วงกลมที่ถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

พีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง
รูปทรงหลายเหลี่ยม

วิดีโอสอนนี้จะช่วยให้ผู้ใช้เข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทนี้ เราจะมาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความ ลองพิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง จากนั้นเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นผิวด้านข้าง ปิรามิดปกติ.

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความแก่มัน

พิจารณารูปหลายเหลี่ยม เอ 1 เอ 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด ปซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ปมีจุดยอด ก 1, 2, 3, … หนึ่ง- เราได้รับ nสามเหลี่ยม: ก 1 ก 2 อาร์, ก 2 ก 3 อาร์และอื่น ๆ

คำนิยาม- รูปทรงหลายเหลี่ยม RA 1 A 2 ...นประกอบด้วย n-สี่เหลี่ยม เอ 1 เอ 2...หนึ่งและ nสามเหลี่ยม RA 1 A 2, RA 2 ก 3 …RA n A n-1 เรียกว่า n-ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. 1.

ข้าว. 1

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2)

ร- ด้านบนของปิรามิด

เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด

ร - ซี่โครงด้านข้าง.

เอบี- ซี่โครงฐาน

จากจุด รลองวางตั้งฉากกัน ร.นไปยังระนาบฐาน เอบีซีดี- เส้นตั้งฉากที่วาดคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 2

เต็มพื้นผิวปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างนั่นคือพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดและพื้นที่ฐาน:

S เต็ม = ด้าน S + S หลัก

ปิรามิดจะเรียกว่าถูกต้องหาก:

รากฐานของมัน - รูปหลายเหลี่ยมปกติ;
ส่วนที่เชื่อมต่อยอดปิรามิดเข้ากับศูนย์กลางฐานคือความสูง

คำอธิบายโดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ PABCD(รูปที่ 3)

ร- ด้านบนของปิรามิด ฐานของปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส จุด เกี่ยวกับ, จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, รคือความสูงของปิรามิด

ข้าว. 3

คำอธิบาย: ถูกต้อง nในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นตรงกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าจุดยอดถูกฉายเข้าตรงกลาง

เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งและถูกกำหนดไว้ ฮา.

1. ขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติเท่ากัน

2. ใบหน้าด้านข้างเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากันทุกประการ

เราจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

ที่ให้ไว้: PABCD- ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร- ความสูงของปิรามิด

พิสูจน์:

1. RA = PB = อาร์เอส = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ดูภาพประกอบ 4.

ข้าว. 4

การพิสูจน์.

ร- ความสูงของปิรามิด นั่นก็คือ ตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง JSC, VO, ดังนั้นและ ทำนอนอยู่ในนั้น สามเหลี่ยมดังนั้น ROA, ROV, ROS, รด- สี่เหลี่ยม

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดี- จากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ดังนี้ AO = VO = CO = ทำ.

แล้วก็สามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, รดขา ร- ทั่วไปและขา JSC, VO, ดังนั้นและ ทำเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันทั้งสองด้าน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วนต่างๆ RA = PB = อาร์เอส = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

เซ็กเมนต์ เอบีและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน RA = PB = อาร์เอส- สามเหลี่ยมดังนั้น เอวีอาร์และ วีเอสอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน

ในทำนองเดียวกัน เราก็พบสามเหลี่ยมนั้น ABP, VCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน ตามที่ต้องพิสูจน์ในวรรค 2

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน:

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เรามาเลือกปิรามิดสามเหลี่ยมปกติกัน

ที่ให้ไว้: RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = เอซี

ร- ความสูง.

พิสูจน์: - ดูภาพประกอบ 5.

ข้าว. 5

การพิสูจน์.

RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ นั่นคือ เอบี= เอซี = พ.ศ- อนุญาต เกี่ยวกับ- ศูนย์กลางของสามเหลี่ยม เอบีซี, แล้ว รคือความสูงของปิรามิด ที่ฐานของปิรามิดอยู่ สามเหลี่ยมด้านเท่า เอบีซี- สังเกตว่า .

สามเหลี่ยม อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- เท่ากัน สามเหลี่ยมหน้าจั่ว(ตามทรัพย์สิน) ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมมีด้าน 3 ด้าน คือ อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:

ด้าน S = 3S RAW

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

รัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของปิรามิดคือ 4 ม. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ที่ให้ไว้: พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ เอบีซีดี,

เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,

ร= 3 ม.

ร- ความสูงของปิรามิด

ร= 4 ม.

หา: ฝั่งเอส ดูภาพประกอบ 6.

ข้าว. 6

สารละลาย.

ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .

ขั้นแรกให้หาด้านข้างของฐานก่อน เอบี- เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร

จากนั้น ม.

หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:

พิจารณารูปสามเหลี่ยม บีซีดี- อนุญาต ม- ตรงกลางด้านข้าง กระแสตรง- เพราะ เกี่ยวกับ- กลาง บีดี, ที่ (ม.)

สามเหลี่ยม ดีพีซี- หน้าจั่ว ม- กลาง กระแสตรง- นั่นคือ, RM- ค่ามัธยฐาน ดังนั้น ความสูงในรูปสามเหลี่ยม ดีพีซี- แล้ว RM- แนวกึ่งกลางของปิรามิด

ร- ความสูงของปิรามิด แล้วตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง โอมนอนอยู่ในนั้น เรามาค้นหาเส้นตั้งฉากในกัน RMจาก สามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.

ตอนนี้เราก็หาได้แล้ว พื้นผิวด้านข้างปิรามิด:

คำตอบ: 60 ตร.ม.

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ m พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 ตารางเมตร หาความยาวของระยะแนบใน.

ที่ให้ไว้: เอบีซีพี- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

AB = BC = SA

ร= ม.

ด้าน S = 18 ตร.ม.

หา- ดูภาพประกอบ 7.

ข้าว. 7

สารละลาย.

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีจะได้รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ มาหาข้างกันเถอะ เอบีสามเหลี่ยมนี้โดยใช้ทฤษฎีบทของไซน์

เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะพบเส้นรอบรูปของมัน

โดยทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ , ที่ไหน ฮา- แนวกึ่งกลางของปิรามิด แล้ว:

คำตอบ: 4 ม.

ดังนั้นเราจึงดูว่าพีระมิดคืออะไร พีระมิดปกติคืออะไร และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติแล้ว ในบทต่อไป เราจะมาทำความรู้จักกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

บรรณานุกรม

เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา(พื้นฐานและ ระดับโปรไฟล์) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5, ว. และเพิ่มเติม - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย.
เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนเพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบันการศึกษา/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ป่วย
เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีเนื้อหาเชิงลึกและ การศึกษาเฉพาะทางคณิตศาสตร์ /จ. วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม. - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น.: ป่วย

พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Festival แนวคิดการสอน"วันแรกของเดือนกันยายน" ()
พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “Slideshare.net” ()

การบ้าน

รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่ปกติได้หรือไม่
พิสูจน์ว่าขอบที่แยกจากกันของปิรามิดปกตินั้นตั้งฉากกัน
หาค่า มุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้าง มุมเชิงเส้นมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด

Chudaeva E.V. สถาบันการศึกษาเทศบาล “Insarskaya Secondary School No. 1”, Insar, Republic of Mordovia

การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

(โดย สื่อการสอบ Unified State)

ภารกิจที่ 1

ภารกิจที่ 2

ภารกิจที่ 3

ภารกิจที่ 4- คำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านเท่ากับ 6 และจุดกึ่งกลางของปิรามิดเท่ากับ

.

ปัญหา #5- คำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ถ้ารัศมีของวงกลมที่ฐานเป็น 2 และความสูงของปิรามิดปกติเท่ากับ

.

ปัญหา #6- คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติหากขอบของมันคือ 5 และรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานคือ 3

.

ปัญหาหมายเลข 7

ปัญหาหมายเลข 8

ปัญหาหมายเลข 9- ทางด้านขวา ปิรามิดหกเหลี่ยมด้านข้างฐานเป็น 2 และขอบด้านข้างเป็น 2

- ค้นหาปริมาตรของปิรามิด

ปัญหาหมายเลข 10รเป็นไปตามสมการ ร 2 + ร – 6 = 0 จงหาปริมาตรของปริซึม

ปัญหาหมายเลข 11- เกี่ยวกับสิ่งที่ถูกต้อง ปริซึมสามเหลี่ยมอธิบายกระบอกสูบ ระยะห่างระหว่างแกนทรงกระบอกกับด้านข้างของฐานปริซึมเท่ากับ

- ความสูงของทรงกระบอกเท่ากับสามรัศมี จงหาปริมาตรของปริซึม

ปัญหาหมายเลข 12

ปัญหาหมายเลข 13

ปัญหาหมายเลข 14- ทรงกระบอกถูกจารึกไว้ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ปริมาตรของกระบอกสูบคือ 16

และรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปริซึมจะเท่ากับ

- หาเส้นทแยงมุมของปริซึม.

ปัญหาหมายเลข 15- ทรงกระบอกถูกจารึกไว้ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ จงหาความสูงของปริซึมหากพื้นที่เป็น 54 และรัศมีของทรงกระบอกคือ 3

ปัญหาหมายเลข 16- เกี่ยวกับสิ่งที่ถูกต้อง ปริซึมหกเหลี่ยมอธิบายกระบอกสูบ ปริมาตรของทรงกระบอกคือ 16  ความสูงของทรงกระบอกคือ 4 ค้นหาปริมาตรของปริซึม

ปัญหาหมายเลข 17- ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ปริมาตรของกระบอกสูบคือ 10  จงหาปริมาตรของทรงกระบอกที่อยู่ในปริซึมเดียวกัน

การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

(ขึ้นอยู่กับสื่อการสอบ Unified State)

ภารกิจที่ 1 - คำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ หากรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานเท่ากับ และความสูงของปิรามิดเท่ากับ 4

ร การตัดสินใจ.

1) หาด้านข้างของฐานของปิรามิดปกติโดยใช้สูตร

,

.

2) หาพื้นที่ฐานเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ

,

.

3) คำนวณปริมาตรของปิรามิด

คำตอบ. 9

ภารกิจที่ 2 - คำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ หากรัศมีของวงกลมที่ฐานเท่ากับ และขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากับ 6

สารละลาย.

1) รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมปกตินั้นน้อยกว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ 2 เท่านั่นคือ

, แล้ว

.

4) จากสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาความสูงของปิรามิดได้:

, .

5) คำนวณปริมาตรของปิรามิด

คำตอบ. 18.

ภารกิจที่ 3 - คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติหากรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานเท่ากับ และความสูงของปิรามิดเท่ากับ 1

ร การตัดสินใจ.

1) หาด้านฐานของปิระมิดปกติโดยใช้สูตร , .

2) หาเส้นรอบวงของฐาน P = 3· ก,

พ = 9.

3) รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมปกตินั้นน้อยกว่ารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ 2 เท่านั่นคือ , แล้ว

.

4) จากสามเหลี่ยมมุมฉากMPA นาย :

,

นาย =

5) คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ:

,

.

คำตอบ.

.

ภารกิจที่ 4 - คำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 6 และด้านฐานเป็น 6

สารละลาย. -

1) ค้นหารัศมีของวงกลมที่อธิบายใกล้กับฐานและจารึกไว้ในฐาน: ,

นั่นคือ

.

2) หาพื้นที่ฐานเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ

.

MPA จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาความสูงได้:

, มิสซูรี =

.

คำตอบ. 18.

ปัญหา #5 - คำนวณปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ หากรัศมีของวงกลมที่ฐานเป็น 2 และความสูงของปิรามิดปกติคือ

สารละลาย.

2) หาด้านข้างของฐานของปิรามิดปกติโดยใช้สูตร

.

3) หาพื้นที่ฐานเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ

.

4) คำนวณปริมาตรของปิรามิดปกติ: =

.

คำตอบ. 36.

ปัญหา #6 - คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติหากขอบของมันคือ 5 และรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานคือ 3

ร การตัดสินใจ .

1) หาด้านข้างของฐานโดยใช้สูตร

, เช่น.

.

2) ค้นหาเส้นรอบวงของฐาน: ร = 4ก,

พ = 24.

3) จากสามเหลี่ยมมุมฉากม ดีร เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาเส้นตั้งฉากกึ่งกลางด้านนาย :

, ดี.พี. =

แล้ว: นาย =

.

4) คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด: =

.

คำตอบ. 48.

ปัญหาหมายเลข 7 - ทางด้านขวา ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมพื้นที่ผิวข้างคือ 16 และพื้นที่ฐานคือ 4 จงหาความสูงของพีระมิด

สารละลาย.

1) ค้นหาด้านข้างของฐาน: เนื่องจากฐานของปิรามิดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับ 4 ดังนั้นด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 2 และเส้นรอบวงของมันคือ 8

2) ตามเงื่อนไข = 16 เช่น

3) จากสามเหลี่ยมมุมฉากMPA เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาความสูง: โดยคำนึงถึงว่า OP = = 1 เราได้รับ: MO =

.

คำตอบ.

.

ปัญหาหมายเลข 8- คำนวณปริมาตรของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติหากด้านข้างของฐานเป็น 4 และขอบด้านข้างของปิรามิดเป็น 5

สารละลาย.

1) ด้านข้างของฐานของรูปหกเหลี่ยมปกติเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ เช่น

,

2) หาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตร

หรือ

= 24.

3) จากสามเหลี่ยมมุมฉากบันทึกความเข้าใจมาหาความสูงกัน มอ : .

4) คำนวณปริมาตรของปิรามิด: =

.

คำตอบ. 24.

ปัญหาหมายเลข 9 - ในปิรามิดหกเหลี่ยมปกติ ด้านฐานคือ 2 และขอบด้านข้างคือ 2 จงหาปริมาตรของปิรามิด

สารละลาย.

1) หาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตรหรือ = 12

2) จากสามเหลี่ยมมุมฉากบันทึกความเข้าใจมาหาความสูงกัน มิสซูรี, โดยพิจารณาว่าใน หกเหลี่ยมปกติ : .

3) คำนวณปริมาตรของปิรามิด: =

.

คำตอบ: 24.

ปัญหาหมายเลข 10 - ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ความสูงของทรงกระบอกคือ 5 และรัศมีของฐานคือรเป็นไปตามสมการร 2 + ร – 6 = 0 จงหาปริมาตรของปริซึม

ร การตัดสินใจ. วี = ส · ชม

1) เนื่องจากปริซึมถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก ความสูงของปริซึมจึงเท่ากับความสูงของทรงกระบอก และฐานของปริซึมจึงถูกจารึกไว้ที่ฐานของทรงกระบอก ยังไม่มี = 5.

2) ตามเงื่อนไข รเป็นไปตามสมการ ร 2 + ร – 6 = 0 แก้โจทย์ที่เราพบ

ร 1 = - 3, ร 2 = 2 เนื่องจากรัศมีเป็นค่าบวก ดังนั้น -3 จึงไม่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

3) ค้นหาด้านข้างของสามเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้โดยใช้สูตร

,

.

4) หาพื้นที่ฐาน ปริซึมที่ถูกต้อง, เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ:

=

5) คำนวณปริมาตรของปริซึม:วี = ส · ชม =

.

คำตอบ. 15.

ปัญหาหมายเลข 11 - ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ระยะห่างระหว่างแกนของทรงกระบอกกับด้านข้างฐานของปริซึมเท่ากับ ความสูงของทรงกระบอกเท่ากับสามรัศมี จงหาปริมาตรของปริซึม

สารละลาย. วี = ส · ชม

1) เนื่องจากปริซึมถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก ความสูงของปริซึมจะเท่ากับความสูงของทรงกระบอก และฐานของปริซึมจะถูกจารึกไว้ที่ฐานของทรงกระบอกตามเงื่อนไข ยังไม่มี = 3 ร..

2) ระยะห่างระหว่างแกนของทรงกระบอกกับด้านข้างของฐานของปริซึมเท่ากับรัศมีของรูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้เอบีซี วงกลมเช่น

และตามเงื่อนไขจะเท่ากับ

4) ค้นหาด้านข้างของสามเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้โดยใช้สูตร

.

5) หาพื้นที่ฐานของปริซึมปกติเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ: =

6) คำนวณปริมาตรของปริซึม:วี = ส · ชม = ส· 3 · ร =

162.

คำตอบ. 162.

ปัญหาหมายเลข 12- ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยมปกติ พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกคือ 16  จงหาปริมาตรของปริซึมหากด้านฐานเป็น 5

สารละลาย. วี = ส · ชม

2) ค้นหาพื้นที่ฐานของปริซึมปกติเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ: =

.

3) สูตรจะพบด้านของสามเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้

.

4) ตามเงื่อนไข พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 16·  เหล่านั้น.

, ที่ไหนเอ็น =

=

.

5) คำนวณปริมาตรของปริซึม:วี = ส · ชม = · = 30.

คำตอบ. สามสิบ.

ปัญหาหมายเลข 13- เกี่ยวกับสิ่งที่ถูกต้อง ปริซึมสี่เหลี่ยมทรงกระบอกมีพื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ 20 ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

สารละลาย.

1) เนื่องจากปริซึมถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก ความสูงของปริซึมจึงเท่ากับความสูงของทรงกระบอก และฐานของปริซึมจึงถูกจารึกไว้ที่ฐานของทรงกระบอก

2) ตามเงื่อนไข พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 20 , เช่น.

,

.

3) เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ดังนั้นที่ฐานจึงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีด้านข้าง

แล้วเส้นรอบวงฐานจะเท่ากับ

.

4) คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม = ., เช่น.  ·

.

– 36 ก  .

Chudaeva E.V. สถาบันการศึกษาเทศบาล “Insarskaya Secondary School No. 1”, Insar, Republic of Mordovia

การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

คำตอบ. 7.5

ภารกิจที่ 1

ภารกิจที่ 2

ภารกิจที่ 3

ภารกิจที่ 4

ปัญหา #5

ปัญหา #6

ปัญหาหมายเลข 7

ปัญหาหมายเลข 8

ปัญหาหมายเลข 9

ปัญหาหมายเลข 10รเป็นไปตามสมการ ร 2 + ร – 6 = 0 จงหาปริมาตรของปริซึม

ปัญหาหมายเลข 11

ปัญหาหมายเลข 12

ปัญหาหมายเลข 13

ปัญหาหมายเลข 14(ขึ้นอยู่กับสื่อการสอบ Unified State)

ปัญหาหมายเลข 16- ทรงกระบอกถูกจารึกไว้ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ปริมาตรของทรงกระบอกคือ 16 และรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปริซึมคือ หาเส้นทแยงมุมของปริซึม.

การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

(ขึ้นอยู่กับสื่อการสอบ Unified State)

สารละลาย.

3) คำนวณปริมาตรของปิรามิด

คำตอบ. 9

สารละลาย.

- ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ปริมาตรของทรงกระบอกคือ 16  ความสูงของทรงกระบอกคือ 4 ค้นหาปริมาตรของปริซึม

5) คำนวณปริมาตรของปิรามิด

คำตอบ. 18.

สารละลาย.

1) หาด้านฐานของปิระมิดปกติโดยใช้สูตร , .

2) หาเส้นรอบวงของฐาน P = 3· ก,

พ = 9.

4) จากสามเหลี่ยมมุมฉากMPA นาย : ,

นาย =

5) คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ:

4) จากสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบความสูงของปิรามิด: , .

สารละลาย. -

คำตอบ. -

1) ค้นหารัศมีของวงกลมที่อธิบายใกล้กับฐานและจารึกไว้ในฐาน: นั่นคือ .

MPA 2) หาพื้นที่ฐานเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ, .

คำตอบ. 18.

สารละลาย.

2) หาด้านฐานของปิระมิดปกติโดยใช้สูตร , .

3) หาพื้นที่ฐานเป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ, .

4) คำนวณปริมาตรของปิรามิดปกติ: = .

คำตอบ. 36.

สารละลาย .

1) ค้นหาด้านข้างของฐานโดยใช้สูตรเช่น -

2) ค้นหาเส้นรอบวงของฐาน: ร = 4ก,

พ = 24.

แล้ว: นาย = .

4) คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด: = .

คำตอบ. 48.

ปัญหาหมายเลข 7 - ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 16 และพื้นที่ฐานคือ 4 จงหาความสูงของปิรามิด

สารละลาย.

2) ตามเงื่อนไข = 16 เช่น

3) จากสามเหลี่ยมมุมฉากMPA เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะหาความสูง: โดยคำนึงถึงว่า OR = = 1 จะได้: MO =

4) จากสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบความสูงของปิรามิด: , .

สารละลาย.

1) ด้านข้างของฐานของรูปหกเหลี่ยมปกติเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ เช่น -

2) หาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตรหรือ = 24

3) จากสามเหลี่ยมมุมฉากบันทึกความเข้าใจมาหาความสูงกัน มอ : .

4) คำนวณปริมาตรของปิรามิด: =

คำตอบ. 24.

สารละลาย.

1) หาพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตรหรือ = 12

2) จากสามเหลี่ยมมุมฉากบันทึกความเข้าใจมาหาความสูงกัน มิสซูรี, เมื่อพิจารณาจากรูปหกเหลี่ยมปกติ: .

3) คำนวณปริมาตรของปิรามิด: =

คำตอบ: 24.

สารละลาย. วี = ส · ชม

2) ตามเงื่อนไข รเป็นไปตามสมการ ร 2 + ร – 6 = 0 แก้โจทย์ที่เราพบ

3) ค้นหาด้านข้างของสามเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้โดยใช้สูตร , .

4) หาพื้นที่ฐานของปริซึมปกติเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ: =
5) คำนวณปริมาตรของปริซึม:วี = ส · ชม = .

คำตอบ. 15.

สารละลาย. วี = ส · ชม

2) ระยะห่างระหว่างแกนของทรงกระบอกกับด้านข้างของฐานของปริซึมเท่ากับรัศมีของรูปสามเหลี่ยมที่จารึกไว้เอบีซี วงกลมเช่น และตามเงื่อนไขจะเท่ากับ

4) หาด้านของสามเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้โดยใช้สูตร , .

5) หาพื้นที่ฐานของปริซึมปกติเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ: =

6) คำนวณปริมาตรของปริซึม:วี = ส · ชม = ส· 3 · ร = 162.

คำตอบ. 162.

สารละลาย. วี = ส · ชม

2) ค้นหาพื้นที่ฐานของปริซึมปกติเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมปกติ: =

3) สูตรจะพบด้านของสามเหลี่ยมปกติที่ถูกจารึกไว้ จากนั้น .

4) ตามเงื่อนไข พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 16·  คือจากที่ไหน เอ็น = = .

5) คำนวณปริมาตรของปริซึม:วี = ส · ชม = · = 30.

คำตอบ. สามสิบ.

ปัญหาหมายเลข 13- ทรงกระบอกถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ซึ่งมีพื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ 20 ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

สารละลาย.

2) ตามเงื่อนไข พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 20 , เช่น. -

3) เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ดังนั้นที่ฐานของมันจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ดังนั้นเส้นรอบวงของฐานจะเท่ากับ .

4) คำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม = .และรัศมีของทรงกระบอกคือ 3 ความสูงของทรงกระบอกคือ 4 จงหาปริมาตรของปริซึม -

5) เขียนสูตรคำนวณปริมาตรของทรงกระบอกที่จารึกไว้ในปริซึม:วี = ส · ชม, เหล่านั้น.:

วี = =  ·.

– 36 ก  .