Bir fonksiyonun ekstremumu nedir ve bir ekstremum için gerekli koşul nedir?
Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.
Önkoşul Bir fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstrem) değerleri şu şekildedir: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır ya da sonsuzdur ya da yoktur.
Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. X = a noktasındaki türev sıfıra, sonsuza gidebilir veya fonksiyon bu noktada bir ekstremuma sahip olmadan var olmayabilir.
Bir fonksiyonun ekstremumu (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?
İlk koşul:
Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: maksimum
Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.
Bunun yerine ikincisini kullanabilirsiniz yeterli koşul fonksiyonun ekstremumu:
x = a noktasında birinci türev f?(x) sıfır olsun; f??(a) ikinci türevi negatifse, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında maksimumu vardır, pozitifse minimumu vardır.
Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?
Bu, fonksiyonun bir uç noktaya (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon argümanının değeridir. Onu bulmak için ihtiyacın var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve bunu sıfıra eşitleyerek, denklemi çöz f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin mevcut olmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremum olabilecek argümanın değerleridir. Bakılarak kolaylıkla tespit edilebilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Ox ekseni) kesiştiği ve grafiğin süreksizliklere maruz kaldığı argümanın değerleriyle ilgileniyoruz.
Örneğin, bulalım bir parabolün ekstremumu.
Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Fonksiyonun türevi: y?(x) = 6x + 2
Denklemi çözün: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
İÇİNDE bu durumda kritik nokta x0=-1/3'tür. Fonksiyonun sahip olduğu bu argüman değeridir. ekstremum. Ona bulmak işlevin yerine “x” yerine ifadede bulunan sayıyı yazın:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl belirlenir? en büyük ve en küçük değerleri?
Türevin işareti x0 kritik noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse x0 minimum puan; işaret değişmezse, x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.
Ele alınan örnek için:
Hadi alalım keyfi değer kritik noktanın solundaki argüman: x = -1
x = -1'de türevin değeri y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 olacaktır (yani işareti “eksi”).
Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1
x = 1'de türevin değeri y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 olacaktır (yani işareti “artı”dır).
Gördüğünüz gibi kritik noktadan geçerken türevin işareti eksiden artıya değişti. Bu, x0 kritik değerinde minimum bir noktaya sahip olduğumuz anlamına gelir.
En büyük ve en küçük değer işlevler aralıkta(bir segment üzerinde) aynı prosedür kullanılarak bulunur, ancak belki de hepsinin olmadığı gerçeği dikkate alınır. kritik noktalar belirtilen aralıkta yer alacaktır. Aralığın dışındaki kritik noktalar değerlendirme dışı bırakılmalıdır. Aralığın içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın ya maksimumu ya da minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.
Örneğin fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
aralıklarla:
Yani fonksiyonun türevi
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
[-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (aralığa dahil değildir)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (aralığa dahil değildir)
Fonksiyonun değerlerini şurada buluyoruz: kritik değerler argüman:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:
x = -4,88, y = 5,398,
ve en küçüğü - x = 4,88'de:
x = 4,88, y = -5,398.
[-6; -3] tek bir kritik noktamız var: x = -4,88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'e eşittir.
Aralığın sonunda fonksiyonun değerini bulun:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz
y = 5,398, x = -4,88'de
en küçük değer -
x = -3'te y = 1,077
Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey taraflar nasıl belirlenir?
Y = f(x) doğrusundaki tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, onu sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevin sıfır olduğu tüm x değerlerini test etmeniz gerekir, sonsuzdur veya yoktur. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Eğer değişmezse bükülme olmaz.
f denkleminin kökleri? (x) = 0, fonksiyonun ve ikinci türevinin olası süreksizlik noktalarının yanı sıra, fonksiyonun tanım bölgesini bir dizi aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işaretiyle belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu yukarıya doğru içbükeydir, negatifse aşağıya doğru içbükeydir.
İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu nasıl bulabilirim?
Spesifikasyon tanım kümesinde türevlenebilir f(x,y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün
fх? (x,y) = 0, yani? (x,y) = 0
2) her kritik nokta P0(a;b) için farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın
tüm (x;y) noktaları için P0'a yeterince yakın. Fark pozitif kalırsa, P0 noktasında minimumumuz olur, negatifse maksimumumuz olur. Eğer fark işaretini korumuyorsa P0 noktasında ekstremum yoktur.
Fonksiyonun ekstremumları benzer şekilde belirlenir. Daha argümanlar.
"Sonsuza Kadar Shrek" adlı çizgi film ne hakkındadır?
Çizgi Film: “Shrek Forever After” Yayınlanma Yılı: 2010 İlk Gösterim (Rusya Federasyonu): 20 Mayıs 2010 Ülke: ABD Yönetmen: Michael Pitchel Senaryo: Josh Klausner, Darren Lemke Tür: aile komedisi, fantastik, macera Resmi web sitesi: www.shrekforeverafter .com Katır arsası
Regl döneminde kan bağışlamak mümkün mü?
Doktorlar regl döneminde kan bağışı yapılmasını önermiyor çünkü... kan kaybı, önemli miktarlarda olmasa da, hemoglobin seviyelerinde bir azalma ve kadının refahında bir bozulma ile doludur. Kan bağışı işlemi sırasında sağlığınızdaki durum kanama oluşana kadar kötüleşebilir. Bu nedenle kadınların regl döneminde kan bağışından kaçınması gerekmektedir. Ve zaten tamamlandıktan sonraki 5. günde
Zeminleri yıkarken kaç kcal/saat tüketilir?
Türler fiziksel aktivite Enerji tüketimi, kcal/saat Yemek pişirme 80 Giyinme 30 Araba kullanma 50 Toz alma 80 Yemek yeme 30 Bahçe işleri 135 Ütü yapma 45 Yatak yapma 130 Alışveriş 80 Hareketsiz çalışma 75 Odun kesme 300 Yerleri yıkama 130 Seks 100-150 Düşük yoğunluklu aerobik dans
"Dolandırıcı" kelimesi ne anlama geliyor?
Dolandırıcı, küçük hırsızlıklarla uğraşan bir hırsız veya dolandırıcılık oyunlarına yatkın kurnaz bir kişidir. Bu tanım şu şekilde doğrulanmıştır: etimolojik sözlük Krylov, buna göre "dolandırıcı" kelimesi &la fiiliyle ilgili "zhal" (hırsız, dolandırıcı) kelimesinden oluşmuştur.
Strugatsky kardeşlerin son yayınlanan öyküsünün adı nedir?
Kısa bir hikaye Arkady ve Boris Strugatsky'nin "Siklotasyon Sorunu Üzerine" ilk olarak Nisan 2008'de "Noon. XXI Century" adlı kurgu antolojisinde (Boris Strugatsky'nin editörlüğünde yayınlanan "Around the World" dergisine ek) yayınlandı. Yayın, Boris Strugatsky'nin 75. yıldönümüne denk gelecek şekilde zamanlandı.
Work And Travel USA programı katılımcılarının hikayelerini nerede okuyabilirsiniz?
Çalışmak ve Travel USA (ABD'de çalışın ve seyahat edin) - popüler program öğrenci değişimi Buna göre yazı Amerika'da yasal olarak hizmet sektöründe çalışarak ve seyahat ederek geçirebilirsiniz. Programın tarihçesi Work & Travel, hükümetlerarası değişim programı Culture Exchange Pro'ya dahildir.
Kulak. Mutfak ve tarihi arka plan İki buçuk yüzyıldan fazla bir süredir “ukha” kelimesi çorbaları veya taze balık kaynatmalarını belirtmek için kullanılmıştır. Ancak bu kelimenin daha geniş yorumlandığı bir dönem vardı. Bu çorba anlamına geliyordu - sadece balık değil, aynı zamanda et, bezelye ve hatta tatlı. yani tarihi belge — «
Bilgi ve işe alım portalları Superjob.ru - Superjob.ru işe alım portalı üzerinde faaliyet göstermektedir Rusya pazarı 2000 yılından bu yana çevrimiçi işe alım, iş ve personel arama sunan kaynaklar arasında liderdir. Her gün 80.000'den fazla uzmanın özgeçmişi ve 10.000'den fazla boş pozisyon sitenin veritabanına ekleniyor.
Motivasyon nedir
Motivasyonun tanımı Motivasyon (Latince moveo'dan - hareket ediyorum) - eyleme geçme teşviki; insan davranışını kontrol eden, yönünü, organizasyonunu, faaliyetini ve istikrarını belirleyen dinamik bir fizyolojik ve psikolojik süreç; Bir kişinin ihtiyaçlarını çalışarak karşılama yeteneği. Motivac
Bob Dylan kimdir?
Bob Dylan (İngilizce Bob Dylan, gerçek adı - Robert Allen Zimmerman İngilizce. Robert Allen Zimmerman; 24 Mayıs 1941 doğumlu), Rolling Stone dergisi anketine göre ikinci olan Amerikalı bir şarkı yazarıdır (
İç mekan bitkileri nasıl taşınır
Bahçıvan, iç mekan bitkilerini satın aldıktan sonra, satın alınan egzotik çiçeklerin zarar görmeden nasıl teslim edileceği göreviyle karşı karşıya kalır. İç mekan bitkilerinin paketlenmesi ve taşınmasıyla ilgili temel kuralların bilgisi bu sorunun çözülmesine yardımcı olacaktır. Bitkilerin taşınması veya nakliyesi için paketlenmesi gerekir. Bitkiler ne kadar kısa mesafeye taşınırsa taşınsın zarar görebilir, kuruyabilir ve kışın
Bir segment üzerinde bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerinin aranması süreci, helikopterde bir nesnenin (bir fonksiyonun grafiğinin) etrafında büyüleyici bir uçuşu, uzun menzilli bir topla belirli noktalara ateş edilmesini ve çok fazla seçim yapılmasını anımsatır. Kontrol atışları için bu noktalardan özel noktalar. Noktalar belirli bir şekilde ve buna göre seçilir. belirli kurallar. Hangi kurallara göre? Bunun hakkında daha fazla konuşacağız.
Eğer fonksiyon sen = F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] , ardından bu segmente ulaşır en az Ve en yüksek değerler . Bu şu durumlarda gerçekleşebilir: ekstrem noktalar veya segmentin sonlarında. Bu nedenle bulmak için en az Ve fonksiyonun en büyük değerleri , aralıkta sürekli [ A, B] , değerlerini tümünde hesaplamanız gerekir kritik noktalar ve segmentin uçlarında, ardından onlardan en küçüğünü ve en büyüğünü seçin.
Örneğin fonksiyonun en büyük değerini belirlemek istiyorsunuz. F(X) segmentte [ A, B] . Bunu yapmak için, tüm kritik noktalarını [ A, B] .
Kritik nokta geldiği nokta denir fonksiyon tanımlanmış ve o türev ya sıfıra eşittir ya da yoktur. Daha sonra fonksiyonun değerlerini kritik noktalarda hesaplamanız gerekir. Ve son olarak, fonksiyonun değerleri kritik noktalarda ve segmentin uçlarında karşılaştırılmalıdır ( F(A) Ve F(B)). Bu sayıların en büyüğü olacak fonksiyonun segmentteki en büyük değeri [A, B] .
Bulma sorunları en küçük fonksiyon değerleri .
Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte arıyoruz
Örnek 1. En küçüğü bulun ve en yüksek değer işlevler 
segmentte [-1, 2]
.
Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bulun. Türevi sıfıra () eşitleyelim ve iki kritik nokta alalım: ve. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için bu bölüm nokta [-1, 2] segmentine ait olmadığından, segmentin uçlarındaki ve noktadaki değerlerini hesaplamak yeterlidir. Bu fonksiyon değerleri şunlardır: , , . Bundan şu sonuç çıkıyor en küçük fonksiyon değeri(aşağıdaki grafikte kırmızıyla gösterilmiştir), -7'ye eşit, parçanın sağ ucunda - noktasında elde edilir ve en büyük(grafikte de kırmızı), kritik noktada 9'a eşittir.
Bir fonksiyon belirli bir aralıkta sürekliyse ve bu aralık bir doğru parçası değil (ancak örneğin bir aralıksa; aralık ile parça arasındaki fark: aralığın sınır noktaları aralığa dahil edilmez, ancak Segmentin sınır noktaları segmente dahil edilirse, fonksiyonun değerleri arasında en küçük ve en büyük olmayabilir. Yani örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyon ]-∞, +∞[ üzerinde süreklidir ve en büyük değere sahip değildir.
Ancak herhangi bir aralık için (kapalı, açık veya sonsuz), sürekli fonksiyonların aşağıdaki özelliği doğrudur.
Örnek 4. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 3] .
Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bölümün türevi olarak buluyoruz:
.
Türevi sıfıra eşitliyoruz, bu da bize bir kritik nokta veriyor: . [-1, 3] segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluyoruz:
Bu değerleri karşılaştıralım. Sonuç: noktada -5/13'e eşit ve en yüksek değer noktasında 1'e eşittir.
Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte aramaya devam ediyoruz
Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma konusunda, öğrencilere az önce tartışılanlardan daha karmaşık, yani fonksiyonun bir polinom veya bir polinom olduğu çözüm örnekleri vermeyen öğretmenler var. payı ve paydası polinom olan kesir. Ancak kendimizi bu tür örneklerle sınırlamayacağız çünkü öğretmenler arasında öğrencileri tam olarak düşünmeye zorlamaktan hoşlananlar (türev tablosu) var. Bu nedenle logaritma ve trigonometrik fonksiyon kullanılacaktır.
Örnek 6. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .
Çözüm. Bu fonksiyonun türevini şu şekilde buluyoruz: ürünün türevi :
Türevi sıfıra eşitliyoruz, bu da bir kritik nokta veriyor: . Segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluyoruz:
Tüm eylemlerin sonucu: fonksiyon minimum değerine ulaşır, 0'a eşit, noktada ve noktada ve en yüksek değer, eşit e², bu noktada.
Örnek 7. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun 
segmentte .
Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bulun:
Türevi sıfıra eşitliyoruz:
Tek kritik nokta segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluyoruz:
Çözüm: fonksiyon minimum değerine ulaşır, eşit , noktada ve en yüksek değer, eşit , noktada .
Uygulamalı ekstremum problemlerde, bir fonksiyonun en küçük (maksimum) değerlerini bulmak, kural olarak, minimum (maksimum) bulmaktan ibarettir. Ancak pratik açıdan daha fazla ilgi çeken minimumlar veya maksimumların kendisi değil, bunların elde edildiği argümanın değerleridir. Uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkar ek zorluk- söz konusu olguyu veya süreci tanımlayan işlevlerin derlenmesi.
Örnek 8. 4 kapasiteli, paralel boru şeklinde bir rezervuar kare taban ve üst kısmı açın, kalaylamanız gerekir. Tankın boyutları ne kadar olmalı ki en az miktar malzeme mi?
Çözüm. İzin vermek X- taban tarafı, H- tank yüksekliği, S- örtüsüz yüzey alanı, V- hacmi. Tankın yüzey alanı formülle ifade edilir, yani. iki değişkenin bir fonksiyonudur. İfade etmek S bir değişkenin fonksiyonu olarak, nereden olduğu gerçeğini kullanırız. Bulunan ifadeyi değiştirme H formülüne S:
Bu fonksiyonu en uç noktasına kadar inceleyelim. ]0, +∞[ ve her yerde tanımlanır ve türevlenebilir.
.
Türevi sıfıra () eşitliyoruz ve kritik noktayı buluyoruz. Ayrıca türevin bulunmadığı ancak bu değerin tanım kümesine dahil olmadığı ve bu nedenle ekstrem nokta olamayacağı durumlarda. Yani tek kritik nokta burası. İkinci yeterli işaretini kullanarak ekstremum varlığını kontrol edelim. İkinci türevi bulalım. İkinci türev sıfırdan büyük olduğunda (). Bu, fonksiyonun minimuma ulaştığı anlamına gelir. 
. Bundan beri minimum bu fonksiyonun tek ekstremudur, en küçük değeridir. Yani tankın tabanının kenarı 2 m, yüksekliği ise 0,00 olmalıdır.
Örnek 9. noktadan A demiryolu hattı üzerinde bulunan noktaya İLE, ondan uzakta bulunan ben, kargo taşınmalıdır. Bir ağırlık birimini birim mesafe başına demiryolu ile taşımanın maliyeti eşittir, karayolu ile eşittir. Hangi noktaya kadar Mçizgiler demiryolu yük taşımak için bir otoyol inşa edilmelidir A V İLE en ekonomik olanıydı (bölüm AB demiryolunun düz olduğu varsayılmaktadır)?
Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri de alabilir iç nokta bölüm [ a, b] veya segmentin sınırında.
Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:
1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);
2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;
3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;
4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma
segmentte.
Kritik noktaları bulma:
Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;
bu noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.
Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.
İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arada (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey) Grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.
Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.
Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:
1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.
2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.
3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.
Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.
Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.
Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.
Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani
fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.
Örnek.
D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – kırılma noktası.
Tanım. Dümdüz y =A isminde yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer
Örnek.
|
X | |||
|
sen |
Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede
Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.
Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :
1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).
2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).
3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).
4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.
5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.
6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.
7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.
Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.
1) D (sen) =
X= 4 – kırılma noktası.
2) Ne zaman X = 0,
(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.
Şu tarihte: sen = 0,
3)
sen(‒
X)=
işlev genel görünüm(ne çift ne de tek).
4) Asimptotları inceliyoruz.
a) dikey
yatay
c) eğik asimptotları bulun;
‒eğik asimptot denklemi
5)B verilen denklem fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmaya gerek yoktur.
6)
Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.
Bu yazımda bunlardan bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulma algoritması fonksiyonlar, minimum ve maksimum noktalar.
Teorik olarak kesinlikle bizim için faydalı olacaktır türev tablosu Ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu tabakta:
En büyük ve en küçük değeri bulma algoritması.
Açıklamak benim için daha uygun spesifik örnek. Dikkate almak:
Örnek:[–4;0] segmentinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.
Adım 1. Türevini alıyoruz.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Adım 2. Ekstrem noktaları bulma.
Ekstrem nokta fonksiyonun en büyük veya minimum değerine ulaştığı noktalara denir.
Ekstrem noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemeniz gerekir (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Şimdi bunu çözelim iki ikinci dereceden denklem ve bulunan kökler uç noktalarımızdır.
Bu tür denklemleri t = x^2'yi, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0'ı değiştirerek çözüyorum.
Denklemi 5 azaltalım, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Ters değişimi x^2 = t olarak yaparız:
X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, olamaz negatif sayılar, tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)
Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.
Adım 3. En büyük ve en küçük değeri belirleyin.
Değiştirme yöntemi.
Bu koşulda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. Bu yüzden bunu dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak parçamızın sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekir. Bunu yapmak için bu üç noktanın tamamını orijinal fonksiyonda yerine koyarız. Orijinal olanın (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazı insanlar onu türevin yerine koymaya başlar...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Bu, fonksiyonun en büyük değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4; parçası üzerindeki maksimum noktası olarak adlandırılan [b]-1 noktasında elde edildiği anlamına gelir; 0].
Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! Y(-4)'ü hesaplamanın bir şekilde çok zor olduğunu düşünmüyor musunuz? Sınırlı süre koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:
İşaret tutarlılığı aralıkları boyunca.
Bu aralıklar fonksiyonun türevi için yani iki ikinci dereceden denklemimiz için bulunur.
ben yaparım aşağıdaki gibi. Yönlendirilmiş bir bölüm çiziyorum. Noktaları yerleştiriyorum: -4, -1, 0, 1. 1'in dahil olmamasına rağmen verilen bölüm, işaretin değişmezlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den kat kat büyük bir sayı alalım, örneğin 100 ve bunu zihinsel olarak iki ikinci dereceden denklemimiz olan 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65'e yerleştirelim. Hiçbir şeyi saymasak bile, 100 noktasında fonksiyonun artı işareti vardır. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksiye çevirecektir. 0 noktasından geçerken fonksiyon işaretini koruyacaktır çünkü bu sadece parçanın sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken fonksiyon işareti tekrar artıya çevirecektir.
Teoriden fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunu tam olarak bunun için çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44, daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (bu mantıksal olarak çok anlaşılır, fonksiyon maksimuma ulaştığı için artmayı bıraktı ve azalmaya başladı).
Buna göre fonksiyonun türevi işareti eksiden artıya değiştirir, elde edildi bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, yerel minimum noktanın 1 olduğunu da bulduk ve y(1) minimum değer diyelim ki -1'den +∞'a kadar bir segment üzerindeki fonksiyonlar. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM olduğunu, yani şu tarihteki minimum olduğunu unutmayın: belirli bir kesim. Çünkü fonksiyonun gerçek (global) minimumu orada bir yere, -∞'a ulaşacaktır.
Bana göre ilk yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi ise bakış açısından daha basittir. aritmetik işlemler ancak teorik açıdan çok daha karmaşıktır. Sonuçta, bazen fonksiyonun denklemin kökünden geçerken işareti değiştirmediği durumlar vardır ve genel olarak bu yerel, global maksimumlar ve minimumlarla kafanız karışabilir, ancak yine de bu konuda iyi ustalaşmanız gerekecektir. kaydolmayı planlıyorum teknik üniversite(başka neden alasınız ki? profil Birleşik Devlet Sınavı ve bu sorunu çözün). Ancak pratik ve sadece pratik size bu tür sorunları kesin olarak çözmeyi öğretecektir. Ve web sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .
Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa sormayı unutmayın. Size cevap vermekten ve makalede değişiklik ve eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Bu siteyi birlikte oluşturduğumuzu unutmayın!