హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క క్రాస్ సెక్షన్. సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్, దాని కానానికల్ సమీకరణం; రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు

సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్. సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన ఉపరితలం

ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ అని పిలుస్తారు. ఈ ఉపరితలం మూడు సమరూప విమానాలను కలిగి ఉంది - కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లు, ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌లు y మరియు z సమీకరణంలో (55) సమాన శక్తులలో చేర్చబడ్డాయి.

విమానంతో ఒక-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్‌ను ఖండిస్తే విమానంలో ఉన్న హైపర్‌బోలా ABCDని పొందుతాము (Fig. 97)

అదేవిధంగా, విమానం ద్వారా సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ విభాగంలో, మేము హైపర్బోలా EFGHని పొందుతాము

విమానంలో

సింగిల్-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్‌ను విమానం ద్వారా ఖండిస్తే, ఫలితం దీర్ఘవృత్తాకార BFCG, దీని సమీకరణాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

ఈ దీర్ఘవృత్తం యొక్క అర్ధ-అక్షాలు పెరుగుతున్న కొద్దీ పెరుగుతాయి సంపూర్ణ విలువ h.

మీరు విమానంలో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని పొందినప్పుడు మరియు అతిచిన్న సెమీ అక్షాలు a మరియు b కలిగి ఉన్నప్పుడు. మేము విప్లవం యొక్క ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ను పొందినప్పుడు

విమానాలు దానిని కలుస్తున్నప్పుడు, వృత్తాలు పొందబడతాయి

పేరాల్లో 2 మరియు 3 స్థూపాకార మరియు శంఖాకార ఉపరితలాలు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సరళ రేఖలతో కూడి ఉంటుంది. ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ సరళ రేఖలతో కూడిన ఉపరితలంగా కూడా పరిగణించబడుతుంది. సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖను పరిగణించండి

దీనిలో a, b మరియు c అనేవి సింగిల్-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్ యొక్క అర్ధ-అక్షాలు, మరియు k అనేది ఏకపక్షంగా ఎంచుకున్న సంఖ్య

ఈ సమీకరణాలను పదం ద్వారా గుణించడం, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

అనగా, ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమీకరణం.

అందువలన, ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమీకరణం సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిణామం (59). కాబట్టి, సమీకరణాల వ్యవస్థ (59)ని సంతృప్తిపరిచే ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమీకరణాన్ని (55) కూడా సంతృప్తిపరుస్తాయి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, లైన్ (59) యొక్క అన్ని పాయింట్లు హైపర్బోలాయిడ్ (55)కి చెందినవి. k విలువలను మార్చడం ద్వారా, మేము ఉపరితలంపై ఉన్న పంక్తుల మొత్తం కుటుంబాన్ని పొందుతాము (55). అదేవిధంగా, ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ అన్ని ప్రత్యక్ష కుటుంబాలను కలిగి ఉందని చూపవచ్చు

ఒక ఏకపక్ష పరామితి ఎక్కడ ఉంది.

ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ప్రతి పాయింట్ ద్వారా సూచించబడిన ప్రతి కుటుంబం నుండి ఒక సరళ రేఖను దాటుతుందని కూడా చూపవచ్చు. అందువలన, ఒకే-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ సరళ రేఖలతో కూడిన ఉపరితలంగా పరిగణించబడుతుంది (Fig. 98). ఈ పంక్తులను ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు అంటారు.

సరళ రేఖల నుండి సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ఉపరితలం కంపోజ్ చేసే సామర్థ్యం నిర్మాణ సాంకేతికతలో ఉపయోగించబడుతుంది.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ఇంజనీర్ V. G. షుఖోవ్ ప్రతిపాదించిన డిజైన్ ప్రకారం, మాస్కోలో రేడియో మాస్ట్ సింగిల్-కేవిటీ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క రెక్టిలినియర్ జెనరాట్రిక్స్ వెంట ఉన్న కిరణాలను ఉపయోగించి నిర్మించబడింది.

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్. సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన ఉపరితలం

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ అని పిలుస్తారు.

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లు రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ కోసం సమరూపత యొక్క విమానాలు.

ఈ ఉపరితలాన్ని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లతో ఖండిస్తే మనకు వరుసగా హైపర్బోలాస్ లభిస్తాయి

సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్అనేది కొన్నింటిలో నిర్వచించబడిన ఉపరితలం దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థకానానికల్ సమీకరణం ద్వారా Oxyzని సమన్వయం చేస్తుంది

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.

సమీకరణాలలో (4.48), (4.49) a, b, c అనేది హైపర్‌బోలాయిడ్‌లను వర్గీకరించే సానుకూల పారామితులు మరియు a\geqslant b .

కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని హైపర్‌బోలాయిడ్ కేంద్రం అంటారు. కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ఖండన బిందువులను దాని శీర్షాలు అంటారు. ఇవి వన్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ (4.48) యొక్క నాలుగు పాయింట్లు (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) మరియు రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క రెండు పాయింట్లు (0,0,\pm c) (4.49) హైపర్‌బోలాయిడ్ల శీర్షాలను అనుసంధానించే కోఆర్డినేట్ అక్షాల యొక్క మూడు విభాగాలను హైపర్‌బోలాయిడ్ల అక్షాలు అంటారు. కోఆర్డినేట్ యాక్సెస్ Ox,\,Oyకి చెందిన హైపర్బోలాయిడ్ల అక్షాలను హైపర్బోలాయిడ్ల విలోమ అక్షాలు అని పిలుస్తారు మరియు అప్లికేషన్ అక్షం Ozకి చెందిన అక్షాన్ని హైపర్బోలాయిడ్ల రేఖాంశ అక్షం అంటారు. సంఖ్యలు a,\,b,\,c , సగానికి సమానంఅక్షాల పొడవును హైపర్బోలాయిడ్ల సెమీ-యాక్సెస్ అంటారు.

సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ప్లేన్ విభాగాలు

z=0ని సమీకరణంలోకి మార్చడం (4.48), మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ ఆక్సీతో ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ఖండన రేఖ. ఆక్సి ప్లేన్‌లోని ఈ సమీకరణం గొంతు అని పిలువబడే దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని నిర్వచిస్తుంది. ఇతర కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లతో ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ఖండన రేఖలు హైపర్బోలాస్. వాటిని ప్రిన్సిపల్ హైపర్బోలాస్ అంటారు. ఉదాహరణకు, x=0 కోసం మనకు ప్రధాన హైపర్బోలా వస్తుంది \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1, మరియు y=0 కోసం - ప్రధాన హైపర్బోలా \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1

ఇప్పుడు మనం ఆక్సీ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఉండే విమానాల ద్వారా సింగిల్-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్ యొక్క విభాగాన్ని పరిశీలిద్దాం. z=h, ఇక్కడ h అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం (పరామితి), సమీకరణంలోకి (4.48) మారుస్తే, మనకు లభిస్తుంది

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).

h పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, సమీకరణం అర్ధ-అక్షాలతో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని నిర్వచిస్తుంది a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. పర్యవసానంగా, z=h విమానం ద్వారా సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క విభాగం దీర్ఘవృత్తం, దీని కేంద్రం అప్లికేషన్ అక్షం మీద ఉంటుంది మరియు శీర్షాలు ప్రధాన హైపర్బోలాస్‌పై ఉంటాయి. z=h వద్ద విమానాల ద్వారా విభాగాలలో పొందిన అన్ని దీర్ఘవృత్తాలలో వివిధ అర్థాలుపరామితి h, గొంతు దీర్ఘవృత్తం (h=0 వద్ద) అనేది అతి చిన్న అర్ధ-అక్షాలతో దీర్ఘవృత్తం.

అందువలన, ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ దీర్ఘవృత్తాకారాల ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలంగా సూచించబడుతుంది, వీటిలో శీర్షాలు ప్రధాన హైపర్బోలాస్పై ఉంటాయి (Fig. 4.42, a)

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క ప్లేన్ విభాగాలు

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్లు Oyz మరియు Oxz ద్వారా రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు హైపర్బోలాస్ (ప్రిన్సిపల్ హైపర్బోలాస్).

ఆక్సీ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఉన్న విమానాల ద్వారా రెండు-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్ యొక్క విభాగాలను ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం. z=h, ఇక్కడ h అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం (పరామితి), సమీకరణం (4.49)లోకి మార్చడం, మనం పొందుతాము

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.

కోసం |h| c మనం దీర్ఘవృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము \frac(x^2)((a")^2)+\frac(y^2)((b")^2)=1ఇరుసు షాఫ్ట్‌లతో a"=a\sqrt(\frac(h^2)(c^2)-1), b"=b\sqrt(\frac(h^2)(c^2)-1). పర్యవసానంగా, విమానం ద్వారా z=h |h|>cతో ఉన్న రెండు-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్ విభాగం అనువర్తిత అక్షంపై కేంద్రీకృతమై ఉన్న దీర్ఘవృత్తం, దీని శీర్షాలు ప్రధాన హైపర్‌బోలాస్‌పై ఉంటాయి.

అందువల్ల, రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ దీర్ఘవృత్తాకారాలచే ఏర్పడిన ఉపరితలంగా సూచించబడుతుంది, వీటిలో శీర్షాలు ప్రధాన హైపర్బోలాస్పై ఉంటాయి (Fig. 4.43, a).

భ్రమణ హైపర్బోలాయిడ్లు

విలోమ అర్ధ-అక్షాలు సమానంగా ఉండే హైపర్బోలాయిడ్ (a=b) అంటారు విప్లవం యొక్క హైపర్బోలాయిడ్. అటువంటి హైపర్బోలాయిడ్ అనేది విప్లవం యొక్క ఉపరితలం, మరియు దాని విభాగాలు z=h (రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ కోసం |h|>c) అనువర్తిత అక్షం మీద కేంద్రాలుగా ఉంటాయి. Oz అక్షం చుట్టూ హైపర్బోలాను తిప్పడం ద్వారా సింగిల్-షీట్ లేదా డబుల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్లను పొందవచ్చు \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(Fig. 4.42, b) లేదా కంజుగేట్ హైపర్బోలా \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(Fig. 4.43, b) వరుసగా. తరువాతి సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాయవచ్చని గమనించండి -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.

విలోమ అక్షాలు భిన్నంగా ఉండే (a\ne b) హైపర్‌బోలాయిడ్‌ని ట్రైయాక్సియల్ (లేదా సాధారణం) అంటారు.

గమనికలు 4.9

1. X విమానాలు x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm cఅంతరిక్షంలో నిర్వచించబడింది ప్రాథమిక క్యూబాయిడ్ , దాని వెలుపల రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ ఉంది (Fig. 4.43, c). సమాంతర పైప్డ్ యొక్క రెండు ముఖాలు (z=\pm c) దాని శీర్షాల వద్ద హైపర్‌బోలాయిడ్‌ను తాకుతాయి.

2. విమానం ద్వారా సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క విభాగం, సమాంతర అక్షందరఖాస్తు మరియు గొంతు దీర్ఘవృత్తంతో ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండటం (అంటే దానికి టాంజెంట్), టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద కలుస్తున్న రెండు సరళ రేఖలను సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, x=\pm a సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం (4.48), మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0రెండు ఖండన పంక్తులు (Fig. 4.42, a చూడండి).

3. ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ అనేది రూల్డ్ ఉపరితలం, అనగా. ఉపరితల, ఉద్యమం ద్వారా ఏర్పడిందినేరుగా (Fig. 4.42, c చూడండి). ఉదాహరణకు, విప్లవం యొక్క ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ను మరొక రేఖ చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా పొందవచ్చు (కానీ లంబంగా లేదు).

4. కానానికల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క మూలం హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమరూపత యొక్క కేంద్రం, కోఆర్డినేట్ అక్షాలు- హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమరూపత యొక్క అక్షాలు, కోఆర్డినేట్ విమానాలు - హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమరూపత యొక్క విమానాలు.

నిజానికి, పాయింట్ M(x,y,z) హైపర్‌బోలాయిడ్‌కు చెందినది అయితే, కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన పాయింట్లు (\pm x,\pm y,\pm z)ఏదైనా ఎంపిక సంకేతాలు కూడా హైపర్‌బోలాయిడ్‌కు చెందినవి, ఎందుకంటే వాటి అక్షాంశాలు వరుసగా సమీకరణం (4.48) లేదా (4.49) సంతృప్తి పరుస్తాయి.

మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్ నిలిపివేయబడింది.
గణనలను నిర్వహించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా ActiveX నియంత్రణలను ప్రారంభించాలి!

అనుబంధం 2

సింగిల్-కేవ్ హైపర్‌బోలాయిడ్ ఆఫ్ రొటేషన్

(సంక్షిప్త సమాచారం)

ఉత్పాదక రేఖ యొక్క కదలిక కొన్ని స్థిర సరళ రేఖ (అక్షం) చుట్టూ భ్రమణం అయితే, ఈ సందర్భంలో ఏర్పడిన ఉపరితలం విప్లవం యొక్క ఉపరితలం అంటారు. ఉత్పాదక రేఖ ఫ్లాట్ లేదా ప్రాదేశిక వక్రత, అలాగే సరళ రేఖ కావచ్చు.

ఉత్పాదక రేఖ యొక్క ప్రతి బిందువు, ఒక అక్షం చుట్టూ తిప్పినప్పుడు, ఒక వృత్తాన్ని వివరిస్తుంది, ఇది భ్రమణ అక్షానికి లంబంగా ఉన్న విమానంలో ఉంటుంది. ఈ వృత్తాలను సమాంతరాలు అంటారు. పర్యవసానంగా, అక్షానికి లంబంగా ఉండే విమానాలు విప్లవం యొక్క ఉపరితలం సమాంతరంగా కలుస్తాయి. భ్రమణ ఉపరితలం అక్షం గుండా వెళుతున్న విమానాన్ని కలుస్తున్న రేఖను మెరిడియన్ అంటారు. భ్రమణ ఉపరితలం యొక్క అన్ని మెరిడియన్లు సమానంగా ఉంటాయి.

అన్ని సమాంతరాలు లేదా మెరిడియన్ల సమితి విప్లవం యొక్క ఉపరితలం యొక్క నిరంతర ఫ్రేమ్‌ను సూచిస్తుంది. ఉపరితలంపై ప్రతి పాయింట్ ద్వారా ఒక సమాంతర మరియు ఒక మెరిడియన్ వెళుతుంది. ఒక పాయింట్ యొక్క అంచనాలు సమాంతర లేదా మెరిడియన్ యొక్క సంబంధిత అంచనాలపై ఉన్నాయి. మీరు ఉపరితలంపై ఒక బిందువును సెట్ చేయవచ్చు లేదా ఒక పాయింట్ యొక్క రెండవ ప్రొజెక్షన్‌ను నిర్మించవచ్చు, ఒకటి ఇచ్చినట్లయితే, ఈ పాయింట్ గుండా వెళుతున్న సమాంతర లేదా మెరిడియన్‌ని ఉపయోగించి. విప్లవం యొక్క ఉపరితలం యొక్క నిర్ణాయకం యొక్క రేఖాగణిత భాగం భ్రమణ అక్షం మరియు జనరేట్రిక్స్‌ను కలిగి ఉంటుంది.

సరళ రేఖను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలాలు:

1. - అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను తిప్పడం ద్వారా భ్రమణ సిలిండర్ ఏర్పడుతుంది;

2. - భ్రమణం యొక్క కోన్ అక్షం కలుస్తున్న సరళ రేఖ యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడుతుంది;

3. - విప్లవం యొక్క ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ అక్షాన్ని దాటుతున్న సరళ రేఖ యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడుతుంది;

ఉపరితలం యొక్క సమాంతరాలు వృత్తాలు.

ఉపరితలం యొక్క మెరిడియన్ హైపర్బోలా.

విప్లవం యొక్క అన్ని జాబితా చేయబడిన పాలించిన ఉపరితలాలు రెండవ క్రమంలో ఉపరితలాలు.

వాటి అక్షాల చుట్టూ రెండవ-ఆర్డర్ వక్రతలను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలాలు

1. దాని వ్యాసం చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని తిప్పడం ద్వారా గోళం ఏర్పడుతుంది.

2. పెద్ద లేదా చిన్న అక్షం చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని తిప్పడం ద్వారా విప్లవం యొక్క దీర్ఘవృత్తాకారం ఏర్పడుతుంది.

3. పారాబొలాను దాని అక్షం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా విప్లవం యొక్క పారాబొలాయిడ్ ఏర్పడుతుంది.

4. విప్లవం యొక్క ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ దాని ఊహాత్మక అక్షం చుట్టూ ఒక హైపర్బోలాను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడుతుంది (ఈ ఉపరితలం కూడా సరళ రేఖను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడుతుంది: దశ a-1).

సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ ఒక ఉపరితలం కానానికల్ సమీకరణంఇది రూపం కలిగి ఉంది:

ఇక్కడ a, b, c లు ధనాత్మక సంఖ్యలు.

ఇది సమరూపత యొక్క మూడు విమానాలు, సమరూపత యొక్క మూడు అక్షాలు మరియు సమరూపత యొక్క కేంద్రం. అవి వరుసగా, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లు, కోఆర్డినేట్ అక్షాలు మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలం. హైపర్‌బోలాయిడ్‌ను నిర్మించడానికి, మేము దాని విభాగాలను వివిధ విమానాల ద్వారా కనుగొంటాము. xOy విమానంతో ఖండన రేఖను కనుగొనండి. ఈ విమానంలో z = 0, కాబట్టి

xOy విమానంలోని ఈ సమీకరణం సెమీ-యాక్సెస్ a మరియు b (Fig. 1)తో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని నిర్వచిస్తుంది. yOz విమానంతో ఖండన రేఖను కనుగొనండి. ఈ విమానంలో x = 0, కాబట్టి

ఇది yOz ప్లేన్‌లోని హైపర్బోలా యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ నిజమైన సెమీ-యాక్సిస్ b మరియు ఊహాత్మక సెమీ-యాక్సిస్ c. ఈ అతిశయోక్తిని నిర్మిస్తాం.

xOz విమానం ద్వారా ఉన్న విభాగం కూడా సమీకరణంతో కూడిన హైపర్‌బోలా

మేము ఈ హైపర్బోలాను కూడా గీస్తాము, అయితే అదనపు పంక్తులతో డ్రాయింగ్‌ను ఓవర్‌లోడ్ చేయకుండా ఉండటానికి, మేము దాని లక్షణాలను చిత్రించము మరియు yOz విమానం ద్వారా విభాగంలోని అసమానతలను తీసివేస్తాము.

z = ± h, h > 0 విమానాలతో ఉపరితలం యొక్క ఖండన రేఖలను కనుగొనండి.

అన్నం. 1. సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క విభాగం

ఈ పంక్తుల సమీకరణాలు:

మొదటి సమీకరణాన్ని రూపానికి మారుద్దాం

ఈ సమీకరణం xOy విమానంలో దీర్ఘవృత్తాకారానికి సమానమైన దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం, సారూప్యత గుణకం మరియు సెమీ అక్షాలు a 1 మరియు b 1 . ఫలిత విభాగాలను గీయండి (Fig. 2).

అన్నం. 2. విభాగాలను ఉపయోగించి సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క చిత్రం

రేఖ తిరుగుతున్న ఊహాత్మక అక్షాన్ని ఖండిస్తూ సరళ రేఖను తిప్పడం ద్వారా విప్లవం యొక్క సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ పొందవచ్చు. ఈ సందర్భంలో అది మారుతుంది ప్రాదేశిక మూర్తి(Fig. 3), దీని ఉపరితలం భ్రమణ సమయంలో సరళ రేఖ యొక్క వరుస స్థానాలను కలిగి ఉంటుంది.

అన్నం. 3. భ్రమణ అక్షాన్ని దాటుతున్న సరళ రేఖను తిప్పడం ద్వారా పొందిన విప్లవం యొక్క సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్

అటువంటి ఉపరితలం యొక్క మెరిడియన్ హైపర్బోలా. ఈ భ్రమణ సంఖ్య లోపల స్థలం వాస్తవమైనది మరియు వెలుపల అది ఊహాత్మకంగా ఉంటుంది. ఊహాత్మక అక్షానికి లంబంగా ఉన్న విమానం మరియు దాని కనిష్ట విభాగంలో ఒకే-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ను విడదీయడాన్ని ఫోకల్ ప్లేన్ అంటారు.

కంటికి ఒకే-షీట్ హైపర్‌బోలాయిడ్ యొక్క సుపరిచితమైన చిత్రం అంజీర్‌లో చూపబడింది. 6.4

a=b సమీకరణంలో ఉంటే, అప్పుడు xOy సమతలానికి సమాంతరంగా ఉండే హైపర్‌బోలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు వృత్తాలు. ఈ సందర్భంలో, ఉపరితలాన్ని విప్లవం యొక్క ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ అని పిలుస్తారు మరియు Oz అక్షం చుట్టూ ఉన్న yOz విమానంలో ఉన్న ఒక హైపర్బోలాను తిప్పడం ద్వారా పొందవచ్చు (Fig. 4).

అన్నం. 4. విప్లవం యొక్క సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్,

సింగిల్-స్ట్రిప్ హైపర్బోలాయిడ్ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0;దాటింది కోఆర్డినేట్ యాక్సిస్ ప్లేన్‌లు x=0,y=0,z=0 హైపర్బోలాస్ ద్వారా y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 మరియు ఎలిప్సోయిడ్ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 వరుసగా. z=h విమానాల ద్వారా సింగిల్-స్ట్రిప్ హైపర్‌బోలాయిడ్ విభాగాలలో, దీర్ఘవృత్తాకార x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 సెమీ-యాక్సెస్‌తో మరియు ఎల్లప్పుడూ పొందబడతాయి.

నియమానుగుణ సమీకరణం:

a = బి- అక్షం చుట్టూ తిరిగే సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ ఓజ్.

మెడ దీర్ఘవృత్తం:

అసిమ్ప్టోటిక్ కోన్:

విమానాల ద్వారా ఒకే-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు దీర్ఘవృత్తాకారం, పారాబొలా, హైపర్బోలా లేదా ఒక జత సరళ రేఖలు (రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు).

రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు

ఏకపక్ష పాయింట్ ద్వారా డైరెక్షన్ వెక్టర్స్‌తో రెండు స్ట్రెయిట్ జెనరేట్రిక్‌లను పాస్ చేయండి మరియు ఎక్కడ:

ముఖ్యంగా, గొంతు దీర్ఘవృత్తాకారంలో ఒక బిందువు ఎంపిక చేయబడితే అప్పుడు రెక్టిలినియర్ జనరేటర్ల సమీకరణాలు ఇలా ఉంటాయి:

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్, దాని కానానికల్ సమీకరణం.

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h ఫలితం దీర్ఘవృత్తాకారం x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 పాక్షిక అక్షాలతో b*Root(h 2 /a 2 -1) మరియు c*Root(h 2/a 2 - 1). h=a ఉన్నప్పుడు మేము క్రాస్ సెక్షన్‌లో పాయింట్లను (±a,0,0) పొందుతాము - రెండు-షీట్ యొక్క శీర్షాలు. కోఆర్డినేట్స్ స్క్వేర్ యొక్క విభాగాలలో. z=0 మరియు y=0 మేము వరుసగా హైపర్బోలాస్ x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 మరియు x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1ని పొందుతాము.

నియమానుగుణ సమీకరణం:

a = బి- అక్షం చుట్టూ తిరిగే రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ ఓజ్.

అసిమ్ప్టోటిక్ కోన్:

విమానాల ద్వారా రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు: దీర్ఘవృత్తాకారం, లేదా హైపర్బోలా, లేదా పారాబొలా, లేదా ఒక బిందువు, లేదా.

ఎలిప్టిక్ పారాబోలాయిడ్, దాని కానానికల్ సమీకరణం.

దీర్ఘవృత్తాకార పారాబొలాయిడ్ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

నియమానుగుణ సమీకరణం:

p = q- అక్షం చుట్టూ తిరిగే పారాబొలాయిడ్ ఓజ్.

విమానాల ద్వారా దీర్ఘవృత్తాకార పారాబొలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు దీర్ఘవృత్తాకారం, పారాబొలా, ఒక బిందువు లేదా.

హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్, దాని కానానికల్ సమీకరణం. హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ యొక్క రెక్టిలినియర్ జనరేటర్ల కుటుంబాలు.

హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;

నియమానుగుణ సమీకరణం:

విమానాల ద్వారా హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు హైపర్బోలా, పారాబొలా లేదా ఒక జత సరళ రేఖలు (రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు).
రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు

ప్రతి పాయింట్ ద్వారా రెండు సరళ రేఖలు గుండా వెళతాయి:

భ్రమణ ఉపరితలాలు.

విప్లవం యొక్క ఉపరితలం ఈ రేఖ యొక్క విమానంలో ఉన్న సరళ రేఖ చుట్టూ ఒక ఫ్లాట్ లైన్ యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితలం.

విప్లవం యొక్క ఉపరితలం కోసం సమీకరణాన్ని పొందేందుకు, మీరు తప్పనిసరిగా కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకోవాలి. విప్లవం యొక్క ఉపరితలం యొక్క సమీకరణం సరళంగా కనిపించేలా చేయడానికి, భ్రమణ అక్షం కోఆర్డినేట్ అక్షాలలో ఒకటిగా తీసుకోబడుతుంది.

లోనికి అనుమతించు సమన్వయ విమానం Oyz అనేది F(Y, Z)=0 (Fig. 24) సమీకరణం ద్వారా L కర్వ్ ద్వారా నిర్వచించబడింది. మేము Oy అక్షం చుట్టూ L వక్రరేఖను తిప్పుతాము. కొంత ఉపరితలం తీసుకుందాం. M(x, y, z) - ఏకపక్ష పాయింట్ఫలితంగా ఉపరితలం. అప్పుడు
, కానీ ఎందుకంటే మేము ప్రతికూల దరఖాస్తుతో పాయింట్ M 1 తీసుకుంటే, అప్పుడు

కాబట్టి, మనకు Y = y, మరియు పాయింట్ M(x, y, z) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి

సమీకరణం (62) అనేది విప్లవం యొక్క ఉపరితలం కోసం కావలసిన సమీకరణం.

అందువలన, ఉపరితల సమీకరణాన్ని పొందేందుకు, భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడింది Oy అక్షం చుట్టూ Oyz ప్లేన్‌లో ఉన్న లైన్ L, మీరు ఈ రేఖ యొక్క సమీకరణంలో zని భర్తీ చేయాలి

భ్రమణం ద్వారా పొందిన ఉపరితలాల సమీకరణాలకు ఇలాంటి నియమాలు వర్తిస్తాయి ఫ్లాట్ లైన్లుఇతర కోఆర్డినేట్ అక్షాల చుట్టూ.

సిలిండర్లు.

రెండవ క్రమం యొక్క సిలిండర్లు: దీర్ఘవృత్తాకార సిలిండర్ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; హైపర్బోలిక్ సిలిండర్ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; పారాబొలిక్ సిలిండర్ y 2 =2px; ఒక జత ఖండన విమానాలు a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 ఒక జత సమాంతర లేదా ఏకకాలిక విమానాలు x-a=0 a>=0; సరళ రేఖ x 2 +y 2 =0

శంకువులు.

రెండవ ఆర్డర్ కోన్ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0;చతురస్రాన్ని దాటుతోంది z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. విమానాల ద్వారా విభాగంలో x=0 y=0 మేము y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 జత క్రాస్డ్ లైన్‌లను కలిగి ఉన్నాము; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 resp.

లీనియర్ ఖాళీలు

©2015-2019 సైట్
అన్ని హక్కులు వాటి రచయితలకే చెందుతాయి. ఈ సైట్ రచయిత హక్కును క్లెయిమ్ చేయదు, కానీ ఉచిత వినియోగాన్ని అందిస్తుంది.
పేజీ సృష్టి తేదీ: 2016-02-12

దానిని కలుస్తున్న అక్షం చుట్టూ (నిజమైన అక్షం చుట్టూ).

డి లైన్ సమీకరణం (43) నుండి విప్లవం యొక్క ఉపరితలం యొక్క సమీకరణానికి తరలించడానికి, మేము భర్తీ చేస్తాము Xపై
, మేము విప్లవం యొక్క రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము

.

ఈ ఉపరితలం యొక్క కుదింపు ఫలితంగా, సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన ఉపరితలం పొందబడుతుంది

. (44)

కొన్ని కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రూపం (44) యొక్క సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్న ఉపరితలం అంటారు రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్.ఇక్కడ హైపర్బోలా యొక్క రెండు శాఖలు ఉపరితలం యొక్క రెండు అనుసంధానించని భాగాలకు ("కావిటీస్") అనుగుణంగా ఉంటాయి, అయితే ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ విప్లవాన్ని నిర్మిస్తున్నప్పుడు, హైపర్బోలా యొక్క ప్రతి శాఖ మొత్తం ఉపరితలాన్ని వివరిస్తుంది (Fig. 60).

రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ కోసం అసింప్టోటిక్ కోన్ ఒక-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ (Fig. 61) కోసం అదే విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

కోఆర్డినేట్ వాటికి సమాంతరంగా ఉండే విమానాలతో రెండు-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ (44) యొక్క విభజనలను ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం.

విమానం z = hవద్ద | h| < సిఊహాత్మక దీర్ఘవృత్తాలతో పాటు ఉపరితలాన్ని (44) ఖండిస్తుంది, | h| > సినిజమైన వాటి ప్రకారం. ఉంటే ఎ = బి, అప్పుడు ఈ దీర్ఘవృత్తాలు వృత్తాలు, మరియు హైపర్బోలాయిడ్ విప్లవం యొక్క హైపర్బోలాయిడ్. ఎప్పుడు | h| = సిమాకు దొరికింది

,

అనగా, ఒక నిజమైన బిందువుతో ఒక జత సంయోగ రేఖలు (0; 0; తో) (లేదా (0; 0; – తో) వరుసగా).

విమానాలు x= α మరియు వై= β హైపర్బోలాయిడ్ (44)ని హైపర్బోలాస్తో కలుస్తుంది

మరియు
.

8. ఎలిప్టికల్ పారాబొలాయిడ్

పారాబొలాను తిరిగేటప్పుడు x 2 = 2pzదాని సమరూపత అక్షం చుట్టూ మనం సమీకరణంతో ఉపరితలం పొందుతాము

x 2 + వై 2 = 2pz,

n అని పిలిచారు విప్లవం యొక్క పారాబొలాయిడ్. విమానానికి కుదింపు వద్ద= 0 విప్లవం యొక్క పారాబొలాయిడ్‌ను సమీకరణంతో ఉపరితలంగా మారుస్తుంది

. (45)

కొన్ని కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో అటువంటి సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్న ఉపరితలాన్ని అంటారు దీర్ఘవృత్తాకార పారాబొలాయిడ్.

దీర్ఘవృత్తాకార పారాబొలాయిడ్ యొక్క రూపాన్ని దాని నిర్మాణ పద్ధతి నుండి స్పష్టంగా చూడవచ్చు. అదంతా విమానంలో ఒకవైపు ఉంటుంది z= 0, సగం ఖాళీలో z > 0 (Fig. 62). విమానాల ద్వారా విభాగాలు z = h, h> 0 సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంది:

మరియు దీర్ఘవృత్తాలు.

విమానాల ద్వారా దీర్ఘవృత్తాకార పారాబొలాయిడ్ (45) యొక్క విభాగాలు వద్ద= 0 మరియు X= 0 పారాబొలాస్

x 2 = 2a 2 z, వై = 0; (46)

వై 2 = 2బి 2 z, x = 0. (47)

ఈ పారాబొలాస్ అంటారు ప్రధాన పారాబొలాస్దీర్ఘవృత్తాకార పారాబొలాయిడ్, మరియు పారాబొలా (46) సాంప్రదాయకంగా పిలువబడతాయి చలనం లేని, మరియు పారాబొలా (47) – మొబైల్.

ఎలిప్టిక్ పారాబొలాయిడ్ యొక్క క్రింది స్పష్టమైన నిర్మాణాన్ని ఒక పారాబొలాను మరొకదానితో పాటు జారడం ద్వారా అందించవచ్చు (కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ దీర్ఘచతురస్రాకారంగా భావించబడుతుంది).

విమానం ద్వారా పారాబొలాయిడ్ (45) యొక్క విభాగాన్ని తీసుకుందాం x= α, మేము కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను కలిగి ఉన్న ఈ విమానంలో పొందుతాము ఓ 0 ఇ 2 ఇ 3 ఎక్కడ ఓ 0 = (α, 0, 0), ఒక వక్రరేఖ దీని సమీకరణం ఉంటుంది

, x = α

వై 2 = 2బి 2 (z – γ), x= α, (48)

ఎక్కడ
.

విమానంలోకి వెళ్దాం x= α కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి ఓఇ 2 ఇ 3 సమన్వయ వ్యవస్థకు ఓ′ ఇ 2 ఇ 3 ఎక్కడ ఓ′ = (α, 0, γ) అనేది విమానం యొక్క ఖండన స్థానం x= α స్థిర పారాబొలాతో x 2 = 2a 2 z, వై = 0.

వ్యవస్థ యొక్క మూలాన్ని తరలించడం ద్వారా ఓ 0 ఇ 2 ఇ 3 పాయింట్ వరకు ఓ′, కింది కోఆర్డినేట్ పరివర్తనను చేసింది:

వై = వై′, z = z′ + γ.

ఈ పరివర్తన ఫలితంగా, సమీకరణం (48) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

వై′ 2 = 2 pz′, x = α.

కర్వ్ (48) అదే "కదిలే" పారాబొలా, కానీ సమాంతరంగా విమానంలోకి బదిలీ చేయబడుతుంది x= α. ఈ బదిలీని ఈ క్రింది విధంగా చేయవచ్చు. కదిలే పారాబొలా యొక్క శీర్షం ఒక బిందువు నుండి స్థిరమైన పారాబొలా వెంట జారిపోతుంది గురించిసరిగ్గా ఓ′, మరియు పారాబొలా స్వయంగా కదులుతుంది ఘనమైన, విమానానికి సమాంతరంగా ఉన్న విమానంలో అన్ని సమయాలలో మిగిలి ఉంటుంది yOz.

ఈ ఫలితాన్ని కింది స్టేట్‌మెంట్‌గా రూపొందించవచ్చు.

ఎలిప్టికల్ పారాబొలాయిడ్ అనేది ఒక ఉపరితలం ("కదిలే") పారాబొలా (47) మరొకదానితో పాటుగా, స్థిరంగా ఉన్న ఒకటి (46) యొక్క కదలిక ద్వారా వివరించబడిన ఉపరితలం, తద్వారా కదిలే పారాబొలా యొక్క శీర్షం స్థిరమైన దాని వెంట జారిపోతుంది మరియు విమానం మరియు అక్షం కదిలే పారాబొలా అన్ని సమయాలలో తమకు సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు రెండు పారాబొలాస్ (కదిలిన మరియు స్థిరమైనవి) ఒకే దిశలో పుటాకారంగా నిర్దేశించబడిందని భావించబడుతుంది (అవి సానుకూల వైపుఅక్షతలు ఓజ్).

ఎలిప్టిక్ పారాబొలాయిడ్‌కు రెక్టిలినియర్ జనరేటర్లు లేవని గమనించండి. నిజానికి, నేరుగా విమానానికి సమాంతరంగా xOy, ఒక నిర్దిష్ట విమానంతో పారాబొలాయిడ్ యొక్క విభాగాన్ని మాత్రమే కలుస్తుంది z = h, మరియు ఈ విభాగం, ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, దీర్ఘవృత్తం. దీని అర్థం సరళ రేఖకు రెండు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు సాధారణ పాయింట్లుఒక పారాబొలాయిడ్ తో.

లైన్ విమానానికి సమాంతరంగా లేకుంటే xOy, అప్పుడు దాని సగం లైన్ సగం-స్పేస్‌లో ఉంటుంది z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. హైపర్బోలిక్ పారాబోలాయిడ్

సమీకరణం (45)తో సారూప్యతతో, మనం సమీకరణాన్ని వ్రాయవచ్చు

. (49)

కొన్ని కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రూపం (49) యొక్క సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్న ఉపరితలం అంటారు హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్.

విభాగాలను ఉపయోగించి హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ రూపాన్ని పరిశీలిద్దాం (Fig. 63). విమానం విభాగం z = hహైపర్బోలా, ఈ విమానంలో సమీకరణం ఉంది:

లేదా
.

పెద్ద విలువల కోసం hహైపర్బోలా యొక్క సెమియాక్సిస్
మరియు
పెద్దవి మరియు తగ్గుతున్న కొద్దీ తగ్గుతాయి h. ఈ సందర్భంలో, హైపర్బోలా యొక్క అక్షం దానిని ఖండిస్తుంది వెక్టర్‌కు సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఇ 1 .

వద్ద h= 0 హైపర్బోలా ఒక జత ఖండన రేఖలుగా క్షీణిస్తుంది

=>

,
.

ఉంటే h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору ఇ 2. యాక్సిల్ షాఫ్ట్‌లు పెరుగుతున్న కొద్దీ పెరుగుతాయి | h|. ఒకే గుర్తు ఉన్న అన్ని హైపర్బోలాస్ కోసం సెమీ-యాక్సెస్ నిష్పత్తి hఅదే. కాబట్టి, హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ యొక్క అన్ని విభాగాలను ఒకే విమానంలో గీసినట్లయితే, సమీకరణాలతో ఖండన రేఖల జతను అసింప్టోట్‌లుగా కలిగి ఉన్న అన్ని హైపర్బోలాల కుటుంబాన్ని పొందుతాము.

,
.

విమానాలతో కూడిన హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ యొక్క విభాగాలు వద్ద= 0 మరియు X= 0 రెండు "ప్రధాన పారాబొలాస్":

x 2 = 2a 2 z, వై = 0 (50)

ఒక స్థిర పారాబొలా, మరియు

వై 2 = –2బి 2 z, x = 0 (51)

- కదిలే పారాబొలా.

ఈ పారాబొలాస్ వ్యతిరేక దిశలలో పుటాకారంగా ఉంటాయి: స్థిరమైనది "పైకి" (అనగా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశలో ఓజ్), మరియు కదిలేది "డౌన్" (అంటే అక్షం యొక్క ప్రతికూల దిశలో ఓజ్) విమానం విభాగం x= α కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఉంది ఓ 0 ఇ 2 ఇ 3 ఎక్కడ ఓ 0 = (α, 0, 0), సమీకరణం

, x = α

వై 2 = –2బి 2 (z – z 0), x= α, (52)

ఎక్కడ
.

కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని పాయింట్‌కి తరలించిన తర్వాత ఓ′ = (α, 0, z 0), సమీకరణం (51) రూపం తీసుకుంటుంది:

వై′ 2 = –2 బి 2 z′, x = α,

ఎక్కడ వై = వై′, z = z′ + z 0 . చివరి సమీకరణం వక్రరేఖ (52) అదే కదిలే పారాబొలా (51) అని చూపిస్తుంది, దాని శీర్ష బిందువు నుండి స్థిరమైన పారాబొలా వెంట జారినప్పుడు మాత్రమే సమాంతరంగా మారుతుంది. గురించివి ఓ′.

దీని నుండి క్రింది ప్రకటన అనుసరిస్తుంది. సమీకరణం (49) ద్వారా నిర్వచించబడిన (దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో) హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ అనేది పారాబొలా ద్వారా వివరించబడిన ఉపరితలం. వై 2 = –2బి 2 z, X= 0 అది నిశ్చల పారాబొలా (50) వెంట కదులుతున్నప్పుడు, తద్వారా కదిలే పారాబొలా యొక్క పైభాగం నిశ్చల పారాబొలా వెంట జారిపోతుంది మరియు కదిలే పారాబొలా యొక్క విమానం మరియు అక్షం అన్ని సమయాలలో తమకు సమాంతరంగా ఉంటాయి, అయితే రెండు పారాబొలాలు ఎల్లప్పుడూ వాటి పుటాకారంతో ఉంటాయి. వ్యతిరేక దిశలలో ముఖం: నిశ్చలమైనది వాటి పుటాకార "పైకి", అంటే అక్షం యొక్క సానుకూల దిశలో ఓ z, మరియు కదిలేది "డౌన్".

ఈ నిర్మాణం నుండి హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ జీను ఆకారాన్ని కలిగి ఉందని స్పష్టమవుతుంది.

సింగిల్-షీట్ హైపర్బోలాయిడ్ వంటి హైపర్బోలిక్ పారాబోలాయిడ్, రెక్టిలినియర్ జనరేటర్ల యొక్క రెండు కుటుంబాలను కలిగి ఉంటుంది (Fig. 64). హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ యొక్క ప్రతి బిందువు ద్వారా రెండు సరళ రేఖలు వెళతాయి, ఇవన్నీ ఈ విమానంలో ఉంటాయి.

రెక్టిలినియర్ జనరేటర్ల సమీకరణాలను కనుగొనండి. సమీకరణం (49)ని రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం

.

రెండు విమానాల ఖండనగా నిర్వచించబడిన సరళ రేఖను పరిగణించండి

(53)

సమీకరణాలను సంతృప్తిపరిచే ఏదైనా పాయింట్ (53) సమీకరణాల (53) లబ్ది అయిన సమీకరణాన్ని (49) కూడా సంతృప్తిపరుస్తుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

.

దీని అర్థం సరళ రేఖలోని ప్రతి బిందువు (53) హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్ (49)కి చెందినది.

సరళ రేఖ కూడా అదే విధంగా పరిగణించబడుతుంది

పంక్తి (54) కూడా హైపర్బోలిక్ పారాబొలాయిడ్పై దాని అన్ని పాయింట్లతో ఉంటుంది.