На сколько скорость скорого поезда больше скорости товарного?
527. Найди значение выражения:
1) 78 ∙ х + 3217, если х = 52;
2) a: 36 + a: 39, если a = 468;
3) х ∙ 37 - в: 25, если х = 15, у = 2525.
528. Найди значение выражения:
1) 17 392 + 15 300: а, если a = 25, 36;
2) m ∙ 155 - t ∙ 113, если m = 17, t = 22.
529. За 5 ручек и 3 общих тетради заплатили
16 грн. 70 коп. Сколько стоит тетрадь, если ручка стоит 2 грн. 50 коп.?
530. Три ящика яблок и два ящика бананов вместе весят 144 кг. Сколько весит ящик яблок, если ящик бананов весит 24 кг?
531. Старший брат собрал 12 корзин вишен, а младший - 9 корзин. Всего они собрали 105 кг вишен. Сколько килограммов вишен собрало каждый брат, если вес всех корзин одинакова?
532. В магазин завезли 27 пачек тетрадей в клетку и 25 пачек тетрадей в линейку - всего 2600 штук. Сколько всего привезли тетрадей в клетку и сколько в линейку, если тетрадей в всех пачках одинаковое количество?
533. Один станок с программным управлением производит 12 деталей в минуту, а второй - на 3 детали больше. За сколько минут оба станки при их одновременном включении изготовят 945 деталей?
Достаточный уровень
534. Собрали 830 кг яблок. Из них a килограммов отдали в детский сад, а те, что остались, разложили поровну в 30 корзин. Сколько килограммов было в каждой корзине? Склады буквенный выражение и обчисли его значение, если a = 110.
535. Обчисли удобным способом:
1) 742 + 39 + 58; 2) 973 + 115 - 273;
3) 832 - 15 - 32; 4) 2 ∙ 115 ∙ 50;
5) 29 ∙ 19 + 71 ∙ 19; 6) 192 ∙ 37 – 92 ∙ 37.
536. Телемайстерня планировала отремонтировать 180 телевизоров за 12 дней, но ежедневно ремонтировала на 3 телевизора больше, чем планировала. За сколько дней было выполнено задание?
538. Найди значение выражения:
1) (21 000 - 308 ∙ 29) : 4 + 14 147: 47;
2) 548 ∙ 307 - 8904: (33 ∙ 507 - 16 647);
3) (562 + 1833: 47) ∙ 56 - 46 ∙ 305;
4) 1789 ∙ (1677: 43 - 888: 24)∙500.
539. Найди значение выражения:
1) (42 + 9095: 85) ∙ (7344: 36 - 154);
2) 637 ∙ 408 - 54 036: (44 ∙ 209 - 9117);
3) (830 - 17 466: 82) ∙ 65 + 57 ∙ 804;
4) 197 ∙ (588: 49 + 728: 56) ∙ 40.
540. До трех магазинов привезли 1506 кг масла. После того как первый магазин продал 152 кг, второй - 183 кг, а третий - 211 кг, во всех магазинах осталось масла поровну. Сколько килограммов масла привезли в каждый магазин?
541. Из городов A и B , расстояние между которыми 110 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 15 км/ч, а другого - на 3 км/ч меньше. Встретятся ли велосипедисты через 4 ч?
542. Старшеклассники Иван и Василий летом работали на ферме. Иван работал по 4 ч ежедневно в течение 16 дней, а Василий - по 3 ч ежедневно в течение 18 дней. Вместе ребята заработали 944 грн. Поставь разумные вопросы и ответь на них.
543. Двое рабочих, один из которых работал 12 дней по 8 ч ежедневно, а другой - 8 дней по 7 ч ежедневно, изготовили вместе 1368 деталей. Найди производительность труда рабочих, если она у них одинаковая. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
544. Составь и реши задачу на все четыре действия с натуральными числами.
Высокий уровень
545. Подбери корни к уравнениям:
1) х - х = х ∙ х; 2) m : m = m ∙ m .
546. Подбери корни к уравнениям:
1) х: 8 = х ∙ 4; 2) у: 9 = в: 11.
547. На какое число надо умножить 259 259, чтобы получить произведение, которое записывается только цифрами 7?
548. На какое число надо умножить 37 037, чтобы получить произведение, которое записывается только цифрами 3?
Упражнения для повторения
549. Реши уравнения:
1) 4х - 2х + 7 = 19; 2) 8х + 3х - 5 = 39.
550. Чтобы добраться до города, крестьянин проехал 3 ч на автобусе, скорость которого а км/ч, и 2 ч на грузовой машине, скорость которой b км/ч. Обратный путь он преодолел за 4 ч на мотоцикле. Найди скорость мотоцикла. Склады буквенный выражение и обчисли его значение, если а = 40, b = 32.
Содержание урокаСложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на