Ved hjelp av en online kalkulator kan du finne bøyningspunkter og konveksitetsintervaller til funksjonsgrafen med utformingen av løsningen i Word. Hvorvidt en funksjon av to variable f(x1,x2) er konveks avgjøres ved hjelp av den hessiske matrisen.
Regler for inntasting av funksjoner:
Konveksitetsretningen til grafen til en funksjon. Bøyningspunkter
Definisjon: Kurven y=f(x) kalles konveks nedover i intervallet (a; b) hvis den ligger over tangenten på et hvilket som helst punkt i dette intervallet.Definisjon: Kurven y=f(x) sies å være konveks oppover i intervallet (a; b) hvis den ligger under tangenten på et hvilket som helst punkt i dette intervallet. 
Definisjon: Intervallene der grafen til en funksjon er konveks opp eller ned, kalles konveksitetsintervaller til grafen til funksjonen.
Konveksiteten nedover eller oppover av en kurve som er en graf for funksjonen y=f(x) er karakterisert ved tegnet til dens andrederiverte: hvis i et visst intervall f''(x) > 0, så er kurven konveks nedover på dette intervallet; hvis f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Definisjon: Et punkt på grafen til en funksjon y=f(x) som skiller konveksitetsintervallene motsatte retninger av denne grafen kalles vendepunktet. 
Bøyepunkter kan bare tjene kritiske punkter II slags, dvs. punkter som tilhører definisjonsdomenet til funksjonen y = f(x) hvor den andre deriverte f''(x) forsvinner eller har en diskontinuitet.
Regelen for å finne bøyningspunkter i grafen til en funksjon y = f(x)
- Finn den andre deriverte f''(x) .
- Finn kritiske punkter for den andre typen av funksjonen y=f(x), dvs. punktet der f''(x) forsvinner eller opplever en diskontinuitet.
- Undersøk tegnet til den andre deriverte f''(x) i intervallet som de funnet kritiske punktene deler definisjonsdomenet til funksjonen f(x) inn i. Hvis det kritiske punktet x 0 skiller konveksitetsintervallene til motsatte retninger, så er x 0 abscissen til funksjonsgrafens bøyningspunkt.
- Beregn funksjonsverdiene ved vendepunktene.
Eksempel 1. Finn konveksitetsintervallene og bøyningspunktene til følgende kurve: f(x) = 6x 2 –x 3.
Løsning: Finn f ‘(x) = 12x – 3x 2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
La oss finne de kritiske punktene til den andre deriverte ved å løse ligningen 12-6x=0. x=2. 
f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Svar: Funksjonen er konveks oppover for x∈(2; +∞) ; funksjonen er konveks nedover ved x∈(-∞; 2) ; bøyningspunkt (2;16) .
Eksempel 2. Har funksjonen bøyningspunkter: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
Eksempel 3. Finn intervallene der grafen til funksjonen er konveks og buet: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
Graf av en funksjon y=f(x) kalt konveks på intervallet (a; b), hvis den er plassert under noen av tangentene i dette intervallet.
Graf av en funksjon y=f(x) kalt konkav på intervallet (a; b), hvis den er plassert over noen av tangentene i dette intervallet.
Figuren viser en kurve som er konveks kl (a; b) og konkav på (b;c).
Eksempler.
La oss vurdere et tilstrekkelig kriterium for å fastslå om grafen til funksjonen vil være i gitt intervall konveks eller konkav.
Teorem. La y=f(x) differensierbar med (a; b). Hvis på alle punkter av intervallet (a; b) andrederiverte av funksjonen y = f(x) negativ, dvs. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkav.
Bevis. La oss for en visshet anta det f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
La oss ta funksjonene på grafen y = f(x) vilkårlig poeng M0 med abscisse x 0 Î ( en; b) og trekk gjennom punktet M0 tangent. Hennes ligning. Vi må vise at grafen til funksjonen på (a; b) ligger under denne tangenten, dvs. til samme verdi x ordinaten til kurven y = f(x) vil være mindre enn ordinaten til tangenten.
Så ligningen til kurven er y = f(x). La oss betegne ordinaten til tangenten som tilsvarer abscissen x. Deretter . Følgelig er forskjellen mellom ordinatene til kurven og tangenten for samme verdi x vil .
Forskjell f(x) – f(x 0) transformere i henhold til Lagranges teorem, hvor c mellom x Og x 0.
Dermed,
Vi bruker igjen Lagranges teorem på uttrykket i hakeparenteser: , hvor c 1 mellom c 0 Og x 0. I henhold til betingelsene for teoremet f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Dermed ligger ethvert punkt på kurven under tangenten til kurven for alle verdier x Og x 0 Î ( en; b), som betyr at kurven er konveks. Den andre delen av teoremet er bevist på lignende måte.
Eksempler.
Grafpunkt kontinuerlig funksjon, skille sin konvekse del fra den konkave delen, kalles bøyningspunkt.
Tydeligvis, ved bøyningspunktet, skjærer tangenten, hvis den eksisterer, kurven, fordi på den ene siden av dette punktet ligger kurven under tangenten, og på den andre siden - over den.
La oss bestemme tilstrekkelige betingelser for det gitt poeng kurven er bøyningspunktet.
Teorem. La kurven defineres av ligningen y = f(x). Hvis f ""(x 0) = 0 eller f ""(x 0) eksisterer ikke selv når du går gjennom verdien x = x 0 derivat f ""(x) skifter fortegn, deretter punktet i grafen til funksjonen med abscissen x = x 0 det er et bøyningspunkt.
Bevis. La f ""(x) < 0 при x < x 0 Og f ""(x) > 0 kl x > x 0. Så kl x < x 0 kurven er konveks, og når x > x 0– konkav. Derfor poenget EN, liggende på kurven, med abscisse x 0 det er et bøyningspunkt. Det andre tilfellet kan vurderes på samme måte, når f ""(x) > 0 kl x < x 0 Og f ""(x) < 0 при x > x 0.
Derfor bør bøyningspunkter bare søkes blant de punktene der den andrederiverte forsvinner eller ikke eksisterer.
Eksempler. Finn bøyningspunkter og bestem intervallene for konveksitet og konkavitet for kurver.
ASYMPTOTER AV FUNKSJONENS GRAF
Når du studerer en funksjon, er det viktig å etablere formen på grafen i en ubegrenset avstand fra grafpunktet fra origo.
Av spesiell interesse er tilfellet når grafen til en funksjon, når dens variable punkt fjernes til uendelig, nærmer seg en bestemt rett linje på ubestemt tid.
Den rette linjen kalles asymptote funksjonsgrafikk y = f(x), hvis avstanden fra det variable punktet M grafikk til denne linjen når du fjerner et punkt M til det uendelige har en tendens til null, dvs. et punkt på grafen til en funksjon, ettersom det har en tendens til uendelig, må på ubestemt tid nærme seg asymptoten.
En kurve kan nærme seg sin asymptote mens den forblir på den ene siden av den eller med forskjellige sider, uendelig sett en gang krysser asymptoten og beveger seg fra den ene siden til den andre.
Hvis vi betegner med d avstanden fra punktet M kurve til asymptoten, så er det klart at d har en tendens til null når punktet beveger seg bort M til det uendelige.
Vi vil videre skille mellom vertikale og skrå asymptoter.
VERTIKALE ASYMPTOTER
La kl x→ x 0 fra hvilken som helst sidefunksjon y = f(x)øker ubegrenset i absolutt verdi, dvs. eller eller 
. Så fra definisjonen av en asymptote følger det at den rette linjen x = x 0 er en asymptote. Det motsatte er også åpenbart, hvis linjen x = x 0 er en asymptote, dvs. .
Dermed den vertikale asymptoten til grafen til funksjonen y = f(x) kalles en rett linje if f(x)→ ∞ under minst én av betingelsene x→ x 0– 0 eller x → x 0 + 0, x = x 0
Derfor, for å finne de vertikale asymptotene til grafen til funksjonen y = f(x) må finne disse verdiene x = x 0, hvor funksjonen går til uendelig (lider en uendelig diskontinuitet). Deretter vertikal asymptote har ligningen x = x 0.
Eksempler.
SKÅASYMPTOTER
Siden asymptoten er en rett linje, så hvis kurven y = f(x) har en skrå asymptote, vil ligningen dens være y = kx + b. Vår oppgave er å finne koeffisientene k Og b.
Teorem. Rett y = kx + b fungerer som en skrå asymptote ved x→ +∞ for grafen til funksjonen y
= f(x) da og bare når 
. Et lignende utsagn gjelder for x → –∞.
Bevis. La MP- lengden på segmentet, lik avstanden fra punkt Må asymptotere. Etter betingelse. La oss betegne med φ helningsvinkelen til asymptoten til aksen Okse. Så fra ΔMNP følger det. Siden φ er en konstant vinkel (φ ≠ π/2), så , men
Når vi studerer en funksjon og konstruerer dens graf, bestemmer vi på et tidspunkt bøyningspunkter og konveksitetsintervaller. Disse dataene, sammen med intervallene for økning og reduksjon, gjør det mulig å skjematisk representere grafen til funksjonen som studeres.
Den videre presentasjonen forutsetter at du kan gjøre opp til en viss rekkefølge og ulike typer.
La oss begynne å studere materialet med nødvendige definisjoner og konsepter. Deretter vil vi uttrykke sammenhengen mellom verdien av den andre deriverte av en funksjon på et visst intervall og retningen til dens konveksitet. Etter dette vil vi gå videre til forholdene som gjør at vi kan bestemme bøyningspunktene til funksjonsgrafen. I henhold til teksten vi vil gi typiske eksempler med detaljerte løsninger.
Sidenavigering.
Konveksitet, konkavitet til en funksjon, bøyningspunkt.
Definisjon.
konveks ned på intervallet X hvis grafen ikke er lavere enn tangenten til den på et hvilket som helst punkt i intervallet X.
Definisjon.
Funksjonen som skal differensieres kalles konveks opp på intervallet X hvis grafen ikke er høyere enn tangenten til den på noe punkt i intervallet X.
En oppadgående konveks funksjon kalles ofte konveks, og konveks ned - konkav.
Se på tegningen som illustrerer disse definisjonene.
Definisjon.
Poenget heter bøyningspunktet for funksjonsgrafen y=f(x) hvis det i et gitt punkt er en tangent til grafen til funksjonen (den kan være parallell med Oy-aksen) og det er et nabolag til punktet innenfor som til venstre og høyre for punktet M grafen til funksjonen har forskjellige retninger av konveksitet.
Med andre ord kalles punktet M et bøyningspunkt for grafen til en funksjon hvis det er en tangent på dette punktet og grafen til funksjonen endrer retningen til konveksiteten og går gjennom den.
Om nødvendig, se avsnittet for å huske betingelsene for eksistensen av en ikke-vertikal og vertikal tangent.
Figuren under viser noen eksempler på bøyningspunkter (markert med røde prikker). Merk at noen funksjoner kan ha ingen bøyningspunkter, mens andre kan ha ett, flere eller uendelig mange bøyningspunkter.
Finne intervaller for konveksitet for en funksjon.
La oss formulere et teorem som lar oss bestemme konveksitetsintervallene til en funksjon.
Teorem.
Hvis funksjonen y=f(x) har en endelig andrederiverte på intervallet X og hvis ulikheten holder 
(), så har grafen til funksjonen en konveksitet rettet nedover (oppover) med X.
Denne teoremet lar deg finne intervallene for konkavitet og konveksitet til en funksjon; du trenger bare å løse ulikhetene og henholdsvis på definisjonsdomenet til den opprinnelige funksjonen.
Det skal bemerkes at punkter der funksjonen y=f(x) er definert og den andre deriverte ikke eksisterer vil bli inkludert i konkavitets- og konveksitetsintervallene.
La oss forstå dette med et eksempel.
Eksempel.
Finn ut intervallene som grafen til funksjonen 
har en konveksitet rettet oppover og en konveksitet rettet nedover.
Løsning.
Domenet til en funksjon er hele settet reelle tall.
La oss finne den andre deriverte. 
Definisjonsdomenet til den andre derivativet faller sammen med definisjonsdomenet til den opprinnelige funksjonen, derfor, for å finne ut intervallene for konkavitet og konveksitet, er det nok å løse og deretter. 
Derfor er funksjonen konveks nedover på intervallet og konveks oppover på intervallet.
Grafisk illustrasjon.
Den delen av funksjonsgrafen i det konvekse intervallet vises i blått, og i konkavitetsintervallet - i rødt.
La oss nå vurdere et eksempel når definisjonsdomenet til den andre deriverte ikke sammenfaller med definisjonsdomenet til funksjonen. I dette tilfellet, som vi allerede har bemerket, bør punkter i definisjonsdomenet der en endelig andrederivert ikke eksisterer, inkluderes i intervallene for konveksitet og (eller) konkavitet.
Eksempel.
Finn intervallene for konveksitet og konkavitet til grafen til funksjonen.
Løsning.
La oss starte med domenet til funksjonen:
La oss finne den andre deriverte: 
Definisjonsdomenet til den andre deriverte er settet 
. Som du kan se, hører x=0 til domenet til den opprinnelige funksjonen, men tilhører ikke domenet til den andre deriverte. Ikke glem dette punktet; det må inkluderes i intervallet for konveksitet og (eller) konkavitet.
Nå løser vi ulikheter på definisjonsdomenet til den opprinnelige funksjonen. La oss søke. Teller av uttrykk 
går til null kl 
eller 
, nevner – ved x = 0 eller x = 1. Vi plotter skjematisk disse punktene på talllinjen og finner ut tegnet til uttrykket på hvert av intervallene som er inkludert i definisjonsdomenet til den opprinnelige funksjonen (det vises som et skyggelagt område på den nedre talllinjen). For en positiv verdi setter vi et plusstegn, for en negativ verdi setter vi et minustegn. 
Dermed,
Og 
Derfor, ved å inkludere punktet x=0, får vi svaret.
På 
grafen til funksjonen har en konveksitet rettet nedover, med 
- konveksitet rettet oppover.
Grafisk illustrasjon.
Den delen av grafen til funksjonen på konveksitetsintervallet er avbildet i blått, på konkavitetsintervallene - i rødt er den svarte stiplede linjen den vertikale asymptoten.
Nødvendige og tilstrekkelige betingelser for bøyning.
Nødvendig betingelse for bøyning.
La oss formulere nødvendig tilstand bøyning funksjonsgrafikk.
La grafen til funksjonen y=f(x) ha en bøyning i et punkt og ha en kontinuerlig andrederiverte, så holder likheten.
Av denne betingelsen følger det at abscissen til bøyningspunktene bør søkes blant de der den andre deriverte av funksjonen forsvinner. MEN denne betingelsen er ikke tilstrekkelig, det vil si at ikke alle verdier der den andre deriverte er lik null, er abscisser av bøyningspunkter.
Det bør også bemerkes at definisjonen av et vendepunkt krever at det finnes en tangentlinje, eller en vertikal. Hva betyr dette? Og dette betyr følgende: abscissen til bøyningspunkter kan være alt fra definisjonsdomenet til funksjonen som 
Og 
. Dette er vanligvis punktene der nevneren til den første deriverte forsvinner.
Den første tilstrekkelige betingelsen for bøyning.
Etter at alt som kan være abscisser av bøyningspunkter er funnet, bør du bruke den første tilstrekkelige betingelsen for bøyning funksjonsgrafikk.
La funksjonen y=f(x) være kontinuerlig i punktet, ha en tangent (muligens vertikal) ved den, og la denne funksjonen ha en andrederiverte i et eller annet nabolag til punktet. Så, hvis innenfor dette nabolaget til venstre og høyre for , har den andre deriverte forskjellige tegn, da er bøyningspunktet til funksjonsgrafen.
Som du kan se den første tilstrekkelig tilstand krever ikke eksistensen av den andre deriverte på selve punktet, men krever at den eksisterer i nærheten av punktet.
La oss nå oppsummere all informasjonen i form av en algoritme.
Algoritme for å finne bøyningspunkter for en funksjon.
Vi finner alle abscissene til mulige bøyningspunkter til funksjonsgrafen (eller Og ) og finn ut ved å gå gjennom hvilken den andre deriverte endrer fortegn. Slike verdier vil være abscissen til bøyningspunktene, og de tilsvarende punktene vil være bøyningspunktene til funksjonsgrafen.
La oss se på to eksempler på å finne bøyningspunkter for avklaring.
Eksempel.
Finn bøyningspunkter og intervaller for konveksitet og konkavitet for grafen til en funksjon 
.
Løsning.
Domenet til en funksjon er hele settet med reelle tall.
La oss finne den første deriverte: 
Definisjonsdomenet til den første deriverte er også hele settet med reelle tall, derfor likhetene Og er ikke oppfylt for noen .
La oss finne den andre deriverte:
La oss finne ut ved hvilke verdier av argumentet x den andre deriverte går til null: 
Dermed er abscissen til mulige bøyningspunkter x=-2 og x=3.
Nå gjenstår det å sjekke, ved å bruke et tilstrekkelig bøyningstegn, ved hvilket av disse punktene den andre deriverte endrer fortegn. For å gjøre dette, plott punktene x=-2 og x=3 på tallaksen og, som i generalisert intervallmetode, plasserer vi tegnene til den andre deriverte over hvert intervall. Under hvert intervall vises konveksitetsretningen til funksjonsgrafen skjematisk med buer. 
Den andre deriverte endrer fortegn fra pluss til minus, passerer gjennom punktet x=-2 fra venstre til høyre, og endrer fortegn fra minus til pluss, passerer gjennom x=3. Derfor er både x=-2 og x=3 abscisser av bøyningspunktene til funksjonsgrafen. De tilsvarer grafpunktene og .
Ved å ta en ny titt på talllinjen og tegnene til den andre deriverte på dens intervaller, kan vi trekke konklusjoner om intervallene for konveksitet og konkavitet. Grafen til en funksjon er konveks på intervallet og konkav på intervallene og .
Grafisk illustrasjon.
Den delen av funksjonsgrafen på det konvekse intervallet vises i blått, på konkavitetsintervallet - i rødt, og bøyningspunkter vises som svarte prikker.
Eksempel.
Finn abscissen til alle bøyningspunktene til funksjonsgrafen 
.
Løsning.
Definisjonsdomenet til denne funksjonen er hele settet med reelle tall.
La oss finne den deriverte. 
Den første deriverte, i motsetning til den opprinnelige funksjonen, er ikke definert ved x=3. Men 
Og 
. Derfor, i punktet med abscisse x=3, er det en vertikal tangent til grafen til den opprinnelige funksjonen. Dermed kan x=3 være abscissen til vendepunktet til funksjonsgrafen.
Vi finner den andre deriverte, dens definisjonsdomene og punktene der den forsvinner: 
Vi fikk ytterligere to mulige abscisser av bøyningspunkter. Vi markerer alle tre punktene på talllinjen og bestemmer tegnet til den andre deriverte på hvert av de resulterende intervallene. 
Den andre deriverte endrer fortegn når den passerer gjennom hvert av punktene, derfor er de alle abscisser av bøyningspunkter.
Bruksanvisning
Poeng bøyning funksjoner må tilhøre domenet til definisjonen, som må finnes først. Rute funksjoner er en linje som kan være kontinuerlig eller ha brudd, monotont redusere eller øke, ha minimum eller maksimum poeng(asymptoter), være konvekse eller konkave. En skarp endring i de to siste tilstandene kalles et bøyningspunkt.
Nødvendig betingelse for å eksistere bøyning funksjoner består i likheten mellom sekundet og null. Ved å differensiere funksjonen to ganger og likestille det resulterende uttrykket til null, kan vi finne abscissen til mulige punkter bøyning.
Denne tilstanden følger av definisjonen av egenskapene til konveksitet og konkavitet til grafen funksjoner, dvs. negativ og positiv verdi andrederiverte. På punktet bøyning brå endring disse egenskapene, som betyr at den deriverte passerer nullmerket. Men å være lik null er ennå ikke nok til å indikere en bøyning.
Det er to tilstrekkelige forhold til at abscissen som ble funnet på forrige stadium, hører til punktet bøyning:Gjennom dette punktet kan du tegne en tangent til funksjoner. Den andre deriverte har forskjellige fortegn til høyre og venstre for den forventede poeng bøyning. Dens eksistens på selve punktet er derfor ikke nødvendig, det er nok å fastslå at den skifter fortegn. funksjoner er lik null, og den tredje er det ikke.
Løsning: Finn . I i dette tilfellet det er ingen begrensninger, derfor er det hele rommet av reelle tall. Regn ut den første deriverte: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².
Følg med på . Det følger av dette at definisjonsdomenet til derivatet er begrenset. Punktet x = 5 er punktert, noe som betyr at en tangent kan passere gjennom det, noe som delvis tilsvarer det første tegn på tilstrekkelighet bøyning.
Bestem det resulterende uttrykket for x → 5 – 0 og x → 5 + 0. De er lik -∞ og +∞. Du har bevist at en vertikal tangent går gjennom punktet x=5. Dette punktet kan vise seg å være et poeng bøyning, men beregn først den andre deriverte: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.
Utelat nevneren siden du allerede har tatt hensyn til punktet x = 5. Løs ligningen 2 x – 22 = 0. Den har en enkelt rot x = 11. Det siste trinnet er å bekrefte at poeng x=5 og x=11 er poeng bøyning. Analyser oppførselen til den andre deriverte i deres nærhet. Åpenbart, ved punktet x = 5, endrer det fortegn fra "+" til "-", og ved punktet x = 11 - omvendt. Konklusjon: begge deler poeng er poeng bøyning. Den første tilstrekkelige betingelsen er oppfylt.