Fonksiyona izin ver u = f (x, y, z) bazı bölgelerde sürekli D ve bu bölgede sürekli kısmi türevlere sahiptir. İncelenen alanda bir nokta seçelim M(x,y,z) ve ondan bir vektör çizin S, yön kosinüsleri cosα, cosβ, cosγ'dır. vektör üzerinde S uzaklıkta Δ S başından itibaren bir nokta bulacağız M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Nerede
Fonksiyonun tam artışını hayal edelim F formda:
Nerede 
Δ'ya böldükten sonra Sşunu elde ederiz:
Çünkü 
önceki eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
Gradyan.
Tanım Oranın limitine denir bir fonksiyonun türevi u = f (x, y, z) vektör yönünde S ve belirlenir.
Bu durumda (1)'den şunu elde ederiz:
(2)
Açıklama 1. Kısmi türevler, yönlü türevin özel bir durumudur. Örneğin, ne zaman 
şunu elde ederiz:
Açıklama 2. Yukarıda iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı, fonksiyonun grafiği olan yüzeyin düzlemlerle kesişim çizgilerine teğet olanların açısal katsayıları olarak tanımlandı. x = x 0 Ve y = y 0. Benzer şekilde bu fonksiyonun yönündeki türevini de düşünebiliriz. ben bu noktada M(x 0, y 0) verilen yüzey ile noktadan geçen düzlemin kesişme çizgisinin açısal katsayısı olarak M O eksenine paralel z ve düz ben.
Tanım Belirli bir bölgenin her noktasındaki koordinatları fonksiyonun kısmi türevleri olan bir vektör u = f (x, y, z) bu noktada denir degrade işlevler u = f(x, y, z).
Tanım: mezun sen = .
Gradyan özellikleri.
1. Bazı vektörlerin yönüne göre türev S vektör gradının izdüşümüne eşittir sen vektöre S . Kanıt. Birim yön vektörü S benziyor eS =(cosα, cosβ, cosγ), dolayısıyla formül (4.7)'nin sağ tarafı grad vektörlerinin skaler çarpımıdır sen Ve e-s yani belirtilen projeksiyon.
2. Belirli bir noktada vektör yönünde türev S |grad'a eşit en büyük değere sahiptir sen|, eğer bu yön degradenin yönüyle çakışıyorsa. Kanıt. Vektörler arasındaki açıyı gösterelim S ve mezun senφ aracılığıyla. Daha sonra özellik 1'den şu sonucu çıkar: |grad sen|∙cosφ, (4.8) dolayısıyla maksimum değeri φ=0'da elde edilir ve |grad'a eşittir. sen|.
3. Gradyan vektörüne dik bir vektör yönünde türev sen, sıfıra eşittir.
Kanıt. Bu durumda formül (4.8)'de 
4. Eğer z = f(x,y) iki değişkenin bir fonksiyonudur, o zaman grad F= seviye çizgisine dik olarak yönlendirilmiş f(x,y) = c, bu noktadan geçiyoruz.
Çok değişkenli fonksiyonların ekstremumları. Bir ekstremum için gerekli bir koşul. Bir ekstremum için yeterli koşul. Koşullu ekstremum. Lagrange çarpan yöntemi. En büyük ve en küçük değerleri bulma.
Tanım 1. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde maksimum nokta işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) > f(x,y) tüm noktalar için (x, y) M 0.
Tanım 2. Nokta M 0 (x 0, y 0) isminde minimum puan işlevler z = f(x,y), Eğer f (x o , y o) < f(x,y) tüm noktalar için (x, y) bir noktanın bazı mahallelerinden M 0.
Not 1. Maksimum ve minimum noktalar denir ekstrem noktalarçeşitli değişkenlerin fonksiyonları.
Açıklama 2. Herhangi sayıda değişkenli bir fonksiyonun ekstrem noktası benzer şekilde belirlenir.
Teorem 1(bir ekstremum için gerekli koşullar). Eğer M 0 (x 0, y 0)– fonksiyonun ekstrem noktası z = f(x,y), o zaman bu noktada bu fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri sıfıra eşittir veya yoktur.
Kanıt.
Değişkenin değerini sabitleyelim en, sayma y = y 0. Daha sonra fonksiyon f (x, y 0) bir değişkenin fonksiyonu olacak X, bunun için x = x 0 ekstrem noktadır. Dolayısıyla Fermat teoremine göre ya yoktur. Aynı ifade benzer şekilde için de kanıtlanmıştır.
Tanım 3.Çok değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesine ait, fonksiyonun kısmi türevlerinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. sabit noktalar bu fonksiyon.
Yorum. Bu nedenle, uç noktaya yalnızca sabit noktalarda ulaşılabilir, ancak bunların her birinde gözlemlenmesi zorunlu değildir.
Teorem 2(bir ekstremum için yeterli koşullar). Noktanın bir mahallesine izin ver M 0 (x 0, y 0) fonksiyonun durağan noktası olan z = f(x,y), bu fonksiyonun 3. dereceye kadar sürekli kısmi türevleri vardır. O halde şunu belirtelim:
1) f(x,y)şu noktada var M 0 maksimum eğer AC-B² > 0, A < 0;
2) f(x,y)şu noktada var M 0 minimum ise AC-B² > 0, A > 0;
3) Kritik noktada hiçbir ekstremum yoksa AC-B² < 0;
4) eğer AC-B² = 0, daha fazla araştırmaya ihtiyaç vardır.
Örnek. Fonksiyonun ekstremum noktalarını bulalım z = x² - 2 xy + 2sen² + 2 X. Durağan noktaları bulmak için sistemi çözüyoruz 
. Yani durağan nokta (-2,-1)'dir. Aynı zamanda bir = 2, İÇİNDE = -2, İLE= 4. Sonra AC-B² = 4 > 0 olduğundan, sabit bir noktada bir uç noktaya, yani minimuma ulaşılır (çünkü A > 0).
Koşullu ekstremum.
Tanım 4. Eğer fonksiyon bağımsız değişkenleri ise f (x 1 , x 2 ,…, x n) formdaki ek koşullara tabidir M denklemler ( M< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,φ2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
φ i fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri olduğu durumda, denklemler (1) çağrılır bağlantı denklemleri.
Tanım 5. Fonksiyonun ekstremumu f (x 1 , x 2 ,…, x n) Koşullar (1) karşılandığında buna denir koşullu ekstremum.
Yorum. İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumunun aşağıdaki geometrik yorumunu sunabiliriz: fonksiyonun argümanları f(x,y)φ denklemiyle ilişkilidir (x,y)= 0, O düzleminde bir eğri tanımlıyor xy. Bu eğrinin her noktasından O düzlemine dik açıların yeniden oluşturulması xy yüzeyle kesişene kadar z = f(x,y),φ eğrisinin üzerindeki yüzeyde uzanan uzamsal bir eğri elde ederiz (x,y)= 0. Görev, sonuçta ortaya çıkan eğrinin uç noktalarını bulmaktır; bunlar elbette genel durumda fonksiyonun koşulsuz uç noktalarıyla çakışmaz. f(x,y).
İki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumu için gerekli koşulları öncelikle aşağıdaki tanımı tanıtarak belirleyelim:
Tanım 6.İşlev L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
Nerede λ ben – bazıları sabittir, denir Lagrange işlevi ve sayılar λi– belirsiz Lagrange çarpanları.
Teorem(koşullu bir ekstremum için gerekli koşullar). Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu z = f(x,y) birleştirme denkleminin varlığında φ ( x, y)= 0'a yalnızca Lagrange fonksiyonunun sabit noktalarında ulaşılabilir L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Skaler alan uzayın bir kısmına (veya uzayın tamamına) denir; her bir nokta, bir skaler miktarın sayısal değerine karşılık gelir.
Örnekler
Her noktası belirli bir sıcaklık değerine sahip olan cisim skaler bir alandır.
Her noktası belirli bir yoğunluğa karşılık gelen homojen olmayan bir cisim - bir skaler yoğunluk alanı.
Tüm bu durumlarda, skaler miktar U zamana bağlı değildir, ancak M noktasının uzaydaki konumuna (koordinatlarına) bağlıdır, yani üç değişkenin bir fonksiyonudur, buna denir. alan fonksiyonu. Ve tersine, üç değişkenli her fonksiyon u=f(x, y, z) bazı skaler alanları belirtir.
Düz skaler alan fonksiyonu iki değişkene bağlıdır z=f(x, y).
Skaler alanı düşünün u=f(x, y, z).
Koordinatları belirli bir noktada hesaplanan bir fonksiyonun kısmi türevleri olan bir vektöre denir. degrade Bu noktadaki fonksiyon veya skaler alanın gradyanı.
Bir vektör ve üzerindeki iki noktayı düşünün M 0 (x 0, y 0, z 0) Ve . Fonksiyonun şu yöndeki artışını bulalım:
Yönlü türev eğer mevcutsa aşağıdaki limit çağrılır:
vektörün yön kosinüsleri nerede; α, β, γ vektörün koordinat eksenleriyle oluşturduğu açılardır, eğer .
İki değişkenli bir fonksiyon için bu formüller şu şekli alır:
veya 
,
Çünkü .
Gradyan ile yönlü türev arasında aynı noktada bir ilişki vardır.
Teorem. Bir fonksiyonun gradyanı ile belirli bir yöndeki bir vektörün skaler çarpımı, bu fonksiyonun bu vektör yönündeki türevine eşittir:
.
Sonuçlar. Bu yön, degradenin yönüyle çakışıyorsa, yönlü türev en büyük değere sahiptir (skaler çarpımın tanımını kullanarak ve bunu varsayarak bunu kendiniz gerekçelendirin).
Sonuçlar:
1. Gradyan, belirli bir noktada fonksiyondaki en büyük artışın yönünü gösteren ve bu artışın oranına sayısal olarak eşit bir modüle sahip bir vektördür:
.
2. Yönlü türev, bir fonksiyonun yöndeki değişim hızıdır: eğer ise bu yöndeki fonksiyon artar, eğer ise fonksiyon azalır.
3. Vektör, vektörlerden biriyle çakışırsa, bu vektörün yönüne göre türev, karşılık gelen kısmi türevle çakışır.
Örneğin, eğer , o zaman .
Örnek
Verilen işlev 
, nokta bir(1, 2) ve vektör.
Bul: 1) ;
Çözüm
1) Fonksiyonun kısmi türevlerini bulun ve bunları A noktasında hesaplayın.
, .
Daha sonra 
.
2) Vektörün yön kosinüslerini bulun:
Cevap: ; .
Edebiyat [ 1,2]
Kendi kendine test soruları:
1. İki değişkenli fonksiyona ne denir, tanım alanı?
2. Kısmi türevler nasıl belirlenir?
3. Kısmi türevlerin geometrik anlamı nedir?
4. Belirli bir noktada skaler alanın gradyanı ne denir?
5. Yönlü türevin adı nedir?
6. İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumlarını bulma kurallarını formüle edin.
Seçenek 1
Görev No.1
A) 
; B) 
;
V) ; G) 
.
Görev No.2 Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin: fonksiyonun süreksizlik noktalarını bulun ve türlerini belirleyin. Fonksiyonun şematik bir grafiğini oluşturun.
Görev No. Bir Z karmaşık sayısı verildiğinde. Gerekli: Z sayısını cebirsel ve trigonometrik formlarda yazın. .
Görev No.4.
1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .
Görev No.5. Diferansiyel hesap yöntemlerini kullanarak bir fonksiyonu araştırın ve araştırma sonuçlarını kullanarak bir grafik oluşturun. .
Görev No. 6. z=f(x,y) fonksiyonu verilmiştir. F≡0 kimliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edin? 
Görev No.7 Bir fonksiyon verildiğinde Z=x 2 +xy+y 2, nokta ve vektör. Bulmak:
1) z notu bu noktada A;
2) bir noktada türev A vektör yönünde .
Seçenek 2
Görev No.1 L'Hopital kuralını kullanmadan fonksiyonların limitlerini hesaplayın.
A) 
; B) 
;
V) 
; G) 
.
Görev No.2 Bir fonksiyonu süreklilik açısından inceleyin: fonksiyonun süreksizlik noktalarını bulun ve türlerini belirleyin. Fonksiyonun şematik bir grafiğini oluşturun.
Görev No.3 Bir Z karmaşık sayısı verildiğinde. Gerekli: Z sayısını cebirsel ve trigonometrik formlarda yazın.
Görev No.4. Bu fonksiyonların birinci dereceden türevlerini bulun.
Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi kavramını tanıtarak, diğer tüm argümanları değiştirmeden değişkenleri tek tek artırdık. Özellikle, z = f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyonu ele alırsak, o zaman ya x değişkenine Δx artışı verilir ve sonra fonksiyonun tanım alanında koordinatları olan bir noktadan geçiş olur. (x,y) koordinatları (x + Δx ;y) olan bir noktaya; veya y değişkenine bir Δy artışı verildi ve ardından fonksiyonun tanım alanında, koordinatları (x,y) olan bir noktadan koordinatları (x; y + Δy) olan bir noktaya geçiş oldu (bkz. Şekil 5.6) ). Böylece fonksiyonun kısmi türevini aldığımız nokta, düzlemdeki koordinat eksenlerine paralel yönlerde (ya x eksenine paralel ya da ordinatına paralel) hareket etmiştir. Şimdi yönün keyfi olarak alınabileceği durumu ele alalım; Artışlar aynı anda birden fazla değişkene verilir. İki değişkenli bir fonksiyon durumunda, (x + Δx; y + Δy) noktasına gideceğiz ve yer değiştirme Δ olacaktır. ben(bkz. Şekil 5.6).
Belirli bir yönde hareket ederken z fonksiyonu Δ artacaktır ben z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), z fonksiyonunun belirli bir yöndeki artışı olarak adlandırılır ben.
z'nin türevi ben' yönünde ben
iki değişkenli fonksiyonlar
z = f(x,y), bu yöndeki fonksiyon artışının Δ yer değiştirme değerine oranının limitidir ben ikincisi sıfıra eğilimli olduğundan, yani. .
Türev z ben` fonksiyonun yöndeki değişim hızını karakterize eder ben.
Yönlü türev kavramı, herhangi bir sayıda değişkene sahip fonksiyonlara genelleştirilebilir.
Şekil 5.6 – Bir noktayı belirli bir yönde hareket ettirme ben
z olduğu kanıtlanabilir ben` = z x `çünkü α + z y `cos β, burada α ve β, noktanın koordinat eksenleriyle hareket yönünün oluşturduğu açılardır (bkz. Şekil 5.6).
Örneğin z = ln (x 2 + xy) fonksiyonunun şu noktada türevini bulalım.
(3; 1) bu noktadan (6; -3) noktasına giden yönde (bkz. Şekil 5.7).
Bunu yapmak için önce bu fonksiyonun (3; 1) noktasındaki kısmi türevlerini bulun: z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.
Δx = 6 – 3 = 3 olduğuna dikkat edin; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ ben) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ ben| = 5. O halde cos α = 3/5; çünkü β = -4/5; z ben` =
z x `çünkü α +
z y `çünkü β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.
Gradyan işlevi
Okul matematik dersinden, düzlem üzerindeki bir vektörün yönlendirilmiş bir parça olduğunu biliyoruz. Başlangıcı ve bitişi iki koordinata sahiptir. Vektör koordinatları, başlangıç koordinatlarının bitiş koordinatlarından çıkarılmasıyla hesaplanır.
Bir vektör kavramı n boyutlu uzaya genişletilebilir (iki koordinat yerine n koordinat olacaktır).
Gradyan z = f(x 1, x 2, ...x n) fonksiyonunun grad z'si, fonksiyonun bir noktadaki kısmi türevlerinin vektörüdür, yani. koordinatlı vektör 
.
Bir fonksiyonun gradyanının, bir noktadaki fonksiyonun seviyesinin en hızlı büyüme yönünü karakterize ettiği kanıtlanabilir.
Örneğin, z = 2x 1 + x 2 fonksiyonu için (bkz. Şekil 5.8), herhangi bir noktadaki eğimin koordinatları (2; 1) olacaktır. Herhangi bir noktayı vektörün başlangıcı olarak alarak bunu bir düzlem üzerinde çeşitli şekillerde oluşturabilirsiniz. Örneğin, (0; 0) noktasını (2; 1) noktasına veya (1; 0) noktasını (3; 1) noktasına veya (0; 3) noktasını (2; 4) noktasına bağlayabilirsiniz, ya da benzeri. (Bkz. Şekil 5.8). Bu şekilde oluşturulan tüm vektörlerin koordinatları (2 – 0; 1 – 0) = olacaktır.
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Şekil 5.8'den, oluşturulan seviye çizgileri 4> 3> 2 seviye değerlerine karşılık geldiğinden fonksiyonun seviyesinin gradyan yönünde arttığı açıkça görülmektedir.
Şekil 5.8 - z fonksiyonunun gradyanı = 2x 1 + x 2
Başka bir örneği ele alalım: z = 1/(x 1 x 2) fonksiyonu. Koordinatları (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)) formülleri tarafından belirlendiğinden, bu fonksiyonun gradyanı artık farklı noktalarda her zaman aynı olmayacaktır.
Şekil 5.9, seviye 2 ve 10 için z = 1/(x 1 x 2) fonksiyonunun seviye çizgilerini gösterir (düz çizgi 1/(x 1 x 2) = 2 noktalı çizgiyle gösterilir ve düz çizgi
1/(x 1 x 2) = 10 – düz çizgi).
Şekil 5.9 - z = 1/(x 1 x 2) fonksiyonunun çeşitli noktalardaki gradyanları
Örneğin (0,5; 1) noktasını alın ve bu noktadaki gradyanı hesaplayın: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). (0,5; 1) noktasının 1/(x 1 x 2) = 2 düzey çizgisi üzerinde yer aldığına dikkat edin, çünkü z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Vektörü tasvir etmek için ( -4; -2) Şekil 5.9'da (0.5; 1) noktasını (-3.5; -1) noktasına bağlarız, çünkü
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Aynı seviye doğrusu üzerinde başka bir nokta alalım, örneğin (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2) noktası. Bu noktadaki eğimi hesaplayalım
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Şekil 5.9'da bunu göstermek için, (1; 0.5) noktasını (-1; -3.5) noktasına bağlarız çünkü (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Aynı seviye çizgisi üzerinde başka bir nokta alalım, ancak bu sadece şimdi pozitif olmayan bir koordinat çeyreği içinde olsun. Örneğin, (-0,5; -1) noktası (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Bu noktadaki gradyan şuna eşit olacaktır:
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). (-0.5; -1) noktasını (3.5; 1) noktasına bağlayarak Şekil 5.9'da gösterelim, çünkü (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Dikkate alınan her üç durumda da eğimin, fonksiyon seviyesinin büyüme yönünü gösterdiğine dikkat edilmelidir (seviye çizgisi 1/(x 1 x 2) = 10 > 2'ye doğru).
Gradyanın her zaman belirli bir noktadan geçen seviye çizgisine (düz yüzey) dik olduğu kanıtlanabilir.