Сайт «професійний репетитор з математики» продовжує цикл методичних статей про викладання. Я публікую описи методик своєї роботи з найбільш складними та проблемними темамишкільної програми Цей матеріалбуде корисним викладачам та репетиторам з математики, які працюють з учнями 8-11 класів як з звичайній програмі, і за програмою математичних класів.
Репетитор з математики не завжди може пояснити матеріал, який невдало викладено у підручнику. На жаль, таких тем стає дедалі більше, і помилки викладу за авторами посібників відбуваються у масовому порядку. Це стосується не тільки репетиторів з математики та репетиторів за сумісництвом (репетитори — студенти та репетитори ВНЗ), але й досвідчених викладачів, репетиторів — професіоналів, репетиторів зі стажем та кваліфікацією. Талант грамотного коректора шорсткостей шкільних підручниківмають далеко ще не всі репетитори математики. Не всі розуміють, що ці корекції (або доповненні) необхідні. Адаптацією матеріалу щодо його якісного сприйняття дітьми займаються одиниці. На жаль, минув той час, коли викладачі математики разом методистами та авторами видань у масовому порядку обговорювали кожну букву підручника. Раніше, перш ніж пустити підручник до шкіл, проводили серйозні аналізи та дослідження результатів навчання. Настав час дилетантів, які прагнуть зробити допомогу універсальними, підганяючи їх під стандарти сильних математичних класів.
Гонка за збільшення кількості інформації призводить лише до зниження якості її засвоєння і, як наслідок, зниження рівня реальних знаньз математики. Але на це ніхто не звертає уваги. І наші діти змушені вже у 8 класі вивчати те, що ми з вами проходили в інституті: теорію ймовірності, розв'язання рівнянь високих ступеніві ще дещо. Адаптація матеріалу в книжках для його повноцінного сприйняття дитиною залишає бажати кращого і репетитор з математики змушений якось із цим боротися.
Поговоримо про методику викладання такої специфічної теми, як «розподіл куточком багаточлена на багаточлен», більш відомої у дорослій математиці як «теорема Безу та схема Горнера». Ще якихось пару років тому питання не стояло перед репетитором з математики так гостро, бо він не входив до основної шкільну програму. Тепер шановні автори підручника за редакцією Теляковського внесли зміни до останнього видання найкращого, на мій погляд, підручника, і, остаточно зіпсувавши його, лише додали репетитору зайвих турбот. Викладачі шкіл і класів, які не мають математичних статусів, орієнтуючись на нововведення авторів, стали частіше включати додаткові параграфи у свої уроки, а допитливі діти, розглядаючи гарні сторінки їх підручника математики, все частіше запитують репетитора: «Що це за розподіл куточком? Ми це будемо проходити? Як ділити куточком? Від таких прямих питань не сховатися. Репетитору доведеться щось розповідати дитині.
А як? Напевно, я не став би описувати метод роботи з темою, якби в підручниках вона грамотно подавалася. Адже в нас як все відбувається? Підручники потрібно друкувати та продавати. А для цього їх треба регулярно оновлювати. Викладачі ВНЗ скаржаться, що діти приходять до них з порожніми головами, без знань та навичок? Вимоги до математичним знаннямзростають? Чудово! Давайте ми приберемо деякі вправи, а замість них вставимо теми, що вивчаються за іншими програмами. Чим наш підручник гірший? Включимо якісь додаткові розділи. Школярі не знають правило поділу куточком? Це ж елементарна математика. Треба зробити такий параграф необов'язковим, назвавши його «для тих, хто хоче знати більше». Репетитори проти? А яка нам справа до репетиторів взагалі? Методисти та викладачі шкіл теж проти? Ми не ускладнюватимемо матеріал і розглянемо найпростішу його частину.
І ось тут починається. Простота теми та якість її засвоєння полягають, перш за все, у розумінні її логіки, а не в тому, щоб згідно з розпорядженням авторів підручника виконати якийсь набір не зрозуміло як пов'язаних один з одним операцій. Інакше туман у голові школяра буде забезпечений. Якщо розрахунок авторів йде щодо сильних учнів(але тих, хто навчається за звичайною програмою), то не варто подавати тему в командній формі. А що ми бачимо у підручнику? Діти, треба ділити за таким правилом. Отримайте багаточлен під куточком. Отже, початковий многочлен розкладеться на множники. Однак зрозуміти, чому саме так підбираються доданки під куточком, чому їх треба множити на багаточлен над куточком, а потім віднімати з поточного залишку — незрозуміло. І найголовніше не зрозуміло, чому підібрані одночлени треба в результаті скласти і чому дужки, що вийшли, будуть розкладанням початкового багаточлена. Будь-який грамотний математик поставить жирний знакпитання над тими поясненнями, що даються у підручнику.
Я пропоную до уваги репетиторів та викладачів математики своє вирішення проблеми, яке практично робить для учня очевидним усе те, що викладено у підручнику. Фактично ми доведемо теорему Безу: якщо число а - корінь багаточлена, то цей многочлен можна розкласти на множник, один з якого x-a, а другий виходить з початкового одним із трьох способів: виділенням лінійного множника через перетворення, розподілом куточком або за схемою Горнера. Саме з таким форомулюванням репетитору з математики буде легше працювати.
Що таке методика викладання? Насамперед це чіткий порядок у послідовності пояснень та прикладів, на основі яких робляться математичні висновки. Ця темане виняток. Репетитору з математики дуже важливо познайомити дитину з теоремою Безу до того, як виконуватиметься розподіл куточком. Це дуже важливо! Домогтися розуміння найкраще на конкретному прикладі. Візьмемо якийсь багаточлен з підібраним коренем і покажемо техніку його розкладання на множники за допомогою знайомого школяру ще з 7 класу методу тотожних перетворень. При відповідних супровідних поясненнях, акцентах та підказках репетитора з математики цілком реально донести матеріал без будь-яких загальних математичних викладок, довільних коефіцієнтів та ступенів.
Важлива порада репетитору з математики- дотримуватися інструкцій від початку і до кінця і не змінювати цю послідовність.
Отже, припустимо, що перед нами багаточлен. Якщо ми підставимо замість його ікса число 1, то значення багаточлена дорівнюватиме нулю. Отже х = 1 - його корінь. Спробуємо розкласти на два доданки так, щоб одне з них було твором лінійного виразуі деякого одночлена, а друге мало б ступінь на одиницю менше, ніж . Тобто представимо його у вигляді
Одночлен для червоного поля підберемо так, щоб при множенні його на старший член повністю збігався зі старшим членом початкового багаточлена. Якщо учень не найслабший, він цілком здатний буде назвати репетитору з математики шуканий вираз: . Репетитору слід відразу запропонувати вставити його в червоне поле і показати, що буде виходити при їх розкритті. Найкраще цей віртуальний тимчасовий багаточлен підписати під стрілочками (під фотончиком), виділяючи його якимось кольором, наприклад, синім. Це допоможе підібрати доданок для червоного поля, зване залишком виділення. Я радив би репетиторам саме тут вказувати на те, що цей залишок можна знаходити відніманням. Виконуючи таку операцію отримаємо:
Репетитор з математики повинен звернути увагу учня на те, що підставляючи одиницю в дану рівність, ми гарантовано отримаємо нуль у його лівій частині (оскільки 1 — корінь первісного багаточлена), а в правій, очевидно, теж обнулили перший доданок. Значить без усілякої перевірки можна сказати, що одиниця — корінь «зеленого залишку».
Вчинимо з ним так само, як ми це зробили з початковим багаточленом, виділяючи з нього такий самий лінійний множник. Репетитор з математики малює перед учнем дві рамки та просить заповнити зліва направо.
Учень підбирає репетитору одночлен для червоного поля так, щоб він при множенні на старший доданок лінійного виразу давав старший доданок багаточлена, що розкладається. Вписуємо в касну рамку, відразу розкриваємо дужку і виділяємо синім кольором той вираз, який треба відняти їх розкладається. Виконуючи цю операцію отримуємо
І, нарешті, проробляючи те саме з останнім залишком
отримаємо остаточно
Тепер винесемо вираз за дужку і перед нами виявиться розкладання первісного багаточлена на множники, один з яких «ікс мінус підібраний корінь».
Для того, щоб учневі не здавалося, що останній «зелений залишок» випадково розклався на потрібні множники, репетитор з математики повинен вказати на важлива властивістьвсіх зелених залишків - кожен з них має корінь 1. Оскільки ступеня цих залишків зменшуються, то який би ступінь початкового багаточлена не був нам даний, рано чи пізно, ми отримаємо лінійний «зелений залишок» з коренем 1, а отже він обов'язково розкластися на твір деякого числа та виразу.
Після такої підготовчої роботирепетитору з математики не важко пояснити учневі, що відбувається при розподілі куточком. Це той самий процес, тільки в більш короткій і компактній формі, без знаків і без переписувань тих самих виділених доданків. Багаточлен з якого виділяється лінійний множник записуємо ліворуч від куточка, підбираються червоні одночлени збираємо під кутом (тепер стає зрозуміло, чому вони повинні складатися), для отримання «синіх багаточленів» треба «червоні» множити на x-1, а потім віднімати з поточного виділяється як це робиться при звичайному розподілічисел у стовпчик (ось вона аналогія з раніше вивченим). Отримані «зелені залишки» піддаються новому виділенню та підбору «червоних одночленів». І так до отримання нульового "зеленого залишку". Найголовніше, що учневі стає зрозумілою подальша долязаписаних багаточленів над та під куточком. Очевидно, це дужки, твір яких дорівнює первісному багаточлену.
Наступний етап роботи репетитора з математики – формулювання теореми Безу. Власне її формулювання при такому підході репетитора стає очевидним: якщо число а — корінь багаточлена, його можна розкласти на множники, один з яких , а інший виходить з первісного одним з трьох способів:
- безпосереднім розкладанням (аналогом методу угруповання)
- розподілом куточком (у стовпчик)
- через схему Горнера
Слід сказати, що схему горнера показують учням далеко не всі репетитори математики і не всі шкільні викладачі(На щастя для самих репетиторів) заходять на уроках так глибоко в тему. Проте, для учня математичного класуя не бачу жодних підстав для зупинки на розподілі в стовпчик. Більш того, найзручніший і швидкийприйом розкладання ґрунтується саме на схемі Горнера. Для того, щоб пояснити дитині, звідки вона береться досить простежити на прикладі поділу куточком появу старших коефіцієнтів у зелених залишках. Стає ясно, що старший коефіцієнт початкового багаточлена зноситься в коефіцієнт першого червоного одночлена, а далі від другого коефіцієнта поточного верхнього багаточлена віднімаєтьсярезультат множення поточного коефіцієнта "червоного одночлена" на . Тому можна додаватирезультат множення на . Після акцентування уваги учня на специфіці дій із коефіцієнтами репетитор з математики може показати як зазвичай ці дії виконують без запису самих змінних. Для цього зручно корінь та коефіцієнти початкового багаточлена за старшинством занести до такої таблиці:
Якщо багаточлен пропущена якась ступінь, то таблицю примусово вноситься її нульовий коефіцієнт. У нижню сходинку по черзі вписуються коефіцієнти «червоних багаточленів» за правилом «гачка»: 
Корінь множиться на останній знесений "червоний коефіцієнт", додається до наступного коефіцієнта верхнього рядка і результат зноситься в нижній рядок. В останній колонці гарантовано отримаємо старший коефіцієнт останнього "зеленого залишку", тобто нуль. Після завершення процесу, числа, затиснуті між підібраним коренем і нульовим залишкомвиявляються коефіцієнтами другого (нелінійного) множника.
Оскільки корінь а дає в кінці нижнього рядка нуль, то схему Горнер можна використовувати для перевірки чисел на звання корінь багаточлена. Якщо спеціальна теорема про підбір раціонального кореня. Усі кандидати на це звання, отримані за її допомогою, просто вставляються по черзі ліворуч у схему Горнера. Як тільки ми отримаємо нуль, число, що тестується, буде коренем, і одночасно його рядку отримаємо коефіцієнти розкладання початкового багаточлена на множники. Дуже зручно.
На завершення хотілося б зазначити, що з акуратного введення схеми Горнера, і навіть для практичного закріплення теми, репетитор з математики повинен мати у своєму розпорядженні достатньо годин. Репетитору, який працює з режимом «раз на тиждень», не варто займатися розподілом куточком. На Еге з математики і на ГІА з математики навряд чи в першій частині колись зустрінеться рівняння третього ступеня, яке вирішується такими засобами. Якщо репетитор готує дитину екзамен з математики в МДУ — вивчення теми стає обов'язковим. Дуже вже люблять викладачі ВНЗ, на відміну від укладачів ЄДІ, перевірити глибину знань абітурієнта.
Колпаков Олександр Миколайович, репетитор з математики Москва, Строгіно
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Тип уроку: Урок засвоєння та закріплення первинних знань
Мета уроку:
- Ознайомити учнів із поняттям коріння багаточлена, навчити знаходити їх. Удосконалити навички застосування схеми Горнера щодо розкладання багаточлена за ступенями та поділу багаточлена на двочлен.
- Навчитися знаходити коріння рівняння за допомогою схеми Горнера.
- Розвивати абстрактне мислення.
- Виховувати обчислювальну культуру.
- Розвиток міжпредметних зв'язків.
Хід уроку
1. Організаційний момент.
Повідомити тему уроку, сформулювати цілі.
2. Перевірка домашнього завдання.
3. Вивчення нового матеріалу.
Нехай F n (x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - многочлен щодо x ступеня n, де a 0 , a 1 ,...,a n-дані числа, причому a 0 не дорівнює 0. Якщо многочлен F n (x) розділити із залишком на двочлен x-a, то приватна (неповна приватна) є многочлен Q n-1 (x) ступеня n-1, залишок R є число, при цьому справедлива рівність F n (x) = (x-a) Q n-1 (x) + R.Багаточлен F n (x) ділиться націло на двочлен (x-a) лише у разі R=0.
Теорема Безу: Залишок R від розподілу многочлена F n (x) на двочлен (x-a) дорівнює значенню многочлена F n (x) при x = a, тобто. R = Pn(a).
Небагато історії. Теорема Безу, незважаючи на зовнішню простоту та очевидність, є однією з фундаментальних теоремтеорії багаточленів У цій теоремі алгебраїчні властивості багаточленів (які дозволяють працювати з багаточленами як з цілими числами) пов'язуються з їх функціональними властивостями(які дозволяють розглядати багаточлени як функції). Одним із способів розв'язання рівнянь вищих ступенів є спосіб розкладання на множники багаточлена, що стоїть у лівій частині рівняння. Обчислення коефіцієнтів багаточлена та залишку записується у вигляді таблиці, яка називається схемою Горнера.
Схема Горнера – це алгоритм поділу багаточленів, записаний для окремого випадку, коли частка дорівнює двочлену x–a.
Горнер Вільям Джордж (1786 – 1837), англійський математик. Основні дослідження належать до теорії алгебраїчних рівнянь. Розробив спосіб наближеного розв'язання рівнянь будь-якого ступеня. У 1819 р. запровадив важливий для алгебри спосіб поділу многочлена на двочлен х - а (схема Горнера).
Висновок загальної формулидля схеми Горнер.
Розділити із залишком многочлен f(x) на двочлен (x-c) означає знайти такий многочлен q(x) і таке число r, що f(x)=(x-c)q(x)+r
Запишемо цю рівність докладно:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n = (x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях:
x n: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 x n-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 x n-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x 0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Демонстрація схеми Горнера з прикладу.
Завдання 1.З допомогою схеми Горнера розділимо із залишком многочлен f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 на двочлен x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, де g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 залишок.
Розкладання многочлена за ступенями двочлена.
Використовуючи схему Горнера, розкладемо багаточлен f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 за ступенями двочлена (x+2).
В результаті повинні отримати розкладання f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2 ) 2 -2(x+2)+12
Схему Горнера часто використовують при вирішенні рівнянь третього, четвертого та вищих ступенів, коли зручно розкласти багаточлен на двочлен x-a. Число aназивають корінням багаточлена F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n , якщо при x=aзначення многочлена F n (x) дорівнює нулю: F n (a) = 0, тобто. якщо многочлен ділиться націло на двочлен x-a.
Наприклад, число 2 є коренем многочлена F3(x)=3x3-2x-20, оскільки F3(2)=0. це означає. Що розкладання цього многочлена на множники містить множник x-2.
F 3 (x) = 3x 3 -2x-20 = (x-2) (3x 2 +6x +10).
Будь-який багаточлен F n (x) ступеня n 1 може мати не більше nдійсних коренів.
Будь-який ціле коріннярівняння із цілими коефіцієнтами є дільником його вільного члена.
Якщо старший коефіцієнт рівняння дорівнює 1, всі раціональні коріння рівняння, якщо вони існують, цілі.
Закріплення дослідженого матеріалу.
Для закріплення нового матеріалу учням пропонується виконати номери з підручника 2.41 та 2.42 (стор. 65).
(2 учня вирішують біля дошки, інші, вирішивши, у зошити завдання звіряються з відповідями дошці).
Підбиття підсумків.
Зрозумівши структуру та принцип дії схеми Горнера, її можна використовувати і на уроках інформатики, коли розглядається питання про переведення цілих чисел із десяткової системи числення до двійкової та назад. В основі перекладу з однієї системи числення до іншої лежить наступна загальна теорема
Теорема.Для перекладу цілого числа Apз p-Ічної системи числення в систему числення з основою dнеобхідно Apпослідовно ділити із залишком на число d, записане в тій же p-їчної системи, доки отримане приватне стане рівним нулю. Залишки від поділу при цьому будуть d-ічними цифрами числа Adпочинаючи від молодшого розряду до старшого. Усі дії необхідно проводити в p-Ічної системи числення. Для людини це правило зручне лише при p= 10, тобто. при перекладі здесяткової системи. Що стосується комп'ютера, то йому, навпаки, "зручніше" проводити обчислення в двійковій системі. Тож перекладу “2 в 10” використовується послідовне розподіл на десять у двійковій системі, а “10 в 2” - складання ступенів десятки. Для оптимізації обчислень процедури "10 у 2" комп'ютер використовує економну обчислювальну схему Горнера.
Домашнє завдання. Пропонується виконати два завдання.
1-е. Використовуючи схему Горнера, розділити багаточлен f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на двочлен (x-3).
2-ге. Знайти цілі корені многочлена f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6.
Література
- Курош А.Г. "Курс вищої алгебри".
- Микільський С.М, Потапов М.К. та ін 10 клас "Алгебра та початку математичного аналізу".
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Слайд 3
Горнер Вільямc Джордж (1786-22.9.1837) - англійський математик. Народився у Брістолі. Навчався і працював там же, потім у школах Бата. Основні праці з алгебри. У 1819р. опублікував спосіб наближеного обчислення речових коренів багаточлена, який називається тепер способом Руффіні-Горнера (цей спосіб був відомий китайцям ще в XIII ст.) Іменем Горнера названо схему поділу багаточлена на двочлен х-а.
Слайд 4
СХЕМА ГІРНЕРА
Спосіб розподілу багаточлена n-йступеня на лінійний двочленах - а, заснований на тому, що коефіцієнти неповного приватного і залишок пов'язані з коефіцієнтами поділеного многочлена і формулами:
Слайд 5
Обчислення за схемою Горнера розміщують у таблиці:
Приклад 1. Розділити Неповне приватне х3-х2+3х - 13 і залишок дорівнює 42=f(-3).
Слайд 6
Основною перевагою цього методу є компактність запису та можливість швидкого поділубагаточлена на двочлен. По суті схема Горнера є іншою формою запису методу угруповання, хоча, на відміну від останнього, є абсолютно ненаглядною. Відповідь (розкладання на множники) тут виходить сама собою, і ми не бачимо самого процесу її отримання. Ми не займатимемося суворим обґрунтуванням схеми Горнера, а лише покажемо, як вона працює.
Слайд 7
Приклад2.
Доведемо, що многочлен Р(х)=х4-6х3+7х-392 ділиться на х-7,і знайдемо приватне від поділу. Рішення. Використовуючи схему Горнера, знайдемо Р(7): Звідси одержуємо Р(7)=0, тобто. залишок при розподілі багаточлена на х-7 дорівнює нулюі, отже, багаточлен Р(х) кратний (х-7). (х3+х2+7х+56).
Слайд 8
Розкласти на множники многочленів x3 – 5x2 – 2x + 16.
Цей многочлен має цілі коефіцієнти. Якщо ціле число є коренем цього многочлена, воно є дільником числа 16. Отже, якщо в даного багаточленає цілі коріння, це можуть бути лише числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Безпосередньою перевіркою переконуємось, що число 2 є коренем цього багаточлена, тобто x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) Q(x), де Q(x) – багаточлен другого ступеня
Слайд 9
Отримані числа 1, −3, −8 є коефіцієнтами багаточлена, що виходить при розподілі вихідного багаточлена на x – 2. Отже, результат розподілу: 1 · x2 + (–3)x + (–8) = x2 – 3x – 8. Ступінь многочлена, отриманого в результаті розподілу, завжди на 1 менше, ніж ступінь вихідного. Отже: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) (x2 - 3x - 8).
Схема Горнера - спосіб поділу багаточлена
$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$$
на біном $x-a$. Працювати доведеться з таблицею, перший рядок якої містить коефіцієнти заданого багаточлена. Першим елементом другого рядка буде число $a$, взяте з бінома $x-a$:
Після поділу многочлена n-ого ступеня на бином $x-a$, отримаємо многочлен, ступінь якого одиницю менше вихідного, тобто. дорівнює $n-1$. Безпосереднє застосування схеми Горнера найпростіше показати на прикладах.
Приклад №1
Розділити $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, використовуючи схему Горнера.
Складемо таблицю з двох рядків: у першому рядку запишемо коефіцієнти багаточлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, розташовані за зменшенням ступенів змінної $x$. Зауважте, що цей многочлен немає $x$ у першому ступені, тобто. коефіцієнт перед $x$ у першому ступені дорівнює 0. Так як ми ділимо на $x-1$, то у другому рядку запишемо одиницю:
Почнемо заповнювати порожні комірки у другому рядку. У другий осередок другого рядка запишемо число $5$, просто перенісши його з відповідного осередку першого рядка:
Наступну комірку заповнимо за таким принципом: $1\cdot 5+5=10$:
Аналогічно заповнимо і четвертий осередок другого рядка: $1\cdot 10+1=11$:
Для п'ятого осередку отримаємо: $1\cdot 11+0=11$:
І, нарешті, для останнього, шостого осередку, маємо: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Завдання вирішено, залишилося лише записати відповідь:
Як бачите, числа, розташовані в другому рядку (між одиницею і нулем), є коефіцієнти багаточлена, отриманого після розподілу $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Природно, оскільки ступінь вихідного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ дорівнювала чотирьом, то ступінь отриманого многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на одиницю менше, тобто. . дорівнює трьом. Останнє число в другому рядку (нуль) означає залишок від поділу багаточлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. У разі залишок дорівнює нулю, тобто. багаточлени діляться націло. Цей результат можна охарактеризувати так: значення многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ дорівнює нулю.
Можна сформулювати висновок і в такій формі: оскільки значення багаточлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ дорівнює нулю, то одиниця є коренем багаточлена $5x^4+5x^3+ x^2-11$.
Приклад №2
Розділити багаточлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ за схемою Горнера.
Відразу зауважимо, що вираз $x+3$ потрібно подати у формі $x-(-3)$. У схемі Горнера братиме участь саме $-3$. Оскільки ступінь вихідного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ дорівнює чотирьом, то результаті розподілу отримаємо многочлен третього ступеня:
Отриманий результат означає, що
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$
У цій ситуації залишок від поділу $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ дорівнює $4$. Або, що саме, значення многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ і $4$. До речі, це нескладно перевіряти ще раз безпосередньою підстановкою $x=-3$ в заданий многочлен:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Тобто. схему Горнера можна використовувати, якщо необхідно знайти значення багаточлена при заданому значеннізмінної. Якщо наша мета - знайти все коріння багаточлена, то схему Горнера можна застосовувати кілька разів поспіль, - доки ми не вичерпаємо все коріння, як розглянуто у прикладі №3.
Приклад №3
Знайти все цілочисленне коріння багаточлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, використовуючи схему Горнера.
Коефіцієнти аналізованого многочлена є цілі числа, а коефіцієнт перед старшим ступенемзмінної (тобто перед $x^6$) дорівнює одиниці. І тут цілочисленні коріння многочлена слід шукати серед дільників вільного члена, тобто. серед дільників числа 45. Для заданого багаточлена таким корінням можуть бути числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ та $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 $. Перевіримо, наприклад, число $1 $:
Як бачите, значення багаточлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ дорівнює $192$ (останнє число в другому рядку), а не $0 $, тому одиниця не є коренем цього багаточлена. Оскільки перевірка для одиниці закінчилася невдачею, перевіримо значення $x=-1$. Нову таблицюдля цього не складатимемо, а продовжимо використання табл. №1, дописавши до неї новий (третій) рядок. Другий рядок, в якому перевірялося значення $1$, виділимо червоним кольором і в подальших міркуваннях використовувати його не будемо.
Можна, звичайно, просто переписати таблицю наново, але при заповненні вручну це займе чимало часу. Тим більше, що чисел, перевірка яких закінчиться невдачею, може бути кілька, і щоразу записувати нову таблицю важко. При обчисленні "на папері" червоні рядки можна просто викреслювати.
Отже, значення многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ за $x=-1$ дорівнює нулю, тобто. число $-1$ є корінням цього багаточлена. Після поділу багаточлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ отримаємо багаточлен $x^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коефіцієнти якого взяті з третього рядка табл. №2 (див. приклад №1). Результат обчислень можна також подати у такій формі:
\begin(equation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45) \end(equation)
Продовжимо пошук цілих коренів. Тепер уже потрібно шукати коріння багаточлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Знову ж таки, цілісне коріння цього багаточлена шукає серед дільників його вільного члена - числа $45$. Спробуємо вкотре перевірити число $-1$. Нової таблиці складати не будемо, а продовжимо використання попередньої табл. №2, тобто. допишемо до неї ще один рядок:
Отже, число $-1$ є коренем багаточлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Цей результат можна записати так:
\begin(equation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(equation)
Враховуючи рівність (2), рівність (1) можна переписати у такій формі:
\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\end(aligned)\end(equation)
Тепер уже потрібно шукати коріння багаточлена $x^4-22x^2+24x+45$ - природно, серед дільників його вільного члена (числа $45$). Перевіримо ще раз число $-1$:
Число $-1$ є коренем багаточлена $x^4-22x^2+24x+45$. Цей результат можна записати так:
\begin(equation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(equation)
З урахуванням рівності (4), рівність (3) перепишемо у такій формі:
\begin(equation)\begin(aligned) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\end(aligned)\end(equation)
Тепер шукаємо коріння багаточлена $x^3-x^2-21x+45$. Перевіримо ще раз число $-1$:
Перевірка закінчилася невдачею. Виділимо шостий рядок червоним кольором і спробуємо перевірити інше число, наприклад, $3$:
У залишку нуль, тому число $ 3 $ - корінь багаточлена, що розглядається. Отже, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Тепер рівність (5) можна переписати так.