Lekcja i prezentacja na temat: „Równania wykładnicze i nierówności wykładnicze”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9–11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10–11 „Logarity”
Definicja równań wykładniczych
Chłopaki, badaliśmy funkcje wykładnicze, poznawaliśmy ich właściwości i budowaliśmy wykresy, analizowaliśmy przykłady równań, w których znaleziono funkcje wykładnicze. Dzisiaj zajmiemy się równaniami wykładniczymi i nierównościami.Definicja. Równania postaci: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdzie $a>0$, $a≠1$ nazywane są równaniami wykładniczymi.
Przypominając twierdzenia, które badaliśmy w temacie „Funkcja wykładnicza”, możemy wprowadzić nowe twierdzenie:
Twierdzenie. Równanie wykładnicze $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdzie $a>0$, $a≠1$ jest równoważne równaniu $f(x)=g(x) $.
Przykłady równań wykładniczych
Przykład.Rozwiąż równania:
a) 3 $^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) 5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Rozwiązanie.
a) Dobrze wiemy, że 27 dolarów = 3^3$.
Przepiszmy nasze równanie: $3^(3x-3)=3^3$.
Korzystając z powyższego twierdzenia, stwierdzamy, że nasze równanie sprowadza się do równania $3x-3=3$; rozwiązując to równanie, otrzymujemy $x=2$.
Odpowiedź: $x = 2 $.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Wtedy nasze równanie można przepisać: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
2 x + 0,2 = 0,2 dolara.
$x=0$.
Odpowiedź: $x = 0 $.
C) Pierwotne równanie jest równoważne równaniu: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odpowiedź: $x_1=6$ i $x_2=-3$.
Przykład.
Rozwiąż równanie: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Rozwiązanie:
Wykonajmy po kolei serię działań i sprowadźmy obie strony naszego równania do tych samych podstaw.
Wykonajmy szereg operacji po lewej stronie:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Przejdźmy do prawej strony:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Oryginalne równanie jest równoważne równaniu:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odpowiedź: $x = 0 $.
Przykład.
Rozwiąż równanie: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Rozwiązanie:
Przepiszmy nasze równanie: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Dokonajmy zmiany zmiennych, niech $a=3^x$.
W nowym równanie zmienne przyjmie postać: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Dokonajmy odwrotnej zamiany zmiennych: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
Dowiedzieliśmy się tego na ostatniej lekcji wyrażenia poglądowe mogę tylko zaakceptować wartości dodatnie, pamiętaj o harmonogramie. Oznacza to, że pierwsze równanie nie ma rozwiązań, drugie równanie ma jedno rozwiązanie: $x=1$.
Odpowiedź: $x = 1 $.
Przypomnijmy, jak rozwiązywać równania wykładnicze:
1. Metoda graficzna. Reprezentujemy obie strony równania w postaci funkcji i budujemy ich wykresy, znajdujemy punkty przecięcia wykresów. (Użyliśmy tej metody na ostatniej lekcji).
2. Zasada równości wskaźników. Zasada opiera się na fakcie, że dwa wyrażenia with na tej samej podstawie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy stopnie (wskaźniki) tych podstaw są równe. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Zmienna metoda wymiany. Ta metoda Warto skorzystać, jeśli równanie przy zamianie zmiennych upraszcza swoją postać i jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.
Przykład.
Rozwiąż układ równań: $\begin (przypadki) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (przypadki)$.
Rozwiązanie.
Rozważmy oba równania układu osobno:
27 $^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
3 $^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Rozważmy drugie równanie:
4 $^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Skorzystajmy z metody zmiany zmiennych, niech $y=2^(x+y)$.
Wówczas równanie przyjmie postać:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Przejdźmy do zmiennych początkowych, z pierwszego równania otrzymujemy $x+y=2$. Drugie równanie nie ma rozwiązań. Potem nasze układ początkowy równania są równoważne układowi: $\begin (przypadki) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (przypadki)$.
Odejmij drugą część od pierwszego równania i otrzymaj: $\begin (przypadki) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (przypadki)$.
$\begin (przypadki) y=-1, \\ x=3. \end (przypadki)$.
Odpowiedź: $(3;-1)$.
Nierówności wykładnicze
Przejdźmy do nierówności. Rozwiązując nierówności, należy zwrócić uwagę na podstawę stopnia. Istnieją dwa możliwe scenariusze rozwoju zdarzeń przy rozwiązywaniu nierówności.Twierdzenie. Jeśli $a>1$, to wykładnicza nierówność $a^(f(x))>a^(g(x))$ jest równoważna nierówności $f(x)>g(x)$.
Jeśli $0
Przykład.
Rozwiąż nierówności:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Rozwiązanie.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Nasza nierówność jest równoważna nierówności:
2x+3>4$.
2x>1$.
$x > 0,5 $.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) W naszym równaniu podstawą jest stopień jest mniejsza niż 1, wówczas Zastępując nierówność równoważną, należy zmienić znak.
2x-4>2$.
$x>3$.
C) Nasza nierówność jest równoważna nierówności:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Skorzystajmy metoda interwałowa rozwiązania:
Odpowiedź: $(-∞;-5]U)