Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується кінцевим або нескінченним десятковим дробом.
Записати це числоу вигляді десяткового дробу.
Рішення. Розділимо в стовпчик чисельник кожного дробу на його знаменник: а)ділимо 6 на 25; б)ділимо 2 на 3; в)ділимо 1 на 2, а потім дроб, що вийшов, припишемо до одиниці — цілої частини даного змішаного числа.
Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5 , записуються кінцевим десятковим дробом.
У приклад 1у випадку а)знаменник 25 = 5 · 5; у випадку в)знаменник дорівнює 2, тому ми отримали кінцеві десяткові дроби 0,24 і 1,5 . У випадку б)знаменник дорівнює 3, тому результат не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.
А чи можна без поділу в стовпчик звернути в десятковий дріб такий звичайний дріб, знаменник якого не містить інших дільників, крім 2 і 5? Розберемося! Який дріб називають десятковим і записують без дробової межі? Відповідь: дріб із знаменником 10; 100; 1000 і т.д. А кожне з цих чисел – це твір рівногокількості «двійок» та «п'ятірок». Насправді: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 і т.д.
Отже, знаменник нескоротний звичайного дробупотрібно буде подати у вигляді твору «двійок» і «п'ятірок», а потім домножити на 2 та (або) на 5 так, щоб «двійок» та «п'ятірок» стало порівну. Тоді знаменник дробу дорівнюватиме 10 або 100 або 1000 і т.д. Щоб значення дробу не змінилося — чисельник дробу помножимо на те число, на яке помножили знаменник.
Подати у вигляді десяткового дробу такі звичайні дроби:
Рішення. Кожен із цих дробів є нескоротним. Розкладемо знаменник кожного дробу на прості множники.
20 = 2 · 2 · 5. Висновок: не вистачає однієї "п'ятірки".
8 = 2 · 2 · 2. Висновок: не вистачає трьох «п'ятірок».
25 = 5 · 5. Висновок: не вистачає двох «двійок».
Зауваження.Насправді частіше використовують розкладання знаменника на множники, а просто запитують: скільки потрібно помножити знаменник, щоб у результаті вийшла одиниця з нулями (10 чи 100 чи 1000 тощо.). А потім на це число множать і чисельник.
Так, у випадку а)(Приклад 2) з числа 20 можна отримати 100 множенням на 5, тому на 5 потрібно помножити чисельник і знаменник.
У випадку б)(Приклад 2) з числа 8 число 100 не вийде, але вийде число 1000 множенням на 125. На 125 множиться і чисельник (3) і знаменник (8) дробу.
У випадку в)(Приклад 2) з 25 вийде 100, якщо помножити на 4. Значить, і чисельник 8 потрібно помножити на 4.
Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки.
У випадку б)(Приклад 1) цифра, що повторюється одна і дорівнює 6. Тому, наш результат 0,66 ... запишеться так: 0, (6) . Читають: нуль цілих, шість у періоді.
Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то така періодичний дрібназивається змішаним періодичним дробом.
Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншимимножниками містить множник 2 або 5 звертається в змішануперіодичний дріб.
Записати у вигляді десяткового дробу числа:
Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.
Записати у вигляді нескінченного періодичного дробу числа.
З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.
Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.
Приклади десяткових дробів:
Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому для них потрібна власна формазаписи? На це є як мінімум три причини:
- Десяткові дробинабагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробівїх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
- Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться по власним правилам, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
- Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.
Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)
Правила запису десяткових дробів
Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:
Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частинавідокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (точка або кома) називається десятковою точкою.
Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.
На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.
Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:
- Виписати окремо чисельник;
- Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
- Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.
Буває, що на другому кроці у чисельника не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.
На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватись. Погляньте на приклади:
Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:
Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.
Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».
Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.
Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.
Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.
Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.
Перехід від звичайних дробів до десяткових
Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:
Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.
Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?
Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.
Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:
Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.
Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:
- Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
- Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
- Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.
Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.
І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.
Завдання. Перекласти дані числові дробиу десяткові:
Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:
Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.
Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:
Перехід від десяткових дробів до звичайних
Зворотне перетворення- від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.
Алгоритм перекладу наступний:
- Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
- Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
- Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дрібщо дуже зручно для подальших обчислень.
Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо наступні числа(Це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.
У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.
Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:
Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб уявний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.
§ 114. Звернення звичайного дробу до десяткового.Звернути звичайний дріб у десятковий - це означає знайти такий десятковий дріб, який дорівнював би даному звичайному дробу. При зверненні звичайних дробів до десяткових ми зустрінемося з двома випадками:
1) коли звичайні дроби можуть бути перетворені на десяткові точно;
2) коли звичайні дроби можуть бути перетворені на десяткові лише наближено. Розглянемо ці випадки послідовно.
1. Як звернути звичайний нескоротний дріб у десятковий, або, іншими словами, як замінити звичайний дріб рівним йому десятковим?
У разі коли звичайні дроби можуть бути точнозвернені в десяткові, існує два способитакого звернення.
Згадаймо, як замінити один дріб іншим, рівним першим, або як перейти від одного дробу до іншого, не змінюючи величини першої. Цим ми займалися, коли наводили дроби до спільного знаменника ( §86). Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, то чинимо в такий спосіб: знаходимо спільний знаменникдля цих дробів, обчислюємо для кожного дробу додатковий множник і потім множимо чисельник і знаменник кожного дробу на цей множник.
Помітивши це, візьмемо нескоротний дріб 3/20 і спробуємо звернути його до десяткового. Знаменник даного дробу дорівнює 20, а треба привести його до іншого знаменника, який зображався одиницею з нулями. Ми шукатимемо найменший із знаменників, що виражаються одиницею з наступними нулями.
Перший спосібзвернення звичайного дробу в десятковий заснований на розкладанні знаменника на прості множники.
Необхідно дізнатися, яке число слід помножити 20, щоб добуток виразилося одиницею з нулями. Щоб це дізнатися, потрібно спочатку згадати, на які прості множники розкладаються числа, що зображаються одиницею з нулями. Ось ці розкладання:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Ми бачимо, що число, що зображується одиницею з нулями, розкладається тільки на двійки та п'ятірки, а інших множників у розкладанні немає. Крім того, двійки та п'ятірки входять у розкладання в однаковій кількості. І, нарешті, число тих та інших множників окремо дорівнює числу нулів, що стоять після одиниці у зображенні даного числа.
Подивимося тепер, як розкладається 20 на прості множники: 20 = 2 2 5. З цього видно, що двійок у розкладанні числа 20 дві, а п'ятірок одна. Значить, якщо до цих множників ми додамо одну п'ятірку, то отримаємо число, яке зображує одиниця з нулями. Іншими словами, для того, щоб у знаменнику замість числа 20 вийшло число, що зображується одиницею з нулями, потрібно 20 помножити на 5, а щоб величина дробу не змінилася, потрібно помножити на 5 та її чисельник, тобто.
Таким чином, щоб звернути звичайний дріб у десятковий, потрібно знаменник цього звичайного дробу розкласти на прості множники і потім зрівняти в ньому число двійок і п'ятірок, ввівши в нього (і, звичайно, в чисельник) множники, що відсутні, в необхідному числі.
Застосуємо цей висновок до деяких дробів.
Звернути в десятковий дріб 3/50 . Знаменник цього дробу розкладається так:
отже, у ньому бракує однієї двійки. Додамо її:
Звернути в десятковий дріб 7/40 .
Знаменник цього дробу розкладається так: 40 = 2 2 2 5, тобто в ньому немає двох п'ятірок. Введемо їх у чисельник і знаменник як множники:
З того, що викладено, неважко дійти невтішного висновку, які прості дроби звертаються у десяткові. Цілком очевидно, що нескоротний звичайний дріб, знаменник якого не містить ніяких інших простих множників, крім 2 і 5, звертається точно до десяткового. Десятковий дріб, що виходить від обігу деякого звичайного, матиме стільки десяткових знаків, скільки разів до складу знаменника звичайного дробу після його скорочення входить чисельно переважаючий множник 2 або 5.
Якщо ми візьмемо дріб 9 / 40 , то, по-перше, він звернеться до десяткового, тому що до складу його знаменника входять множники 2 2 2 5, по-друге, отриманий десятковий дріб матиме 3 десяткові знаки, тому що чисельно переважаючий множник 2 входить у розкладання тричі. Справді:
Другий спосіб(за допомогою розподілу чисельника на знаменник).
Нехай потрібно звернути до десяткового дробу 3/4. Ми знаємо, що 3 / 4 є приватним від поділу 3 на 4. Це приватне ми можемо знайти, розділивши 3 на 4. Зробимо це:
Таким чином, 3/4 = 0,75.
Ще приклад: обернути в десятковий дріб 5/8 .
Таким чином, 5/8 = 0,625.
Отже, щоб обернути звичайний дріб у десятковий, достатньо розділити чисельник звичайного дробу на його знаменник.
2. Розглянемо тепер другий із зазначених на початку параграфа випадків, тобто той випадок, коли звичайний дріб не може бути перетворений на точну десяткову.
Звичайний нескоротний дріб, знаменник якого містить якісь прості множники, відмінні від 2 і 5, не може звернутися точно до десяткового. Справді, наприклад, дріб 8/15 не може звернутися до десяткового, тому що його знаменник 15 розкладається на два множники: 3 і 5.
Ми не можемо виключити трійку із знаменника і не можемо підібрати такого цілого числа, щоб після множення на нього даного знаменника твір виразився одиницею з нулями.
У таких випадках можна говорити лише про наближеному зверненнізвичайних дробів у десяткові.
Як це робиться? Це робиться за допомогою розподілу чисельника звичайного дробу на знаменник, тобто в цьому випадку застосовують другий спосіб обігу звичайного дробу в десятковий. Отже, цей спосіб застосовується і за точному зверненні і при наближеному.
Якщо звичайний дріб звертається точно до десяткового, то від поділу виходить кінцевий десятковий дріб.
Якщо звичайний дріб не перетворюється на точну десяткову, то від поділу виходить нескінченний десятковий дріб.
Тому що ми не можемо виконати нескінченного процесуподілу, то ми повинні припинити поділ на якомусь десятковому знаку, тобто зробити наближений поділ. Ми можемо, наприклад, припинити поділ першому десятковому знаку, т. е. обмежитися десятими частками; у разі потреби ми можемо зупинитися на другому десятковому знаку, отримавши соті частки, і т. д. У цих випадках кажуть, що ми округляємо нескінченний десятковий дріб. Округлення робиться з тією точністю, яка під час вирішення цього завдання необхідна.
§ 115. Поняття про періодичний дроб.
Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичним десятковим дробом. Наприклад:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Сукупність цифр, що повторюються, називається періодомцього дробу. Період першого з написаних вище дробів є 3, період другого дробу 12, період третього дробу 234. Отже, період може складатися з кількох цифр - з однієї, з двох, з трьох і т. д. Перша сукупність цифр, що повторюються, називається першим періодом, друга сукупність - другим періодом тощо. буд., тобто.
Періодичні дроби бувають чисті та змішані. Періодична дріб називається чистою, якщо її період починається відразу після коми. Отже, написані вище періодичні дроби будуть чистими. Навпаки, періодичний дріб називається змішаним, якщо у нього між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, наприклад:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Для скорочення листа можна цифри періоду писати один раз у дужках і не ставити після дужок крапки, тобто замість 0,33 ... можна писати 0, (3); замість 2,515151... можна писати 2,(51); замість 0,2333... можна писати 0,2(3); замість 0,8333 можна писати 0,8 (3).
Читаються періодичні дроби так:
0,(3) - 0 цілих, 3 у періоді.
7,2(3) - 7 цілих, 2 до періоду, 3 у періоді.
5,00 (17) - 5 цілих, два нулі до періоду, 17 у періоді.
Як виникають періодичні дроби? Ми вже бачили, що при перетворенні звичайних дробів у десяткові може бути два випадки.
По-перше, знаменник звичайної нескоротного дробуне містить жодних інших множників, крім 2 та 5; у цьому випадку звичайний дріб перетворюється на кінцевий десятковий.
По-друге,знаменник звичайного нескоротного дробу містить у собі якісь прості множники, відмінні від 2 і 5; у цьому випадку звичайний дріб не перетворюється на кінцевий десятковий. У цьому останньому випадкупри спробі звернути звичайний дріб у десятковий за допомогою поділу чисельника на знаменник виходить нескінченний дріб, яка завжди буде періодичною.
Щоб у цьому переконатися, розглянемо якийсь приклад. Спробуємо звернути дріб - 18/7 в десятковий.
Ми, звичайно, заздалегідь знаємо, що дріб із таким знаменником не може звернутися до кінцевого десяткового, і ведемо мову лише про наближене поводження. Розділимо чисельник 18 на знаменник 7.
Ми отримали у приватному вісім десяткових знаків. Немає потреби продовжувати поділ далі, тому що воно все одно не скінчиться. Але звідси зрозуміло, що поділ можна продовжувати нескінченно довго і, таким чином, одержувати в приватному нові цифри. Ці нові цифри виникатимуть тому, що в нас постійно виходитимуть залишки; але ніякий залишок не може бути більшим за дільник, який у нас дорівнює 7.
Подивимося, які ми мали залишки: 4; 5; 1; 3; 2; б, тобто це були числа, менші 7. Очевидно, їх не може бути більше шести, і при подальшому продовженні поділу вони повинні будуть повторюватися, а за ними повторюватимуться і цифри приватного. Наведений вище приклад підтверджує цю думку: десяткові знаки у приватному йдуть у такому порядку: 571428, а після цього знову з'явилися цифри 57. Отже, у нас закінчився перший період і починається другий.
Таким чином, нескінченний десятковий дріб, що виходить при обігу звичайного дробу, завжди буде періодичним.
Якщо періодичний дріб зустрічається при вирішенні якогось завдання, то він береться з тією точністю, яка потрібна умовою завдання (до десятої, до сотої, до тисячної і т. д.).
§ 116. Спільні діїіз звичайними та десятковими дробами.
При вирішенні різних завданьми зустрінемося з такими випадками, коли до завдання входять і звичайні, і десяткові дроби.
У цих випадках можна йти різними шляхами.
1. Звернути всі дроби до десяткових.Це зручно тому, що обчислення над десятковими дробами легше, ніж над звичайними. Наприклад,
Обернемо дроби 3/4 і 1 1/5 у десяткові:
2. Звернути всі дроби у прості.Так найчастіше надходять у тих випадках, коли зустрічаються звичайні дроби, що не звертаються до кінцевих десяткових.
Наприклад, 
Обернемо десяткові дроби у звичайні:
3. Обчислення ведуть без обігу одних дробів до інших.
Це особливо зручно в тих випадках, коли в приклад входять лише множення та розподіл. Наприклад,
Перепишемо приклад так:
4. У деяких випадках перетворюють всі звичайні дроби на десяткові(навіть ті, які звертаються до періодичних) і знаходять наближений результат. Наприклад,
Обернемо 2/3 у десятковий дріб, обмежившись тисячними частками.