Polinomların çarpımını hesaplama kuralı.
Polinomların çarpımını ele almak için öncelikle bir monomimin bir polinomla nasıl çarpılacağını hatırlayalım.
Bir monom ile bir polinomun çarpımı şu şekilde bulunur:
- bir monom ve bir polinomun çarpımı oluşur.
- Parantez açılıyor.
- sayılar aynı olan sayılarla gruplandırılmıştır değişkenler arkadaş bir arkadaşımla.
- sayılar çarpılır ve karşılık gelen özdeş değişkenlerin kuvvetleri toplanır.
Şimdi bir örnek kullanarak iki polinomun çarpımını ele alalım:
Örnek 1
$x-y+z$ polinomunu $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$ polinomuyla çarpalım.
İlk önce polinomların çarpımını yazalım:
\[\left(x-y+z\right)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]
Aşağıdaki değişimi yapalım. $x-y+z=t$ olsun, şunu elde ederiz:
Bir monom ve bir polinomun çarpımını elde ettik. Yukarıda belirtilen kuralı kullanarak bulalım.
Parantezleri genişletelim:
Ters yerine koyma işlemi yapalım:
\[(\left(x-y+z\right)xy)^5+(\left(x-y+z\right)y)^6-(\left(x-y+z\right)xz) ^5\]
İÇİNDE bu ifade tek terimlilerin ve bir polinomun üç çarpımının varlığını görüyoruz. Yukarıdaki kuralı kullanarak bunları ayrı ayrı bulalım:
\[(\left(x-y+z\right)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy )^6+z(xy)^5\] \[(\left(x-y+z\right)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\left(x-y+z\right)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]
İfademizi yeniden yazalım:
\[\left((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]
Parantezleri açalım. Parantezlerin önünde artı işareti varsa parantez içindeki işaretler değişmeden kalacağını, parantezlerin önünde eksi işareti varsa parantez içindeki işaretlerin ters yönde değişeceğini hatırlatalım. . Aldık
\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]
Bir polinomumuz var. Geriye onu getirmek kalıyor standart görünüm. Toplamda cevap şu olacaktır:
\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]
Elde edilen sonuca daha yakından baktığımızda şunu elde ederiz: sonraki kural bir polinomun bir polinomla çarpılması:
Kural: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, birinci polinomun her terimini ikinci polinomun her terimiyle çarpmak, elde edilen çarpımları eklemek ve elde edilen polinomu standart forma indirgemek gerekir.
Örnek 2
$2x+y$ ile $x^2+2y+3$'ı çarpın.
Ürünü yazalım:
\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]
\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]
Ortaya çıkan polinomun standart bir forma sahip olduğunu görüyoruz, bu da çarpma işleminin tamamlandığı anlamına geliyor.
Polinomların çarpımını içeren problem örnekleri
Örnek 3
Bir polinomu bir polinomla çarpın:
a) $(2z+1)\ ve\ (z^2-7z-3)$
b) $(1-4x^2)\ ve\ (5y^2-3x-2)$
Çözüm:
a) $(2z+1)\ ve\ (z^2-7z-3)$
Bir parça oluşturalım:
\[(2z+1)\cdot (z^2-7z-3)\]
Parantezleri polinomların çarpımı kuralına göre açalım:
b) $(1-4x^2)\ ve\ (5y^2-3x-2)$
Bir parça oluşturalım:
\[(1-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]
Parantezleri polinomların çarpımı kuralına göre açalım:
Ortaya çıkan polinomun standart bir forma sahip olduğunu görüyoruz, dolayısıyla:
Cevap: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.
c) $(2n-5n^3)\ ve\ (3n^2-n^3+n)$
Bir parça oluşturalım:
\[(2n-5n^3)\cdot (3n^2-n^3+n)\]
Parantezleri polinomların çarpımı kuralına göre açalım:
Hadi verelim verilen polinom standart forma:
d) $(a^2+a+1)\ ve\ (a^2-24a+6)$
Bir parça oluşturalım:
\[(a^2+a+1)\cdot (a^2-24a+6)\]
Parantezleri polinomların çarpımı kuralına göre açalım:
Bu polinomu standart forma indirgeyelim.
Polinomlarla yapılan işlemlerden biri, bir polinomu bir polinomla çarpmaktır. Bu makalede bu tür çarpma kuralını ele alacağız ve bunu problemlerin çözümünde uygulayacağız.
Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralı
a + b ve olmak üzere iki polinom tanımlayalım. c + d ve bunların çarpımını gerçekleştirin.
Her şeyden önce, orijinal polinomların çarpımını yazıyoruz: polinomları daha önce parantez içine almış olarak aralarına bir çarpma işareti koyuyoruz. Şunu elde ederiz: (a + b) (c + d). Şimdi çarpanı gösterelim (c+d) Nasıl X, o zaman ifade şöyle görünecektir: (a + b)x esasen bir polinom ile bir monomiyalin çarpımıdır. Çarpma işlemini yapalım: (a + b) x = a x + b x ve ardından tekrar değiştirin X(c + d) üzerinde : a · (c + d) + b · (c + d) . Ve yine bir polinomu bir monomla çarpma kuralını uygulayarak ifadeyi şuna dönüştürürüz: a · c + a · d + b · c + b · d. Özetlemek gerekirse: verilen polinomların çarpımı a+b Ve c + d eşitliğe karşılık gelir (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.
Yukarıda sunduğumuz gerekçe, önemli sonuçlara varmayı mümkün kılmaktadır:
- Bir polinomun bir polinomla çarpılmasının sonucu bir polinomdur. Bu beyançarpılabilir polinomlar için geçerlidir.
- Polinomların çarpımı, bir polinomun her teriminin diğerinin her terimiyle çarpımının toplamıdır. Aşağıdakileri içeren polinomları çarparken bunu nereden çıkarabiliriz? M Ve N buna göre üyeler, üyelerin belirtilen çarpımlarının toplamı aşağıdakilerden oluşur: m nşartlar.
Artık polinomları çarpma kuralını formüle edebiliriz:
Tanım 1
Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımların toplamını bulmanız gerekir.
Bir polinomu bir polinomla çarpma örnekleri
İÇİNDE pratik çözüm Polinomların çarpımını bulma problemleri birkaç ardışık eyleme ayrıştırılır:
- çarpılmış polinomların çarpımının kaydedilmesi (polinomlar parantez içine alınır ve aralarına çarpma işareti yazılır);
- birinci polinomun her teriminin çarpımlarının toplamının ikincinin her terimiyle elde edilmesi. Bu amaçla, birinci polinomun birinci terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır, ardından birinci polinomun ikinci terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır ve bu şekilde devam eder;
- mümkünse, elde edilen toplam standart formda bir polinom olarak yazılır.
Polinomlar verilir: 2 − 3 x Ve x 2 − 7 x + 1
Çözüm
Orijinal polinomların çarpımını yazalım. Şunu elde ederiz: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1).
Bir sonraki adım polinomun her teriminin çarpımlarının toplamını derlemektir. 2 − 3 x polinomun her terimi için x 2 − 7 x + 1. Daha yakından bakalım: birinci polinomun ilk terimini (2 sayısı) ikinci polinomun her terimiyle çarparsak şunu elde ederiz: 2 x 2, 2 (− 7 x) ve 2 1. Daha sonra birinci polinomun ikinci terimini ikinci polinomun her terimiyle çarparız ve şunu elde ederiz: − 3 x x 2, − 3 x (− 7 x) ve − 3 x 1. Ortaya çıkan tüm ifadeleri bir toplam halinde topluyoruz: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1.
Herhangi bir terimin çarpımını kaçırıp kaçırmadığımızı kontrol edelim: Bunu yapmak için yazılı toplamdaki terim sayısını yeniden hesaplıyoruz, 6 elde ediyoruz. Bu doğrudur çünkü orijinal polinomlar 2 ve 3 terimden oluşur ve toplam 6 olur.
Son eylem Yazılı toplamı standart formun bir polinomuna dönüştürelim: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3
Kısaca açıklama yapmadan çözüm şöyle görünecektir:
(2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3
Cevap: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3.
Orijinal polinomlar standart olmayan bir biçimde verildiğinde, çarpımlarını bulmadan önce bunları standart bir biçime indirgemenin tavsiye edildiğini açıklığa kavuşturalım. Sonuç elbette aynı olacaktır ancak çözüm daha uygun ve daha kısa olacaktır.
Örnek 2
Verilen polinomlar 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x ve x y - 1. Onların işini bulmalısın.
Çözüm
Verilen polinomlardan biri standart olmayan biçimde yazılmıştır. Bunu standart forma getirerek düzeltelim:
1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 y + 3 x
Şimdi gerekli ürünü bulalım:
5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x
Cevap:- 5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x
Son olarak üç veya daha fazla polinomun çarpılmasının gerekli olduğu durumu açıklığa kavuşturalım. Bu durumda çarpımı bulmak, polinomların ardışık olarak ikiyle çarpılmasına indirgenir: yani. İlk olarak ilk iki polinom çarpılır; elde edilen sonuç üçüncü polinomla çarpılır; bu çarpmanın sonucu dördüncü polinomdur ve bu şekilde devam eder.
Örnek 3
Polinomlar verilmiştir: x 2 + x · y − 1 , x + y ve 2 · y − 3 . Onların işini bulmalısın.
Çözüm
Çalışmayı kaydedelim: (x 2 + x y - 1) (x + y) (2 y - 3).
İlk iki polinomu çarparsak şunu elde ederiz: (x 2 + x y − 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y − 1 x − 1 · y = = x 3 + 2 · x 2 · y + x · y 2 - x - y .
Eserin ilk kaydı şu şekli alır: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3).
Bu çarpımın sonucunu bulalım:
(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3) = = x 3 2 y + x 3 (− 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3 ) + x y 2 2 y + + x y 2 (− 3) − x 2 y − x (− 3) − y · 2 · y − y · (− 3) = = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - − 3 x x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y
Cevap:
(x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = 2 x 3 y − 3 x 3 + 4 x 2 y 2 − 6 x 2 y + + 2 x y 3 − 3 x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Geri İleri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.
Ders hedefleri:(Sunum. Slayt 2)
Eğitici:
- bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını türetmek;
- Bu kuralı uygulama yeteneğini geliştirin.
Eğitici:
- dikkatin gelişimi;
- konuyla ilgili bilgiyi analiz etme ve genelleme yeteneğini geliştirmek;
- zihinsel sayma becerilerinin geliştirilmesi.
Eğitici:
- temizlik eğitimi;
- Konuya sürdürülebilir bir ilgi beslemek.
Ders türü: Yeni bilgilerin incelenmesi ve başlangıçta pekiştirilmesine ilişkin ders.
Ders ilerlemesi
BEN. Sözlü çalışma(Sunum. Slayt 3)
Çarpmayı yapın.
a) a (x – y);
b) 2p (3 – q);
c) –2x (x – 4);
d) 4y(y3 + 0,25);
e) – 0,5 sn 2 (c 3 + 2);
e) –5x (3x 2 – 4);
g) 2a 4 (a 3 – 0,5);
h) –q 7 (q 3 – q 5).
II. Yeni materyalin açıklanması (Sunum. Slayt 4)
Açıklama ders kitabı materyaline göre birkaç aşamada gerçekleştirilir.
1. Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını türetin ve bunu bir slaytta (veya tahtada) görsel olarak sunun:
2. Ortaya çıkan kuralı formüle edin ve birkaç öğrenciden bunu tekrarlamasını isteyin.
3. Kuralın uygulama örneklerini analiz edin.
O zamandan beri bu konuÖğrenciler için yeni olduğundan, iki polinomun çarpma kuralının doğrudan uygulanmasına ilişkin birkaç basit örnek verilmesi tavsiye edilir. Aşağıdaki derslerde bir takım problemlerin çözümünde bu kuralın kullanımına ilişkin örnekleri ele almak daha iyidir.
Örnek 1.(Sunum. Slayt 5) Polinomu (3a – 2b) polinom (2a + 3b) ile çarpın.
Çözüm: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b 2 .
Örnek 2.(Sunum. Slayt 6) İfadeyi sadeleştirin: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).
Çözüm: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.
Örnek 3.(Sunum. Slayt 7) Bunu herhangi bir durum için kanıtlayalım. doğal değer n (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 ifadesinin değeri 3'ün katıdır.
Çözüm: (p + 1)(p + 2) – (3p – 1)(p + 3) + 5p(p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 – 3p 2 – 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).
III. Yetenek ve becerilerin oluşumu (Sunum. Slayt 8)
Ders sırasında, bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını öğrendiklerinden emin olmak için mümkün olduğunca çok sayıda öğrenciye anket yapmalısınız. Bu nedenle her görevi tamamlamak için üç öğrenci aynı anda tahtaya çağrılabilir.
1. № 677, № 678.
Bu polinom çarpım problemlerinde faktörlerin her biri doğrusaldır. Öğrencilerin ilgili kuralın uygulanmasının doğruluğunu takip etmeleri ve işaretlerde hata yapmamaları önemlidir.
2. № 680.
Bu görevler biraz daha zordur çünkü öğrencilerin polinomları çarpma kurallarını uygulamanın yanı sıra kuvvetlerin özelliklerini de hatırlamaları gerekir.
c) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;
e) 56p 3 – 51p 2 + 10p.
3. № 682 (a, c).
a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;
c) (3a – 1) 2 = (3a – 1) (3a – 1) = 9a 2 – 3a – 3a – 1 = 9a 2 – 6a + 1.
IV. Ders özeti (Sunum. Slayt 9)
– Bir monomial bir polinomla nasıl çarpılır?
– Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını formüle edin.
– Polinomların çarpılmasıyla elde edilen terimler hangi işaretlere sahip olacaktır:
a) (x + y) (a – b);
b) (n – m) (p – q)?
V. Ev ödevi: (Sunum. Slayt 10)
679 numara; 681 numara; 682 (b, d).
Kullanılan ders kitapları ve öğretim yardımcıları: (Sunum. Slayt 11)
- Ders Kitabı “Cebir 7”. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky. Moskova "Aydınlanma" 2010.
- Rurukin A.N., Lupenko G.V., Maslennikova I.A. Ders bazlı gelişmeler cebirde: 7. sınıf.
Kullanılan tasarım.
Polinomlarla eylemleri incelemeye devam ediyoruz. Bu yazıda bakacağız bir polinomun bir polinomla çarpılması. Burada çarpma kuralını elde edeceğiz, ardından bunun çeşitli türdeki polinomların çarpım örneklerinin çözümünde uygulanmasını ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Kural
Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralına yaklaşmak için bir örnek düşünün. İki a+b ve c+d polinomunu alıp bunları çarpalım.
Öncelikle çarpımlarını oluşturalım; bunun için polinomların her birini parantez içine alıyoruz ve aralarına çarpma işareti koyuyoruz, elimizde (a+b)·(c+d) var. Şimdi (c+d)'yi x olarak gösteriyoruz, bu değiştirmeden sonra yazılı çarpım (a+b) x şeklini alacaktır. Çarpmayı bir polinomu bir tek terimle çarpmakla aynı şekilde yapalım: (a+b) x=a x+b x . Bu aşamada x'i tersten c+d ile değiştireceğiz, bu da bizi a·(c+d)+b·(c+d) ifadesine götürecektir; bu, bir monomu bir polinomla çarpma kuralını kullanarak, a·c+a·d+b·c+b·d formuna dönüştürülür. Böylece, orijinal a+b ve c+d polinomlarının çarpımı eşitliğe karşılık gelir (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d.
Yukarıdaki mantıktan iki sonuç çıkarılabilir: önemli sonuçlar. İlk olarak, bir polinomun bir polinomla çarpılmasının sonucu bir polinomdur. Bu ifade sadece örnekte aldığımız polinomlar için değil, çarpılabilir polinomlar için de geçerlidir. İkincisi, polinomların çarpımı, bir polinomun her teriminin diğerinin her terimiyle çarpımının toplamına eşittir. Buradan sırasıyla m ve n terim içeren polinomlar çarpıldığında, terimlerin belirtilen çarpımlarının toplamının m n terimden oluşacağı sonucu çıkar.
Şimdi çıkarılan sonuçlar polinomları çarpma kuralını formüle etmemize izin veriyor:
Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.
Bir polinomu bir polinomla çarpma örnekleri
Uygulamada, örnekleri çözerken, bir polinomu bir polinomla çarpma kuralı, önceki paragraf, birbirini izleyen adımlara bölünmüştür:
- Çarpan polinomların çarpımı ilk olarak bu şekilde yazılır. Bu durumda çarpılacak polinomlar parantez içine alınır ve aralarına “·” işareti konur.
- Daha sonra, birinci polinomun her teriminin ve ikincinin her teriminin çarpımlarının toplamı oluşturulur. Bunu yapmak için, birinci polinomun ilk terimini alın ve bunu ikinci polinomun her terimiyle çarpın. Bundan sonra birinci polinomun ikinci terimi alınır ve ayrıca ikinci polinomun her terimiyle çarpılır. Ve benzeri.
- Son olarak, eğer mümkünse, elde edilen toplamı standart formda bir polinom haline dönüştürmek kalır.
Buna belirli bir örnekle bakalım.
Örnek.
2−3 x ve x 2 −7 x+1 polinomlarını çarpın.
Çözüm.
Çarpımı yazıyoruz: (2−3 x) (x 2 −7 x+1) .
Şimdi 2−3·x polinomunun her teriminin çarpımlarının toplamını x 2−7·x+1 polinomunun her terimiyle oluşturuyoruz. Bunu yapmak için, birinci polinomun ilk terimini yani 2'yi alıp ikinci polinomun her terimiyle çarparız, 2·x2, 2·(−7·x) ve 2·1 elde ederiz. Şimdi birinci polinomun ikinci terimini −3 x alıp ikinci polinomun her terimiyle çarparsak, −3 x x 2, −3 x (−7 x) ve −3 x 1 elde ederiz. Elde edilen tüm ifadelerden toplamı oluşturuyoruz: 2 x 2 +2 (−7 x)+2 1− 3 x x 2 −3 x (−7 x)−3 x 1.
Her şeyi doğru yaptığımızdan ve herhangi bir terimin çarpımını unutmadığımızdan emin olmak için, ortaya çıkan toplamdaki terim sayısını sayalım. Bunlardan 6 tane var. Orijinal polinomlar 2 ve 3 terimden oluştuğundan ve 2·3=6 olduğundan bu böyle olmalıdır.
Ortaya çıkan toplamı standart formun bir polinomuna dönüştürmek kalır:
2 x 2 +2 (−7 x)+2 1− 3 x x 2 −3 x (−7 x)−3 x 1= 23 x 2 −17 x+2−3 x 3 .
Böylece orijinal polinomların çarpılması 23 x 2 −17 x+2−3 x 3 polinomunu verir.
Çözümü, gerçekleştirilen tüm eylemleri yansıtan bir eşitlikler zinciri şeklinde yazmak uygundur. Örneğimiz için kısa çözümşuna benziyor:
(2−3 x) (x 2 −7 x+1)= 2 x 2 +2 (−7 x)+2 1− 3 x x 2 −3 x (−7 x)−3 x 1= 2 x 2 −14 x+2−3 x 3 +21 x 2 −3 x= (2 x 2 +21 x 2)+(−14 x−3 x)+2−3 x 3 = 23 x 2 −17 x+2−3 x 3 .
Cevap:
(2−3 x) (x 2 −7 x+1)=23 x 2 −17 x+2−3 x 3.
Çarpılacak polinomların standarttan farklı bir formda verilmesi durumunda, çarpmadan önce bunların standart forma indirilmesinin tavsiye edildiğini belirtmekte fayda var. Sonuç, polinomların orijinal standart dışı biçimde çarpılmasıyla aynı olacaktır, ancak çözüm çok daha kısa olacaktır.
Örnek.
Polinomların ve x·y−1'in çarpımını yapın.
Çözüm.
Polinom standart biçimde verilmemiştir. Çarpma işlemini yapmadan önce polinomu standart formuna indirgeyelim: 
Artık polinomları çarpabilirsiniz: 
Cevap:
Sonuç olarak bazen üçü, dördü çarpmanız gerekir ve Daha polinomlar. İki polinomun sıralı çarpımına gelir. Yani önce ilk iki polinom çarpılır, elde edilen sonuç üçüncü polinomla çarpılır, bu sonuç dördüncü polinomla çarpılır ve bu şekilde devam eder.
Örnek.
Üç x 2 +x·y−1, x+y ve 2·y−3 polinomunun çarpımını bulun.
Referanslar.
- Cebir: ders kitabı 7. sınıf için genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. Saat 14:00'te 1. Bölüm. Öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları/ A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Cebir ve başladı matematiksel analiz. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.