764. W regularnym trójkątnym pryzmacie ABCA1B1C1 bok podstawy ma długość 6 cm, a boczne żebro równa się 3 cm.
a) Znajdź pole przekroju poprzecznego pryzmatu w płaszczyźnie ABC1.
b) Udowodnij, że prosta A1B1 jest równoległa do płaszczyzny AC1B.
c) Znajdź kąt, jaki prosta B1C tworzy z płaszczyzną ABC.
d) Znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami AB1C i ABC.
e) Znajdź długość wektora BB1 – BC + 2A1A – C1C.
f) Znajdź objętość pryzmatu.
765. We właściwy sposób czworokątna piramida Długość boku AB podstawy MABCD wynosi 6√2 cm, a krawędź boku MA wynosi 12 cm. Znajdź:
b) objętość piramidy;
c) kąt nachylenia powierzchni bocznej do płaszczyzny podstawy;
d) kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy;
D) produkt skalarny wektory (AB + AD) AM;
f) obszar kuli opisany wokół piramidy.
766. We właściwy sposób trójkątna piramida Wysokość DABC DO wynosi 3 cm, a krawędź boczna DA wynosi 5 cm. Znajdź:
a) obszar pełna powierzchnia piramidy;
b) objętość piramidy;
c) kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy;
d) kąt nachylenia powierzchni bocznej do płaszczyzny podstawy;
e) iloczyn skalarny wektorów 1/2(DB + DC)MA, gdzie M jest środkiem krawędzi BC;
f) promień kuli wpisanej w piramidę.
767. W ostrosłupie czworokątnym foremnym MABCD krawędź boczna MA równa 8 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Znajdować:
a) obszar bocznej powierzchni piramidy;
b) objętość piramidy;
c) kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi;
d) kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy;
e) iloczyn skalarny wektorów 1/2(MB + MD)MK, gdzie K jest środkiem krawędzi AB;
f) promień kuli opisanej na piramidzie.
Test nr 7 Objętość prostego pryzmatu Opcja 1.
1. Bok podstawy foremnego trójkątnego pryzmatu wynosi 2√3 cm, a wysokość 5 cm. Znajdź objętość pryzmatu.
a) 15√3 cm 3; b) 45 cm 3; c) 10√3 cm 3; d) 12√3 cm 3; e) 18√3 cm 3.
2. Wybierz nieprawidłowe stwierdzenie.
a) Objętość prostego pryzmatu, którego podstawa wynosi trójkąt prostokątny, równy produktowi powierzchnia podstawy do wysokości;
A 2 godziny, gdzie A
d) objętość regularnego czworokątnego pryzmatu oblicza się ze wzoru V = A 2 ∙h, gdzie A -
d) objętość poprawna sześciokątny pryzmat obliczone według wzoru V = 1,5 A 2 h√3, gdzie A– bok podstawy, h – wysokość pryzmatu;
3. Bok podstawy regularnego graniastosłupa trójkątnego ma √3 cm.Przez bok dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek podstawy górnej, który jest ustawiony pod kątem 45˚ do podstawy, poprowadzono płaszczyznę. Znajdź objętość pryzmatu.
a) 9√3 cm 3; b) 9 cm 3; c) 9√3/2 cm 3; d) 9√3/4 cm 3; e) 9√3/8 cm 3.
4. Podstawą prostego graniastosłupa jest romb, którego bok wynosi 13 cm, a jedna z przekątnych 24 cm Znajdź objętość pryzmatu, jeśli przekątna ściany bocznej wynosi 14 cm.
a) 720√3 cm 3; b) 360√3 cm 3; c) 180√3 cm 3; d) 540√3 cm 3; e) 60√3 cm 3.
5. Znajdź objętość foremnego graniastosłupa sześciokątnego o boku podstawy równym – 2 i wysokości równej √3.
a) 18√3; b) 36; c) 9√3; d) 18; e) 6√3.
6. Podstawą prostopadłościanu jest trójkąt o bokach 10, 10, 12. Przekątna mniejszego boku tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60˚. Znajdź objętość pryzmatu. a) 480√3; b) 960√3; c) 240√3; d) 480; e) 240.
7. Podstawą prostego graniastosłupa jest równoległobok, którego przekątne przecinają się pod kątem 30˚. Znajdź objętość pryzmatu, jeśli jest to jego pole przekroje ukośne są równe 16 cm 2 i 12 cm 2, a wysokość wynosi 4 cm a) 8 cm 3; b) 12 cm 3; c) 16 cm 3; d) 24 cm 3; e) 12√3 cm 3.
8. Oblicz z dokładnością do 0,001 objętość prawidłowej pryzmat ośmiokątny o boku podstawy równym 2 i wysokości równej √3. a) 33,450; b) 5,740; c)5,739; d)33.452; e)33.453.
9. Podstawą prostego graniastosłupa jest trójkąt prostokątny. Nogi podstawy i krawędzi bocznej są względem siebie jak 3:4:4. Objętość pryzmatu wynosi 24. Znajdź pole powierzchni bocznej pryzmatu. a) 24; b) 55; c) 48; d) 39; d) 12.
10. Znajdź objętość prostopadłościanu ABCA 1 B 1 C 1 jeśli BAC = , AC = a, BC 1 tworzy kąt β z płaszczyzną podstawy. a) V = 0,25a 2 sin2sintgβ; b) V = a3sin2sintgβ;
c) V = 0,25a 3 sin2sintgβ; d) V = 0,5a 3 sin2sintgβ; e) V = 0,25a 3 sin2sinβtg.
Test nr 7 Objętość prostego pryzmatu Opcja 2.
1. Boczna krawędź foremnego trójkątnego pryzmatu wynosi 4√3, bok podstawy wynosi 5 cm. Znajdź objętość pryzmatu. a) 75√3 cm 3; b) 75 cm 3; c) 50√3 cm 3; d) 50 cm3; e) 51,6 cm 3.
2. Wybierz poprawne stwierdzenie.
a) Objętość prostopadłościanu, którego podstawą jest ośmiokąt foremny, oblicza się ze wzoru V=a 2 h(2√2+2), gdzie a to bok podstawy, h to wysokość pryzmat;
b) Objętość poprawna trójkątny pryzmat obliczone według wzoru V = A 2 h√3, gdzie A– bok podstawy, h – wysokość pryzmatu;
c) objętość prostego pryzmatu równy połowie iloczyn pola podstawy i wysokości;
d) objętość regularnego czworokątnego pryzmatu oblicza się ze wzoru V = 2 A 2 ∙h, gdzie A - bok podstawy, h – wysokość pryzmatu;
e) objętość prawego pryzmatu, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, jest równa połowie iloczynu pola podstawy i wysokości;
3. Bok podstawy graniastosłupa trójkątnego foremnego ma długość 2 cm.Przez bok podstawy i przeciwległy wierzchołek podstawy górnej, utworzony pod kątem 60˚ do podstawy, poprowadzono płaszczyznę. Znajdź objętość pryzmatu.
a) 3√3/4cm 3 ; b) 3 cm 3; c) 3√3/2 cm 3; d) 3√3 cm 3; e) 3√3/8 cm 3.
4. Podstawa prostego pryzmatu ABCDA1B1C1D1 wynosi równoległobok ABCD, AB = 12 cm, AD = 13 cm Znajdź objętość pryzmatu, jeśli BAD = 45 0.
a) 180√3 cm 3; b) 900√2 cm 3; c) 180√2 cm 3; d) 450√3 cm 3; e) 450√2 cm 3.
5. Znajdź objętość foremnego czworokątnego pryzmatu o boku podstawy równym – 2 i wysokości √3.
a) 2√3; b) 12; c) 8√3; d) 4√3; d) 6.
6. Podstawą prostopadłościanu jest trójkąt o bokach 5, 5, 6. Przekątna mniejszego boku tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30˚. Znajdź objętość pryzmatu. a) 40√3; b) 60√3; za 20; d) 40; e) 20√3.
7. Podstawą prostego graniastosłupa jest równoległobok, którego przekątne przecinają się pod kątem 60˚. Znajdź objętość pryzmatu, jeśli pola jego przekątnych wynoszą 18 cm 2 i 24 cm 2, a wysokość 3 cm a) 36√3 cm 3; b) 12 cm 3; c) 18√3 cm 3; d) 18 cm 3; e) 12√3 cm 3.
8. Znajdź z dokładnością do 0,001 objętość foremnego graniastosłupa sześciokątnego o boku podstawy równym 4 √√2 + 2 i wysokości równej 3. a) 14,402; b)14.401; c)26.611; d)26.612; d)14.40.
9. Podstawą prostego graniastosłupa jest trójkąt prostokątny. Ramiona podstawy i krawędź boczna są względem siebie 3:4:2. Objętość pryzmatu wynosi 96. Znajdź pole powierzchni bocznej pryzmatu. a) 180; b) 96; c) 132; d) 160; e) 48.
10. Znajdź objętość prostopadłościanu ABCA 1 B 1 C 1 jeśli ACB = 90 0, CAB =, BC = a i kąt dwuścienny ABCA 1 równa się φ. a) V = 0,5a 3 ctg 2 tgφ; b) V = 0,25a 3 ctg 2 tgφ;
c) V = 0,5a 2 ctg 2 tgφ; d) V = a 3 ctg 2 tgφ; e) V = 0,5a 3 ctg 2 φtg.