Teorem 1. Döngüsel bir dörtgenin zıt açılarının toplamı 180°.
O merkezli bir dairenin içine ABCD dörtgeninin yazılmasına izin verin (Şekil 412). ∠A + ∠C = 180° ve ∠B + ∠D = 180° olduğunu kanıtlamak gerekmektedir.
∠A, O çemberinde yazılı olduğu şekliyle 1/2 \(\breve(BCD)\) ölçüsündedir.
∠C, aynı daire içinde yazılı haliyle 1/2 \(\breve(KÖTÜ)\) ölçer.
Sonuç olarak, A ve C açılarının toplamı BCD ve BAD yaylarının yarı toplamı ile ölçülür; bu yaylar toplamda bir daire oluşturur; 360° var.
Dolayısıyla ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Benzer şekilde ∠B + ∠D = 180° olduğu kanıtlanmıştır. Ancak bu başka bir şekilde de çıkarılabilir. miktarını biliyoruz iç köşeler dışbükey dörtgen 360°'ye eşittir. A ve C açılarının toplamı 180°'ye eşittir, yani dörtgenin diğer iki açısının toplamı da 180° kalır.
Teorem 2 (tersi). Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamı eşitse 180° O zaman böyle bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.
ABCD dörtgeninin zıt açılarının toplamı 180° olsun.
∠A + ∠C = 180° ve ∠B + ∠D = 180° (Şekil 412).
Böyle bir dörtgenin etrafında bir dairenin tanımlanabileceğini kanıtlayalım.
Kanıt. Bu dörtgenin herhangi 3 köşesinden bir daire çizebilirsiniz; örneğin A, B ve C noktalarından geçen bir daire. D noktası nerede olacak?
D noktası yalnızca birini işgal edebilir sonraki üç pozisyonlar: dairenin içinde olmak, dairenin dışında olmak, dairenin çevresinde olmak.
Tepe noktasının dairenin içinde olduğunu ve D’ konumunu aldığını varsayalım (Şekil 413). O zaman ABCD’ dörtgeninde şunu elde ederiz:
∠B + ∠D’ = 2 D.
AD' kenarını E noktasındaki çemberle kesişme noktasına kadar devam ettirerek ve E ile C noktalarını birleştirerek, doğrudan teoremi ile ABCE döngüsel dörtgenini elde ederiz.
∠B + ∠E = 2 D.
Bu iki eşitlikten şu sonuç çıkar:
∠D’ = 2 D-∠B;
∠E = 2 D-∠B;
ancak bu olamaz, çünkü ∠D', CD'E üçgenine göre dış olduğundan E açısından büyük olmalıdır. Bu nedenle D noktası çemberin içinde olamaz.
Ayrıca D tepe noktasının dairenin dışında D" konumunu alamayacağı da kanıtlanmıştır (Şekil 414).
Geriye, D tepe noktasının dairenin çevresi üzerinde yer alması gerektiği, yani E noktasıyla çakışması gerektiği, bunun da ABCD dörtgeni etrafında bir dairenin tanımlanabileceği anlamına geldiği kabul edilmektedir.
Sonuçlar.
1. Herhangi bir dikdörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.
2. Etrafında ikizkenar yamuk bir daireyi tanımlayabilir.
Her iki durumda da zıt açıların toplamı 180°'dir.
Teorem 3. Tanımlanan dörtgende toplamlar zıt taraflar eşittir. ABCD dörtgeninin bir daire etrafında tanımlanmasına izin verin (Şekil 415), yani AB, BC, CD ve DA kenarları bu daireye teğet olsun.
AB + CD = AD + BC'nin kanıtlanması gerekmektedir. Teğet noktalarını M, N, K, P harfleriyle gösterelim. Bir daireye bir noktadan çizilen teğetlerin özelliklerine dayanarak şunu elde ederiz:
Bu eşitlikleri terim terim toplayalım. Şunu elde ederiz:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
yani AB + CD = AD + BC, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Diğer malzemeler“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
Tüm gerekli teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs 5 içerir büyük konular, her biri 2,5 saat. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.
Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Kelime problemleri ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, kullanışlı hileler, geliştirme mekansal hayal gücü. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.
Konu: “Etrafında açıklanan daire düzenli çokgen» içinde biraz ayrıntılı olarak tartışılmaktadır okul müfredatı. Buna rağmen ilgili görevler bu bölüm planimetri birçok lise öğrencisi için bazı zorluklara neden olmaktadır. Aynı zamanda çözümün prensibini anlayın Birleşik Devlet Sınavı sorunları Bir çokgenin etrafında tanımlanan bir daire ile, herhangi bir düzeyde eğitim almış mezunlar olmalıdır.
Birleşik Devlet Sınavına nasıl hazırlanılır?
İçin Birleşik Devlet Sınavı ödevleri“Düzenli bir çokgenin çevrelediği daire” konusu öğrenciler için herhangi bir zorluk yaratmadı, “Shkolkovo” eğitim portalı ile birlikte çalışın. Bizimle tekrarlayabilirsiniz teorik materyal Size zorluk çıkaran konularda. Daha önce oldukça karmaşık görünen teoremler ve formüller erişilebilir ve anlaşılır bir şekilde sunulmaktadır.
Bir çokgenin çevrelediği dairenin açıları ve merkezi ile ilgili temel tanım ve kavramların yanı sıra doğru parçası uzunlukları ile ilgili teoremleri hafızanızı tazelemek için mezunların “Teorik Yardım” bölümüne gitmeleri yeterlidir. Burada deneyimli kadromuz tarafından özel olarak öğrenciler için derlenen materyali yayınladık. farklı seviyeler hazırlık.
Öğrenilen bilgilerin pekiştirilmesi için lise öğrencileri alıştırmalar yaparak pratik yapabilirler. Açık eğitim portalı"Katalog" bölümündeki "Shkolkovo", maksimum düzeyde değişen karmaşıklığa sahip görevlerden oluşan geniş bir veritabanı sunar. etkili hazırlık Birleşik Devlet Sınavına. Sitedeki her görev bir çözüm algoritması ve doğru cevabı içerir. Shkolkovo egzersiz veri tabanı düzenli olarak güncellenmekte ve tamamlanmaktadır.
Moskova ve diğer ülkelerden gelen öğrenciler web sitemizdeki görevleri tamamlama konusunda pratik yapıyorlar Rus şehirleriçevrimiçi yapılabilir. Gerekirse herhangi bir egzersiz “Favoriler” bölümüne kaydedilebilir. Gelecekte bu göreve geri dönmek ve örneğin bunu çözmek için algoritmayı tartışmak mümkün olacak. okul öğretmeni veya bir öğretmen.
YAZILI VE DAİRESEL ÇOKGONLAR,
§ 106. YAZILAN VE AÇIKLANAN DÖRTGENLERİN ÖZELLİKLERİ.
Teorem 1. Döngüsel bir dörtgenin zıt açılarının toplamı 180°.
O merkezli bir dairenin içine ABCD dörtgeninin yazılmasına izin verin (Şekil 412). Bunu kanıtlamak gerekli / A+ / C = 180° ve / B + / D = 180°.
/
A, O dairesinde yazılı olduğu gibi, 1/2 BCD'yi ölçer.
/
Aynı daire içinde yazılı olan C, 1/2 KÖTÜ'yü ölçer.
Sonuç olarak, A ve C açılarının toplamı BCD ve BAD yaylarının yarı toplamı ile ölçülür; toplamda bu yaylar bir daire oluşturur, yani 360°'ye sahiptirler.
Buradan /
A+ /
C = 360°: 2 = 180°.
Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki / B + / D = 180°. Ancak bu başka bir şekilde de çıkarılabilir. Dışbükey bir dörtgenin iç açılarının toplamının 360° olduğunu biliyoruz. A ve C açılarının toplamı 180°'ye eşittir, yani dörtgenin diğer iki açısının toplamı da 180° kalır.
Teorem 2(tersi). Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamı eşitse 180° O zaman böyle bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.
ABCD dörtgeninin zıt açılarının toplamı 180° olsun.
/
A+ /
C = 180° ve /
B + /
D = 180° (çizim 412).
Böyle bir dörtgenin etrafında bir dairenin tanımlanabileceğini kanıtlayalım.
Kanıt. Bu dörtgenin herhangi 3 köşesinden bir daire çizebilirsiniz; örneğin A, B ve C noktalarından geçen bir daire. D noktası nerede olacak?
D noktası aşağıdakilerden yalnızca birini işgal edebilir üç pozisyon: Çemberin içinde olmak, Çemberin dışında olmak, Çemberin çevresinde olmak.
Tepe noktasının dairenin içinde olduğunu ve D" konumunu aldığını varsayalım (Şekil 413). O zaman ABCD" dörtgeninde şunu elde ederiz:
/ B + / D" = 2 D.
AD" kenarını E noktasındaki çemberle kesişme noktasına ve E ile C noktalarını birleştiren noktaya kadar sürdürerek, doğrudan teorem ile ABCE döngüsel dörtgenini elde ederiz.
/ B+ / E = 2 D.
Bu iki eşitlikten şu sonuç çıkar:
/
D" = 2 D - /
B;
/
e=2 D - /
B;
/ D" = / E,
ama bu olamaz çünkü / CD"E üçgenine göre dışta olan D", E açısından büyük olmalıdır. Bu nedenle D noktası dairenin içinde olamaz.
Ayrıca D tepe noktasının dairenin dışında D" konumunu alamayacağı da kanıtlanmıştır (Şekil 414).
Geriye, D tepe noktasının dairenin çevresi üzerinde yer alması gerektiği, yani E noktasıyla çakışması gerektiği, bunun da ABCD dörtgeni etrafında bir dairenin tanımlanabileceği anlamına geldiği kabul edilmektedir.
Sonuçlar. 1. Herhangi bir dikdörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.
2. Bir ikizkenar yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir.
Her iki durumda da zıt açıların toplamı 180°'dir.
Teorem 3. Sınırlandırılmış bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşittir. ABCD dörtgeninin bir daire etrafında tanımlanmasına izin verin (Şekil 415), yani onun AB, BC, CD ve DA kenarları bu daireye teğettir.
AB + CD = AD + BC'nin kanıtlanması gerekmektedir. Teğet noktalarını M, N, K, P harfleriyle gösterelim. Bir daireye bir noktadan çizilen teğetlerin özelliklerine dayanarak (§ 75), elimizde:
AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.
Bu eşitlikleri terim terim toplayalım. Şunu elde ederiz:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
yani AB + CD = AD + BC, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Egzersizler.
1. Döngüsel bir dörtgende iki tane vardır zıt açılar oran 3:5,
diğer ikisi ise 4:5 oranındadır. Bu açıların büyüklüğünü belirleyiniz.
2. Tanımlanan dörtgende karşılıklı iki kenarın toplamı 45 cm'dir. Geriye kalan iki kenar oranı 0,2: 0,3'tür. Bu kenarların uzunluğunu bulun.
Dörtgenin tüm kenarları daireye teğet ise, bir dairenin dörtgen içine yazıldığı söylenir.
Bu dairenin merkezi, dörtgenin köşelerinin açıortaylarının kesişme noktasıdır. Bu durumda teğet noktalara çizilen yarıçaplar dörtgenin kenarlarına diktir.
Bir daire, tüm köşelerinden geçiyorsa, bir dörtgen etrafında çevrelenmiş daire olarak adlandırılır.
Bu dairenin merkezi, dörtgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktasıdır
Her dörtgen bir daire ile yazılamaz ve her dörtgen bir daire ile yazılamaz.
YAZILI VE DAİRE DÖRTGENLERİN ÖZELLİKLERİ
TEOREM Dışbükey yazılı bir dörtgende, karşılıklı açıların toplamları birbirine eşit ve 180°'ye eşittir.
TEOREM Tersine: Eğer bir dörtgende zıt açıların toplamları eşitse, bu durumda dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir. Merkezi, dik açıortayların yanlara kesişme noktasıdır.
TEOREM Bir daire bir dörtgenin içine yazılmışsa, toplamlar karşıt taraflar eşittir.
TEOREM Tersine: eğer bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman içine bir daire yazılabilir. Merkezi, açıortayların kesişme noktasıdır.
Sonuçlar: tüm paralelkenarlar arasında yalnızca bir dikdörtgenin etrafında (özellikle bir karenin etrafında) bir daire tanımlanabilir.
Tüm paralelkenarlar arasında yalnızca bir eşkenar dörtgen (özellikle bir kare) bir daire çizebilir (merkez köşegenlerin kesişme noktasıdır, yarıçap ise yarıya eşit yükseklik).
Bir yamuğun etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, o zaman bu ikizkenardır. Herhangi bir ikizkenar yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir.
Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, yarıçapı yüksekliğin yarısına eşittir.
Çözümlü görevler
1. Yarıçapı 5 olan bir dairenin içine yazılan dikdörtgenin köşegenini bulun.
Bir dikdörtgenin çevresine çizilen bir dairenin merkezi, köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Bu nedenle diyagonal klima 2'ye eşittir R. yani klima=10
Cevap: 10.
2. Tabanları 6 cm ve 8 cm olan ve yüksekliği 7 cm olan bir yamuğun etrafında bir daire anlatılmıştır. Bu dairenin alanını bulunuz.
İzin vermek DC=6, AB=8. Bir daire yamuk etrafında çevrelendiği için ikizkenardır.
İki yükseklik çizelim DM ve CN.Yamuk ikizkenar olduğundan, o zaman AM=NB=
Daha sonra BİR=6+1=7
Üçgenden CEVAP Pisagor teoremini kullanarak bulduğumuz klima.
Üçgenden CВN Pisagor teoremini kullanarak bulduğumuz Güneş.
Bir yamuğun çevrelenmiş çemberi aynı zamanda bir üçgenin çevrelenmiş çemberidir. DIA
Formülleri kullanarak bu üçgenin alanını iki şekilde bulalım.
Nerede H- yükseklik ve - üçgenin tabanı
Burada R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır.
Bu ifadelerden denklemi elde ederiz. Nerede
Çemberin alanı şuna eşit olacaktır:
3. Açılar ve dörtgenler birbiriyle ilişkilidir. Belirli bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin
Bu şu koşuldan çıkar: Bir daire bir dörtgenin etrafında tanımlanabildiğine göre, o zaman
Denklemi elde ederiz 
. Daha sonra . Bir dörtgenin tüm açılarının toplamı 360°'dir. Daha sonra
. bunu nereden alacağız
4. Bir daire etrafında çevrelenen yamuğun kenarları 3 ve 5'tir. Yamuğun orta çizgisini bulun.
Daha sonra orta hat eşit 
5. Çevre dikdörtgen yamuk bir dairenin etrafı 22'dir, onun büyüğü taraf 7'ye eşittir. Çemberin yarıçapını bulun.
Bir yamukta yazılı dairenin yarıçapı yüksekliğin yarısına eşittir. SC'nin yüksekliğini bulalım.
Daha sonra 
.
Bir daire yamuk içine yazıldığı için karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları eşittir. Daha sonra
Daha sonra çevre
Denklemi elde ederiz
6. İkizkenar yamuğun tabanları 8 ve 6'dır. Çevreleyen dairenin yarıçapı 5'tir. Yamuğun yüksekliğini bulun.
Yamuk etrafında çevrelenen dairenin merkezi O olsun. Daha sonra .
O noktasından KH yüksekliğini çizelim
Daha sonra 
KO ve OH'nin yükseklik ve aynı zamanda medyan olduğu yerde ikizkenar üçgenler DOC ve AOB. Daha sonra 
Pisagor teoremine göre.