Równanie liniowe dwóch zmiennych to dowolne równanie, które ma następującą postać: a*x + b*y =с. Tutaj x i y to dwie zmienne, a, b, c to pewne liczby.
Poniżej kilka przykłady równań liniowych.
1. 10*x + 25*y = 150;
Podobnie jak równania z jedną niewiadomą, równanie liniowe z dwiema zmiennymi (niewiadomymi) również ma rozwiązanie. Na przykład równanie liniowe x-y=5, gdzie x=8 i y=3 zamienia się w poprawną tożsamość 8-3=5. W tym przypadku mówimy, że para liczb x=8 i y=3 jest rozwiązaniem równania liniowego x-y=5. Można też powiedzieć, że para liczb x=8 i y=3 spełnia równanie liniowe x-y=5.
Rozwiązywanie równania liniowego
Zatem rozwiązaniem równania liniowego a*x + b*y = c jest dowolna para liczb (x,y), która spełnia to równanie, czyli zamienia równanie ze zmiennymi x i y na poprawną równość liczbową. Zwróć uwagę, jak zapisana jest tutaj para liczb x i y. Ten wpis jest krótszy i wygodniejszy. Trzeba tylko pamiętać, że pierwsze miejsce w takim rekordzie to wartość zmiennej x, a drugie to wartość zmiennej y.
Należy pamiętać, że liczby x=11 i y=8, x=205 i y=200 x= 4,5 i y= -0,5 również spełniają równanie liniowe x-y=5, a zatem są rozwiązaniami tego równania liniowego.
Rozwiązywanie równania liniowego z dwiema niewiadomymi nie jest jedyny. Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele różnych rozwiązań. To znaczy, istnieje nieskończenie wiele różnych dwie liczby x i y, które przekształcają równanie liniowe w prawdziwą tożsamość.
Jeżeli kilka równań z dwiema zmiennymi ma identyczne rozwiązania, wówczas równania takie nazywane są równaniami równoważnymi. Należy zauważyć, że jeśli równania z dwiema niewiadomymi nie mają rozwiązań, to również uważa się je za równoważne.
Podstawowe własności równań liniowych z dwiema niewiadomymi
1. Każdy wyraz równania można przenieść z jednej części na drugą, ale konieczna jest zmiana jego znaku na przeciwny. Wynikowe równanie będzie równoważne pierwotnemu.
2. Obie strony równania można podzielić przez dowolną liczbę różną od zera. W rezultacie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu.
Rozwiązywanie równań w liczbach całkowitych jest jednym z najstarszych problemów matematycznych. Już na początku II tysiąclecia p.n.e. mi. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać układy takich równań z dwiema zmiennymi. Ta dziedzina matematyki osiągnęła swój największy rozkwit w starożytnej Grecji. Naszym głównym źródłem jest Arytmetyka Diofantosa, która zawiera różne typy równań. Diofantos (od jego imienia nazwa równań to równania diofantyczne) przewiduje szereg metod badania równań drugiego i trzeciego stopnia, które rozwinęły się dopiero w XIX wieku.
Najprostsze równania diofantyny to ax + y = 1 (równanie z dwiema zmiennymi, pierwszy stopień) x2 + y2 = z2 (równanie z trzema zmiennymi, drugi stopień)
Najpełniej zbadane zostały równania algebraiczne, których rozwiązanie było jednym z najważniejszych problemów algebry XVI i XVII wieku.
Już na początku XIX w. w pracach P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa badano równanie diofantyczne o postaci: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c , d, e, f to liczby; x, y nieznane zmienne.
Jest to równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.
K. Gauss opracował ogólną teorię form kwadratowych, która jest podstawą rozwiązywania niektórych typów równań z dwiema zmiennymi (równania diofantyny). Istnieje wiele specyficznych równań diofantyny, które można rozwiązać metodami elementarnymi. /p>
Materiał teoretyczny.
W tej części pracy zostaną opisane podstawowe pojęcia matematyczne, zostaną zdefiniowane terminy, a także sformułowane zostanie twierdzenie o rozwinięciu metodą współczynników nieokreślonych, które badano i uwzględniono przy rozwiązywaniu równań z dwiema zmiennymi.
Definicja 1: Równanie w postaci ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c, d, e, f są liczbami; x, y nieznane zmienne nazywane są równaniem drugiego stopnia z dwiema zmiennymi.
Na szkolnych zajęciach z matematyki badane jest równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c liczby x jest zmienną z jedną zmienną. Istnieje wiele sposobów rozwiązania tego równania:
1. Znajdowanie pierwiastków za pomocą dyskryminatora;
2. Znalezienie pierwiastków współczynnika parzystego w (wg D1=);
3. Wyszukiwanie pierwiastków z wykorzystaniem twierdzenia Viety;
4. Znajdowanie pierwiastków poprzez wyodrębnienie idealnego kwadratu dwumianu.
Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że nie istnieją.
Definicja 2: Pierwiastkiem równania jest liczba, która po podstawieniu do równania tworzy prawdziwą równość.
Definicja 3: Rozwiązanie równania z dwiema zmiennymi nazywa się parą liczb (x, y), które po podstawieniu do równania daje prawdziwą równość.
Proces znajdowania rozwiązań równania bardzo często polega na zastąpieniu równania równaniem równoważnym, ale łatwiejszym do rozwiązania. Takie równania nazywane są równoważnymi.
Definicja 4: Mówi się, że dwa równania są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego równania jest rozwiązaniem drugiego równania i odwrotnie, a oba równania rozpatrywane są w tej samej dziedzinie.
Aby rozwiązać równania z dwiema zmiennymi, należy skorzystać z twierdzenia o rozkładzie równania na sumę pełnych kwadratów (metodą współczynników nieokreślonych).
Dla równania drugiego rzędu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) ma miejsce rozwinięcie a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Sformułujmy warunki, w jakich zachodzi rozwinięcie (2) równania (1) dwóch zmiennych.
Twierdzenie: Jeżeli współczynniki a, b, c równania (1) spełniają warunki a0 i 4ab – c20, to rozwinięcie (2) wyznacza się w jednoznaczny sposób.
Innymi słowy, równanie (1) z dwiema zmiennymi można sprowadzić do postaci (2) metodą współczynników nieokreślonych, jeśli spełnione są warunki twierdzenia.
Spójrzmy na przykład implementacji metody współczynników nieokreślonych.
METODA nr 1. Rozwiązać równanie metodą współczynników nieoznaczonych
2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Sprawdźmy spełnienie warunków twierdzenia a=2, b=1, c=2, co oznacza a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Warunki twierdzenia są spełnione i można je rozwinąć zgodnie ze wzorem (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, w oparciu o warunki twierdzenia obie części tożsamości są równoważne. Uprośćmy prawą stronę tożsamości.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Przyrównujemy współczynniki identycznych zmiennych z ich potęgami.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Zdobądźmy układ równań, rozwiążmy go i znajdź wartości współczynników.
7. Podstaw współczynniki do (2), a równanie przyjmie postać
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Zatem oryginalne równanie jest równoważne równaniu
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), równanie to jest równoważne układowi dwóch równań liniowych.
Odpowiedź: (-1; 1).
Jeśli zwrócisz uwagę na rodzaj rozwinięcia (3), zauważysz, że ma ono identyczną formę, jak wyodrębnienie pełnego kwadratu z równania kwadratowego z jedną zmienną: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Zastosujmy tę technikę przy rozwiązywaniu równania z dwiema zmiennymi. Rozwiążmy, wybierając pełny kwadrat, równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi, które zostało już rozwiązane za pomocą twierdzenia.
METODA nr 2: Rozwiąż równanie 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Rozwiązanie: 1. Wyobraźmy sobie 2x2 jako sumę dwóch wyrazów x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Pogrupujmy wyrazy w taki sposób, aby móc je złożyć korzystając ze wzoru na pełny kwadrat.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Wybierz całe kwadraty z wyrażeń w nawiasach.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. To równanie jest równoważne układowi równań liniowych.
Odpowiedź: (-1;1).
Jeśli porównać wyniki, widać, że równanie rozwiązane metodą nr 1 z wykorzystaniem twierdzenia i metodą nieoznaczonych współczynników oraz równanie rozwiązane metodą nr 2 z wykorzystaniem ekstrakcji pełnego kwadratu mają te same pierwiastki.
Wniosek: Równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi można rozszerzyć na sumę kwadratów na dwa sposoby:
➢ Pierwszą metodą jest metoda współczynników nieokreślonych, która opiera się na twierdzeniu i rozwinięciu (2).
➢ Drugi sposób polega na zastosowaniu transformacji tożsamościowych, które pozwalają na sekwencyjne wybieranie pełnych kwadratów.
Oczywiście przy rozwiązywaniu problemów preferowana jest druga metoda, ponieważ nie wymaga zapamiętywania rozwinięć (2) i warunków.
Metodę tę można również zastosować do równań kwadratowych z trzema zmiennymi. Wyodrębnienie idealnego kwadratu w takich równaniach jest bardziej pracochłonne. W przyszłym roku zrobię taką metamorfozę.
Warto zauważyć, że funkcję mającą postać: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f nazywamy funkcją kwadratową dwóch zmiennych. Funkcje kwadratowe odgrywają ważną rolę w różnych gałęziach matematyki:
W programowaniu matematycznym (programowanie kwadratowe)
W algebrze liniowej i geometrii (formy kwadratowe)
W teorii równań różniczkowych (sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej).
Rozwiązując te różne problemy, zasadniczo należy zastosować procedurę izolowania pełnego kwadratu z równania kwadratowego (jednej, dwóch lub więcej zmiennych).
Proste, których równania są opisane równaniem kwadratowym dwóch zmiennych, nazywane są krzywymi drugiego rzędu.
To jest okrąg, elipsa, hiperbola.
Przy konstruowaniu wykresów tych krzywych stosuje się również metodę sekwencyjnego izolowania pełnego kwadratu.
Przyjrzyjmy się, jak działa metoda sekwencyjnego wybierania całego kwadratu na konkretnych przykładach.
Część praktyczna.
Rozwiązuj równania metodą sekwencyjnego izolowania pełnego kwadratu.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Odpowiedź:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Odpowiedź:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Odpowiedź:(-1;1).
Rozwiąż równania:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(sprowadź do postaci: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Odpowiedź: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(sprowadź do postaci: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Odpowiedź: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(sprowadź do postaci: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Odpowiedź: (7; -7)
Wniosek.
W tej pracy naukowej zbadano równania z dwiema zmiennymi drugiego stopnia i rozważono metody ich rozwiązywania. Zadanie zostało zrealizowane, sformułowano i opisano krótszą metodę rozwiązania, polegającą na wyodrębnieniu pełnego kwadratu i zastąpieniu równania równoważnym układem równań, w wyniku czego procedura znajdowania pierwiastków równania z dwiema zmiennymi została zostało uproszczone.
Ważnym punktem pracy jest to, że rozważaną technikę stosuje się przy rozwiązywaniu różnych problemów matematycznych związanych z funkcją kwadratową, konstruowaniu krzywych drugiego rzędu i znajdowaniu największej (najmniejszej) wartości wyrażeń.
Zatem najliczniejsze zastosowania w matematyce ma technika rozkładania równania drugiego rzędu z dwiema zmiennymi na sumę kwadratów.
Podejście autora do tego tematu nie jest przypadkowe. Równania z dwiema zmiennymi po raz pierwszy spotykamy na zajęciach w siódmej klasie. Jedno równanie z dwiema zmiennymi ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Widać to wyraźnie na wykresie funkcji liniowej wyrażonej jako ax + by=c. W ramach zajęć szkolnych uczniowie uczą się układów dwóch równań z dwiema zmiennymi. W rezultacie cała seria problemów z ograniczonymi warunkami na współczynniku równania, a także metody ich rozwiązywania, wypadają z oczu nauczyciela, a tym samym ucznia.
Mówimy o rozwiązaniu równania z dwiema niewiadomymi w liczbach całkowitych lub naturalnych.
W szkole w klasach 4-6 uczy się liczb naturalnych i całkowitych. Zanim ukończą szkołę, nie wszyscy uczniowie pamiętają różnice między zbiorami tych liczb.
Jednak problem typu „rozwiązać równanie w postaci ax + by=c w liczbach całkowitych” coraz częściej pojawia się na egzaminach wstępnych na uniwersytety i w materiałach Unified State Examination.
Rozwiązywanie niepewnych równań rozwija logiczne myślenie, inteligencję i umiejętność analizy.
Proponuję rozwinąć kilka lekcji na ten temat. Nie mam jasnych zaleceń co do harmonogramu tych zajęć. Niektóre elementy można wykorzystać także w klasie 7 (dla mocnej klasy). Lekcje te można wykorzystać jako podstawę i opracować mały kurs do wyboru w zakresie szkolenia przedzawodowego w klasie 9. I oczywiście materiał ten można wykorzystać w klasach 10–11 w celu przygotowania się do egzaminów.
Cel lekcji:
- powtórzenie i uogólnienie wiedzy na temat „Równania pierwszego i drugiego rzędu”
- rozwijanie zainteresowania poznawczego tematem
- rozwijanie umiejętności analizowania, dokonywania uogólnień, przenoszenia wiedzy na nową sytuację
Lekcja 1.
Podczas zajęć.
1) Org. za chwilę.
2) Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Definicja. Równanie liniowe dwóch zmiennych jest równaniem postaci
mx + ny = k, gdzie m, n, k to liczby, x, y to zmienne.
Przykład: 5x+2y=10
Definicja. Rozwiązaniem równania z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie w prawdziwą równość.
Równania z dwiema zmiennymi, które mają takie same rozwiązania, nazywane są równoważnymi.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Równanie to może mieć dowolną liczbę rozwiązań. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolną wartość x i znaleźć odpowiednią wartość y.
Niech x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Pary liczb (2;1); (4;-4) – rozwiązania równania (1).
Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Tło historyczne
Równania nieokreślone (diofantyny) to równania zawierające więcej niż jedną zmienną.
W III wieku. OGŁOSZENIE – Diofant z Aleksandrii napisał „Arytmetykę”, w której rozszerzył zbiór liczb do wymiernych i wprowadził symbolikę algebraiczną.
Diofant rozważał także problematykę rozwiązywania równań nieokreślonych i podał metody rozwiązywania równań nieokreślonych drugiego i trzeciego stopnia.
4) Studiowanie nowego materiału.
Definicja: Niejednorodne równanie diofantyny pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem w postaci mx + ny = k, gdzie m, n, k, x, y Z k0
Oświadczenie 1.
Jeżeli wolny wyraz k w równaniu (1) nie jest podzielny przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb m i n, to równanie (1) nie ma rozwiązań całkowitych.
Przykład: 34x – 17 lat = 3.
NWD (34; 17) = 17, 3 nie jest podzielne równomiernie przez 17, w liczbach całkowitych nie ma rozwiązania.
Niech k będzie podzielone przez gcd (m, n). Dzieląc wszystkie współczynniki, możemy zapewnić, że m i n staną się względnie pierwsze.
Oświadczenie 2.
Jeśli m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Oświadczenie 3.
Jeżeli współczynniki m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań:
Gdzie (; ) jest dowolnym rozwiązaniem równania (1), t Z
Definicja. Jednorodne równanie diofantyny pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem w postaci mx + ny = 0, gdzie (2)
Oświadczenie 4.
Jeśli m i n są liczbami względnie pierwszymi, to każde rozwiązanie równania (2) ma postać 
5) Praca domowa. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
- 9x – 18 lat = 5
- x + y= xy
- Kilkoro dzieci zbierało jabłka. Każdy chłopiec zebrał 21 kg, a dziewczynka 15 kg. W sumie zebrali 174 kg. Ilu chłopców i ile dziewcząt zbierało jabłka?
Komentarz. W tej lekcji nie podano przykładów rozwiązywania równań w liczbach całkowitych. Dlatego dzieci rozwiązują zadanie domowe w oparciu o stwierdzenie 1 i selekcję.
Lekcja 2.
1) Moment organizacyjny
2) Sprawdzanie pracy domowej
1) 9x – 18 lat = 5
Liczba 5 nie jest podzielna przez 9; w liczbach całkowitych nie ma rozwiązań.
Korzystając z metody selekcji, możesz znaleźć rozwiązanie
Odpowiedź: (0;0), (2;2)
3) Zróbmy równanie:
Niech chłopcy będą x, x Z, a dziewczynki y, y Z, wówczas możemy utworzyć równanie 21x + 15y = 174
Wielu uczniów po napisaniu równania nie będzie w stanie go rozwiązać.
Odpowiedź: 4 chłopców, 6 dziewcząt.
3) Nauka nowego materiału
Po napotkaniu trudności w odrabianiu zadań domowych uczniowie byli przekonani o konieczności poznania własnych metod rozwiązywania równań niepewnych. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.
I. Metoda uwzględniania reszt z dzielenia.
Przykład. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych 3x – 4y = 1.
Lewa strona równania jest podzielna przez 3, zatem prawa strona musi być podzielna. Rozważmy trzy przypadki.
Odpowiedź: gdzie m Z.
Opisana metoda jest wygodna w użyciu, jeśli liczby m i n nie są małe, ale można je rozłożyć na proste czynniki.
Przykład: rozwiązuj równania w liczbach całkowitych.
Niech y = 4n, wtedy 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dzieli się przez 4.
y = 4n+1, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nie jest podzielne przez 4.
y = 4n+2, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nie jest podzielne przez 4.
y = 4n+3, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nie jest podzielne przez 4.
Zatem y = 4n
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Odpowiedź: , gdzie n Z.
II. Równania niepewne drugiego stopnia
Dzisiaj na lekcji zajmiemy się jedynie rozwiązaniem równań diofantyny drugiego rzędu.
Ze wszystkich typów równań rozważymy przypadek, w którym możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów lub inną metodę faktoryzacji.
Przykład: Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.
Liczba 13 jest liczbą pierwszą, więc można ją rozłożyć na czynniki tylko na cztery sposoby: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Rozważmy te przypadki
Odpowiedź: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Praca domowa.
Przykłady. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | nie pasuje | nie pasuje |
| 2x = -4 | nie pasuje | nie pasuje |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Odpowiedź: (-2;0), (2;0).
Odpowiedzi: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Odpowiedź: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Wyniki. Co to znaczy rozwiązać równanie w liczbach całkowitych?
Jakie znasz metody rozwiązywania równań niepewnych?
Aplikacja:
Ćwiczenia na trening.
1) Rozwiąż liczby całkowite.
| a) 8x + 12 lat = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5 lat = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7 lat = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11 lat = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5 lat = 119 | x = 1 + 5 p, y = -20 + 19 p, p Z |
| h) 28x – 40 lat = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Znajdź nieujemne rozwiązania równania w postaci liczb całkowitych.
Na lekcjach matematyki w klasie 7 spotykamy się po raz pierwszy równania z dwiema zmiennymi, ale bada się je tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego też znika z pola widzenia cały szereg problemów, w których na współczynniki równania wprowadzane są pewne warunki ograniczające je. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania problemów typu „Rozwiąż równanie na liczbach naturalnych lub całkowitych”, choć problemy tego rodzaju coraz częściej spotykane są w materiałach Unified State Examination i na egzaminach wstępnych.
Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?
Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.
Rozważmy równanie 2x – y = 1. Staje się prawdziwe, gdy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem omawianego równania.
Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zbiór uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które zamieniają to równanie w prawdziwą równość liczbową.
Równanie z dwiema niewiadomymi może:
A) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);
B) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;
G) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Np. x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma jest równa 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać w postaci (k; 3 – k), gdzie k jest dowolną wartością rzeczywistą numer.
Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na rozkładaniu wyrażeń na czynniki, izolowaniu pełnego kwadratu, wykorzystaniu właściwości równania kwadratowego, wyrażeniach ograniczonych i metodach estymacji. Równanie zwykle przekształca się do postaci, z której można uzyskać układ znajdowania niewiadomych.
Faktoryzacja
Przykład 1.
Rozwiąż równanie: xy – 2 = 2x – y.
Rozwiązanie.
Grupujemy terminy w celu faktoryzacji:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z każdego nawiasu wyciągamy wspólny czynnik:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Mamy:
y = 2, x – dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y – dowolna liczba rzeczywista.
Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.
Równość liczb nieujemnych do zera
Przykład 2.
Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Rozwiązanie.
Grupowanie:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można złożyć, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.
Oznacza to x = 2/3 i y = 3/2.
Odpowiedź: (2/3; 3/2).
Metoda szacowania
Przykład 3.
Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Rozwiązanie.
W każdym nawiasie wybieramy cały kwadrat:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacujmy 
znaczenie wyrażeń w nawiasach.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 oraz (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, wówczas lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeśli:
(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, co oznacza x = -1, y = 2.
Odpowiedź: (-1; 2).
Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Metoda ta polega na traktowaniu równania jako kwadrat w odniesieniu do jakiejś zmiennej.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Rozwiązanie.
Rozwiążmy to równanie jako równanie kwadratowe dla x. Znajdźmy dyskryminator:
re = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, to znaczy, jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do pierwotnego równania i stwierdzamy, że x = 3.
Odpowiedź: (3; 4).
Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.
Przykład 5.
Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Rozwiązanie.
Zapiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Zatem x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczba niepodzielna przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: brak korzeni.
Przykład 6.
Rozwiąż równanie: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Rozwiązanie.
Zaznaczmy całe kwadraty w każdym nawiasie:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa pod warunkiem, że |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.
Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).
Przykład 7.
Dla każdej pary ujemnych liczb całkowitych (x;y) spełniających równanie
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). W odpowiedzi proszę wskazać najmniejszą kwotę.
Rozwiązanie.
Wybierzmy całe kwadraty:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, ich kwadraty również są liczbami całkowitymi. Otrzymamy sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych równą 37, jeśli dodamy 1 + 36. Zatem:
(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.
Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Odpowiedź: -17.
Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki poradzisz sobie z każdym równaniem.
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Równość f(x; y) = 0 reprezentuje równanie z dwiema zmiennymi. Rozwiązaniem takiego równania jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie z dwiema zmiennymi w prawdziwą równość.
Jeśli mamy równanie z dwiema zmiennymi, to zgodnie z tradycją musimy umieścić x na pierwszym miejscu, a y na drugim miejscu.
Rozważmy równanie x – 3y = 10. Pary (10; 0), (16; 2), (-2; -4) są rozwiązaniami rozważanego równania, natomiast para (1; 5) nie jest rozwiązaniem.
Aby znaleźć inne pary rozwiązań tego równania, należy wyrazić jedną zmienną w kategoriach drugiej - na przykład x w kategoriach y. W rezultacie otrzymujemy równanie
x = 10 + 3 lata. Obliczmy wartości x, wybierając dowolne wartości y.
Jeśli y = 7, to x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Jeśli y = -2, to x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Zatem pary (31; 7), (4; -2) są również rozwiązaniami danego równania.
Jeżeli równania z dwiema zmiennymi mają te same pierwiastki, wówczas takie równania nazywamy równoważnymi.
W przypadku równań z dwiema zmiennymi obowiązują twierdzenia o równoważnych przekształceniach równań.
Rozważmy wykres równania z dwiema zmiennymi.
Niech będzie dane równanie z dwiema zmiennymi f(x; y) = 0. Wszystkie jego rozwiązania można przedstawić za pomocą punktów na płaszczyźnie współrzędnych, uzyskując pewien zbiór punktów na płaszczyźnie. Ten zbiór punktów na płaszczyźnie nazywany jest wykresem równania f(x; y) = 0.
Zatem wykres równania y – x 2 = 0 jest parabolą y = x 2; wykres równania y – x = 0 jest linią prostą; wykres równania y – 3 = 0 jest linią prostą równoległą do osi x itd.
Równanie w postaci ax + by = c, gdzie x i y są zmiennymi, a a, b i c są liczbami, nazywa się liniowym; liczby a, b nazywane są współczynnikami zmiennych, c jest terminem wolnym.
Wykres równania liniowego ax + by = c wygląda następująco:
Wykreślmy równanie 2x – 3y = -6.
1. Ponieważ żaden ze współczynników zmiennej nie jest równy zero, wówczas wykres tego równania będzie linią prostą.
2. Aby skonstruować linię prostą, musimy znać co najmniej dwa jej punkty. Podstaw wartości x do równań i uzyskaj wartości y i odwrotnie:
jeśli x = 0, to y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
jeśli y = 0, to x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Mamy więc na wykresie dwa punkty: (0; 2) i (-3; 0).
3. Przeprowadźmy prostą przez uzyskane punkty i otrzymajmy wykres równania
2x – 3 lata = -6.
Jeżeli równanie liniowe ax + by = c ma postać 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, to musimy rozważyć dwa przypadki:
1. c = 0. W tym przypadku dowolna para (x; y) spełnia równanie, dlatego wykresem równania jest cała płaszczyzna współrzędnych;
2. c ≠ 0. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania, co oznacza, że jego wykres nie zawiera ani jednego punktu.
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.