Trigonometrik denklemler. Matematik sınavının ilk bölümünde denklem çözme ile ilgili bir görev bulunmaktadır. basit denklemler Dakikalar içerisinde çözülen bu sorunun birçok türü ağız yoluyla çözülebilmektedir. İçerir: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel, üstel, logaritmik ve trigonometrik denklemler.
Bu yazıda trigonometrik denklemlere bakacağız. Çözümleri hem hesaplama hacmi hem de karmaşıklık açısından bu bölümdeki diğer problemlerden farklıdır. Paniğe kapılmayın, "zorluk" kelimesi diğer görevlere kıyasla göreceli zorluklarını ifade eder.
Denklemin köklerini bulmanın yanı sıra, en büyük negatif veya en küçük pozitif kökü de belirlemek gerekir. Sınavda trigonometrik bir denklem elde etme olasılığınız elbette düşüktür.
Birleşik Devlet Sınavının bu bölümünde bunların% 7'sinden azı var. Ancak bu onların göz ardı edilmesi gerektiği anlamına gelmez. Bölüm C'de ayrıca bir trigonometrik denklemi çözmeniz gerekir, dolayısıyla çözüm tekniğini ve teoriyi iyi anlamak kesinlikle gereklidir.
Matematiğin trigonometri bölümünü anlamak, birçok problemi çözmedeki başarınızı büyük ölçüde belirleyecektir. Cevabın bir tam sayı veya sonlu bir sayı olduğunu hatırlatırım ondalık. Denklemin köklerini aldıktan sonra kontrol ettiğinizden emin olun. Fazla zaman almayacak ve sizi hata yapmaktan kurtaracaktır.
İleride diğer denklemlere de bakacağız, kaçırmayın! Trigonometrik denklemlerin köklerine ilişkin formülleri hatırlayalım, bunları bilmeniz gerekir:
Bu değerlerin bilgisi gereklidir; bu, birçok görevle baş etmenin imkansız olacağı “alfabedir”. Harika, eğer hafızanız iyiyse bu değerleri kolaylıkla öğrenmiş ve hatırlamışsınızdır. Bunu yapamıyorsanız ne yapmalısınız, kafanızda bir karmaşa var ama sınava girerken kafanız karıştı. Hesaplamalarınızda yanlış değeri yazdığınız için puan kaybetmek yazık olur.
Bu değerler basittir, bültene abone olduktan sonra aldığınız ikinci mektupta aldığınız teoride de verilmiştir. Henüz abone olmadıysanız mutlaka yapın! Gelecekte bu değerlerin nasıl belirlenebileceğini de ele alacağız. trigonometrik daire. Ona "Trigonometrinin Altın Kalbi" denmesi boşuna değil.
Karışıklığı önlemek için hemen açıklayayım, aşağıda ele alınan denklemlerde açı kullanılarak ark sinüs, ark kosinüs, ark tanjant tanımları verilmiştir. X karşılık gelen denklemler için: cosx=a, sinx=a, tgx=a, burada X bir ifade de olabilir. Aşağıdaki örneklerde argümanımız tam olarak bir ifadeyle belirtilmiştir.
Öyleyse aşağıdaki görevleri ele alalım:
Denklemin kökünü bulun:
Cevabınızdaki en büyüğünü yazın. negatif kök.
Kararla çünkü denklemler x = a iki köktür:
Tanım: Modüldeki a sayısı bir'i aşmasın. Bir sayının ark kosinüsü, kosinüsü a'ya eşit olan 0 ila Pi aralığında yer alan x açısıdır.
Araç
Hadi ifade edelim X:
En büyük negatif kökü bulalım. Bu nasıl yapılır? Hadi değiştirelim farklı anlamlar Ortaya çıkan köklere n ekleyin, en büyük negatif olanı hesaplayın ve seçin.
Hesaplıyoruz:
n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5
n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5
n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5 ile
n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5 ile
n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5 ile
En büyük negatif kökün –1,5 olduğunu bulduk
Cevap: –1.5
Kendiniz karar verin:
Denklemi çözün:
Kararla günah denklemleri x = a iki köktür:
Ya (yukarıdakilerin her ikisini de birleştirir):
Tanım: Modüldeki a sayısı bir'i aşmasın. Bir sayının ark sinüsü -90° ila 90° aralığında yer alan ve sinüsü a'ya eşit olan x açısıdır.
Araç
x'i ifade edin (denklemin her iki tarafını 4 ile çarpın ve Pi'ye bölün):
En küçük pozitif kökü bulalım. Burada ikame sırasında hemen anlaşılıyor negatif değerler n negatif kökler elde ederiz. Bu nedenle n = 0,1,2'yi yerine koyacağız...
n = 0 olduğunda x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4
n = 1 olduğunda x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6
n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12 olduğunda
n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2 ile kontrol edelim.
Yani en küçük pozitif kök 4'tür.
Cevap: 4
Kendiniz karar verin:
Denklemi çözün:
Cevabınızdaki en küçük pozitif kökü yazın.
Oldukça sık görevlerde artan karmaşıklık tanışmak modülü içeren trigonometrik denklemler. Çoğu, çoğu okul çocuğuna tamamen yabancı olan, çözüme yönelik buluşsal bir yaklaşım gerektirir.
Aşağıdaki görevler sizi en çok tanıtmayı amaçlamaktadır. karakteristik teknikler Modül içeren trigonometrik denklemlerin çözümü.
Görev 1. En küçük pozitif ile en büyük değerin farkını (derece cinsinden) bulun negatif kökler denklemler 1 + 2sin x |cos x| = 0.
Çözüm.
Modülü genişletelim:
1) Eğer cos x ≥ 0 ise, orijinal denklem 1 + 2sin x cos x = 0 formunu alacaktır.
Sinüs formülünü kullanalım çift açı, şunu elde ederiz:
1 + günah 2x = 0; günah 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. cos x ≥ 0 olduğundan x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Çünkü x ise< 0, то verilen denklem 1 – 2sin x cos x = 0 biçimindedir. Çift açılı sinüs formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
1 – günah 2x = 0; günah 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Çünkü x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Denklemin en büyük negatif kökü: -π/4; Denklemin en küçük pozitif kökü: 5π/4.
Gerekli fark: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Cevap: 270°.
Problem 2. |tg x| denkleminin en küçük pozitif kökünü (derece cinsinden) bulun. + 1/cos x = tan x.
Çözüm.
Modülü genişletelim:
1) Tan x ≥ 0 ise, o zaman
tan x + 1/cos x = tan x;
Ortaya çıkan denklemin kökleri yoktur.
2) Eğer tgx ise< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cosx – 2tgx = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sinx) / cosx = 0;
1 – 2sin x = 0 ve cos x ≠ 0.
Şekil 1'i ve tg x koşulunu kullanma< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Denklemin en küçük pozitif kökü 5π/6'dır. Bu değeri dereceye çevirelim:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Cevap: 150°.
Görev 3. Miktarı bulun farklı kökler denklemler sin |2x| = cos 2x [-π/2 aralığında; π/2].
Çözüm.
Denklemi sin|2x| formunda yazalım. – cos 2x = 0 ve y = sin |2x| fonksiyonunu düşünün – çünkü 2x. Fonksiyon çift olduğundan x ≥ 0 için sıfırlarını bulacağız.
günah 2x – çünkü 2x = 0; Denklemin her iki tarafını da cos 2x ≠ 0'a bölersek şunu elde ederiz:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
Fonksiyonun paritesini kullanarak orijinal denklemin köklerinin şu formdaki sayılar olduğunu buluruz:
± (π/8 + πn/2), burada n € Z.
Aralık [-π/2; π/2] şu sayılara aittir: -π/8; π/8.
Yani denklemin iki kökü verilen aralığa aittir.
Cevap: 2.
Bu denklem modülün açılmasıyla da çözülebilir.
Problem 4. [-π; aralığında sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x denkleminin kök sayısını bulun. 2π].
Çözüm.
1) 2cos x – 1 > 0 durumunu düşünün; cos x > 1/2 ise denklem şu şekli alır:
günah x – günah 2 x = günah 2 x;
günah x – 2sin 2 x = 0;
günah x(1 – 2sin x) = 0;
sin x = 0 veya 1 – 2sin x = 0;
sin x = 0 veya sin x = 1/2.
Şekil 2'yi ve cos x > 1/2 koşulunu kullanarak denklemin köklerini buluruz:
x = π/6 + 2πn veya x = 2πn, n € Z.
2) 2cos x – 1 durumunu düşünün< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
günah x + günah 2 x = günah 2 x;
x = 2πn, n € Z.
Şekil 2'yi ve cos x koşulunu kullanma< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
İki durumu birleştirdiğimizde şunu elde ederiz:
x = π/6 + 2πn veya x = πn.
3) Aralık [-π; 2π] köklere aittir: π/6; -π; 0; π; 2π.
Dolayısıyla verilen aralık denklemin beş kökünü içerir.
Cevap: 5.
Problem 5. Denklemin kök sayısını bulun (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 [-π aralığında; 2π].
Çözüm.
1) Eğer sin x ≥ 0 ise orijinal denklem (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0 formunu alır. Çıkarıldıktan sonra ortak çarpan parantezlerin dışında sin x elde edersek şunu elde ederiz:
günah x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; (x – 0,7) 2 + 1 > 0 olduğundan tüm gerçek x'ler için sinx = 0, yani. x = πn, n € Z.
2) Eğer günah x ise< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
günah x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;
sinx = 0 veya (x – 0,7) 2 + 1 = 0. Sin x olduğundan< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем karekök Son denklemin sol ve sağ taraflarından şunu elde ederiz:
x – 0,7 = 1 veya x – 0,7 = -1, yani x = 1,7 veya x = -0,3.
Sinx koşulu dikkate alınarak< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, yani yalnızca -0,3 sayısı orijinal denklemin köküdür.
3) Aralık [-π; 2π] şu sayılara aittir: -π; 0; π; 2π; -0.3.
Dolayısıyla denklemin belirli bir aralıkta beş kökü vardır.
Cevap: 5.
Çeşitli araçları kullanarak derslere veya sınavlara hazırlanabilirsiniz. eğitim kaynakları, internette bulunanlar. Şu anda herkes 
bir kişinin sadece yenilerini kullanması gerekiyor Bilişim teknolojisiÇünkü bunların doğru ve en önemlisi uygun kullanımı, konuyu çalışma motivasyonunun artmasına, ilginin artmasına ve gerekli materyalin daha iyi özümsenmesine yardımcı olacaktır. Ancak unutmayın ki bilgisayar size düşünmeyi öğretmez; alınan bilgilerin işlenmesi, anlaşılması ve hatırlanması gerekir. Bu nedenle bize başvurabilirsiniz. çevrimiçi öğretmenler ilginizi çeken sorunları çözmenize yardımcı olacaktır.
Hala sorularınız mı var? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.