Eğer 2 paralel doğru 3'ü keserse o zaman. Çizgilerin paralelliği - paralelliğin işaretleri ve koşulları

Tanım:

İki doğrudan arama pa-ral-lel-ny-mi, eğer geçmezlerse (Şekil 1). Bunun anlamı şudur: .

Belirli bir düz çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir düz çizgi geçer (Şekil 2). .

Aksiyomun sonuçları

Sonuçlar1:

Bir doğru, paralel doğrulardan birini keserse, diğerini de keser.

Verilen:.

Kanıtlamak:.

Kanıt:

Bunu karşı taraftan konuşalım. Bunu varsayıyoruz İleçizgiyi geçmiyor B(Şekil 4).

Sonra: (koşulla), (varsayımla). Yani, nokta yoluyla M iki düz çizgi var ( A Ve C), paralel doğrudan B. Ve bu, pro-ti-vo-re-chit aks-sio-me'dir. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. O zaman düz Cçapraz düz B.

Sonuç 2:

İki düz çizgi üçüncü düz çizgiye paralelse paraleldirler(Şekil 5) .

Verilen:.

Kanıtlamak:.

Kanıt:

Bunu karşı taraftan konuşalım. Düz olduklarını varsayalım A Ve B per-re-se-ka-yut-sya bir noktada M(Şekil 6).

Bu şekilde ak-si-o-mine ile ilgili şeylerden konuşalım: noktadan M iki düz çizgi aynı anda üçüncü bir düz çizgiye paralel olarak geçiyor.

Sonra, varsayımımız yanlıştır. Daha sonra .

Paralel doğruların özelliklerine ilişkin teoremler

Teori 1:

İki düz çizgi kesişirse çarpımdaki açılar eşittir(Şekil 7).

Verilen:.

Kanıtlamak:.

Kanıt:

Bunu karşı taraftan konuşalım. Şunu varsayıyoruz: .

Daha sonra ışından MN tek bir açı ayarlamak mümkündür ∠ PMN, eşit olacak ∠ 2 ( Pirinç. 7). Ama sonra ∠ PMN Ve ∠ 2 - çapraz ve eşit uzanıyor. Sonra yönlendir ÖĞLEDEN SONRA. Ve B- pa-ral-lel-ny. Daha sonra nokta boyunca M iki düz çizgi geçiyor, üçüncüsü paralel. Yani:

Ak-si-o-moy ile biraz sohbet edelim. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir. Yani: .

Sonuçlar:

Düz bir çizgi, paralel düz çizgilerden birinde per-di-ku-lyar-on ise, o zaman per-di-ku-lyar-on ve ikincisidir.

Verilen:

Kanıtlamak:

Kanıt:

1. İle per-re-se-ka-et A, bunun anlamı, ve ona paralel olan doğrudan çizgiyi yeniden se-ka-et, yani B. Daha sonra İle- se-ku-shchaya'dan-no-she-niyu'ya A Ve B.

2. çarmıhta ne kadar süreyle göründükleri. Daha sonra . yani .

Teo-re-ma 2:

İki paralel düz çizgi kesişirse karşılık gelen açılar eşittir.

Verilen:- s-ku-shaya.

Kanıtlamak:(Şekil 9).

Kanıt:

Eğer öyleyse, önceki teoremden haçtaki açıların eşit olduğu sonucu çıkar. Yani.

İki çizginin paralellik işaretleri

Teorem 1. Eğer iki doğru bir sekantla kesişiyorsa:

çapraz açılar eşittir veya

karşılık gelen açılar eşittir veya

tek taraflı açıların toplamı 180° ise

çizgiler paraleldir(Şekil 1).

Kanıt. Kendimizi durum 1'i kanıtlamakla sınırlıyoruz.

Kesişen a ve b çizgileri çapraz olsun ve AB açıları eşit olsun. Örneğin, ∠ 4 = ∠ 6. a || olduğunu kanıtlayalım. B.

a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. Daha sonra bir M noktasında kesişirler ve bu nedenle 4 veya 6 açılarından biri ABM üçgeninin dış açısı olacaktır. Kesinlik sağlamak için, ABM üçgeninin dış açısı ∠ 4 ve iç açısı ∠ 6 olsun. Hakkındaki teoremden dış açıÜçgende ∠ 4'ün ∠ 6'dan büyük olduğu sonucu çıkar ve bu koşulla çelişir, bu da a ve 6 doğrularının kesişemeyeceği, dolayısıyla paralel oldukları anlamına gelir.

Sonuç 1. Aynı doğruya dik bir düzlemde iki farklı doğru paraleldir(Şekil 2).

Yorum. Teorem 1'in 1. durumunu kanıtlama şeklimize çelişki yoluyla veya saçmalığa indirgeme yoluyla kanıtlama yöntemi denir. Bu yöntem ilk adını almıştır çünkü tartışmanın başında kanıtlanması gerekenin tersi (zıt) bir varsayımda bulunulmaktadır. Yapılan varsayıma dayanarak akıl yürüterek saçma bir sonuca (saçma) varmamız nedeniyle buna saçmalığa yol açma denir. Böyle bir sonuca varmak bizi başlangıçtaki varsayımı reddetmeye ve kanıtlanması gereken varsayımı kabul etmeye zorlar.

Görev 1.İçinden geçen bir çizgi oluşturun bu nokta M ve belirli bir a çizgisine paralel, M noktasından geçmeyen.

Çözüm. M noktasından a düz çizgisine dik bir p düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 3).

Daha sonra M noktasından p doğrusuna dik bir b doğrusu çiziyoruz. Teorem 1'in sonucuna göre b doğrusu a doğrusuna paraleldir.

Ele alınan problemden önemli bir sonuç çıkmaktadır:
Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan verilen doğruya paralel bir doğru çizmek her zaman mümkündür..

Paralel doğruların temel özelliği aşağıdaki gibidir.

Paralel doğrular aksiyomu. Belirli bir doğru üzerinde yer almayan belirli bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru geçer.

Bu aksiyomdan çıkan paralel doğruların bazı özelliklerini ele alalım.

1) Bir doğru iki paralel çizgiden biriyle kesişiyorsa diğeriyle de kesişir (Şekil 4).

2) Eğer iki farklı doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler (Şekil 5).

Aşağıdaki teorem de doğrudur.

Teorem 2. İki paralel doğru bir enine çizgiyle kesişirse:

çapraz açılar eşittir;

karşılık gelen açılar eşittir;

tek taraflı açıların toplamı 180°'dir.

Sonuç 2. Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir(bkz. Şekil 2).

Yorum. Teorem 2, Teorem 1'in tersi olarak adlandırılır. Teorem 1'in sonucu, Teorem 2'nin koşuludur. Ve Teorem 1'in koşulu, Teorem 2'nin sonucudur. Her teoremin tersi yoktur, yani eğer bu teorem doğru ise ters teorem doğru olmayabilir.

Bunu düşey açılar teoremi örneğini kullanarak açıklayalım. Bu teorem şu şekilde formüle edilebilir: eğer iki açı dikey ise, o zaman eşittirler. Tersi teorem şu şekilde olacaktır: eğer iki açı eşitse, o zaman bunlar dikeydir. Ve bu elbette doğru değil. İki eşit açılar kesinlikle dikey olmasına gerek yok.

Örnek 1.İki paralel çizgi üçte biri ile kesişiyor. Tek taraflı iki iç açı arasındaki farkın 30° olduğu bilinmektedir. Bu açıları bulun.

Çözüm. Şekil 6 koşulu karşılasın.

Üçüncü bir çizgiyle kesiştiklerinde karşılık gelen açılar eşitse veya çapraz uzanan iç veya dış açılar eşitse veya iç veya dış tek taraflı açıların toplamı eşitse, iki çizginin paralel olduğunu biliyoruz. 2 D. Ters teoremlerin de doğru olduğunu kanıtlayalım:

İki paralel doğru üçte bir oranında kesişirse:

1. karşılık gelen açılar eşittir;
2. iç çapraz açılar eşittir;
3. dış çapraz açılar eşittir;
4. Tek taraflı iç açıların toplamı 2d'dir;
5. Tek taraflı dış açıların toplamı 2d'dir.

Örneğin, eğer iki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesişiyorsa, karşılık gelen açıların eşit olduğunu kanıtlayalım.

AB ve CD düz çizgileri paralel olsun ve MN onların sekantı olsun (Şek.). Karşılık gelen 1 ve 2 açılarının birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım.

∠1 ve ∠2'nin eşit olmadığını varsayalım. O zaman O noktasında ∠2'ye karşılık gelen ve ona eşit olan ∠MOK'u oluşturmak mümkündür (Şekil).

Fakat eğer ∠MOK = ∠2 ise, o zaman OK düz çizgisi CD'ye paralel olacaktır.

O noktasından geçen AB ve OK düz çizgilerinin CD düz çizgisine paralel çizildiğini bulduk. Ama bu olamaz.

∠1 ve ∠2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye vardık. Bu nedenle varsayımımız yanlıştır ve ∠1'in ∠2'ye eşit olması gerekir, yani karşılık gelen açılar eşittir.

Geriye kalan açılar arasındaki ilişkileri kuralım. AB ve CD düz çizgileri paralel olsun ve MN onların sekantı olsun (Şek.).

Bu durumda karşılık gelen açıların eşit olduğunu kanıtladık. Bunlardan herhangi ikisinin 119° olduğunu varsayalım. Diğer altı açıdan her birinin boyutunu hesaplayalım. Komşuların özelliklerine göre dikey açılar sekiz açıdan dördünün 119°, geri kalanının ise 61° olduğunu anlıyoruz.

Hem iç hem de dış çapraz açıların çiftler halinde eşit olduğu ve iç ve dış tek taraflı açıların toplamının 180°'ye (veya 2d) eşit olduğu ortaya çıktı.

Aynı şey, karşılık gelen açıların eşit olduğu diğer herhangi bir değer için de gerçekleşecektir.

Sonuç 1. AB ve CD doğrularından her biri aynı üçüncü MN doğrusuna paralelse, ilk iki doğru birbirine paraleldir. .

Aslında, EF sekantını çizerek (Şek.), şunu elde ederiz:

a) ∠1 = ∠3, çünkü AB || MN; b) ∠ 2 = ∠3, çünkü CO || MN.

Bu, ∠1 = ∠2 olduğu anlamına gelir ve bunlar AB ve CD doğruları ile EF sekantındaki karşılık gelen açılardır, dolayısıyla AB ve CD doğruları paraleldir.

Sonuç 2. Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir .

Aslında, eğer EF ⊥ AB ise ∠1 = D; eğer AB || CD ise ∠1 = ∠2 olur.

Bu nedenle, ∠ 2 = D yani EF ⊥ CD.

BÖLÜM III.
PARALEL DOĞRUDAN

§ 38. AÇILAR ARASINDA BAĞIMLILIK,
İKİ PARALEL ÇİZGİ VE BİR İKİNCİL ÇİZGİDEN OLUŞMUŞTUR.

İki paralel doğru üçte bir oranında kesişirse:

1) karşılık gelen açılar eşittir;
2) iç çapraz açılar eşittir;
3) dış çapraz açılar eşittir;
4) iç tek taraflı açıların toplamı eşittir 2 D ;
5) dış tek taraflı açıların toplamı eşittir 2 D .

Örneğin, eğer iki paralel çizgi üçüncü bir çizgiyle kesişiyorsa, karşılık gelen açıların eşit olduğunu kanıtlayalım.

AB ve CD düz çizgileri paralel olsun ve bunların sekantı MN olsun (Şekil 202). Karşılık gelen 1 ve 2 açılarının birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım.

Diyelim ki / 1 ve / 2 eşit değil O zaman O noktasında inşa edebiliriz / IOC, karşılık gelen ve eşit / 2 (çizim 203).

Ama eğer / Adedi = / 2, o zaman OK düz çizgisi CD'ye paralel olacaktır (§ 35).

AB ve OK düz çizgilerinin O noktasından CD düz çizgisine paralel olarak çizildiğini gördük. Ancak bu olamaz (§ 37).

Bir çelişkiye vardık çünkü öyle varsaydık / 1 ve / 2 eşit değil Bu nedenle varsayımımız yanlıştır ve / 1 eşit olmalı / 2, yani karşılık gelen açılar eşittir.

Geriye kalan açılar arasındaki ilişkileri kuralım. AB ve CD düz çizgileri paralel olsun ve MN onların sekantı olsun (Şekil 204).

Bu durumda karşılık gelen açıların eşit olduğunu kanıtladık. Bunlardan herhangi ikisinin 119° olduğunu varsayalım. Diğer altı açıdan her birinin boyutunu hesaplayalım. Bitişik ve dikey açıların özelliklerine dayanarak, sekiz açıdan dördünün her birinin 119°, geri kalanların ise her birinin 61° olacağını buluyoruz.

Hem iç hem de dış çapraz açıların çiftler halinde eşit olduğu ve iç ve dış tek taraflı açıların toplamının 180° (veya 2) olduğu ortaya çıktı. D).

Aynı şey, karşılık gelen açıların eşit olduğu diğer herhangi bir değer için de gerçekleşecektir.

Sonuç 1. AB ve CD doğrularından her biri aynı üçüncü MN doğrusuna paralelse, ilk iki doğru birbirine paraleldir. (Çizim 205).

Aslında EF sekantını çizerek (Şekil 206) şunu elde ederiz:
A) / 1 = / 3, AB'den beri || MN; B) / 2 = / 3, CO'dan beri || MN.

Araç, / 1 = / 2, ve bunlar AB ve CD doğrularına ve EF sekantına karşılık gelen açılardır, dolayısıyla AB ve CD doğruları paraleldir.

Sonuç 2. Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir (Çizim 207).

Aslında, eğer EF __|_ AB ise, o zaman / 1 = D; eğer AB || daha sonra CD'yi / 1 = / 2.

Buradan, / 2 = D yani EF _|_ CD .

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgiler bizimle iletişime geçtiğinizde.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.