- Bu çok yönlü şekil tabanında bir çokgen bulunur ve geri kalan yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerle temsil edilir.

Taban kare ise piramit denir dörtgen, eğer bir üçgense – o zaman üçgen. Piramidin yüksekliği, üst kısmından tabana dik olarak çizilir. Alanı hesaplamak için de kullanılır özlü söz– üst kısmından alçaltılmış yan yüzün yüksekliği.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı formülü, yan yüzlerinin birbirine eşit alanlarının toplamıdır. Ancak bu hesaplama yöntemi çok nadir kullanılmaktadır. Temel olarak piramidin alanı, tabanın çevresi ve apothem aracılığıyla hesaplanır:

Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Tabanı ABCDE ve tepesi F olan bir piramit verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çevresini bulalım. Tabanın tüm kenarları eşit olduğundan beşgenin çevresi şuna eşit olacaktır:
Artık bulabilirsin yan alan piramitler:

Düzenli bir üçgen piramidin alanı

Doğru tre kömür piramidiİçinde düzgün bir üçgen bulunan bir taban ve alanları eşit olan üç yan yüzden oluşur.
Yan yüzey alanı formülü doğru üçgen piramit hesaplanabilir farklı şekillerde. Çevre ve özdeyimi kullanarak olağan hesaplama formülünü uygulayabilir veya bir yüzün alanını bulup üçle çarpabilirsiniz. Piramidin yüzü üçgen olduğundan üçgenin alan formülünü uyguluyoruz. Bir öz ve tabanın uzunluğunu gerektirecektir. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Apotemi a = 4 cm ve taban yüzü b = 2 cm olan bir piramit verildiğinde piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Öncelikle yan yüzlerden birinin alanını bulun. İÇİNDE bu durumda o:
Değerleri formülde değiştirin:
Doğru piramitte her şey olduğundan taraflar aynıysa, piramidin yan yüzeyinin alanı üç yüzün alanlarının toplamına eşit olacaktır. Sırasıyla:

Kesilmiş bir piramidin alanı

Kesilmiş Bir piramit, bir piramit ve onun enine kesiti tabana paralel olarak oluşturulan bir çokyüzlüdür.
Kesik bir piramidin yan yüzey alanı formülü çok basittir. Alan, tabanların çevreleri ile apothemin toplamının yarısının çarpımına eşittir:

Piramit konsepti

Tanım 1

Geometrik şekil Bir çokgen ve bu çokgenin bulunduğu düzlemde yer almayan bir noktanın oluşturduğu ve bu çokgenin tüm köşelerine bağlanan noktaya çokgen denir. piramit(Şekil 1).

Şekil 1. Piramit

Piramidin yapıldığı çokgene denir piramidin tabanıüçgenlerin bir noktaya bağlanmasıyla elde edilen - piramidin yan yüzleri, üçgenlerin kenarları - piramidin kenarları ve tüm üçgenlerin ortak noktası piramidin tepesi.

Piramidin tabanındaki açı sayısına bağlı olarak üçgen, dörtgen vb. olarak adlandırılabilir (Şekil 2).

Şekil 2.

Not 1

Dörtyüzlü olduğuna dikkat edin üçgen piramidin özel bir durumu.

Tanım 2

Tabanı düzgün bir çokgen olan ve piramidin yüksekliği merkeze düşen piramite denir. düzenli piramit(Şekil 3).

Şekil 3. Düzenli piramit

Mülkiyeti tanıtalım ve kanıtlayalım düzenli piramit.

Teorem 1

Tüm yan yüzler Düzenli bir piramidin birbirine eşit ikizkenar üçgenleri vardır.

Kanıt.

Köşesi $S$ olan ve yüksekliği $h=SO$ olan normal bir $n-$gonal piramit düşünün. Tabanın etrafına bir daire çizelim (Şek. 4).

Şekil 4.

$SOA$ üçgenini düşünün. Pisagor teoremine göre şunu elde ederiz:

Açıkçası, herhangi bir yan kenar bu şekilde tanımlanacaktır. Bu nedenle her şey yan kaburgalar birbirine eşittir, yani tüm yan yüzler -- ikizkenar üçgenler. Birbirlerine eşit olduklarını kanıtlayalım. Taban düzgün çokgen olduğundan tüm yan yüzlerin tabanları birbirine eşittir. Sonuç olarak, üçgenlerin eşitliği III kriterine göre tüm yan yüzler eşittir.

Teorem kanıtlandı.

Şimdi tanıtalım aşağıdaki tanım, düzenli bir piramit kavramıyla ilişkilidir.

Tanım 3

Düzenli piramidin özü yan yüzünün yüksekliğine denir.

Açıkçası, Teorem 1'e göre tüm özler birbirine eşittir.

Teorem 2

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı, tabanın yarı çevresi ile apothemin ürünü olarak belirlenir.

Kanıt.

$n-$gonal piramidin tabanının kenarını $a$ ile ve kısa çizgiyi $d$ ile gösterelim. Bu nedenle yan yüzün alanı eşittir

Teorem 1'e göre tüm kenarlar eşit olduğundan, o zaman

Teorem kanıtlandı.

Tanım 4

Sıradan bir piramit içinden tabanına paralel bir düzlem çizilirse, bu düzlem ile taban düzlemi arasında oluşan şekle denir. kesik piramit(Şekil 5).

Şekil 5. Kesilmiş piramit

Çözüm.

Hakkındaki teorem ile orta hat kesik piramidin üst tabanının $6\cdot \frac(1)(2)=3$'a eşit olduğunu ve apothemin $4\cdot \frac(1)(2)=2$'a eşit olduğunu buluruz.

O zaman Teorem 3'e göre şunu elde ederiz:

Giriş seviyesi

Piramit. Görsel rehber (2019)

Piramit nedir?

Neye benziyor?

Görüyorsunuz: piramidin alt kısmında (“ diyorlar) üssünde") bazı çokgenler ve bu çokgenin tüm köşeleri uzaydaki bir noktaya bağlıdır (bu noktaya " denir) tepe noktası»).

Bütün bu yapı hâlâ yan yüzler, yan kaburga Ve taban kaburga. Bir kez daha tüm bu isimlerin yer aldığı bir piramit çizelim:

Bazı piramitler çok tuhaf görünebilir ama yine de piramittirler.

Örneğin burada tamamen “eğik” piramit.

Ve isimler hakkında biraz daha: eğer piramidin tabanında bir üçgen varsa, piramit üçgen olarak adlandırılır, eğer dörtgen ise, o zaman dörtgen ve eğer bir yüzgen ise, o zaman... kendiniz tahmin edin .

Aynı zamanda düştüğü nokta yükseklik, isminde yükseklik tabanı. Lütfen “çarpık” piramitlerde olduğunu unutmayın. yükseklik hatta piramidin dışına bile çıkabilir. Bunun gibi:

Ve bunda yanlış bir şey yok. Geniş bir üçgene benziyor.

Doğru piramit.

Birçok karmaşık kelimeler? Hadi deşifre edelim: "Temelde - doğru" - bu anlaşılabilir bir durumdur. Şimdi şunu hatırlayalım düzenli çokgen bir merkez var - ve'nin merkezi olan bir nokta.

Peki, "üst kısım tabanın merkezine yansıtılıyor" ifadesi, yüksekliğin tabanının tam olarak tabanın merkezine düştüğü anlamına geliyor. Bakın ne kadar pürüzsüz ve sevimli görünüyor düzenli piramit.

Altıgen: üssünde - düzenli altıgenüst kısmı tabanın merkezine yansıtılır.

Dörtgen: taban bir karedir, üst kısım bu karenin köşegenlerinin kesişme noktasına yansıtılır.

üçgen: tabanda normal bir üçgen var, tepe noktası bu üçgenin yüksekliklerinin (aynı zamanda medyanlar ve açıortaylardır) kesişme noktasına yansıtılıyor.

Çok önemli özellikler doğru piramit:

Doğru piramitte

• tüm yan kenarlar eşittir.
• tüm yan yüzler ikizkenar üçgendir ve bu üçgenlerin tümü eşittir.

Piramidin hacmi

Bir piramidin hacminin ana formülü:

Tam olarak nereden geldi? Bu o kadar basit değil ve ilk önce formülde piramit ve koninin hacminin olduğunu, ancak silindirin olmadığını hatırlamanız gerekiyor.

Şimdi en popüler piramitlerin hacmini hesaplayalım.

Tabanın yan tarafı eşit, yan kenarı eşit olsun. Bulmalıyız ve.

Bu alan düzgün üçgen.

Bu alanı nasıl arayacağımızı hatırlayalım. Alan formülünü kullanıyoruz:

Bizim için " " budur, " " de budur, eh.

Şimdi bulalım.

Pisagor teoremine göre

Fark nedir? Bu çevre yarıçapıdır çünkü piramitdoğru ve dolayısıyla merkez.

O zamandan beri - medyanların da kesişme noktası.

(Pisagor teoremi)

Bunu formülde yerine koyalım.

Ve her şeyi hacim formülünde yerine koyalım:

Dikkat: eğer varsa düzenli tetrahedron(yani), o zaman formül şöyledir:

Tabanın yan tarafı eşit, yan kenarı eşit olsun.

Buraya bakmanıza gerek yok; Sonuçta taban bir karedir ve bu nedenle.

Onu bulacağız. Pisagor teoremine göre

Biliyor muyuz? Neredeyse. Bakmak:

(bunu bakarak gördük).

Formülde yerine şunu koyun:

Şimdi ve'yi hacim formülünde yerine koyuyoruz.

Tabanın yan tarafı eşit ve yan kenarı olsun.

Nasıl bulunur? Bakın, bir altıgen tam olarak altı özdeş düzgün üçgenden oluşur. Düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplarken zaten düzgün üçgenin alanını aramıştık; burada bulduğumuz formülü kullanıyoruz.

Şimdi (onu) bulalım.

Pisagor teoremine göre

Ama ne önemi var? Çok basit çünkü (ve diğer herkes de) haklı.

yerine koyalım:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PİRAMİT. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir piramit, herhangi bir düz çokgenden (), taban düzleminde olmayan bir noktadan (piramidin tepesi) ve piramidin tepesini tabanın noktalarına (yan kenarlar) bağlayan tüm bölümlerden oluşan bir çokyüzlüdür.

Piramidin tepesinden taban düzlemine dik bir çizgi düştü.

Doğru piramit- Tabanda düzenli bir çokgenin bulunduğu ve piramidin tepesinin tabanın merkezine yansıtıldığı bir piramit.

Düzenli bir piramidin özelliği:

• Düzenli bir piramitte tüm yan kenarlar eşittir.
• Tüm yan yüzler ikizkenar üçgendir ve bu üçgenlerin tümü eşittir.

• özlü söz— yan kenar yüksekliği düzenli piramit, tepe noktasından çizilir (ayrıca kısa çizgi, normal bir çokgenin ortasından kenarlarından birine çizilen dikmenin uzunluğudur);
• yan yüzler (ASB, BSC, CSD, DSA) - tepe noktasında buluşan üçgenler;
• yan kaburgalar ( GİBİ , B.S. , CS , D.S. ) — ortak yönler yan kenarlar;
• piramidin tepesi (t.S) - yan kaburgaları birbirine bağlayan ve taban düzleminde yer almayan bir nokta;
• yükseklik ( BU YÜZDEN ) - piramidin tepesinden tabanının düzlemine çizilen dikey bir bölüm (böyle bir bölümün uçları piramidin tepesi ve dikin tabanı olacaktır);
• çapraz bölüm piramitler- piramidin üst kısmından ve tabanın köşegeninden geçen bir bölümü;
• temel (ABCD) - piramidin tepe noktasına ait olmayan bir çokgen.

Piramidin özellikleri.

1. Tüm yan kaburgalar mevcut olduğunda aynı boyutta, Daha sonra:

• piramidin tabanına yakın olanı tanımlamak kolaydır daire piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacakken;
• yan kaburgalar aynı formdadır açılar ;
• Üstelik bunun tersi de doğrudur; yan kaburgalar taban düzlemi ile oluştuğunda eşit açılar veya piramidin tabanına yakın bir daire tanımlanabildiğinde ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtıldığında, bu da piramidin tüm yan kenarlarının aynı boyutta olduğu anlamına gelir.

2. Yan yüzler taban düzlemine aynı değerde bir eğim açısına sahip olduğunda:

• piramidin tabanına yakın bir daire tanımlamak kolaydır ve piramidin tepesi bu dairenin merkezine yansıtılacaktır;
• yan yüzlerin yükseklikleri eşit uzunluk;
• yan yüzeyin alanı, tabanın çevresinin ve yan yüzün yüksekliğinin ½ çarpımına eşittir.

3. Piramit hakkında tarif edilebilir küre Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen bulunması durumunda (gerekli ve yeterli koşul). Kürenin merkezi, piramidin kendilerine dik kenarlarının ortasından geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır. Bu teoremden, bir kürenin hem herhangi bir üçgenin hem de herhangi bir düzenli piramidin etrafında tanımlanabileceği sonucuna varıyoruz.

4. İç açıortay düzlemleri bir piramite küre yazılabilir. dihedral açılar piramitler 1. noktada kesişir (gerekli ve yeterli koşul). Bu nokta kürenin merkezi olacak.

En basit piramit.

Açı sayısına bağlı olarak piramidin tabanı üçgen, dörtgen vb. şeklinde ayrılır.

Bir piramit olacak üçgen, dörtgen, vb., piramidin tabanı bir üçgen, bir dörtgen vb. olduğunda. Üçgen bir piramit bir tetrahedrondur - dörtyüzlü. Dörtgen - beşgen vb.