การแปลงผลคูณของโมโนเมียลและพหุนาม การแปลงของเอกนามและพหุนาม

นิพจน์ 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x เป็นผลคูณของตัวเลข ตัวแปร และกำลังของตัวแปร สำนวนดังกล่าวเรียกว่า monomial- ตัวเลข ตัวแปร และกำลังของพวกมันก็ถือเป็น monomial เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น สำนวน - 8, 35,y และ y 2 - เป็นเอกพจน์

รูปแบบมาตรฐานของ monomialเรียกว่า monomial ในรูปผลคูณของตัวประกอบตัวเลขเป็นอันดับแรกและกำลังของตัวแปรต่างๆ monomial ใดๆ สามารถลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยการคูณตัวแปรและตัวเลขทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น นี่คือตัวอย่างของการลด monomial ให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน:

4x 2 ปี 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 ปี 4 ปี = -20x 5 ปี 5

ตัวประกอบเชิงตัวเลขของ monomial ที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์เอกพจน์- ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของโมโนเมียล -12сx 6 y 5 เท่ากับ -12 ค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials x 3 และ -xy ถือว่าเท่ากับ 1 และ -1 เนื่องจาก x 7 = 1x 7 และ -xy = -1xy

ด้วยอำนาจแห่งเอกภาพเรียกผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น หาก monomial ไม่มีตัวแปร นั่นคือเป็นตัวเลข ระดับของมันจะถือว่าเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเช่น ดีกรีของโมโนเมียล 8x 3 yz 2 คือ 6 ดีกรีของโมโนเมียล 6x คือ 1 และดีกรีของโมโนเมียล -10 คือ 0

พหุนามเรียกว่าผลรวมของเอกนาม

เอกนามที่ประกอบเป็นพหุนามเรียกว่าสมาชิกของพหุนาม ดังนั้นเงื่อนไขของพหุนาม 4x 2 y - 5xy + 3x -1 คือ 4x 2 y, -5xy, 3x และ -1

หากพหุนามประกอบด้วยสองเทอม จะเรียกว่าทวินาม หากประกอบด้วยสามเทอมจะเรียกว่าตรีโกณมิติ monomial ถือเป็นพหุนามที่ประกอบด้วยคำเดียว

ในพหุนาม 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 พจน์ 7x 3 y 2 และ - 2y 2 x 3 เป็นคำที่คล้ายกันเพราะมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน เงื่อนไข -12 และ 6 ซึ่งไม่มีส่วนตัวอักษรก็คล้ายกันเช่นกัน พจน์ที่คล้ายกันในพหุนามเรียกว่า พจน์ที่คล้ายกันของพหุนาม และการลดพจน์ที่คล้ายคลึงกันในพหุนามเรียกว่า การลดพจน์ที่คล้ายคลึงกันของพหุนาม

ให้เรายกตัวอย่างพจน์ที่คล้ายกันในพหุนาม 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6

พหุนามเรียกว่า พหุนาม มุมมองมาตรฐาน ถ้าแต่ละพจน์เป็นรูปแบบมาตรฐานและพหุนามนี้ไม่มีพจน์ที่คล้ายคลึงกัน

พหุนามใดๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องนำเสนอสมาชิกแต่ละคนในรูปแบบมาตรฐานและนำมา เงื่อนไขที่คล้ายกัน.

ดีกรีพหุนามรูปแบบมาตรฐานคือพลังที่ใหญ่ที่สุดของ monomials ที่รวมอยู่ในนั้น

ระดับของพหุนามตามอำเภอใจคือระดับของพหุนามที่เท่ากันของรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างเช่น ลองหาดีกรีของพหุนาม 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6

โปรดทราบว่าพหุนามดั้งเดิมมีเอกนามของดีกรีที่ 6 แต่เมื่อพจน์ที่คล้ายกันลดลง ทั้งหมดก็ลดลง และผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนามของดีกรีที่ 3 ซึ่งหมายความว่าพหุนามดั้งเดิมมีดีกรี 3!

คำถามสำหรับบันทึก

เมื่อกำหนดพหุนาม P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4 คำนวณ P(1)

กำหนดระดับของพหุนาม: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

- พหุนาม- ในบทความนี้เราจะร่างเบื้องต้นและทั้งหมด ข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับพหุนาม ประการแรก ได้แก่ คำจำกัดความของพหุนามพร้อมกับคำจำกัดความของเงื่อนไขของพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คำศัพท์อิสระและคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน ประการที่สอง เราจะพูดถึงพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน ให้คำจำกัดความที่เหมาะสมและยกตัวอย่าง สุดท้ายนี้ เราจะแนะนำคำจำกัดความของดีกรีของพหุนาม หาวิธีค้นหา และพูดคุยเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของเทอมของพหุนาม

การนำทางหน้า

พหุนามและคำศัพท์ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 จะมีการศึกษาพหุนามทันทีหลังจาก monomials ซึ่งเป็นเรื่องที่เข้าใจได้เนื่องจาก คำจำกัดความพหุนามจะได้รับผ่านทาง monomial ให้เราให้คำจำกัดความนี้เพื่ออธิบายว่าพหุนามคืออะไร

คำนิยาม.

พหุนามคือผลรวมของเอกนาม monomial ถือเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม

คำจำกัดความที่เป็นลายลักษณ์อักษรช่วยให้คุณสามารถยกตัวอย่างพหุนามได้มากเท่าที่คุณต้องการ เอกนามใดๆ 5, 0, −1, x, 5 ab 3, x 2 0.6 x (−2) y 12 เป็นต้น เป็นพหุนาม นอกจากนี้ ตามนิยามแล้ว 1+x, a 2 +b 2 และเป็นพหุนาม

เพื่อความสะดวกในการอธิบายพหุนาม จึงมีการใช้คำจำกัดความของคำพหุนาม

คำนิยาม.

เงื่อนไขพหุนามเป็นเอกเทศที่เป็นส่วนประกอบของพหุนาม

ตัวอย่างเช่น พหุนาม 3 x 4 −2 x y+3−y 3 ประกอบด้วยพจน์สี่พจน์: 3 x 4 , −2 x y , 3 และ −y 3 monomial ถือเป็นพหุนามที่ประกอบด้วยคำเดียว

คำนิยาม.

พหุนามที่ประกอบด้วยคำศัพท์สองและสามคำมีชื่อพิเศษ - ทวินามและ ตรีโกณมิติตามลำดับ

ดังนั้น x+y คือทวินาม และ 2 x 3 q−q x x x+7 b คือตรีโนเมียล

ที่โรงเรียนเรามักจะต้องทำงานด้วย ทวินามเชิงเส้น a x+b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ x เป็นตัวแปร เช่นเดียวกับ c ตรีโกณมิติกำลังสอง a·x 2 +b·x+c โดยที่ a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ x เป็นตัวแปร นี่คือตัวอย่างของทวินามเชิงเส้น: x+1 , x 7,2−4 และนี่คือตัวอย่าง ตรีโกณมิติกำลังสอง: x 2 +3 x−5 และ .

พหุนามในรูปแบบสามารถมีคำศัพท์ที่คล้ายกันได้ ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม 1+5 x−3+y+2 x พจน์ที่คล้ายกันคือ 1 และ −3 เช่นเดียวกับ 5 x และ 2 x พวกเขามีชื่อพิเศษของตัวเอง - เงื่อนไขที่คล้ายกันของพหุนาม

คำนิยาม.

เงื่อนไขที่คล้ายกันของพหุนามคำที่คล้ายกันในพหุนามเรียกว่า

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ 1 และ −3 เช่นเดียวกับคู่ 5 x และ 2 x เป็นพจน์ที่คล้ายกันของพหุนาม ในพหุนามที่มีพจน์คล้ายกัน คุณสามารถลดพจน์ที่คล้ายกันเพื่อทำให้รูปง่ายขึ้นได้

พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

สำหรับพหุนาม เช่นเดียวกับ monomials มีสิ่งที่เรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน ให้เราแสดงคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

ซึ่งเป็นรากฐาน คำจำกัดความนี้เราสามารถยกตัวอย่างพหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐานได้ ดังนั้นพหุนาม 3 x 2 −x y+1 และ เขียนในรูปแบบมาตรฐาน และนิพจน์ 5+3 x 2 −x 2 +2 x z และ x+x y 3 x z 2 +3 z ไม่ใช่พหุนามในรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากตัวแรกมีพจน์ที่คล้ายกัน 3 x 2 และ −x 2 และใน ประการที่สอง – monomial x·y 3 ·x·z 2 ซึ่งมีรูปแบบที่แตกต่างจากรูปแบบมาตรฐาน

โปรดทราบว่าหากจำเป็น คุณสามารถลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ตลอดเวลา

แนวคิดอีกประการหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับพหุนามในรูปแบบมาตรฐานคือแนวคิดเรื่องพจน์อิสระของพหุนาม

คำนิยาม.

พจน์อิสระของพหุนามเป็นสมาชิกของพหุนามรูปแบบมาตรฐานโดยไม่มีส่วนของตัวอักษร

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าพหุนามในรูปแบบมาตรฐานมีตัวเลขอยู่ด้วย จะเรียกว่าสมาชิกอิสระ ตัวอย่างเช่น 5 เป็นพจน์อิสระของพหุนาม x 2 z+5 แต่พหุนาม 7 a+4 a b+b 3 ไม่มีพจน์อิสระ

ดีกรีของพหุนาม - จะหาได้อย่างไร?

ที่สำคัญอีกประการหนึ่ง คำจำกัดความที่แนบมาด้วยคือการกำหนดระดับของพหุนาม ขั้นแรก เรากำหนดระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน คำจำกัดความนี้ขึ้นอยู่กับระดับของ monomials ที่อยู่ในองค์ประกอบ

คำนิยาม.

ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานเป็นอำนาจที่ใหญ่ที่สุดของ monomials ที่รวมอยู่ในสัญกรณ์

ลองยกตัวอย่าง ดีกรีของพหุนาม 5 x 3 −4 เท่ากับ 3 เนื่องจากเอกนาม 5 x 3 และ −4 ที่รวมอยู่ในนั้นมีดีกรี 3 และ 0 ตามลำดับ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 3 ซึ่งเป็นดีกรีของพหุนาม ตามคำจำกัดความ และดีกรีของพหุนาม 4 x 2 ปี 3 −5 x 4 ปี+6 xเท่ากับค่าที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลข 2+3=5, 4+1=5 และ 1 นั่นคือ 5

ทีนี้ เรามาดูวิธีหาดีกรีของพหุนามกัน ประเภทใดก็ได้.

คำนิยาม.

ระดับของพหุนามของรูปแบบตามอำเภอใจเรียกดีกรีของพหุนามที่สอดคล้องกันของรูปแบบมาตรฐาน

ดังนั้น หากพหุนามไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน และคุณจำเป็นต้องค้นหาดีกรีของมัน คุณจะต้องลดพหุนามดั้งเดิมให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และค้นหาดีกรีของผลลัพธ์พหุนาม - มันจะเป็นค่าที่ต้องการ ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาดีกรีของพหุนาม 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

สารละลาย.

ขั้นแรก คุณต้องแสดงพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 ก 2 ข 2 ค 2 +y 2 z 2.

ผลลัพธ์พหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีสอง monomials −2·a 2 ·b 2 ·c 2 และ y 2 ·z 2 มาหาพลังของพวกเขากันดีกว่า: 2+2+2=6 และ 2+2=4 แน่นอนว่าค่ากำลังที่ใหญ่ที่สุดคือ 6 ซึ่งตามนิยามแล้วคือกำลังของพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2และด้วยเหตุนี้จึงเป็นดีกรีของพหุนามดั้งเดิม, 3 x และ 7 ของพหุนาม 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ฉบับที่ 17 เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2013. - 175 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-02432-3.
• พีชคณิตและเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2553.- 368 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นักเรียนจะได้รับการแนะนำให้รู้จักกับแนวคิดและหัวข้อใหม่ๆ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรพีชคณิต ประตูใหม่เปิดรอพวกเขาอยู่ในเขาวงกตอันน่าทึ่งที่เรียกว่าคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงการศึกษา monomial และ polynomials ตลอดจนการประยุกต์ใช้

มันคืออะไร?

ก่อนอื่นเรามาทำความเข้าใจแนวคิดกันก่อน มีสำนวนเฉพาะมากมายในคณิตศาสตร์ หลายสำนวนมีชื่อตายตัวเป็นของตัวเอง หนึ่งในคำเหล่านี้คือคำเดียว นี้ คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยผลคูณของตัวเลข ตัวแปร ซึ่งแต่ละตัวสามารถนำมารวมไว้ในผลคูณได้ในระดับหนึ่ง พหุนามตามคำนิยามก็คือ การแสดงออกทางพีชคณิตซึ่งเป็นผลรวมของเอกนาม มักจะต้องนำมา เอกพจน์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณปัจจัยตัวเลขทั้งหมดที่มีอยู่ใน monomial และใส่ตัวเลขผลลัพธ์ไว้เป็นอันดับแรก จากนั้นนำเลขยกกำลังทั้งหมดที่มีฐานตัวอักษรเดียวกันมาคูณกัน พหุนามยังถูกทำให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานอีกด้วย ซึ่งเป็นผลคูณที่ประกอบด้วยตัวประกอบเชิงตัวเลขและกำลังของตัวแปรต่างๆ

หินใต้น้ำ

ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรซับซ้อนร้ายแรงเมื่อมองแวบแรก แต่สำหรับ เด็กนักเรียนยุคใหม่มีหลายสถานการณ์ที่อาจทำให้ภาพขุ่นมัวได้ จำนวนมากรายการ หลักสูตรของโรงเรียน,ขาดแคลนทั้งสิ้น ชั่วโมงการสอน, คลังสินค้าด้านมนุษยธรรมในเด็กหลายๆ คน เช่นเดียวกับความเหนื่อยล้าขั้นพื้นฐานอาจทำให้การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ เป็นเรื่องยากมาก มันมักจะเกิดขึ้นที่เด็กที่ไม่เข้าใจบางสิ่งบางอย่างรู้สึกเขินอายหรือกลัวที่จะถามครู แต่เขาไม่สามารถเชี่ยวชาญหัวข้อได้ด้วยตัวเองและความยากลำบากก็เริ่มต้นขึ้น

การแก้ปัญหา

มีหลายวิธีในการหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเหล่านี้ ประการแรก ผู้ปกครองของเด็กนักเรียนควรใส่ใจว่าบุตรหลานของตนรับมือกับโปรแกรมโดยทั่วไปและหัวข้อที่ครอบคลุมเป็นพิเศษอย่างไร สิ่งนี้ไม่ควรอยู่ในรูปแบบของการดูแลหรือควบคุมเด็กอย่างเข้มงวด แต่เป้าหมายควรเป็นการพัฒนาแนวทางการเรียนรู้ที่มีความรับผิดชอบและจริงจัง สิ่งสำคัญคือความสัมพันธ์ที่ไว้วางใจแต่ไม่ใช่ความกลัว

สถานการณ์ที่ค่อนข้างธรรมดาในโรงเรียนเมื่อเด็กไม่เข้าใจ หัวข้อใหม่ท้ายที่สุดเขากลัวการเยาะเย้ยเพื่อนร่วมชั้นและความไม่พอใจของครู ดังนั้นเขาจึงชอบที่จะนิ่งเงียบเกี่ยวกับความลังเลของเขา ความสัมพันธ์กับครูก็แตกต่างกันไป แต่น่าเสียดายที่ครูบางคนไม่สามารถหาแนวทางกับเด็กได้ดังที่แสดงให้เห็นในทางปฏิบัติ และมีตัวเลือกทางออกหลายประการ:

• เยี่ยม ชั้นเรียนเพิ่มเติมที่โรงเรียน ถ้ามี
• บทเรียนกับครูสอนพิเศษ
• การฝึกอบรมผ่านทางอินเทอร์เน็ตโดยใช้แหล่งข้อมูลทางการศึกษาพิเศษ

ในสองกรณีแรก มีข้อเสียอยู่เรื่องเวลาและทรัพยากรทางการเงิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องการสอนพิเศษ อย่างที่สามสะดวกเพราะตัวเลือกการฝึกอบรมนี้:

• ฟรี;
• คุณสามารถเรียนได้ทุกเวลาที่สะดวก
• ไม่มีความรู้สึกไม่สบายทางจิตใจสำหรับนักเรียน กลัวการเยาะเย้ย ฯลฯ
• คุณสามารถชมบทเรียนวิดีโออีกครั้งได้ตลอดเวลาหากมีบางอย่างไม่ชัดเจนในครั้งแรก

ไม่ต้องสงสัยเลย ด้านบวกยังมีอีกมากมายที่นี่ ดังนั้นผู้ปกครองควรทราบว่าบุตรหลานของตนสามารถเสนอตัวเลือกดังกล่าวสำหรับกิจกรรมเพิ่มเติมได้ ค่อนข้างเป็นไปได้ที่ในตอนแรกนักเรียนจะไม่ยอมรับข้อเสนอนี้ด้วยความกระตือรือร้น แต่หลังจากได้ลองแล้ว เขาจะประทับใจกับข้อดีของมัน ภาระวิชาในโรงเรียนเพิ่มขึ้นทุกปีและในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ก็ค่อนข้างจริงจังอยู่แล้ว

ในแหล่งข้อมูลออนไลน์ของเรา เด็กสามารถค้นหาบทเรียนในหัวข้อที่อาจยากสำหรับเขาได้อย่างง่ายดาย เช่น "พหุนาม" ลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน” เมื่อคิดออกแล้ว วัสดุเพิ่มเติมเขาจะสามารถเข้าใจและเชี่ยวชาญได้ง่ายขึ้นและง่ายขึ้นมาก

เอกพจน์ –เป็นผลคูณของตัวประกอบตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งแต่ละตัวจะเป็นตัวเลข ตัวอักษร หรือกำลังของตัวอักษร

ตัวอย่างเช่น, 3ก 2 ข 4 ,ข d 3 , – 17 ก.ค- ชื่อเดียว

เอกพจน์หรืออักษรตัวเดียวก็ถือเป็น monomial ได้ ปัจจัยใด ๆ ใน monomial เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์บ่อยครั้งเรียกค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ปัจจัยที่เป็นตัวเลข monomials เรียกว่า คล้ายกันถ้าเหมือนกันหรือต่างกันแค่ค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ดังนั้นหากมี monomial ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ตัวอักษรที่เหมือนกันหรือปริญญาก็คล้ายกัน

พลังของ monomialคือผลรวมของเลขชี้กำลังของตัวอักษรทั้งหมด

การเพิ่ม monomialหากในบรรดาผลรวมของ monomials มีสิ่งที่คล้ายกันก็สามารถลดผลรวมให้มากขึ้นได้ มุมมองที่เรียบง่าย:

เอ็กซ์ 3 ย 2 – 5ข 3 x 3 ย 2 + ค 5 x 3 ย 2 = (ก – 5 ข 3 + ค 5 ) x 3 ย 2 .

การดำเนินการนี้เรียกว่า นำสมาชิกที่คล้ายกัน . การกระทำที่ทำที่นี่เรียกอีกอย่างว่า การถ่ายคร่อม.

การคูณเอกพจน์. ผลคูณของ monomials หลายตัวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากมีเพียงกำลังของตัวอักษรหรือสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ จะมีการเพิ่มเลขชี้กำลัง และค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขจะถูกคูณ

ตัวอย่าง: 5 ก 3 z 8 (– 7ก 3 x 3 ย 2 ) = –35 ก 4 x 6 ย 2 z 8 .

การแบ่งเอกราช. ผลหารของ monomials สองตัวสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากตัวหารและตัวหารมีพลังของตัวอักษรหรือสัมประสิทธิ์ตัวเลขที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ค่ายกกำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากค่ายกกำลังของเงินปันผล และค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของเงินปันผลจะถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของตัวหาร

ตัวอย่าง: 35 ก 4 x 3 z 9: 7 ก 2 z 6 = 5ก 3 xz 3 .

พหุนาม- นี้ ผลรวมพีชคณิต monomial. ดีกรีพหุนาม เป็นกำลังที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ monomials ที่รวมอยู่ในพหุนามที่กำหนด

พหุนามที่ประกอบด้วยสองพจน์เรียกว่าทวินาม และพหุนามที่ประกอบด้วยสามพจน์เรียกว่าตรีโกณมิติ- Monomials มักจะถือว่าเป็น กรณีพิเศษพหุนาม - พิจารณาว่าสิ่งเหล่านี้เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ถ้าสมาชิกของพหุนามทุกตัวมีรูปแบบเดียวที่มีรูปแบบมาตรฐาน และไม่มีสมาชิกที่คล้ายกันในจำนวนนั้น พหุนามดังกล่าวจะเรียกว่าพหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐาน

ให้เราแทนพหุนาม Zab-a 2 +b-2ab + 5b ในรูปแบบมาตรฐาน

ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน เช่น เงื่อนไขที่คล้ายกันของพหุนามนี้: Зab – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b

ถ้าพหุนามของรูปแบบมาตรฐานมีตัวแปรตัวหนึ่ง เงื่อนไขของตัวแปรก็มักจะจัดเรียงกำลังจากมากไปน้อย ในกรณีนี้ พจน์อิสระของพหุนาม เช่น คำที่ไม่มีตัวอักษร จะถูกวางไว้ในตำแหน่งสุดท้าย

ตัวอย่างเช่น พหุนาม 5x 2 + 1 - x 3 + 4x เขียนได้ดังนี้: -x 3 + 5x 2 + 4x - 1

เลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดที่ตัวแปรปรากฏในพหุนามนี้คือ 3 พวกเขาบอกว่า -x 3 + - 5x 2 + 4x - 1 - พหุนามของดีกรีที่สาม.

การคูณผลรวมและพหุนามผลคูณของผลรวมของนิพจน์ตั้งแต่สองนิพจน์ขึ้นไปจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละคำศัพท์โดยนิพจน์นี้

19. เรามาเอาสูตรกันดีกว่า

เราอ่านได้ดังนี้: “ความแตกต่างระหว่างตัวเลข a และ b” เราสามารถแทนที่ตัวเลข a ด้วยศูนย์ในสูตรนี้ได้ แล้วเธอก็จะหันไปหา

0 – b หรือแค่ใน –b

การลบ b จากศูนย์หมายถึง ตามสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับการลบจำนวนสัมพัทธ์ โดยบวกจำนวน b ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามเป็นศูนย์ ดังนั้นควรเข้าใจนิพจน์ –b ว่าเป็นเครื่องหมายผกผันของจำนวน b ตัวอย่างเช่น ถ้า b = +5 ดังนั้น –b = –5; ถ้า b = –4 ดังนั้น –b = +4 เป็นต้น ถ้าเราเขียนนิพจน์ +a ก็จะต้องเข้าใจว่าเป็นตัวเลข เท่ากับจำนวนก. ถ้า a = +5 ดังนั้น +a = +5; ถ้า a = –4 แล้ว +a = 4 เป็นต้น

ดังนั้นสูตร

เราสามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องแยกแยะผลลัพธ์หรือในแง่ความหมาย

หรือในความหมาย

ดังนั้น เราสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกได้เสมอ และเข้าใจผลต่างที่เป็นผลรวมของตัวเลขสองตัว:
a – b คือผลรวมของตัวเลข a และ (–b)
x – y คือผลรวมของตัวเลข x และ (–y)
–a – b คือผลรวมของตัวเลข (–a) และ (–b) เป็นต้น

สูตรเหล่านั้นที่การบวกและการลบหลายครั้งเกิดขึ้นจากมุมมองของเลขคณิต เช่น

ก – ข + ค + ง – อี – ฉ

จากมุมมองของพีชคณิตตอนนี้เราสามารถเข้าใจได้เพียงผลรวมเท่านั้น กล่าวคือ:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f)

จึงเป็นที่ยอมรับ การแสดงออกที่คล้ายกันเรียกว่าผลรวมพีชคณิต

20. ลองใช้ผลรวมพีชคณิตกัน

a – b – c หรือ –3bc² + 2ab – 4a²b เป็นต้น

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกสำนวนเหล่านี้ตามชื่อ พหุนามและคำนี้มาแทนที่คำว่า “ผลรวม” หรือชื่อ “ผลรวมพีชคณิต” เรารู้ว่า

ก – ข – ค = (+ก) + (–ข) + (–ค)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) เป็นต้น

แยกกัน แต่ละพจน์เรียกว่าสมาชิกของพหุนาม

พหุนามตัวแรก

ประกอบด้วยสามพจน์: (+a), (–b) และ (+c)

พหุนามที่สอง

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

ประกอบด้วยคำศัพท์สี่คำ: (–abc), (–3bc²), (+2ab) และ (–4a²b)

สามารถจัดเรียงผลรวมใหม่ในลำดับใดก็ได้:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc

คุณสมบัติของผลรวมนี้สามารถแสดงออกมาแตกต่างออกไปได้: เงื่อนไขของพหุนามสามารถจัดเรียงใหม่ในลำดับใดก็ได้ สิ่งนี้ทำไว้ข้างต้นสำหรับพหุนาม –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b ยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะที่คำว่า (+2ab) อยู่ข้างหน้า ทำให้สามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้บ้าง: คุณไม่จำเป็นต้องเขียนเครื่องหมาย + ข้างหน้า แน่นอนว่าการจัดเรียงใหม่ดังกล่าวจะต้องดำเนินการทันที โดยไม่ต้องใส่แต่ละคำในวงเล็บก่อน (ดังที่กล่าวข้างต้น)

ตัวอย่างอื่น:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1

เทอมแรกของพหุนามนี้เดิมคือ (+1) - มีเครื่องหมาย + อยู่หน้าหน่วย เมื่อเราย้ายสมาชิกรายนี้ไปที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวแรก (ด้านบนเราย้ายไปที่ สถานที่สุดท้าย) ดังนั้นเครื่องหมาย + นี้จึงไม่สามารถข้ามได้

เราสังเกตได้ว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้ โดยการจัดเรียงเงื่อนไขของพหุนามใหม่ เราได้ลำดับที่แน่นอน: อันดับแรกคือเทอมที่มีตัวอักษร a ยกกำลัง 4 ในตำแหน่งถัดไปคือเทอมที่มีตัวอักษร a ยกกำลัง 3 แล้วเทอมที่มีตัวอักษร a กำลัง 3 ยกกำลัง 3 ขั้นที่ 2 จากนั้น - a ถึงขั้นที่ 1 และสุดท้ายคือเทอมที่ไม่มีตัวอักษร a เลย

การจัดเรียงเงื่อนไขของพหุนามนี้แสดงได้ด้วยคำว่า "พหุนามถูกจัดเรียงด้วยกำลังจากมากไปหาน้อยของตัวอักษร a"

นี่คือตัวอย่างอื่นๆ ของข้อตกลงนี้:

3x 5 – 2ax 3 + b (อยู่ในกำลังจากมากไปหาน้อยของตัวอักษร x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (อยู่ในกำลังจากมากไปหาน้อยของตัวอักษร a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (อยู่ในกำลังจากมากไปน้อยของตัวอักษร b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (อยู่ในกำลังจากมากไปหาน้อยของตัวอักษร x)

มักใช้การจัดเรียง "องศาจากน้อยไปมาก" แบบย้อนกลับซึ่งระดับของตัวอักษรที่เลือกจะค่อยๆเพิ่มขึ้นและในระยะที่ 1 ตัวอักษรนี้ไม่ปรากฏเลยหรือมีอยู่ที่นี่ ระดับต่ำสุดเมื่อเทียบกับสมาชิกคนอื่นๆ ในตัวอย่างที่สองก่อนหน้านี้ เราสามารถพูดได้ว่าในที่นี้พหุนามถูกจัดเรียงด้วยกำลังจากน้อยไปหามากของตัวอักษร b นี่คือตัวอย่าง:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (ในการยกกำลังของตัวอักษร a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (ในการยกกำลังของตัวอักษร x);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (ในการยกกำลังของตัวอักษร x)
a 3 – 2ab + b 2 (ในการยกกำลังของตัวอักษร b หรือจากมากไปน้อยของตัวอักษร a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (ยกกำลังด้วยตัวอักษร x หรือยกกำลังด้วยตัวอักษร y)

21. เรียกว่าพหุนามที่มีสองพจน์ ทวินาม(เช่น 3a + 2b) ประมาณสามเทอม - ตรีโกณมิติ (เช่น 2a² - 3ab + 4b²) ฯลฯ เป็นไปได้ที่จะพูดถึงผลรวมของเทอมหนึ่ง (อีกเทอมหนึ่งเป็นศูนย์) หรือประมาณ พหุนามประมาณหนึ่งเทอม แน่นอนว่าชื่อ "พหุนาม" นั้นไม่เหมาะสมและมีการใช้ชื่อ "โมโนเมียล" แต่ละพจน์ของพหุนามใดๆ ที่แยกจากกันจะเป็นเอกพจน์ นี่คือตัวอย่างของ monomials ที่ง่ายที่สุด:

2; –3a; เอ²; 4x3; –5x4; ab; ab²; –3เอบีซี; ฯลฯ

monomials เกือบทั้งหมดที่เขียนข้างต้นเป็นผลคูณของตัวประกอบตั้งแต่สองตัวขึ้นไป และส่วนใหญ่มีทั้งตัวประกอบที่เป็นตัวเลขและตัวอักษร ตัวอย่างเช่น monomial –3abc มีตัวประกอบที่เป็นตัวเลข –3 และตัวประกอบตัวอักษร a, b และ c; ในโมโนเมียล 4x³ จะมีตัวประกอบที่เป็นตัวเลข +4 (โดยนัยด้วยเครื่องหมาย +) และตัวประกอบตามตัวอักษร x³ เป็นต้น หากเราจะเขียนเอกพจน์ที่มีตัวประกอบตัวเลขหลายตัว (และตัวประกอบที่เป็นตัวอักษรด้วย) ดังตัวอย่างต่อไปนี้

,

แล้วจะสะดวกกว่าถ้าจะจัดเรียงตัวประกอบใหม่เพื่อให้ตัวประกอบตัวเลขอยู่ใกล้ๆ เช่น

,

คูณตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้แล้วได้

–4a²bc² (จุด, เครื่องหมายการคูณถูกข้าม)

ในกรณีส่วนใหญ่ เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนตัวประกอบตัวเลขไว้ข้างหน้า พวกเขาเขียน:

4a ไม่ใช่ 4
–3a²b ไม่ใช่ a²(–3)b

ตัวประกอบเชิงตัวเลขของ monomial เรียกว่าสัมประสิทธิ์

ถ้าตัวประกอบเชิงตัวเลขไม่ได้เขียนด้วย monomial เช่น ab คุณก็สามารถบอกเป็นนัยได้เสมอ อย่างแท้จริง

ก = (+1) ∙ ก; เอบี = (+1)เอบี;
–a = (–1) ∙ ก; a³ = (–1) ∙a³ ฯลฯ

ดังนั้น monomials a², ab, ab² แต่ละตัวมีค่าสัมประสิทธิ์ 1 (หรือแม่นยำกว่า: +1) ถ้าเราเขียน monomials –ab, –a², –ab² ฯลฯ ก็ควรจะมีค่าสัมประสิทธิ์ –1

22. มากกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อนพหุนามและ monomials

(a + b)² + 3(a – b)² ... สูตรนี้แสดงผลรวมของสองเทอม: อันแรกคือกำลังสองของผลรวมของตัวเลข a และ b และอันที่สองคือผลคูณของตัวเลข 3 ด้วยกำลังสองของผลต่างของตัวเลขเดียวกัน ดังนั้น สูตรนี้จึงต้องถือเป็นทวินาม: เทอมแรกคือ (a + b)² และเทอมที่สองคือ 3(a – b)² หากเราใช้นิพจน์ (a + b)² แยกจากกัน ดังนั้นโดยอาศัยนิพจน์ก่อนหน้า จะต้องถือว่าเป็น monomial และค่าสัมประสิทธิ์ = +1

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... ต้องถือเป็นตรีโกณมิติ (ผลรวมของสามเทอม): เทอมแรกคือ a(b – 1) ) และสัมประสิทธิ์ = +1 เทอมที่สอง –b(a – 1) สัมประสิทธิ์ = –1 เทอมที่สาม –(a – 1)(b – 1) สัมประสิทธิ์ = – 1

บางครั้งจำนวนพจน์ของพหุนามก็ลดลงอย่างไม่ตั้งใจ ตรีโกณมิติจังเลย

ตัวอย่างเช่น สามารถถือเป็นทวินามได้ และเช่น a + b ถือเป็นหนึ่งเทอม (หนึ่งเทอม) เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้ใช้วงเล็บ:

จากนั้นพจน์ (a + b) มีค่าสัมประสิทธิ์โดยนัยเป็น +1

[แท้จริงแล้ว (a + b) = (+1)(a + b)]