Як вказати проміжки зростання та зменшення функції. Проміжки зростання та спадання

Визначення зростаючої функції.

Функція y=f(x)зростає на інтервалі X, якщо для будь-яких і виконується нерівність. Іншими словами – більшого значенняаргумент відповідає більшого значення функції.

Визначення спадної функції.

Функція y=f(x)зменшується на інтервалі X, якщо для будь-яких і виконується нерівність . Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

ПРИМІТКА: якщо функція визначена і безперервна в кінцях інтервалу зростання або спадання (a; b), тобто при x=aі x=b, то ці точки включаються в проміжок зростання або спадання. Це не суперечить визначенням зростаючої та спадної функції на проміжку X.

Наприклад, з властивостей основних елементарних функцій ми знаємо, що y=sinxвизначена та безперервна для всіх дійсних значень аргументу. Тому з зростання функції синуса на інтервалі ми можемо стверджувати про зростання на відрізку .

Крапки екстремуму, екстремуми функції.

Точку називають точкою максимумуфункції y=f(x)якщо для всіх xз її околиці справедлива нерівність. Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.

Точку називають точкою мінімумуфункції y=f(x)якщо для всіх xз її околиці справедлива нерівність. Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.

Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.

Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, що відповідають точкам екстремуму, називають екстремумами функції.

Не плутайте екстремуми функції з найбільшим та найменшим значенням функції.

На першому малюнку найбільше значенняфункції на відрізку досягається в точці максимуму і дорівнює максимуму функції, а на другому малюнку - найбільше значення функції досягається в точці x=bяка не є точкою максимуму.

Достатні умови зростання та зменшення функції.

На підставі достатніх умов(Ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання і зменшення функції.

Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:

якщо похідна функції y=f(x)позитивна для будь-кого xз інтервалу X, то функція зростає на X;

якщо похідна функції y=f(x)негативна для будь-якого xз інтервалу X, то функція зменшується на X.

Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:

Розглянемо приклад знаходження проміжків зростання та зменшення функції для роз'яснення алгоритму.

приклад.

Знайти проміжки зростання та зменшення функції .

Рішення.

Першим кроком є знаходження обросту визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, .

Переходимо до знаходження похідної функції:

Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренемчисельника є x = 2, а знаменник звертається в нуль при x=0. Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі.

Екстремуми функції

Визначення 2

Точка $x_0$ називається точкою максимуму функції $f(x)$, якщо є така околиця даної точки, що всім $x$ з цієї околиця виконується нерівність $f(x)\le f(x_0)$.

Визначення 3

Точка $x_0$ називається точкою максимуму функції $f(x)$, якщо є така околиця даної точки, що всім $x$ з цієї околиця виконується нерівність $f(x)\ge f(x_0)$.

Поняття екстремуму функції тісно пов'язані з поняттям критичної точки функції. Введемо її визначення.

Визначення 4

$x_0$ називається критичною точкоюфункції $f(x)$, якщо:

1) $x_0$ - внутрішня точкагалузі визначення;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ або немає.

Для поняття екстремуму можна сформулювати теореми щодо достатніх і необхідних умовахйого існування.

Теорема 2

Достатня умова екстремуму

Нехай точка $ x_0 $ є критичною для функції $ y = f (x) $ і лежить в інтервалі $ (a, b) $. Нехай кожному інтервалі $\left(a,x_0\right)\ і\ (x_0,b)$ похідна $f"(x)$ існує і зберігає постійний знак. Тоді:

1) Якщо на інтервалі $(a,x_0)$ похідна $f"\left(x\right)>0$, а на інтервалі $(x_0,b)$ похідна $f"\left(x\right)

2) Якщо інтервалі $(a,x_0)$ похідна $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка мінімуму цієї функції.

3) Якщо і на інтервалі $(a,x_0)$, і на інтервалі $(x_0,b)$ похідна $f"\left(x\right) >0$ або похідна $f"\left(x\right)

Ця теорема проілюстрована малюнку 1.

Рисунок 1. Достатня умова існування екстремумів

Приклади екстремумів (рис. 2).

Рисунок 2. Приклади точок екстремумів

Правило дослідження функції на екстремум

2) Знайти похідну $f"(x)$;

7) Зробити висновки про наявність максимумів і мінімумів кожному проміжку, використовуючи теорему 2.

Зростання та зменшення функції

Введемо, для початку, визначення зростаючої та спадної функцій.

Визначення 5

Функція $y=f(x)$, визначена на проміжку $X$, називається зростаючою, якщо для будь-яких точок $x_1,x_2\in X$ при $x_1

Визначення 6

Функція $y=f(x)$, визначена на проміжку $X$, називається спадною, якщо для будь-яких точок $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.

Дослідження функції на зростання та спадання

Дослідити функції на зростання та зменшення можна за допомогою похідної.

Для того щоб дослідити функцію на проміжки зростання та спадання, необхідно зробити наступне:

1) Знайти область визначення функції $ f (x) $;

2) Знайти похідну $f"(x)$;

3) Знайти точки, у яких виконується рівність $f"\left(x\right)=0$;

4) Знайти точки, де $f"(x)$ немає;

5) Відзначити на координатній прямій усі знайдені точки та область визначення цієї функції;

6) Визначити знак похідної $f"(x)$ на кожному проміжку, що вийшов;

7) Зробити висновок: на проміжках, де $f"\left(x\right)0$ функція зростає.

Приклади завдань на дослідження функцій на зростання, спад та наявність точок екстремумів

Приклад 1

Дослідити функцію на зростання і спадання, і наявність точок максимумів і мінімумів: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Так як перші 6 пунктів збігаються, проведемо для початку їх.

1) Область визначення – все дійсні числа;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $;

\ \ \

4) $f"(x)$ існує у всіх точках області визначення;

5) Координатна пряма:

Малюнок 3.

6) Визначити знак похідної $f"(x)$ на кожному проміжку:

\ \ .

Достатні умови екстремуму функції.

Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-якою із трьох ознак екстремуму, звичайно, якщо функція задовольняє їхні умови. Найпоширенішим і найзручнішим є перший з них.

Перша достатня умова екстремуму.

Нехай функція y=f(x) диференційована в околиці точки, а в самій точці безперервна.

Іншими словами:

Алгоритм знаходження точок екстремуму за першою ознакою екстремуму функції.

Знаходимо область визначення функції.
Знаходимо похідну функції області визначення.
Визначаємо нулі чисельника, нулі знаменника похідної та точки області визначення, в яких похідна не існує (усі перераховані точки називають точками можливого екстремуму, проходячи через ці точки, похідна може змінювати свій знак).
Ці точки розбивають область визначення функції проміжки, у яких похідна зберігає знак. Визначаємо знаки похідної кожному з інтервалів (наприклад, обчислюючи значення похідної функції у будь-якій точці окремо взятого інтервалу).
Вибираємо точки, в яких функція безперервна і, проходячи через які, похідна змінює знак – вони є точками екстремуму.

Занадто багато слів, розглянемо краще кілька прикладів знаходження точок екстремуму та екстремумів функції за допомогою першої достатньої умови екстремуму функції.

приклад.

Знайти екстремуми функції.

Рішення.

Областю визначення функції є безліч дійсних чисел, крім x=2 .

Знаходимо похідну:

Нулями чисельника є точки x = -1 і x = 5 знаменник звертається в нуль при x = 2 . Зазначаємо ці точки на числовій осі

Визначаємо знаки похідної кожному інтервалі, при цьому обчислимо значення похідної у кожній з точок кожного інтервалу, наприклад, у точках x=-2, x=0, x=3 і x=6 .

Отже, на інтервалі похідна є позитивною (на малюнку ставимо знак плюс над цим інтервалом). Аналогічно

Тому над другим інтервалом ставимо мінус, над третім – мінус, над четвертим – плюс.

Залишилося вибрати точки, у яких функція безперервна та її похідна змінює знак. Це і є точки екстремуму.

У точці x=-1 функція безперервна і похідна змінює знак із плюса на мінус, отже, за першою ознакою екстремуму, x=-1 – точка максимуму, їй відповідає максимум функції .

У точці x=5 функція безперервна і похідна змінює знак з мінуса на плюс, отже, x=-1 – точка мінімуму, їй відповідає мінімум функції .

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ: перша достатня ознака екстремуму не вимагає диференційності функції у самій точці .

приклад.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції .

Рішення.

Областю визначення функції є безліч дійсних чисел. Саму функцію можна записати у вигляді:

Знайдемо похідну функції:

У точці x=0 похідна немає, оскільки значення односторонніх меж при прагненні аргументу до нуля не збігаються:

У цей час, вихідна функція є безперервною у точці x=0 (дивіться розділ дослідження функції на безперервність):

Знайдемо значення аргументу, при якому похідна звертається до нуля:

Зазначимо всі отримані точки на числовій прямій і визначимо похідний знак на кожному з інтервалів. Для цього обчислимо значення похідної в довільних точкахкожного інтервалу, наприклад, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тобто,

Таким чином, за першою ознакою екстремуму, точками мінімуму є , точками максимуму є .

Обчислюємо відповідні мінімуми функції

Обчислюємо відповідні максимуми функції

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

Друга ознака екстремуму функції.

Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .

Щоб визначити характер функції та говорити про її поведінку, необхідно знаходити проміжки зростання та спадання. Цей процес отримав назву дослідження функції та побудови графіка. Точка екстремуму використовується при знаходженні найбільшого та найменшого значення функції, тому що в них відбувається зростання або зменшення функції з інтервалу.

Ця стаття розкриває визначення, формулюємо достатню ознаку зростання та спадання на інтервалі та умову існування екстремуму. Це можна застосувати до вирішення прикладів і завдань. Слід повторити розділ диференціювання функцій, тому що при вирішенні необхідно використовувати знаходження похідної.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Функція y = f (x) зростатиме на інтервалі x , коли за будь-яких x 1 ∈ X і x 2 ∈ X , x 2 > x 1 нерівність f (x 2) > f (x 1) буде здійсненною. Інакше висловлюючись, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Визначення 2

Функція y = f (x) вважається спадною на інтервалі x , коли за будь-яких x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 рівність f (x 2) > f (x 1) вважається здійсненним. Інакше висловлюючись, більшого значення функції відповідає менше значення аргументу. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Примітка: Коли функція певна і безперервна в кінцях інтервалу зростання і спадання, тобто (a; b) , де х = а, х = b точки включені в проміжок зростання і спадання. Визначенню це суперечить, отже, має місце на проміжку x .

Основні властивості елементарних функційтипу y = sin x - визначеність і безперервність при дійсних значенняхаргументи. Звідси отримуємо, що зростання синуса відбувається на інтервалі - π 2; π 2, тоді зростання на відрізку має вигляд - π 2; π 2 .

Визначення 3

Крапка х 0 називається точкою максимумудля функції y = f (x) , коли для всіх значень x нерівність f (x 0) ≥ f (x) справедлива. Максимум функції– це значення функції у точці, причому позначається y m a x .

Точка х 0 називається точкою мінімуму функції y = f (x) , коли всім значень x нерівність f (x 0) ≤ f (x) є справедливим. Мінімум функції– це значення функції у точці, причому має позначення виду y m i n .

Околицями точки х 0 вважаються точки екстремуму,а значення функції, що відповідає точкам екстремуму. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Екстремуми функції з найбільшим і найменшим значенням функції. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Перший малюнок говорить про те, що необхідно знайти найбільше значення функції відрізка [ a ; b]. Воно знаходиться за допомогою точок максимуму і дорівнює максимальному значеннюфункції, а другий малюнок більше нагадує пошук точки максимуму при х = b .

Достатні умови зростання та зменшення функції

Щоб знайти максимуми та мінімуми функції, необхідно застосовувати ознаки екстремуму у разі, коли функція задовольняє цим умовам. Найчастіше використовуваним вважається перша ознака.

Перша достатня умова екстремуму

Визначення 4

Нехай задана функція y = f (x) , яка диференційована в околиці точки x 0 , причому має безперервність в заданій точці x 0 . Звідси отримуємо, що

коли f "(x) > 0 з x ∈ (x 0 - ε; x 0) і f "(x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
коли f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) тоді x 0 є точкою мінімуму.

Інакше кажучи, отримаємо їх умови встановлення знака:

коли функція безперервна в точці x 0 тоді має похідну з змінним знаком, тобто з + на - , Отже, точка називається максимумом;
коли функція безперервна в точці x 0 тоді має похідну з змінним знаком з - на + , значить, точка називається мінімумом.

Щоб правильно визначити точки максимуму та мінімуму функції, необхідно слідувати алгоритму їх знаходження:

знайти область визначення;
знайти похідну функції у цій галузі;
визначити нулі та точки, де функція не існує;
визначення знака похідної на інтервалах;
вибрати точки, де функція змінює знак.

Розглянемо алгоритм з прикладу рішення кількох прикладів перебування екстремумів функції.

Приклад 1

Знайти точки максимуму та мінімуму заданої функції y = 2 (x + 1) 2 x – 2 .

Рішення

Область визначення цієї функції – це дійсні числа крім х = 2 . Для початку знайдемо похідну функції та отримаємо:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 · x + 1 2 " · (x - 2) - (x + 1) 2 · (x - 2) "(x - 2) 2 = = 2 · 2 · (x + 1) · (x + 1) " · (x - 2) - (x + 1) 2 · 1 (x - 2) 2 = 2 · 2 · (x + 1) · (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Звідси бачимо, що нулі функції - це х = - 1, х = 5, х = 2, тобто кожну дужку необхідно прирівняти до нуля. Зазначимо на числовій осі та отримаємо:

Тепер визначимо знаки похідної кожного інтервалу. Необхідно вибрати точку, що входить в інтервал, підставити у вираз. Наприклад, точки х = - 2, х = 0, х = 3, х = 6.

Отримуємо, що

y "(-2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, отже, інтервал - ∞ ; - 1 має позитивну похідну.

y "(0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Оскільки другий інтервал вийшов меншим за нуль, значить, похідна на відрізку буде негативною. Третій із мінусом, четвертий із плюсом. Для визначення безперервності необхідно звернути увагу на похідний знак, якщо він змінюється, тоді це точка екстремуму.

Отримаємо, що у точці х = - 1 функція буде безперервна, отже похідна змінить знак з + на - . За першою ознакою маємо, що х = - 1 є точкою максимуму, отже отримуємо

y m a x = y (-1) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 · (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Точка х = 5 свідчить про те, що функція є безперервною, а похідна змінить знак з – на +. Отже, х=-1 є точкою мінімуму, причому її знаходження має вигляд

y m i n = y (5) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 · (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Графічне зображення

Відповідь: y m a x = y (-1) = 0, y m i n = y (5) = 24 .

Варто звернути увагу на те, що використання першої достатньої ознаки екстремуму не вимагає диференціювання функції з точкою x 0 цим і спрощує обчислення.

Приклад 2

Знайти точки максимуму та мінімуму функції y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Рішення.

Область визначення функції – це дійсні числа. Це можна записати у вигляді системи рівнянь виду:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Після чого необхідно знайти похідну:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 немає похідної, оскільки значення односторонніх меж різні. Отримаємо, що:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 · (0 - 0) 2 - 4 · (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 · (0 + 0) 2 - 4 · (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Звідси випливає, що функція безперервна в точці х = 0 тоді обчислюємо

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 · (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 · (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 = - 8

Необхідно провести обчислення для знаходження значення аргументу, коли похідна стає рівної нулю:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 · 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Усі отримані точки слід зазначити на прямий визначення знака кожного інтервалу. Тому необхідно обчислити похідну у довільних точках кожного інтервалу. Наприклад, у нас можна взяти точки зі значеннями x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6. Отримаємо, що

y "(-6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(-1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Зображення на прямий має вигляд

Отже, приходимо до того, що необхідно вдатися до першої ознаки екстремуму. Обчислимо та отримаємо, що

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тоді звідси точки максимуму мають значення x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Перейдемо до обчислення мінімумів:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Зробимо обчислення максимумів функції. Отримаємо, що

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графічне зображення

Відповідь:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Якщо задана функція f"(x0) = 0, тоді при її f""(x0)> 0 отримуємо, що x0 є точкою мінімуму, якщо f""(x0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Приклад 3

Знайти максимуми та мінімуми функції y = 8 x x + 1 .

Рішення

Для початку знаходимо область визначення. Отримуємо, що

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необхідно продиференціювати функцію, після чого отримаємо

y " = 8 x x + 1 " = 8 · x " · (x + 1) - x · (x + 1) "(x + 1) 2 = = 8 · 1 2 x · (x + 1) - x · 1 (x + 1) 2 = 4 · x + 1 - 2 x (x + 1) 2 · x = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x

При х = 1 похідна стає рівною нулю, отже, точка є можливим екстремумом. Для уточнення необхідно знайти другу похідну та обчислити значення за х = 1 . Отримуємо:

y "" = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x " = = 4 · (- x + 1) " · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 · x "(x + 1) 4 · x = = 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 " · x + (x + 1) 2 · x "(x + 1) 4 · x = = 4 · - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 · x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x = = 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y "" (1) = 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Отже, використавши 2 достатню умову екстремуму, отримуємо, що х = 1 є точкою максимуму. Інакше запис має вигляд ym a x = y(1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Графічне зображення

Відповідь: y m a x = y(1) = 4..

Визначення 5

Функція y = f(x) має її похідну до n-го порядку в околиці ε заданої точки x 0 і похідну до n + 1 порядку в точці x 0 . Тоді f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x0) = 0 .

Звідси випливає, що коли n є парним числом, то x 0 вважається точкою перегину, коли n є непарним числом, то x 0 точка екстремуму, причому f(n + 1) (x 0) > 0 тоді x 0 є точкою мінімуму, f(n+1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Приклад 4

Знайти точки максимуму та мінімуму функції y y = 1 16 (x + 1) 3 (x – 3) 4 .

Рішення

Вихідна функція – ціла раціональна, звідси випливає, що область визначення – всі дійсні числа. Потрібно продиференціювати функцію. Отримаємо, що

y" = 1 16 x + 1 3 "(x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ця похідна звернеться в нуль при x 1 = - 1 x 2 = 5 7 x 3 = 3 . Тобто, точки можуть бути точками можливого екстремуму. Необхідно застосувати третю достатню умову екстремуму. Знаходження другої похідної дозволяє точно визначити наявність максимуму і мінімуму функції. Обчислення другої похідної проводиться у точках її можливого екстремуму. Отримуємо, що

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (-1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Значить, що x 2 = 57 є точкою максимуму. Застосувавши 3 достатню ознаку, отримуємо, що за n = 1 і f (n + 1) 5 7< 0 .

Необхідно визначити характер точок x 1 = - 1 x 3 = 3 . Для цього необхідно знайти третю похідну, обчислити значення цих точках. Отримуємо, що

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Отже, x 1 = - 1 є точкою перегину функції, оскільки за n = 2 і f (n + 1) (- 1) ≠ 0 . Необхідно дослідити точку x3=3. Для цього знаходимо 4 похідну та робимо обчислення в цій точці:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96> 0

З вище вирішеного робимо висновок, що x3 = 3 є точкою мінімуму функції.

Графічне зображення

Відповідь: x 2 = 5 7 є точкою максимуму, x 3 = 3 – точкою мінімуму заданої функції.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Монотонність

Дуже важливим властивістюФункцією є її монотонність. Знаючи цю властивість різних спеціальних функцій, можна визначити поведінку різних фізичних, економічних, соціальних та багатьох інших процесів.

Виділяють наступні видимонотонності функцій:

1) функція зростаєякщо на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох точок і цього інтервалу таких, що виконано, що . Тобто. більшого значення аргументу відповідає більше значення функції;

2) функція зменшуєтьсяякщо на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох точок і цього інтервалу таких, що виконано, що . Тобто. більшого значення аргументу відповідає менше значення функції;

3) функція невпадаєякщо на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох точок і цього інтервалу таких, що виконано, що ;

4) функція не зростаєякщо на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох точок і цього інтервалу таких, що виконано, що .

2. Для перших двох випадків ще застосовують термін "сувора монотонність".

3. Два останніх випадківє специфічними і зазвичай задаються у вигляді композиції з декількох функцій.

4. Окремо зазначимо, що розглядати зростання та спадання графіка функції слід саме ліворуч-право і ніяк інакше.

2. Парність/непарність.

Функція називається непарноюякщо при зміні знака аргументу, вона змінює своє значення на протилежне. Формульний запис цього виглядає так . Це означає, що після підстановки на місце всіх іксів значень «мінус ікс», функція змінить свій знак. Графік такої функції симетричний щодо початку координат.

Прикладами непарних функцій є та інших.

Наприклад, графік дійсно має симетричність щодо початку координат:

Функція називається парноюЯкщо зміна символу аргументу, вона не змінює значення. Формульний запис цього виглядає так. Це означає, що після підстановки на місце всіх іксів значень «мінус ікс», функція в результаті не зміниться. Графік такої функції симетричний щодо осі.

Прикладами парних функцій є та інших.

Наприклад, покажемо симетричність графіка щодо осі:

Якщо функція не відноситься до жодного з зазначених видів, то її називають ні парною ні непарною або функцією загального вигляду . Такі функції не мають симетрії.

Такою функцією, наприклад, є нещодавно розглянута нами лінійна функціяз графіком:

3. Особливою властивістюфункцій є періодичність.

Справа в тому, що періодичними функціями, які розглядаються у стандартній шкільній програмі, є лише тригонометричні функції. Ми вже детально про них говорили щодо відповідної теми.

Періодична функція– це функція, яка не змінює своїх значень при додаванні до аргументу певного постійного ненульового числа.

Таке мінімальне число називають періодом функціїі позначають літерою.

Формульний запис цього виглядає в такий спосіб: .

Подивимося цю властивість з прикладу графіка синуса:

Згадаємо, що періодом функцій і є , а періодом і – .

Як ми вже знаємо, для тригонометричних функційзі складним аргументомможливо нестандартний період. Йдетьсяпро функції виду:

У них період дорівнює. І про функції:

У них період дорівнює.

Як бачимо, для обчислення нового періоду стандартний період ділиться на множник при аргументі. Від інших видозмін функції він не залежить.

Обмеженість.

функцію y=f(x) називають обмеженою знизу на множині Х⊂D(f), якщо існує таке число а, що для будь-яких хХХ виконується нерівність f(x)< a.

функцію y=f(x) називають обмеженою зверху на множині Х⊂D(f), якщо існує таке число а, що для будь-яких хХХ виконується нерівність f(x)< a.

Якщо проміжок Х не вказується, то вважають, що функція обмежена по всій області визначення. Функція обмежена і згори, і знизу називається обмеженою.

Обмеженість функції легко читається за графіком. Можна провести деяку пряму у=а, і якщо функція вища за цю пряму, то обмеженість знизу.

Якщо нижче, відповідно зверху. Нижче наведено графік обмеженої знизу функції. Графік обмеженої функції, хлопці, спробуйте малювати самі.

Тема: Властивості функцій: проміжки зростання та спадання; найбільше та найменше значення; точки екстремуму (локального максимуму та мінімуму), опуклість функції.

Проміжки зростання та спадання.

На підставі достатніх умов (ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання та зменшення функції.

Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:

· якщо похідна функції y=f(x)позитивна для будь-кого xз інтервалу X, то функція зростає на X;

· якщо похідна функції y=f(x)негативна для будь-якого xз інтервалу X, то функція зменшується на X.

Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:

· Визначити область визначення функції;

· Визначити похідну функції;

· Вирішити нерівності та на області визначення;