คำแนะนำ

ถ้าเพื่อ ให้รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือปกตินั่นคือเขามี
สองหรือสามด้านแล้วแบ่งครึ่งตามทรัพย์สิน สามเหลี่ยมจะเป็นค่ามัธยฐานด้วย ดังนั้นด้านตรงข้ามจะถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นแบ่งครึ่ง

วัดด้านตรงข้ามด้วยไม้บรรทัด สามเหลี่ยมโดยที่เส้นแบ่งเขตจะดูแล แบ่งด้านนี้ออกครึ่งหนึ่งแล้ววางจุดไว้ตรงกลางด้านข้าง

ลากเส้นตรงผ่านจุดที่สร้างขึ้นและจุดยอดตรงข้าม นี่จะเป็นเส้นแบ่งครึ่ง สามเหลี่ยม.

แหล่งที่มา:

• ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของรูปสามเหลี่ยม

การแบ่งมุมครึ่งหนึ่งและคำนวณความยาวของเส้นที่ลากจากด้านบนไปยังด้านตรงข้ามเป็นสิ่งที่ช่างตัด ผู้สำรวจ ช่างติดตั้ง และบุคลากรในวิชาชีพอื่นๆ จำเป็นต้องสามารถทำได้

คุณจะต้องการ

• เครื่องมือ ไม้บรรทัดดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์ ตารางไซน์และโคไซน์ สูตรทางคณิตศาสตร์และแนวคิด: นิยามของทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งของไซน์และโคไซน์ ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่ง

คำแนะนำ

สร้างสามเหลี่ยมตามขนาดที่ต้องการขึ้นอยู่กับว่าคุณให้อะไรมาบ้าง? ด้าน dfe และมุมระหว่างสองด้าน สามด้านหรือสองมุม และด้านที่อยู่ระหว่างสองมุม

ติดป้ายกำกับจุดยอดของมุมและด้านข้างด้วยตัวอักษรละตินแบบดั้งเดิม A, B และ C ส่วนยอดของมุมจะมีเครื่องหมาย และด้านตรงข้ามด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก ติดป้ายกำกับมุม ตัวอักษรกรีก- และ?

ใช้ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ในการคำนวณมุมและด้าน สามเหลี่ยม.

จำแบ่งครึ่ง Bisector - การแบ่งมุมครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุม สามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วนซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน สามเหลี่ยม.

วาดเส้นแบ่งครึ่งของมุม ติดป้ายกำกับส่วนผลลัพธ์ด้วยชื่อของมุมที่เขียน ตัวอักษรตัวพิมพ์เล็กโดยมีตัวห้อย l ด้าน c แบ่งออกเป็นส่วน a และ b โดยมีดัชนี l

คำนวณความยาวของส่วนผลลัพธ์โดยใช้กฎของไซน์

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

ความยาวของส่วนซึ่งเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเดิม ซึ่งก็คือเส้นแบ่งครึ่งและส่วนของตัวมันเองนั้น คำนวณโดยใช้กฎของไซน์ ในการคำนวณความยาวของส่วนอื่นของด้านเดียวกัน ให้ใช้อัตราส่วนของส่วนผลลัพธ์กับด้านที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมเดิม

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้วาดเส้นแบ่งครึ่ง มุมที่แตกต่างกัน สีที่ต่างกัน.

แบ่งครึ่ง มุมเรียกว่ารังสีที่เริ่มต้นที่จุดยอด มุมและแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เหล่านั้น. เพื่อใช้จ่าย แบ่งครึ่งคุณต้องหาตรงกลาง มุม- วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือใช้เข็มทิศ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณใดๆ และผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับว่ามีปริมาณหรือไม่ มุมจำนวนเต็ม

คุณจะต้องการ

• เข็มทิศ ดินสอ ไม้บรรทัด

คำแนะนำ

โดยปล่อยให้ความกว้างของเข็มทิศเปิดเหมือนเดิม วางเข็มไว้ที่ปลายของส่วนด้านใดด้านหนึ่ง แล้ววาดส่วนหนึ่งของวงกลมเพื่อให้อยู่ภายใน มุม- ทำเช่นเดียวกันกับอันที่สอง คุณจะพบกับวงกลมสองส่วนที่ตัดกันภายใน มุม- ประมาณตรงกลาง. ส่วนของวงกลมสามารถตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสองจุดได้

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม คุณสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ได้ แต่ต้องใช้วิธีนี้ แม่นยำยิ่งขึ้น- ยิ่งไปกว่านั้น หากค่ามุมไม่ใช่จำนวนเต็ม ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งจะเพิ่มขึ้น

เมื่อสร้างหรือพัฒนาโครงการออกแบบบ้านมักจำเป็นต้องสร้าง มุมเท่ากับของที่มีอยู่แล้ว เทมเพลตมาช่วยเหลือ ความรู้ของโรงเรียนเรขาคณิต.

คำแนะนำ

มุมหนึ่งเกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากมาจากจุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดยอดของมุม และเส้นตรงจะเป็นด้านข้างของมุม

ใช้สามมุมเพื่อระบุมุม: หนึ่งอันที่ด้านบน สองอันที่ด้านข้าง เรียกว่า มุมโดยเริ่มจากตัวอักษรที่อยู่ด้านหนึ่ง เรียกว่า ตัวอักษรที่อยู่ด้านบน แล้วจึงเรียกว่าตัวอักษรที่อยู่อีกด้านหนึ่ง ใช้อย่างอื่นเพื่อระบุมุมหากคุณต้องการเป็นอย่างอื่น บางครั้งอาจมีการตั้งชื่อตัวอักษรเพียงตัวเดียวซึ่งอยู่ด้านบน และคุณสามารถแสดงมุมด้วยตัวอักษรกรีก เช่น α, β, γ

มีสถานการณ์เมื่อจำเป็น มุมเพื่อให้แคบกว่ามุมที่กำหนด หากไม่สามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ในการก่อสร้างได้ คุณสามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศเท่านั้น สมมติว่าบนเส้นตรงที่มีตัวอักษร MN คุณต้องสร้าง มุมที่จุด K เพื่อให้เท่ากับมุม B นั่นคือจากจุด K จำเป็นต้องวาดเส้นตรงด้วยเส้น MN มุมซึ่งจะเท่ากับมุม B

เริ่มต้นด้วยการทำเครื่องหมายจุดในแต่ละด้าน มุมที่กำหนดเช่น จุด A และ C จากนั้นเชื่อมต่อจุด C และ A ด้วยเส้นตรง รับทรี มุมนิค เอบีซี

ตอนนี้สร้าง Tre ​​เดียวกันบนเส้นตรง MN มุมเพื่อให้จุดยอด B อยู่บนเส้นตรงที่จุด K ใช้กฎในการสร้างสามเหลี่ยม มุมนิคในสาม เลย์เอาส่วน KL ออกจากจุด K มันจะต้องเท่ากับส่วน BC รับจุด L

จากจุด K ให้วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับส่วน BA จาก L ให้วาดวงกลมที่มีรัศมี CA เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์ (P) ของจุดตัดของวงกลมสองวงด้วย K รับสาม มุม KPL ซึ่งจะเท่ากับสาม มุมหนังสือเอบีซี. ดังนั้นคุณจะได้รับ มุม K จะเท่ากับมุม B เพื่อให้สะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น ให้แยกจากจุดยอด B ส่วนที่เท่ากันใช้การเปิดเข็มทิศข้างเดียวโดยไม่ขยับขา อธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันจากจุด K

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 5: วิธีสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและค่ามัธยฐาน

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดซึ่งมีจุดยอดสามจุดเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยส่วนที่ประกอบเป็นด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับตรงกลางของด้านตรงข้ามเรียกว่าค่ามัธยฐาน เมื่อทราบความยาวของสองด้านและค่ามัธยฐานที่เชื่อมต่อที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง คุณสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้โดยไม่ต้องมีข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของด้านที่สามหรือขนาดของมุม

คำแนะนำ

วาดส่วนจากจุด A ซึ่งมีความยาวเป็นด้านที่ทราบของรูปสามเหลี่ยม (a) ทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของส่วนนี้ด้วยตัวอักษร B หลังจากนั้นสามารถพิจารณาสร้างด้านใดด้านหนึ่ง (AB) ของสามเหลี่ยมที่ต้องการได้แล้ว

ใช้เข็มทิศ วาดวงกลมโดยมีรัศมีเท่ากับสองเท่าของความยาวของค่ามัธยฐาน (2∗m) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A

ใช้เข็มทิศวาดวงกลมที่สองโดยมีรัศมี เท่ากับความยาว ฝ่ายที่รู้จัก(b) และให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด B วางเข็มทิศไว้ครู่หนึ่ง แต่ปล่อยเข็มทิศไว้บนนั้น - คุณจะต้องใช้อีกครั้งในภายหลัง

สร้างส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด A กับจุดตัดกันของเส้นทั้งสองที่คุณวาด ครึ่งหนึ่งของส่วนนี้จะเป็นส่วนที่คุณกำลังสร้าง - วัดครึ่งหนึ่งนี้และวางจุด M ในขณะนี้ คุณมีด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่ต้องการ (AB) และค่ามัธยฐาน (AM)

ใช้เข็มทิศ วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับความยาวของด้านที่สองที่ทราบ (b) และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A

วาดส่วนที่ควรเริ่มต้นที่จุด B ผ่านจุด M และสิ้นสุดที่จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลมที่คุณวาดในขั้นตอนก่อนหน้า กำหนดจุดตัดด้วยตัวอักษร C ตอนนี้ด้าน BC ซึ่งไม่ทราบเงื่อนไขของปัญหาได้ถูกสร้างขึ้นในสิ่งที่ต้องการแล้ว

ความสามารถในการแบ่งมุมด้วยเส้นแบ่งครึ่งนั้นจำเป็นไม่เพียงแต่เพื่อให้ได้ “A” ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ความรู้นี้จะเป็นประโยชน์อย่างมากต่อผู้สร้าง นักออกแบบ ช่างสำรวจ และช่างตัดเสื้อ ในชีวิตคุณต้องสามารถแบ่งหลายสิ่งออกเป็นสองส่วนได้

ทุกคนที่โรงเรียนเรียนรู้เรื่องตลกเกี่ยวกับหนูที่วิ่งไปรอบมุมและแบ่งครึ่งมุม ชื่อของสัตว์ฟันแทะที่ว่องไวและชาญฉลาดตัวนี้คือ Bisector ไม่มีใครรู้ว่าหนูแบ่งมุมและนักคณิตศาสตร์อย่างไร หนังสือเรียนของโรงเรียน“เรขาคณิต” สามารถเสนอวิธีการดังต่อไปนี้

การใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดำเนินการแบ่งครึ่งคือการใช้อุปกรณ์สำหรับ คุณต้องติดไม้โปรแทรกเตอร์ไว้ที่ด้านหนึ่งของมุม โดยจัดจุดอ้างอิงให้ตรงกับปลาย O จากนั้นวัดมุมเป็นองศาหรือเรเดียน แล้วหารด้วย 2 ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์อันเดียวกัน แยกองศาที่ได้รับออกจากด้านใดด้านหนึ่งแล้วลากเส้นตรงซึ่งจะกลายเป็นเส้นแบ่งครึ่งไปยังจุดเริ่มต้นของมุม O

การใช้เข็มทิศ

คุณต้องใช้เข็มทิศแล้วย้ายไปที่ขนาดใดก็ได้ (ภายในขอบเขตของภาพวาด) วางส่วนปลายไว้ที่จุดเริ่มต้นของมุม O แล้วให้วาดส่วนโค้งที่ตัดกับรังสีโดยทำเครื่องหมายสองจุดไว้ ถูกกำหนดให้เป็น A1 และ A2 จากนั้นเมื่อวางเข็มทิศสลับกันที่จุดเหล่านี้คุณควรวาดวงกลมสองวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน (ตามขนาดของภาพวาด) จุดตัดของพวกเขาถูกกำหนดให้เป็น C และ B ถัดไปคุณจะต้องลากเส้นตรงผ่านจุด O, C และ B ซึ่งจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการ

การใช้ไม้บรรทัด

ในการวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมโดยใช้ไม้บรรทัด คุณจะต้องพล็อตส่วนของเส้นรังสี (ด้านข้าง) จากจุด O ความยาวเท่ากันและกำหนดให้เป็นจุด A และ B จากนั้นคุณควรเชื่อมต่อพวกมันด้วยเส้นตรงและใช้ไม้บรรทัดแบ่งส่วนที่เป็นผลลัพธ์ออกเป็นครึ่งหนึ่งโดยกำหนดจุด C คุณจะได้เส้นแบ่งครึ่งหากคุณวาดเส้นตรงผ่านจุด C และ โอ

ไม่มีเครื่องมือ

ถ้าไม่ เครื่องมือวัดคุณสามารถใช้ความเฉลียวฉลาดของคุณได้ ก็เพียงพอแล้วที่จะวาดมุมบนกระดาษลอกลายหรือกระดาษบางธรรมดาแล้วพับกระดาษอย่างระมัดระวังเพื่อให้รังสีของมุมอยู่ในแนวเดียวกัน เส้นพับในภาพวาดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการ

มุมตรง

มุมที่มากกว่า 180 องศาสามารถหารด้วยเส้นแบ่งครึ่งได้โดยใช้วิธีเดียวกัน เพียงแต่จะต้องไม่แบ่งมัน แต่ต้องแบ่งมุมแหลมที่อยู่ติดกันซึ่งเหลือจากวงกลม ความต่อเนื่องของเส้นแบ่งครึ่งที่พบจะกลายเป็นเส้นตรงที่ต้องการโดยแบ่งมุมที่กางออกครึ่งหนึ่ง

มุมในรูปสามเหลี่ยม

ก็ควรจะจำไว้ว่าใน สามเหลี่ยมด้านเท่าเส้นแบ่งครึ่งยังเป็นค่ามัธยฐานและส่วนสูงด้วย ดังนั้นจึงสามารถหาเส้นแบ่งครึ่งในนั้นได้โดยเพียงแค่ลดตั้งฉากกับด้านตรงข้ามกับมุม (สูง) หรือแบ่งครึ่งด้านนี้แล้วเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางกับ มุมตรงข้าม(ค่ามัธยฐาน).

วิดีโอในหัวข้อ

กฎช่วยในการจำ“เส้นแบ่งครึ่งคือหนูที่วิ่งไปรอบมุมแล้วแบ่งครึ่ง” อธิบายสาระสำคัญของแนวคิดนี้ แต่ไม่ได้ให้คำแนะนำในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง ในการวาดนอกเหนือจากกฎคุณจะต้องมีเข็มทิศและไม้บรรทัด

คำแนะนำ

สมมติว่าคุณต้องสร้าง แบ่งครึ่งมุม A. ใช้เข็มทิศ วางปลายไว้ที่จุด A (มุม) แล้ววาดวงกลมใดๆ เมื่อตัดกันด้านข้างของมุม ให้วางจุด B และ C

วัดรัศมีของวงกลมแรก วาดอีกอันที่มีรัศมีเท่ากันโดยวางเข็มทิศที่จุด B

วาดวงกลมถัดไป (ขนาดเท่ากับวงกลมก่อนหน้า) โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C

วงกลมทั้งสามวงจะต้องตัดกันที่จุดหนึ่ง เรียกมันว่า F กันดีกว่า ใช้ไม้บรรทัดลากรังสีที่ผ่านจุด A และ F นี่จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการของมุม A

มีกฎหลายข้อที่จะช่วยคุณค้นหา ตัวอย่างเช่น มันตรงกันข้ามกับ เท่ากับอัตราส่วนสองด้านที่อยู่ติดกัน ในหน้าจั่ว

สามเหลี่ยม - รูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านหรือปิด เส้นขาดมีสามลิงค์หรือรูปที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ดูรูปที่ 1)

องค์ประกอบสำคัญ สามเหลี่ยมเอบีซี

ยอดเขา – จุด A, B และ C;

ภาคี – ส่วน a = BC, b = AC และ c = AB เชื่อมต่อจุดยอด

มุม – α, β, γ เกิดจากด้านสามคู่ มุมมักถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับจุดยอด โดยมีตัวอักษร A, B และ C

มุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและนอนอยู่ในพื้นที่ภายในเรียกว่ามุมภายใน และมุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม (2, หน้า 534)

ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากองค์ประกอบหลักในรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีการพิจารณาส่วนอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจด้วย เช่น ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลาง

ความสูง

ความสูงของสามเหลี่ยม- สิ่งเหล่านี้คือเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม

หากต้องการพล็อตความสูง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ลากเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม (หากดึงความสูงจากจุดยอด มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมป้าน);

2) จากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นที่ลาก ให้วาดส่วนหนึ่งจากจุดถึงเส้นนี้ โดยทำมุม 90 องศา

เรียกว่าจุดตัดของระดับความสูงกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ฐานความสูง (ดูรูปที่ 2)

คุณสมบัติของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงที่ลากมาจากจุดยอด มุมฉากให้แยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันคล้ายกับสามเหลี่ยมเดิม

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงทั้งสองจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป

หากรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ฐานของความสูงทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และ สามเหลี่ยมป้านความสูงสองอันตกอยู่บนความต่อเนื่องของด้านข้าง

ความสูงสามใน สามเหลี่ยมเฉียบพลันตัดกันที่จุดหนึ่งแล้วเรียกจุดนี้ว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ สามเหลี่ยม.

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน(จากภาษาละติน mediana - "ตรงกลาง") - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ดูรูปที่ 3)

ในการสร้างค่ามัธยฐาน คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) หาตรงกลางด้านข้าง

2) เชื่อมต่อจุดที่อยู่กึ่งกลางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับจุดยอดตรงข้ามกับส่วน

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง สามเหลี่ยม.

สามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานของมันเป็นสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

แบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่ง(จากภาษาละติน ทวิ - สองครั้ง และ เซโก - ตัด) คือส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่แบ่งครึ่งมุม (ดูรูปที่ 4)

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) สร้างรังสีที่ออกมาจากจุดยอดของมุมแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เส้นแบ่งครึ่งมุม)

2) ค้นหาจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสามเหลี่ยมด้วย ฝั่งตรงข้าม;

3) เลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านตรงข้ามเป็นอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านสองด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมตัดกับส่วนขยายของด้านตรงข้าม ดังนั้น ADBD=ACBC

เส้นแบ่งครึ่งของหนึ่งภายในและสอง มุมภายนอกสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เป็นศูนย์กลางของหนึ่งในสาม นอกกรอบสามเหลี่ยมนี้

ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในสองมุมและมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

หากเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมไม่ขนานกับด้านตรงข้าม แสดงว่าฐานของพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม
เส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสามเหลี่ยมยังเข้าใจกันว่าเป็นส่วนระหว่างจุดยอดกับจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 8 เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง
อันที่จริง ก่อนอื่นให้เราพิจารณาจุด P ของจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสองตัว เช่น AK 1 และ VK 2 จุดนี้อยู่ห่างจากด้าน AB และ AC เท่าๆ กัน เนื่องจากจุดนั้นอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม A และอยู่ห่างจากด้าน AB และ BC เท่าๆ กัน เนื่องจากเป็นของเส้นแบ่งครึ่งของมุม B ซึ่งหมายความว่าจุดนี้จะอยู่ห่างจากด้าน AB และ BC เท่าๆ กัน ข้าง AC และ BC และด้วยเหตุนี้จึงเป็นของเส้นแบ่งครึ่งที่สาม CK 3 นั่นคือที่จุด P เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามตัดกัน
คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกของรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบท 9. แบ่งครึ่ง มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนต่างๆ ตามสัดส่วนของด้านประชิด
การพิสูจน์. ลองพิจารณาสามเหลี่ยม ABC และเส้นแบ่งครึ่งของมุม B ลองวาดเส้นตรง CM ผ่านจุดยอด C ขนานกับเส้นแบ่งครึ่ง BC จนกระทั่งมันตัดกันที่จุด M ด้วยความต่อเนื่องของด้าน ABเนื่องจาก VC เป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ABC ดังนั้น ∠ ABC = ∠ KBC นอกจากนี้ ∠ АВК=∠ ВСМ เป็นมุมที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นขนาน และ ∠ КВС=∠ ВСМ เป็นมุมขวางสำหรับเส้นขนาน ดังนั้น ∠ ВСМ=∠ ВМС และดังนั้น สามเหลี่ยม ВСМ จึงเป็นหน้าจั่ว ดังนั้น ВС=ВМ ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานที่ตัดกันด้านข้างของมุม เราจะได้ AK:K C=AB:VM=AB:BC ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ทฤษฎีบท 10 เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอก B สามเหลี่ยมเอบีซีมีคุณสมบัติคล้ายกัน: ส่วน AL และ CL จากจุดยอด A และ C ถึงจุด L ของจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งโดยมีความต่อเนื่องของด้าน AC เป็นสัดส่วนกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม: AL: ซี.แอล.=เอบี:พ.ศ.
คุณสมบัตินี้ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้า: ในรูปเส้นเสริม SM ถูกลากขนานกับเส้นแบ่งครึ่ง BL มุม BMC และ BC เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าด้าน BM และ BC ของสามเหลี่ยม BMC เท่ากัน ซึ่งเราก็ได้ข้อสรุปว่า AL:CL=AB:BC

ทฤษฎีบท d4 (สูตรแรกสำหรับเส้นแบ่งครึ่ง): ถ้าในรูปสามเหลี่ยม ABC ส่วน AL คือเส้นแบ่งครึ่งของมุม A แล้ว AL ล่ะ? = เอบี·เอซี - ปอนด์·แอลซี

การพิสูจน์:ให้ M เป็นจุดตัดของเส้น AL โดยมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 41) มุม BAM เท่ากับมุม MAC ตามแบบแผน มุม BMA และ BCA เท่ากันทุกประการเนื่องจากมุมที่ถูกจารึกไว้มีคอร์ดเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม BAM และ LAC มีความคล้ายคลึงกันในสองมุม ดังนั้น AL: AC = AB: AM ดังนั้น AL · AM = AB · AC<=>อัล (AL + LM) = AB เอซี<=>อัล? = AB · เอซี - อัล · LM = AB · เอซี - BL · LC ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์ หมายเหตุ: สำหรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับส่วนของคอร์ดที่ตัดกันในวงกลมและเกี่ยวกับมุมที่จารึกไว้ โปรดดูหัวข้อ วงกลมและวงกลม

ทฤษฎีบท d5 (สูตรที่สองสำหรับเส้นแบ่งครึ่ง): ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีด้าน AB=a, AC=b และมุม A เท่ากับ 2? และเส้นแบ่งครึ่ง l ความเท่าเทียมกันถือเป็น:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

การพิสูจน์:ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมที่กำหนด, AL เส้นแบ่งครึ่งของมัน (รูปที่ 42), a=AB, b=AC, l=AL จากนั้น S ABC = S ALB + S ALC ดังนั้นแอ๊บซิน2? = อัลซิน? +บลซิน?<=>2แอ๊บซิน?·เพราะ? = (a + b) ซิน?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เรขาคณิตเป็นหนึ่งในวิทยาศาสตร์ที่ซับซ้อนและสับสนที่สุด ในนั้นสิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนเมื่อมองแวบแรกแทบจะไม่เคยกลายเป็นสิ่งที่ถูกต้องเลย เส้นแบ่งครึ่ง, ระดับความสูง, ค่ามัธยฐาน, เส้นโครง, แทนเจนต์ - คำศัพท์ที่ยากมากจำนวนมากซึ่งสับสนได้ง่ายมาก

ในความเป็นจริง ด้วยความปรารถนาที่เหมาะสม คุณสามารถเข้าใจทฤษฎีที่ซับซ้อนใดๆ ได้ เมื่อพูดถึงเส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และระดับความสูง คุณต้องเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ได้มีลักษณะเฉพาะของรูปสามเหลี่ยม เมื่อมองแวบแรกนี้ เส้นเรียบง่ายแต่แต่ละรายการมีคุณสมบัติและฟังก์ชันของตัวเอง ซึ่งความรู้ดังกล่าวทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก ปัญหาทางเรขาคณิต- แล้วเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมคืออะไร?

คำนิยาม

คำว่า "แบ่งครึ่ง" นั้นมาจากคำรวมกัน คำภาษาละติน"สอง" และ "ตัด", "ตัด" ซึ่งบ่งบอกถึงคุณสมบัติของมันทางอ้อมแล้ว โดยปกติแล้ว เมื่อเด็กๆ รู้จักรังสีนี้ พวกเขาจะได้รับวลีสั้นๆ ให้จำไว้ว่า “เส้นแบ่งครึ่งคือหนูที่วิ่งไปรอบมุมและแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน” โดยธรรมชาติแล้วคำอธิบายดังกล่าวไม่เหมาะสำหรับเด็กนักเรียนที่มีอายุมากกว่าและมักจะถามไม่เกี่ยวกับมุม แต่เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต ดังนั้นเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นรังสีที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม โดยแบ่งมุมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จุดที่อยู่ฝั่งตรงข้ามที่เส้นแบ่งครึ่งมาเพื่อ สามเหลี่ยมโดยพลการถูกเลือกแบบสุ่ม

ฟังก์ชันและคุณสมบัติพื้นฐาน

ลำแสงนี้มีคุณสมบัติพื้นฐานบางประการ ประการแรก เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมแบ่งครึ่งมุม จุดใดๆ ที่วางอยู่บนนั้นจึงจะอยู่ตรงนั้น ระยะทางเท่ากันจากด้านข้างเป็นด้านบน ประการที่สอง ในแต่ละสามเหลี่ยม คุณสามารถวาดเส้นแบ่งครึ่งได้สามเส้นตามจำนวนมุมที่มีอยู่ (ดังนั้น ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเดียวกันก็จะมีสี่เส้นอยู่แล้ว เป็นต้น) จุดที่รังสีทั้งสามตัดกันคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติมีความซับซ้อนมากขึ้น

มาทำให้ทฤษฎีซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย อื่น คุณสมบัติที่น่าสนใจ: เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ โดยมีอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่สร้างจุดยอด เมื่อมองแวบแรก สิ่งนี้ซับซ้อน แต่จริงๆ แล้วทุกอย่างเรียบง่าย: ตามรูปที่เสนอ RL: LQ = PR: PK อย่างไรก็ตามคุณสมบัตินี้ถูกเรียกว่า "ทฤษฎีบท Bisector" และปรากฏตัวครั้งแรกในงานของ Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ มันถูกจดจำในหนังสือเรียนภาษารัสเซียเล่มหนึ่งเฉพาะในช่วงไตรมาสแรกของศตวรรษที่สิบเจ็ดเท่านั้น

มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้นแบ่งครึ่งจะตัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วออก รูปนี้แสดงให้เห็นทั้งหมด มุมเท่ากันสำหรับค่ามัธยฐาน AF

และในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นแบ่งครึ่งของมุมด้านเดียวจะตั้งฉากกัน ในภาพวาดที่แสดง มุม APB คือ 90 องศา

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นรังสีที่มีประโยชน์มากกว่ามาก ในเวลาเดียวกันไม่เพียงแต่เป็นตัวหารของมุมครึ่งหนึ่งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่ามัธยฐานและระดับความสูงด้วย

ค่ามัธยฐานคือส่วนที่มาจากมุมหนึ่งและตกอยู่ตรงกลางของฝั่งตรงข้าม จึงแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ความสูงเป็นเส้นตั้งฉากที่สืบมาจากจุดยอดไปยังด้านตรงข้าม ปัญหาใดๆ ก็ตามสามารถลดลงเหลือเพียงทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เรียบง่ายและดั้งเดิมได้ ในสถานการณ์นี้ เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมจะเท่ากับรากของผลต่างระหว่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาอีกข้าง อย่างไรก็ตาม คุณสมบัตินี้มักพบในปัญหาทางเรขาคณิต

เพื่อรวมเข้าด้วยกัน: ในรูปสามเหลี่ยมนี้ เส้นแบ่งครึ่ง FB คือค่ามัธยฐาน (AB = BC) และความสูง (มุม FBC และ FBA คือ 90 องศา)

ในโครงร่าง

แล้วคุณต้องจำอะไรบ้าง? เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมคือรังสีที่ตัดส่วนยอดของมัน ที่จุดตัดของรังสีสามดวง จะมีจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด (ข้อเสียอย่างเดียวของคุณสมบัตินี้คือไม่มี คุณค่าทางปฏิบัติและทำหน้าที่เฉพาะสำหรับการดำเนินการตามแบบที่มีความสามารถเท่านั้น) นอกจากนี้ยังแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนๆ โดยมีอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่รังสีนี้ผ่านไป ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคุณสมบัติจะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่เป็นที่ยอมรับว่าพวกมันไม่เคยมีปัญหาเลย ระดับโรงเรียนดังนั้นจึงมักไม่มีการแตะต้องสิ่งใดในโปรแกรม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นความฝันสูงสุดของเด็กนักเรียนทุกคน เป็นทั้งค่ามัธยฐาน (นั่นคือ แบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นครึ่งหนึ่ง) และระดับความสูง (ตั้งฉากกับด้านนั้น) การแก้ปัญหาด้วยเส้นแบ่งครึ่งเช่นนี้ลดเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นฐานของเส้นแบ่งครึ่งตลอดจนคุณสมบัติพื้นฐานของมัน เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตทั้งค่าเฉลี่ยและ ระดับสูงความยากลำบาก อันที่จริงรังสีนี้พบได้ใน planimetry เท่านั้นดังนั้นจึงไม่สามารถพูดได้ว่าการจดจำข้อมูลเกี่ยวกับมันจะทำให้คุณสามารถรับมือกับงานทุกประเภทได้

เส้นครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมคืออะไร? เมื่อตอบคำถามนี้หนูชื่อดังก็วิ่งไปรอบ ๆ มุมและแบ่งครึ่งออกมาจากปากของคนบางคน” ถ้าคำตอบควรเป็น “ตลก” ก็น่าจะถูกต้อง แต่ด้วย จุดทางวิทยาศาสตร์จากมุมมอง คำตอบสำหรับคำถามนี้ควรมีลักษณะดังนี้: เริ่มต้นที่จุดยอดของมุมแล้วแบ่งส่วนหลังออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน" ในเรขาคณิต รูปนี้ยังถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของเส้นแบ่งครึ่งก่อนที่จะตัดกับ ด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยม นี่ไม่ใช่ความเห็นที่ผิด แต่จะรู้อะไรอีกเกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมด้วย

เหมือนคนอื่นๆ สถานที่จุดก็มีสัญญาณของตัวเอง อย่างแรกไม่ใช่แม้แต่เครื่องหมาย แต่เป็นทฤษฎีบทซึ่งสามารถอธิบายสั้น ๆ ได้ดังนี้: “ ถ้าด้านที่อยู่ตรงข้ามถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนด้วยเส้นแบ่งครึ่ง อัตราส่วนของพวกมันจะสอดคล้องกับอัตราส่วนของ ด้านของสามเหลี่ยมขนาดใหญ่”

คุณสมบัติประการที่สองที่มี: จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

เครื่องหมายที่สาม: เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่ศูนย์กลางของหนึ่งในสามวงกลมที่จารึกไว้

คุณสมบัติประการที่สี่ของเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยมคือ ถ้าแต่ละเส้นเท่ากัน แล้วเส้นหลังจะเป็นหน้าจั่ว

เครื่องหมายที่ห้ายังเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วและเป็นแนวทางหลักสำหรับการรับรู้ในการวาดภาพโดยเส้นแบ่งครึ่ง กล่าวคือ: ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะทำหน้าที่เป็นค่ามัธยฐานและระดับความสูงพร้อมกัน

เส้นแบ่งครึ่งมุมสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด:

กฎข้อที่หกระบุว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้อันหลังกับเส้นแบ่งครึ่งที่มีอยู่เท่านั้น เช่นเดียวกับที่เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างในลักษณะนี้คือการสองเท่าของลูกบาศก์ การยกกำลังสองของวงกลม และการตัดสามส่วนของมุมในลักษณะนี้ พูดอย่างเคร่งครัด สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม

หากคุณอ่านย่อหน้าก่อนหน้านี้อย่างละเอียด แสดงว่าคุณอาจสนใจวลีเดียว "สามเหลี่ยมของมุมคืออะไร?" - คุณอาจจะถาม ไทรเซกเตอร์จะคล้ายกับเส้นแบ่งครึ่งเล็กน้อย แต่ถ้าคุณวาดอันหลัง มุมจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน และเมื่อสร้างไตรเซกเตอร์ มันจะแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยปกติแล้ว เส้นแบ่งครึ่งของมุมจะจดจำได้ง่ายกว่า เนื่องจากไม่มีการสอนเรื่องการแบ่งครึ่งมุมในโรงเรียน แต่เพื่อความสมบูรณ์ฉันจะเล่าให้คุณฟังด้วย

ตามที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว ไทรเซกเตอร์ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น แต่สามารถสร้างได้โดยใช้กฎของฟูจิตะและเส้นโค้งบางส่วน: หอยทากของปาสคาล, ควอดราทริกซ์, คอนคอยด์ของนิโคเมเดส ส่วนรูปกรวย,

ปัญหาการตัดมุมของมุมทำได้ค่อนข้างง่ายโดยใช้ nevsis

ในเรขาคณิต มีทฤษฎีบทเกี่ยวกับไตรเซกเตอร์ของมุม มันถูกเรียกว่าทฤษฎีบทของมอร์ลีย์ เธอกล่าวว่าจุดตัดของไตรเซกเตอร์ของแต่ละมุมที่อยู่ตรงกลางจะเป็นจุดยอด

สามเหลี่ยมสีดำเล็กๆ ภายในสามเหลี่ยมขนาดใหญ่จะมีด้านเท่ากันเสมอ ทฤษฎีบทนี้ถูกค้นพบโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ Frank Morley ในปี 1904

คุณสามารถเรียนรู้ได้มากเพียงใดเกี่ยวกับการหารมุม: ไตรเซกเตอร์และเส้นแบ่งครึ่งของมุมจำเป็นต้องมีคำอธิบายโดยละเอียดเสมอ แต่ที่นี่มีคำจำกัดความมากมายที่ผมยังไม่ได้เปิดเผย เช่น หอยทากของปาสคาล หอยสังข์ของนิโคเมเดส เป็นต้น มั่นใจได้ว่ายังมีอะไรอีกมากมายให้เขียนเกี่ยวกับพวกเขา