Vektörler. Vektörlerle yapılan eylemler. Bu yazımızda vektörün ne olduğu, uzunluğunun nasıl bulunacağı, bir vektörün bir sayı ile çarpılmasının yanı sıra iki vektörün toplamı, farkı ve skaler çarpımının nasıl bulunacağından bahsedeceğiz.
Her zamanki gibi, en gerekli teoriden biraz.
Bir vektör yönlendirilmiş bir bölümdür, yani başlangıcı ve sonu olan bir bölümdür:
Burada A noktası vektörün başlangıcı, B noktası ise sonudur.
Bir vektörün iki parametresi vardır: uzunluğu ve yönü.
Bir vektörün uzunluğu, vektörün başlangıcını ve sonunu birleştiren parçanın uzunluğudur. Vektör uzunluğu gösterilir
İki vektörün eşit olduğu söyleniyor eğer varsa aynı uzunluk ve ortak yönetmenlik yaptı.
İki vektör denir ortak yönetmen, paralel çizgiler üzerinde uzanıyorlarsa ve aynı yönde yönlendiriliyorlarsa: vektörler ve eş yönlü:
İki vektör, paralel çizgiler üzerinde yer alıyorsa ve zıt yönlere yönlendiriliyorsa zıt yönlü olarak adlandırılır: vektörler ve ve ayrıca ve zıt yönlere yönlendirilir:
Paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere eşdoğrusal denir: vektörler ve eşdoğrusaldırlar.
Bir vektörün çarpımı title="k>0 ise sayıya vektörle eş yönlü bir vektör denir">, и направленный в !} karşı taraf, eğer , ve uzunluğu vektörün uzunluğunun çarpımına eşit olan:
İle iki vektör ekle ve vektörün başlangıcını vektörün sonuna bağlamanız gerekir. Toplam vektörü, vektörün başlangıcını vektörün sonuna bağlar:
Bu vektör toplama kuralına denir üçgen kuralı.
İki vektörü eklemek için paralelkenar kuralı, vektörleri bir noktadan ertelemeniz ve bunları bir paralelkenar haline getirmeniz gerekir. Toplam vektörü, vektörlerin başlangıç noktasını şuna bağlar: ters açı paralelkenar:
İki vektörün farkı Toplamla belirlenir: vektörlerin farkı ve böyle bir vektör olarak adlandırılır, vektörün toplamı şu vektörü verir:
Bundan şu sonuç çıkıyor iki vektörün farkını bulma kuralı: Bir vektörü bir vektörden çıkarmak için bu vektörleri bir noktadan çizmeniz gerekir. Fark vektörü, vektörün ucunu vektörün sonuna bağlar (yani, çıkarmanın ucunu eksilemenin sonuna kadar):
Bulmak için vektör ve vektör arasındaki açı, bu vektörleri bir noktadan çizmeniz gerekir. Vektörlerin üzerinde bulunduğu ışınların oluşturduğu açıya vektörler arasındaki açı denir:
İki vektörün skaler çarpımı sayıdır ürüne eşit bu vektörlerin uzunlukları, aralarındaki açının kosinüsüne göre:
Sorunları çözmenizi öneririm Açık Banka için görevler ve ardından çözümünüzü VİDEO ÖĞRETİCİLERİ ile kontrol edin:
1. Görev 4 (No. 27709)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. ve vektörleri arasındaki farkın uzunluğunu bulun.
2. Görev 4 (No. 27710)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun. (önceki görevden çizim).
3. Görev 4 (No. 27711)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD O. Ve vektörlerinin toplamının uzunluğunu bulun.
4. Görev 4 (No. 27712)
Bir dikdörtgenin iki kenarı ABCD 6 ve 8'e eşittir. Köşegenler bir noktada kesişir O. ve vektörleri arasındaki farkın uzunluğunu bulun. (önceki görevden çizim).
5. Görev 4 (No. 27713)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. Vektörün uzunluğunu bulun.
6. Görev 4 (No. 27714)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. + vektörünün uzunluğunu bulun.
7.Görev 4 (No. 27715)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun (önceki problemden çizim yaparak).
8.Görev 4 (No. 27716)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD 12 ve 16'ya eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun.
9. Görev 4 (No. 27717)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD bir noktada kesişmek O ve 12 ve 16'ya eşittir. + vektörünün uzunluğunu bulun.
10. Görev 4 (No. 27718)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD bir noktada kesişmek O ve 12 ve 16'ya eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun (önceki problemden çizim yaparak).
11.Görev 4 (No. 27719)
Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri ABCD bir noktada kesişmek O ve 12 ve 16'ya eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun (önceki problemden çizim).
12. Görev 4 (No. 27720)
ABC eşittir + vektörünün uzunluğunu bulun.
13. Görev 4 (No. 27721)
Partiler düzgün üçgen ABC 3'e eşittir. - vektörünün uzunluğunu bulun (önceki problemden çizim).
14. Görev 4 (No. 27722)
Düzenli bir üçgenin kenarları ABC 3'e eşittir. ve vektörlerinin skaler çarpımını bulun. (önceki görevden çizim).
Tarayıcınız muhtemelen desteklenmiyor. Eğiticiyi kullanmak için " Birleşik Devlet Sınav Saati", indirmeyi deneyin
Firefox
Birleşik Devlet Sınavında vektörlerle ilgili sorunlar. Sevgili arkadaşlar! Matematik sınavının bu tür görevleri içerdiğini biliyorsunuz. Böyle bir görev alacağınız bir gerçek değil ama her halükarda buna hazırlanmanız ve konuyu anlamanız gerekiyor. Blogda vektörlerin toplamı (farkı), vektörün uzunluğu ile ilgili çeşitli problemlerimiz var, aynı makalede gerekli teori var.Aşağıdaki sorunlara bakmadan önce izleyin.
Ayrıca blogda. Bir noktanın apsisinin ve ordinatının ne olduğunu hatırlamanız gerekiyorsa, o zaman bakın.Kısaca tekrarlayalım:
Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, sonunun koordinatlarından ihtiyacınız varçıkarmakarşılık gelen orijin koordinatları:
Biliniyorsa, bir vektörün uzunluğunu belirleme formülübaşlangıç ve bitiş koordinatları:
Bir vektörün uzunluğunu belirlemek için formül,koordinatları biliniyorsa:
27725. Başlangıç noktasındaki AB vektörüA(2;4), (6;2) koordinatlarına sahiptir. Bir noktanın koordinatını bulunB.
Daha önce de söylediğimiz gibi, vektörün koordinatları aşağıdaki gibi: Vekarşılık gelen uç koordinatlardanvektör orijininin koordinatları çıkarılır. Yani:
Vektörün koordinatları bize veriliyor, kökeninin koordinatları da veriliyor, yani:
Buna göre B noktasının koordinatlarını bulabiliriz:
x 2 – 2 = 6 y 2 – 4 = 2
x 2 = 8 y 2 = 6
Böylece B noktasının ordinatı 6 olur.
Cevap: 6
27726. Başlangıç noktasındaki AB vektörü A(3;6), (9;3) koordinatlarına sahiptir. B noktasının koordinatlarının toplamını bulun.
Çözüm sürecinin sorunu bir öncekiyle aynı ama soru farklı soruluyor. Hesaplamalar da ortada zihinsel sayma. Bir kez daha vektörün başlangıç ve bitiş koordinatları bilindiğinde koordinatlarını yazıyoruz:
Vektörün koordinatları ve orijininin koordinatları verilmiştir, bu şu anlama gelir:
B noktasının koordinatlarını bulabiliriz:
x 2 – 3 = 9 y 2 – 6 = 3
x 2 = 12 y 2 = 9
Böylece B noktasının koordinatlarının toplamı 21 olur.
Cevap: 21
27727. Sonu B (5;3) olan AB vektörü (3;1) koordinatlarına sahiptir. Noktanın apsisini ve koordinatını bulun A, aynı zamanda koordinatlarının toplamı.
Vektörün koordinatlarını ve ucunun koordinatlarını biliyoruz, bu şu anlama gelir:
A noktasının koordinatlarını bulabiliriz:
5 – x 1 = 3 3 – y 1 = 1
x 1 = 2 y 1 = 2
Böylece A noktasının apsisi ikiye, ordinatı da ikiye ve koordinatların toplamı 2+2 = 4'e eşit olur.
27731 a + b vektörünün uzunluğunun karesini bulun.
Bu problemde vektörün koordinatlarını bulmanız gerekir; bu da toplamdır. belirtilen vektörler, sonra uzunluğunu bulun ve karesini alın. Koordinatları biliniyorsa bir vektörün uzunluğunun formülünü yazalım:
Veya başka bir biçimde:
Bu vektörlerin toplamı olan vektörün koordinatlarını bulalım.Bunu yapmak için önce bu vektörlerin koordinatlarını bulun.
Vektörü düşünün:
Vektörü düşünün:
*Orijin noktaları koordinatların orijini ile çakıştığı için krokiye bakarak hemen yazmak mümkün oldu.
Şimdi bunların toplamı olan vektörün koordinatlarını bulalım:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Böylece a ve b vektörlerinin toplamı olan vektörün uzunluğu şuna eşittir:
Bu nedenle uzunluğun karesi 200'e eşit olacaktır.
*Çözüm tecrübesi olan benzer görevler, hemen yazabilirsiniz:
Gördüğünüz gibi hesaplamalar sözlü olarak yapılabilir. Burada sizin için bilinçli olarak ayrıntılı bir çözüm sunulmaktadır.
Cevap: 200
27733. a – b vektörünün uzunluğunun karesini bulun.
Görev bir öncekine benzer. Sunulan vektörlerin farkı olan vektörün koordinatlarını bulmak, ardından uzunluğunu bulmak ve sonucun karesini almak gerekir.
Bu vektörlerin koordinatlarını zaten biliyoruz (önceki problemden):
Şimdi vektörün koordinatlarını yani farklarını bulalım:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Böylece vektörlerin farkı olan vektörün uzunluğu
Bu nedenle uzunluğunun karesi 40'a eşit olacaktır.
*Hemen yazıp hesaplayabilirsiniz:
Apsis ve ordinat ekseni denir koordinatlar vektör. Vektör koordinatları genellikle formda belirtilir (x, y) ve vektörün kendisi şu şekildedir: =(x, y).
İki boyutlu problemler için vektör koordinatlarını belirleme formülü.
Durumunda iki boyutlu problemünlü ile vektör noktaların koordinatları A(x 1;y 1) Ve B(X 2 ; sen 2 ) hesaplanabilir:
= (x 2 - x 1; y 2 - ve 1).
Uzamsal problemler için vektör koordinatlarını belirleme formülü.
Uzaysal bir problem durumunda, bilinen bir vektör noktaların koordinatları A (x 1;y 1;z 1 ) ve B (X 2 ; sen 2 ; z 2 ) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
= (X 2 - X 1 ; sen 2 - sen 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinatlar verildi kapsamlı açıklama vektör, koordinatları kullanarak vektörün kendisini oluşturmak mümkün olduğundan. Koordinatları bilmek hesaplamak kolaydır ve vektör uzunluğu. (Özellik 3 aşağıda).
Vektör koordinatlarının özellikleri.
1. Herhangi biri eşit vektörler V birleşik sistem koordinatlar var eşit koordinatlar.
2. Koordinatlar eşdoğrusal vektörler orantılı. Vektörlerin hiçbirinin sıfır olmaması şartıyla.
3. Herhangi bir vektörün kare uzunluğu toplamına eşit karesini al koordinatlar.
4.Ameliyat sırasında vektör çarpımı Açık gerçek sayı koordinatlarının her biri bu sayıyla çarpılır.
5. Vektörleri toplarken karşılık gelen değerlerin toplamını hesaplıyoruz vektör koordinatları.
6. Nokta çarpımı iki vektör, karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir.