Soruların cevaplarını hatırlayalım 1. Geometrik bir şeklin alan kavramını formüle edin 2. Alanların temel özelliklerini formüle edin geometrik şekiller 3. Dikdörtgenin ve paralelkenarın alanını nasıl hesaplayabilirsiniz?
Geometrik bir şeklin alanı Geometrik bir şeklin alanı, belirli bir şeklin boyutunu karakterize eden bir miktardır.
Geometrik şekillerin alanlarının temel özellikleri 1. Her düz geometrik şeklin bir alanı vardır. 2. Bu alan tek bölgedir. 3. Herhangi bir geometrik şeklin alanı ifade edilir pozitif sayı. 4. Bir kenarı bire eşit olan karenin alanı bire eşittir. 5. Bir şeklin alanı, bölündüğü parçaların alanlarının toplamına eşittir.
Dikdörtgenin alanı Bir dikdörtgenin alanı, S = a · olarak iki komşu kenarının çarpımına eşittir.
Paralelkenarın alanı 1. Bir paralelkenarın alanı, kenarının çarpımına ve bu tarafa indirilen yüksekliğe eşittir a S = a · h h
Paralelkenarın alanı 2. Bir paralelkenarın alanı, iki bitişik kenarın çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir a'da A B C D S= a · b · sin A
Üçgenin alanı Teoremi Bir üçgenin alanı, kenarının ve bu kenara indirilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir A B C D S= ½ AC · VD
A B D C K S(ABC)= ½ S(ABDS)=1/2 AD · VC teoreminin kanıtı
Teoremden elde edilen sonuçlar Aşağıdaki teoremden elde edilen sonuçları kendiniz kanıtlamaya çalışın:
Sonuç 1 Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir A B C S= ½ BC AC
Sonuç 2 Alanı geniş üçgen herhangi bir kenarının bu tarafa indirilen yüksekliğinin çarpımına eşittir A B CD
Sonuç 3 Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. A B C S= ½ AB · AC · sin A
Sonuç 4 Alanı eşkenar üçgen formülle hesaplanır: burada a üçgenin kenarıdır
Öncelikle kolay problemleri çözün: 1. Tabanı 16 cm ve yüksekliği 20 cm olan bir üçgenin alanını bulun. 2. Kenarı 6 cm olan bir eşkenar üçgenin alanını bulun. kenarları 9 cm ve 12 cm olan bir dik üçgenin.
Bu kolay bulmacalar için açıklayıcı çizimler
Şimdi daha zor problemleri çözün 1. Bir ikizkenar üçgende kenar 13 cm ve taban 10 cm'dir. Üçgenin alanını bulun. 2. Kenarı a olan bir eşkenar üçgen veriliyor. Belirli bir üçgenin orta çizgilerinden oluşan bir üçgenin alanını bulun. 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm, bacaklarından biri 8 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını bulun.
Şimdi en çok karar ver zor görevler 1. Taraf Bir ikizkenar üçgenin açısı a'ya ve tabandaki açı eşittir. Üçgenin alanını bulun. 2. Eşkenar üçgenin yüksekliği h'dir. Alanını hesaplayın. 3.B dik üçgen hipotenüs c'ye eşittir ve aşağıdakilerden biri keskin köşeler eşit. Üçgenin alanını bulun.
Kolay problemlerin yanıtları cm cm cm 2
Daha zor problemlerin yanıtları cm cm 2
En zor soruların yanıtları Sorunların yanıtları: 1. ½ a 2 günah
Bu ilginç! Geometrik şekillerin alanlarının belirlenmesi en eski yöntemlerden biridir. pratik problemler. Doğru yaklaşımçözümleri hemen bulunamadı. Alanları hesaplamanın en basit ve en erişilebilir yollarından biri Öklid tarafından keşfedildi. Alanları hesaplarken bölme yöntemi adı verilen basit bir teknik kullandı.
Örneğin kare, dikdörtgen ve paralelkenarın alanının nasıl hesaplanacağını zaten biliyoruz ancak alanı hesaplamamız gerekiyor keyfi üçgen. Aşağıdaki algoritmayı uygulayalım:
Üçgenin kenarlarından birinde, bu kenarın ortası olan bir noktayı işaretleyelim. 2. Bu noktadan geçen üçgenin kenarlarına paralel düz bir çizgi çizin. 3. Düz bir çizgi bu üçgeni küçük bir üçgene ve bir yamuğa böler. 4. Paralelkenar elde etmek için küçük üçgeni yamuğa göre yeniden düzenleyin. Orijinal üçgen ve ortaya çıkan paralelkenarın eşdeğer şekiller olduğunu ve dolayısıyla boyutlarının eşit olduğunu biliyoruz. eşit boyutlu rakamlar - bunlar şu rakamlardır: eşit alanlar
. Bu, orijinal üçgenin alanının ortaya çıkan paralelkenarın alanına eşit olduğu anlamına gelir.
Paralelkenarın alanı, tabanının ve yüksekliğinin çarpımına eşittir ve orijinal üçgenin yüksekliği, yapıya göre paralelkenarın yüksekliğinin 2 katıdır. Bu, bir üçgenin alanının tabanının ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşit olduğu anlamına gelir! Ve sonuç olarak... Umarım bu bilgiler bu konuyu iyi anlamanıza yardımcı olur ve bu nedenle deneme çalışması
sadece "5"! İlginiz için teşekkür ederiz! Teorem
Kanıt çok basit. Bu üçgen ABC(Şekil 1.15) hadi bunu bir paralelkenar haline getirelim ABDC. Üçgenler ABC Ve DCBÜç tarafı eşit olduğundan alanları da eşittir. Yani üçgenin alanı ABC paralelkenarın alanının yarısına eşit ABDC, yani
Ama burada ortaya çıkıyor sonraki soru: Herhangi bir üçgenin tabanının ve yüksekliğinin mümkün olan üç yarı çarpımı neden aynıdır? Ancak bunu ortak bir dar açıya sahip dikdörtgenlerin benzerliğinden kanıtlamak kolaydır. Bir üçgen düşünün ABC(Şekil 1.16):
Ve bu nedenle
Ancak, okul ders kitapları Bu böyle yapılmaz. Aksine üç yarı ürünün eşitliği, tüm bu yarı ürünlerin üçgenin alanını ifade etmesi esasına göre kurulur. Böylece tek bir işlevin varlığından dolaylı olarak yararlanılır. Ancak işte bir örnek göstermek için uygun ve öğretici bir fırsat geliyor matematiksel modelleme. Aslında alan kavramının arkasında fiziksel gerçeklik ancak üç yarı çarpımın eşitliğinin doğrudan doğrulanması, bu kavramın matematik diline çevrilmesindeki kaliteyi gösterir.
Yukarıdaki üçgen alan teoremini kullanarak iki üçgenin alanlarını karşılaştırmak genellikle uygundur. Aşağıda teoremin bazı açık fakat önemli sonuçlarını sunuyoruz.
Sonuç 1. Bir üçgenin tepe noktası tabanına paralel bir doğru boyunca hareket ettirilirse alanı değişmez.
Şek. 1.17 üçgen ABC Ve ABD sahip olmak ortak zemin AB Ve eşit yükseklik, bu tabana indirildi çünkü düz A köşeleri içeren İLE Ve D tabana paralel AB ve dolayısıyla bu üçgenlerin alanları eşittir.
Sonuç 1 aşağıdaki gibi yeniden formüle edilebilir.
Sonuç 1?. Bir bölüm verilsin AB. Birçok puan Möyle ki üçgenin alanı AMV eşit verilen değer S, iki düz çizgi var, segmente paralel AB ve ondan uzakta bulunanlar (Şekil 1.18)
Sonuç 2. Belirli bir açıya bitişik bir üçgenin kenarlarından biri artırılırsa k kez, o zaman alanı da artacaktır k bir kere.
Şek. 1.19 üçgenler ABC Ve ABD ortak bir yüksekliğe sahip olmak BH dolayısıyla alanlarının oranı bazların oranına eşittir
Sonuç 2'den önemli özel durumlar takip edilmektedir:
1. Medyan üçgeni iki küçük parçaya böler.
2. Kenarları arasına alınmış bir üçgenin açıortayı A Ve B, alanları şu şekilde ilişkili olan iki üçgene böler: A : B.
Sonuç 3. İki üçgen varsa ortak açı, bu durumda alanları bu açıyı çevreleyen kenarların çarpımı olarak ilişkilidir.
Bu şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır (Şekil 1.19)
Özellikle aşağıdaki ifade geçerlidir:
İki üçgen benzerse ve bunlardan birinin kenarı eşitse k diğerinin karşılık gelen kenarlarından kat daha büyükse alanı k 2 kez daha fazla alan ikinci.
Heron'un üçgenin alanı formülünü aşağıdaki iki yolla türetiyoruz. İlkinde kosinüs teoremini kullanıyoruz:
burada a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır, g ise açıdır, karşı tarafİle.
(1.3)’ten buluyoruz.
Bunu fark etmek
üçgenin yarı çevresi nerede, anlıyoruz.
“Pisagor Teoreminin Kanıtı” - Kanıt. Teoremin önemi, geometri teoremlerinin çoğunun ondan veya onun yardımıyla çıkarılabileceğidir. En basit kanıt. Pisagor teoremi en çok kullanılanlardan biridir. önemli teoremler geometri. Öklid'in kanıtı. Teoremin ifadesi. Ve şimdi Pisagor teoremi, uzak çağında olduğu gibi doğrudur.
“Vektörler üzerindeki eylemler” - Geometri. Üçgen kuralı. Vektör ekleme. Vektörler. Yeni materyal öğrenme konusunda bir ders. Vektörlerin çıkarılması. Vektörleri toplama ve çıkarma kurallarını öğrenmek. Konu: "Vektörler". Paralelkenar kuralı. Vektör ekleme. Bir vektör, sınır noktalarından hangisinin başlangıç, hangisinin son olarak kabul edildiğinin belirtildiği bir segmenttir.
"Kar taneleri şekli" - Göksel geometri. Altıgen bir prizma şeklini alarak toz ve su moleküllerinden oluşan bir top büyür. Kar tanelerinin boyutu, şekli ve deseni sıcaklık ve neme bağlıdır. Amaçlar ve hedefler. Bir kar kristalinin iç yapısı onun özelliklerini belirler. dış görünüş. Kar tanesi şekillerinin dış koşullara bağımlılığı. 9 sınıfa ayrılmış 48 çeşit kar kristali vardır.
“Pi Teorisi” - Evrenin faz yarıçapı. Hangi deneysel gerçekler Teoriyi çürütebilir? Zaman okunun tek yönü vardır. Faz hacimleri. Nedensellik ilkesinin ihlali. Etkileşimlerin sonsuz yayılma hızı. K ilkesinin uygulanması ( özel durum). Vücudun faz ve metrik hacimleri.
“Üçgenin alanı” - Teorem. Bir üçgenin alanı. AC temeldir. Bir üçgenin alanı, taban ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. BC tabanıdır. Bir dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısına eşittir. AN1 - yükseklik. İki üçgenin yükseklikleri eşitse alanları tabanları olarak ilişkilidir.
“Müzikte Geometri” - Müzik, ruhun gizemli aritmetiğidir. Müzik farkına bile varmadan hesap yapar. Gottfird Leibniz. Matematik ve Müzik Topluluğu. Maurice Cornelis Escher. Müzik quadriviumun bir disiplinidir. Müzikte geometri. Pisagor'un yansımaları. Monokor. Johann Bach. Farklı yerlerden çalınabilen tek telli bir çalgı.
Konuda toplam 42 sunum bulunmaktadır.
1) Geometrik bir şeklin alan kavramını formüle edin. 1) Geometrik bir şeklin alan kavramını formüle edin. 2) Geometrik şekillerin alanlarının temel özelliklerini formüle eder. 3) Bir dikdörtgenin ve paralelkenarın alanını nasıl hesaplayabilirsiniz?
- Her düz geometrik şeklin bir alanı vardır. - Her düz geometrik şeklin bir alanı vardır. - Bu meydan tek meydandır. - Herhangi bir geometrik şeklin alanı pozitif sayı olarak ifade edilir. - Bir kenarı bire eşit olan karenin alanı bire eşittir. - Bir şeklin alanı, bölündüğü parçaların alanlarının toplamına eşittir.
1. Tabanı 16 cm olan üçgenin alanını bulun, 1. Tabanı 16 cm olan ve bu tabanın yüksekliği 20 cm olan üçgenin alanını bulun. bir kenarı 6 cm olan eşkenar üçgen 3. Bacakları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin alanını bulunuz.
1. Bir ikizkenar üçgenin kenarı 13 cm, tabanı 10 cm'dir. Üçgenin alanını bulun. 1. Bir ikizkenar üçgenin kenarı 13 cm, tabanı 10 cm'dir. Üçgenin alanını bulun. 2. Kenarı a olan bir eşkenar üçgen veriliyor. Belirli bir üçgenin orta çizgilerinden oluşan bir üçgenin alanını bulun. 3. Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm, kenarlarından biri 8 cm'dir. Bu dik üçgenin alanını bulun.
1. İkizkenar üçgenin yan tarafı a'ya, tabandaki açı ise 'ye eşittir. Üçgenin alanını bulun. 1. İkizkenar üçgenin yan tarafı a'ya, tabandaki açı ise 'ye eşittir. Üçgenin alanını bulun. 2. Eşkenar üçgenin yüksekliği h'dir. Alanını hesaplayın. 3. Bir dik üçgende hipotenüs c'ye ve dar açılardan biri 'ye eşittir. Üçgenin alanını bulun.
Geometrik şekillerin alanlarının belirlenmesi en eski pratik problemlerden biridir.
Geometrik şekillerin alanlarının belirlenmesi en eski pratik problemlerden biridir.
Bunları çözmek için doğru yaklaşım hemen bulunamadı.
Alanları hesaplamanın en basit ve en erişilebilir yollarından biri Öklid tarafından keşfedildi. Alanları hesaplarken bölme yöntemi adı verilen basit bir teknik kullandı.
Örneğin, bir karenin, dikdörtgenin ve paralelkenarın alanının nasıl hesaplanacağını zaten biliyoruz, ancak rastgele bir üçgenin alanını hesaplamamız gerekiyor. Aşağıdaki algoritmayı uygulayalım: Örneğin, bir karenin, dikdörtgenin ve paralelkenarın alanını nasıl hesaplayacağımızı zaten biliyoruz, ancak rastgele bir üçgenin alanını hesaplamamız gerekiyor. Aşağıdaki algoritmayı uygulayalım:
-Üçgenin kenarlarından birinde, bu kenarın ortası olan bir nokta işaretleyelim. -Üçgenin kenarlarından birinde, bu kenarın ortası olan bir nokta işaretleyelim. -Bu noktadan bu üçgenin kenarlarına paralel bir çizgi çizin. -Düz bir çizgi bu üçgeni küçük bir üçgene ve bir yamuğa böler. -Paralelkenar elde etmek için küçük üçgeni yamuğa göre yeniden düzenleyin.