Pelajaran tentang keseluruhan persamaan dan punca-puncanya. Keseluruhan persamaan dan puncanya

Topik pelajaran: "Seluruh persamaan dan puncanya."

Matlamat:

pendidikan:

pertimbangkan cara untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan menggunakan pemfaktoran;

membangun:

pendidikan:

kelas: 9

Buku teks: Algebra. darjah 9: buku teks untuk institusi pendidikan/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov]; diedit oleh S.A. Teleyakovsky.- ed ke-16. – M.: Pendidikan, 2010

peralatan: komputer dengan projektor, persembahan "Persamaan Keseluruhan"

Semasa kelas:

mengatur masa.

Tonton video "Semuanya di tangan anda."

Ada kalanya dalam hidup anda berputus asa dan seolah-olah tiada apa yang akan berlaku. Kemudian ingat kata-kata bijak "Semuanya ada di tangan anda:" dan biarkan kata-kata ini menjadi moto pelajaran kita.

Kerja lisan.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

Mesej topik pelajaran, matlamat.

Hari ini kita akan berkenalan dengan jenis persamaan baharu - ini adalah persamaan keseluruhan. Mari belajar bagaimana untuk menyelesaikannya.

Mari kita tulis nombor dalam buku nota, Kerja kelas dan topik pelajaran: "Seluruh persamaan, puncanya."

2.Mengemaskini pengetahuan asas.

Selesaikan persamaan:

Jawapan: a)x = 0; b) x =5/3; c) x = -, ; d) x = 1/6; - 1/6; e) tiada akar; e) x = 0; 5; - 5; g) 0; 1; -2; h)0; 1; - 1; i) 0.2; - 0.2; j) -3; 3.

3.Pembentukan konsep baru.

Perbualan dengan pelajar:

Apakah persamaan? (persamaan mengandungi nombor yang tidak diketahui)

Apakah jenis persamaan yang anda tahu? (linear, segi empat sama)

3. Berapa banyak akar yang boleh ada? persamaan linear?) (satu, banyak dan tiada akar)

4. Berapakah bilangan punca persamaan kuadratik?

Apakah yang menentukan bilangan akar? (daripada diskriminasi)

Dalam kes apakah persamaan kuadratik mempunyai 2 punca (D0)?

Dalam kes apakah persamaan kuadratik mempunyai 1 punca? (D=0)

Dalam kes apakah persamaan kuadratik tidak mempunyai punca? (D0)

Keseluruhan persamaan ialah persamaan sisi kiri dan kanan, yang merupakan keseluruhan ungkapan. (baca dengan kuat).

Daripada linear yang dianggap dan persamaan kuadratik, kita melihat bahawa bilangan akar tidak lebih besar daripada darjahnya.

Adakah anda fikir adalah mungkin untuk menentukan bilangan puncanya tanpa menyelesaikan persamaan? (kemungkinan jawapan kanak-kanak)

Mari kita berkenalan dengan peraturan untuk menentukan darjah keseluruhan persamaan?

Jika persamaan dengan satu pembolehubah ditulis sebagai P(x)=0, di mana P(x) ialah polinomial pandangan standard, maka darjah polinomial ini dipanggil darjah persamaan. Darjah persamaan integer arbitrari ialah darjah persamaan setara dalam bentuk P(x)=0, dengan P(x) ialah polinomial bentuk piawai.

Persamaann Aduh ijazah tiada lagin akar.

Keseluruhan persamaan boleh diselesaikan dengan beberapa cara:

cara untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan

pemfaktoran pengenalan grafik baru

pembolehubah

(Tulis rajah dalam buku nota)

Hari ini kita akan melihat salah satu daripadanya: pemfaktoran menggunakan persamaan berikut sebagai contoh: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (guru menerangkan di papan tulis, pelajar menulis penyelesaian kepada persamaan dalam buku nota)

Apakah nama kaedah pemfaktoran yang boleh digunakan untuk sebelah kiri Faktorkan persamaan? (kaedah kumpulan). Mari kita memfaktorkan bahagian kiri persamaan, dan untuk melakukan ini, kumpulkan istilah di sebelah kiri persamaan.

Bilakah hasil darab faktor sama dengan sifar? (apabila sekurang-kurangnya satu daripada pengganda sama dengan sifar). Mari kita samakan setiap faktor persamaan dengan sifar.

Mari kita selesaikan persamaan yang terhasil

Berapa banyak akar yang kita dapat? (tulis dalam buku nota)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Jawapan: 8; 1; -1.

4.Pembentukan kemahiran dan kebolehan. Bahagian praktikal.

kerja pada buku teks No. 265 (tulis dalam buku nota)

Apakah darjah persamaan dan berapa banyak punca bagi setiap persamaan:

Jawapan: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(penyelesaian di papan dengan penjelasan)

Selesaikan persamaan:

5. Ringkasan pelajaran:

Penyatuan bahan teori:

Apakah persamaan dengan satu pembolehubah dipanggil integer? Berikan satu contoh.

Bagaimana untuk mencari darjah keseluruhan persamaan? Berapakah bilangan punca persamaan dengan satu pembolehubah darjah pertama, kedua, ke-n?

6. Refleksi

Nilaikan kerja anda. Angkat tangan siapa...

1) memahami topik dengan sempurna

2) memahami topik dengan baik

Saya masih mengalami kesukaran

7.Kerja rumah:

fasal 12 (ms 75-77 contoh 1) No. 267 (a, b).

“senarai semak pelajar”

Senarai semak pelajar

Peringkat kerja

Gred

Jumlah

Pengiraan lisan

Selesaikan persamaan

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Menyelesaikan persamaan padu

Senarai semak pelajar

Kelas______ Nama keluarga Nama pertama ___________________

Peringkat kerja

Gred

Jumlah

Pengiraan lisan

Selesaikan persamaan

Apakah tahap persamaan biasa

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Menyelesaikan persamaan padu

Senarai semak pelajar

Kelas______ Nama keluarga Nama pertama ___________________

Peringkat kerja

Gred

Jumlah

Pengiraan lisan

Selesaikan persamaan

Apakah tahap persamaan biasa

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Menyelesaikan persamaan padu

Lihat kandungan dokumen
"Edaran"

1. Selesaikan persamaan:

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 –5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0.01 = 0.03
e) x 2 = – 25 j) 19 – c 2 = 10

3. Selesaikan persamaan:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Selesaikan persamaan:

I pilihan II pilihan III pilihan

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"ujian"

hello! Kini anda akan ditawarkan ujian matematik 4 soalan. Klik pada butang pada skrin di bawah soalan yang, pada pendapat anda, mempunyai jawapan yang betul. Klik butang "seterusnya" untuk memulakan ujian. Semoga berjaya!

1. Selesaikan persamaan:

3x + 6 = 0

Betul

Tiada jawapan

Akar

Betul

Tiada jawapan

Akar

4. Selesaikan persamaan: 0 x = - 4

Akar

Banyak

akar

Lihat kandungan pembentangan
"1"

Selesaikan persamaan:

KERJA LISAN

Matlamat:

pendidikan:

generalisasi dan mendalami maklumat tentang persamaan; memperkenalkan konsep keseluruhan persamaan dan darjahnya, puncanya; pertimbangkan cara untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan menggunakan pemfaktoran.
generalisasi dan mendalami maklumat tentang persamaan;
memperkenalkan konsep keseluruhan persamaan dan darjahnya, puncanya;
pertimbangkan cara untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan menggunakan pemfaktoran.

membangun:

pembangunan pandangan matematik dan am, pemikiran logik, keupayaan untuk menganalisis, membuat kesimpulan;
pembangunan pandangan matematik dan umum, pemikiran logik, keupayaan untuk menganalisis, membuat kesimpulan;

pendidikan:

memupuk kebebasan, kejelasan dan ketepatan dalam tindakan.
memupuk kebebasan, kejelasan dan ketepatan dalam tindakan.

Sikap psikologi

Kami terus membuat generalisasi dan mendalami maklumat tentang persamaan;
berkenalan dengan konsep keseluruhan persamaan,

dengan konsep darjah persamaan;

membangunkan kemahiran dalam menyelesaikan persamaan;
mengawal tahap asimilasi bahan;
Di dalam kelas kita boleh membuat kesilapan, mempunyai keraguan, dan berunding.
Setiap pelajar menetapkan garis panduan sendiri.

Apakah persamaan yang dipanggil integer?
Apakah darjah persamaan?
Berapa banyak akar yang ada? persamaan n darjah?
Kaedah untuk menyelesaikan persamaan darjah pertama, kedua dan ketiga.

Pelan pembelajaran

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0 c) x 2 –5 = 0 j) x 4 –x 2 = 0 d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03 e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Selesaikan persamaan:

Sebagai contoh:

X²=x³-2(x-1)

Persamaan

Jika persamaan dengan satu pembolehubah

ditulis sebagai

P(x) = 0, dengan P(x) ialah polinomial bentuk piawai,

maka darjah polinomial ini dipanggil

darjah persamaan ini

2x³+2x-1=0 (darjah ke-5)

14x²-3=0 (darjah ke-4)

Sebagai contoh:

Apakah tahap perkenalan persamaan untuk kita?

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 – 5 = 0 j) x 4 –x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 – 0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Selesaikan persamaan:

2 ∙x + 5 =15
0∙x = 7

Berapakah bilangan punca persamaan darjah 1?

Tidak lebih daripada satu!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 tiada punca x=6. Berapakah bilangan punca yang boleh dimiliki oleh persamaan darjah I (kuadrat)? Tidak lebih daripada dua!" width="640"

Selesaikan persamaan:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 tiada punca x=6.

Berapa banyak punca persamaan darjah yang saya ada? (persegi) ?

Tidak lebih daripada dua!

Selesaikan persamaan:

I pilihan II pilihan III pilihan

x 3 -1=0x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 akar 3 akar 2 akar

Berapa banyak punca persamaan darjah I I I ada?

Tidak lebih daripada tiga!

Berapa banyak punca yang anda fikir persamaan boleh mempunyai?

IV, V, VI, VII, n ke darjah?

Tidak lebih daripada empat, lima, enam, tujuh akar!

Tiada lagi sama sekali n akar!

ax²+bx+c=0

Persamaan kuadratik

ax + b = 0

Persamaan linear

Tiada akar

Satu akar

Mari kembangkan bahagian kiri persamaan

dengan pengganda:

x²(x-8)-(x-8)=0

Jawapan:=1, =-1.

Persamaan darjah ketiga bagi bentuk: ax³+bx²+cx+d=0

Secara pemfaktoran

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

Mari buka kurungan dan berikan

istilah yang serupa

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Jawapan: x=-2

Moto pelajaran kami: "Lebih banyak saya tahu, lebih banyak saya boleh."
Siapa yang tidak perasan apa-apa
Dia tidak belajar apa-apa.
Siapa yang tidak belajar apa-apa
Dia sentiasa merengek dan bosan.
(penyair R. Seph).

imlak matematik

1.Masukkan yang hilang
perkataan dan menunjukkan padanan
1. Apakah yang dipanggil?
persamaan?
1. Cari kesemuanya... atau
buktikan bahawa... tidak.
2. Apakah yang dipanggil?
punca persamaan?
2. ……, mengandungi
pembolehubah.
3.Apakah maksud membuat keputusan
persamaan?
3. ……., di mana
persamaan diterbalikkan
kepada nombor yang betul
kesaksamaan.

Selesaikan persamaan secara lisan:

a) x² = 0
b) 3x – 6 = 0
c) x² – 9 = 0
d) x(x – 1)(x + 2) = 0
e) x² = – 25

Selesaikan persamaan:

x⁴-6x²+5=0

Keseluruhan persamaan dan punca-puncanya

Objektif pelajaran:

meringkaskan dan mendalami maklumat tentang
persamaan
pengenalan kepada konsep keseluruhan
persamaan
pengenalan kepada konsep ijazah
persamaan
pembentukan kemahiran penyelesaian
persamaan

Persamaan

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x 5
x3 1 x 2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2(x 1)
x
2x 1
x 12
keseluruhan
persamaan
pecahan
persamaan

Keseluruhan persamaan

Keseluruhan persamaan dengan satu
pembolehubah ialah persamaan
bahagian kiri dan kanan yang
keseluruhan ungkapan.

10. Darjah persamaan

Jika persamaan dengan satu
pembolehubah ditulis sebagai P(x)=0,
di mana P(x) ialah polinomial piawai
bentuk, maka darjah polinomial ini
dipanggil darjah persamaan, i.e.
darjah terhebat
monomials.
Contoh: x⁵-2x³+2x-1=05th
ijazah
ke-4
x⁴-14x²-3=0
ijazah

11. Apakah darjah persamaan itu?

5
a) 2x²-6x⁵+1=0
2
d) (x+8)(x-7)=0
6
b) x⁶-4x²-3=0
1 5
x 0
7
V)
5x(x²+4)=17
d)
x x
5
2 4
5
1
3
e) 5x-

12. Mari kita ulangi

persamaan linear
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
sekumpulan
akar
tiada akar
satu akar
persamaan kuadratik
D=0
satu akar
D>0
dua akar
D<0
tiada akar

13. Persamaan darjah pertama

14. Persamaan darjah ketiga

Selesaikan persamaan
x3 8x 2 x 8 0
Penyelesaian: kembangkan bahagian kiri
persamaan pemfaktoran 2
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2jawapan
1, x3 1

15. Selesaikan persamaan:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Penyelesaian: Mari buka kurungan dan berikan
istilah yang serupa
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
SEMAK SENDIRI!
x+2=0
x=-2
Jawapan: x=-2

16. Mari kita selesaikan persamaan biquadratik:

X⁴ - 5 x² - 36 = 0
Mari kita buat penggantian: x² = a, a≥ 0
a² - 5a -36 =0
D=169
a1= -4 (tidak sesuai, kerana a≥0)
a2 = 9
X² = 9
x1 = 3 dan x2 = -3
Jawapan: 3 dan -3.

17. Selesaikan persamaan:

x⁴-6x²+5=0
Jawapan: 1, -1, V5, - V5

18. Wujudkan surat-menyurat: Kaedah persamaan.

Contoh teks
Tahap kedua
Tahap ketiga
Tahap keempat
Tahap kelima

19. Ujian

1) Tentukan darjah persamaan
(x 2 3) 5 x(x 1) 15
a) 2
b) 3
dalam 1
2) Nombor yang manakah merupakan punca
x(x 1)(x 2) 0?
persamaan
a) -1
b) 0
pukul 2
3) Selesaikan persamaan 9 x 3 27 x 2 0
a) 0;-3
b) -3;0;3
c) 0;3

20.

1)
Apakah persamaan yang dipanggil
keseluruhan dan bagaimana membezakannya
pecahan?
2)
Apakah darjah persamaan?
3)
Apakah punca-punca persamaan?
4)
5)
Berapa banyak akar yang boleh ada?
persamaan darjah 1?
Berapa banyak akar yang boleh ada?
persamaan darjah 2?

21. Kerja rumah:

Fikir dan jawab soalan: “Berapa banyak
akar boleh mempunyai persamaan keseluruhan dengan
satu pembolehubah darjah 2, 3, 4, dan ketiga?

Pertimbangkan persamaan.
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
Kedua-dua belah kiri dan kanan persamaan adalah ungkapan integer.
Ingat bahawa persamaan tersebut dipanggil keseluruhan persamaan.
Mari kita kembali kepada persamaan asal kita dan buka kurungan menggunakan formula perbezaan kuasa dua.
Mari kita alihkan semua sebutan persamaan ke sebelah kiri dan kemukakan sebutan yang serupa.
Ungkapan "tolak sepuluh x" dan "tambah sepuluh x" membatalkan satu sama lain.
Selepas membawa istilah yang sama, kami memperoleh persamaan, di sebelah kiri yang terdapat polinomial bentuk standard (secara umum kami akan memanggilnya "Pe dari x"), dan di sebelah kanan terdapat sifar.
Untuk menentukan tahap keseluruhan persamaan, adalah perlu untuk mengurangkannya kepada bentuk pe daripada x sama dengan sifar, iaitu, kepada persamaan di mana bahagian kiri mengandungi polinomial bentuk piawai, dan bahagian kanan mengandungi sifar.
Selepas ini, adalah perlu untuk menentukan tahap polinomial pe daripada x. Ini akan menjadi tahap persamaan.
Mari kita lihat contoh. Mari cuba tentukan darjah persamaan ini.
Mari kita buka kurungan menggunakan formula untuk kuasa dua hasil tambah.
Seterusnya, kami memindahkan semua sebutan persamaan ke sebelah kiri dan membentangkan istilah yang serupa.
Jadi, kita telah memperoleh persamaan, di sebelah kirinya ialah polinomial bentuk piawai darjah kedua, dan di sebelah kanan ialah sifar. Ini bermakna bahawa darjah persamaan ini adalah kedua.
Darjah persamaan menentukan bilangan punca yang ada.
Dapat dibuktikan bahawa persamaan darjah pertama mempunyai satu punca, persamaan darjah kedua tidak mempunyai lebih daripada dua punca, persamaan darjah ketiga tidak mempunyai lebih daripada tiga punca, dan seterusnya.
Darjah persamaan juga memberitahu kita bagaimana persamaan itu boleh diselesaikan.
Sebagai contoh, kita mengurangkan persamaan darjah pertama kepada bentuk a x tambah sama dengan ce, di mana a tidak sama dengan sifar.
Kami mengurangkan persamaan darjah kedua kepada persamaan yang setara, di sebelah kirinya terdapat trinomial persegi, dan di sebelah kanan terdapat sifar. Persamaan sedemikian diselesaikan menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik atau teorem Vieta.
Tiada kaedah universal untuk menyelesaikan persamaan darjah yang lebih tinggi, tetapi terdapat kaedah asas yang akan kita pertimbangkan dengan contoh.
Mari kita selesaikan persamaan kuasa ketiga x kepada kuasa ketiga tolak lapan x kepada kuasa kedua tolak x tambah lapan sama dengan sifar.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memfaktorkan bahagian kirinya menggunakan kaedah pengumpulan dan menggunakan formula perbezaan kuasa dua.
Seterusnya, anda perlu ingat bahawa produk adalah sama dengan sifar apabila salah satu faktor adalah sama dengan sifar. Berdasarkan ini, kami membuat kesimpulan bahawa sama ada x tolak 8 sama dengan sifar, atau x tolak 1 sama dengan sifar, atau x tambah satu sama dengan sifar. Oleh itu, punca persamaan akan menjadi nombor tolak satu, satu dan lapan.
Kadangkala, untuk menyelesaikan persamaan darjah lebih tinggi daripada dua, adalah mudah untuk memperkenalkan pembolehubah baharu.
Mari kita lihat contoh yang serupa.
Jika kita membuka kurungan, memindahkan semua sebutan persamaan ke sebelah kiri, membawa istilah yang serupa dan mengemukakan bahagian kiri persamaan dalam bentuk polinomial bentuk piawai, maka tiada kaedah yang kita ketahui akan membantu selesaikan persamaan ini. Dalam kes ini, ia patut memberi perhatian kepada fakta bahawa kedua-dua kurungan mengandungi ungkapan yang sama.
Ungkapan inilah yang akan kita nyatakan sebagai igrik pembolehubah baharu.
Kemudian persamaan kita akan dikurangkan kepada persamaan dengan pembolehubah ig...
Seterusnya, kami hanya akan membuka kurungan dan memindahkan semua sebutan persamaan ke sebelah kiri.
Mari kita bawa istilah yang serupa dan dapatkan persamaan kuadratik yang sudah biasa kepada kita.
Tidak sukar untuk mencari punca persamaan ini. Permainan satu sama dengan enam, permainan dua sama dengan tolak enam belas.
Sekarang mari kita kembali kepada persamaan asal dengan melakukan penggantian terbalik.
Pada mulanya, kami mengambil ungkapan dua x kuasa dua tolak x sebagai permainan. Dan kerana kita mempunyai dua nilai untuk pembolehubah y, kita mendapat dua persamaan. Dalam setiap persamaan, kami memindahkan semua sebutan ke sebelah kiri dan menyelesaikan dua persamaan kuadratik yang terhasil. Punca-punca persamaan pertama ialah nombor tolak satu koma lima dan dua, dan persamaan kedua tidak mempunyai punca, kerana diskriminasinya kurang daripada sifar.
Jadi, penyelesaian kepada persamaan darjah empat ini ialah nombor tolak satu mata lima dan dua.
Tempat khas dalam pengelasan keseluruhan persamaan mempunyai persamaan bentuk a x kepada kuasa keempat campur be x kepada kuasa kedua tambah ce sama dengan sifar. Persamaan jenis ini dipanggil persamaan biquadratic.
Persamaan sedemikian boleh diselesaikan menggunakan perubahan pembolehubah.
Mari kita lihat contoh.
Dalam persamaan ini, mari kita nyatakan x kuasa dua dengan igrik. Perlu diingat bahawa pembolehubah iGrik tidak boleh mengambil nilai negatif.
Kami memperoleh persamaan kuadratik yang puncanya ialah nombor satu dua puluh lima dan satu.
Mari lakukan penggantian terbalik.
Punca-punca persamaan pertama ialah satu perlima dan tolak satu perlima, dan punca-punca kedua ialah satu dan tolak satu.
Oleh itu, kita telah menemui empat punca persamaan biquadratik asal.

Mari kita berkenalan dengan persamaan rasional rasional dan pecahan, berikan definisinya, berikan contoh, dan juga analisis jenis masalah yang paling biasa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan rasional: definisi dan contoh

Pengenalan dengan ungkapan rasional bermula pada gred 8 sekolah. Pada masa ini, dalam pelajaran algebra, pelajar semakin mula menghadapi tugasan dengan persamaan yang mengandungi ungkapan rasional dalam nota mereka. Mari segarkan ingatan kita tentang apa itu.

Definisi 1

Persamaan rasional ialah persamaan di mana kedua-dua belah mengandungi ungkapan rasional.

Dalam pelbagai manual anda boleh mencari formulasi lain.

Definisi 2

Persamaan rasional- ini ialah persamaan, sebelah kiri yang mengandungi ungkapan rasional, dan sebelah kanan mengandungi sifar.

Takrifan yang kami berikan untuk persamaan rasional adalah setara, kerana ia bercakap tentang perkara yang sama. Ketepatan kata-kata kami disahkan oleh fakta bahawa untuk sebarang ungkapan rasional P Dan Q persamaan P = Q Dan P − Q = 0 akan menjadi ungkapan yang setara.

Sekarang mari kita lihat contoh.

Contoh 1

Persamaan rasional:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Persamaan rasional, sama seperti persamaan jenis lain, boleh mengandungi sebarang bilangan pembolehubah dari 1 hingga beberapa. Sebagai permulaan, kita akan melihat contoh mudah di mana persamaan akan mengandungi hanya satu pembolehubah. Dan kemudian kita akan mula secara beransur-ansur merumitkan tugas.

Persamaan rasional dibahagikan kepada dua kumpulan besar: integer dan pecahan. Mari lihat persamaan yang akan digunakan untuk setiap kumpulan.

Definisi 3

Persamaan rasional akan menjadi integer jika sisi kiri dan kanannya mengandungi keseluruhan ungkapan rasional.

Definisi 4

Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika satu atau kedua-dua bahagiannya mengandungi pecahan.

Persamaan rasional pecahan semestinya mengandungi pembahagian dengan pembolehubah atau pembolehubah hadir dalam penyebut. Tiada pembahagian sedemikian dalam penulisan persamaan keseluruhan.

Contoh 2

3 x + 2 = 0 Dan (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– keseluruhan persamaan rasional. Di sini kedua-dua belah persamaan diwakili oleh ungkapan integer.

1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 adalah persamaan rasional pecahan.

Persamaan rasional keseluruhan termasuk persamaan linear dan kuadratik.

Menyelesaikan persamaan keseluruhan

Menyelesaikan persamaan tersebut biasanya datang kepada menukarnya kepada persamaan algebra yang setara. Ini boleh dicapai dengan menjalankan transformasi persamaan yang setara mengikut algoritma berikut:

pertama kita mendapat sifar di sebelah kanan persamaan; untuk melakukan ini, kita perlu memindahkan ungkapan yang berada di sebelah kanan persamaan ke sebelah kirinya dan menukar tanda;
kemudian kita menukar ungkapan di sebelah kiri persamaan menjadi polinomial bentuk piawai.

Kita mesti mendapatkan persamaan algebra. Persamaan ini akan bersamaan dengan persamaan asal. Kes mudah membolehkan kita mengurangkan keseluruhan persamaan kepada satu linear atau kuadratik untuk menyelesaikan masalah. Secara umum, kita menyelesaikan persamaan algebra darjah n.

Contoh 3

Ia adalah perlu untuk mencari punca-punca keseluruhan persamaan 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Penyelesaian

Mari kita ubah ungkapan asal untuk mendapatkan persamaan algebra yang setara. Untuk melakukan ini, kami akan memindahkan ungkapan yang terkandung di sebelah kanan persamaan ke sebelah kiri dan menggantikan tanda dengan yang bertentangan. Hasilnya kami mendapat: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sekarang mari kita ubah ungkapan yang berada di sebelah kiri menjadi polinomial bentuk standard dan lakukan tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Kami berjaya mengurangkan penyelesaian persamaan asal kepada penyelesaian persamaan kuadratik bentuk x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminasi persamaan ini adalah positif: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ini bermakna akan ada dua punca sebenar. Mari cari mereka menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 atau x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 atau x 2 = - 1

Mari kita semak ketepatan punca-punca persamaan yang kita temui semasa penyelesaian. Untuk ini, kami menggantikan nombor yang kami terima ke dalam persamaan asal: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Dan 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Dalam kes pertama 63 = 63 , pada yang kedua 0 = 0 . Akar x=6 Dan x = − 1 sememangnya punca-punca persamaan yang diberikan dalam keadaan contoh.

Jawapan: 6 , − 1 .

Mari kita lihat maksud "darjah keseluruhan persamaan". Kita selalunya akan menemui istilah ini dalam kes di mana kita perlu mewakili keseluruhan persamaan dalam bentuk algebra. Mari kita tentukan konsepnya.

Definisi 5

Darjah bagi keseluruhan persamaan ialah darjah persamaan algebra yang setara dengan persamaan integer asal.

Jika anda melihat persamaan daripada contoh di atas, anda boleh menetapkan: darjah keseluruhan persamaan ini adalah kedua.

Jika kursus kami terhad kepada menyelesaikan persamaan darjah kedua, maka perbincangan topik itu boleh berakhir di sana. Tetapi ia tidak semudah itu. Menyelesaikan persamaan tahap ketiga adalah penuh dengan kesukaran. Dan untuk persamaan di atas darjah keempat tidak ada formula akar umum sama sekali. Dalam hal ini, menyelesaikan keseluruhan persamaan darjah ketiga, keempat dan lain-lain memerlukan kita menggunakan beberapa teknik dan kaedah lain.

Pendekatan yang paling biasa digunakan untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan rasional adalah berdasarkan kaedah pemfaktoran. Algoritma tindakan dalam kes ini adalah seperti berikut:

kami mengalihkan ungkapan dari sebelah kanan ke kiri supaya sifar kekal di sebelah kanan rekod;
Kami mewakili ungkapan di sebelah kiri sebagai hasil darab faktor, dan kemudian beralih kepada satu set beberapa persamaan yang lebih mudah.

Contoh 4

Cari penyelesaian kepada persamaan (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Penyelesaian

Kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan rekod ke kiri dengan tanda yang bertentangan: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Menukar sebelah kiri kepada polinomial bentuk piawai adalah tidak sesuai kerana ini akan memberi kita persamaan algebra darjah keempat: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Kemudahan penukaran tidak membenarkan semua kesukaran dalam menyelesaikan persamaan sedemikian.

Lebih mudah untuk pergi ke arah lain: mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan x 2 − 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sekarang kita menggantikan persamaan yang terhasil dengan satu set dua persamaan kuadratik x 2 − 10 x + 13 = 0 Dan x 2 − 2 x − 1 = 0 dan cari puncanya melalui diskriminasi: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Jawapan: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Dengan cara yang sama, kita boleh menggunakan kaedah memperkenalkan pembolehubah baru. Kaedah ini membolehkan kita beralih kepada persamaan setara dengan darjah lebih rendah daripada darjah dalam persamaan integer asal.

Contoh 5

Adakah persamaan mempunyai punca? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Penyelesaian

Jika sekarang kita cuba mengurangkan keseluruhan persamaan rasional kepada persamaan algebra, kita akan mendapat persamaan darjah 4 yang tidak mempunyai punca rasional. Oleh itu, lebih mudah bagi kita untuk pergi ke arah lain: memperkenalkan pembolehubah baharu y, yang akan menggantikan ungkapan dalam persamaan x 2 + 3 x.

Sekarang kita akan bekerja dengan keseluruhan persamaan (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Mari kita gerakkan bahagian kanan persamaan ke kiri dengan tanda bertentangan dan lakukan transformasi yang diperlukan. Kita mendapatkan: y 2 + 4 y + 3 = 0. Mari kita cari punca-punca persamaan kuadratik: y = − 1 Dan y = − 3.

Sekarang mari lakukan penggantian terbalik. Kami mendapat dua persamaan x 2 + 3 x = − 1 Dan x 2 + 3 · x = − 3 . Mari kita tulis semula sebagai x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kami menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik untuk mencari punca-punca persamaan pertama daripada yang diperolehi: - 3 ± 5 2. Diskriminasi bagi persamaan kedua ialah negatif. Ini bermakna persamaan kedua tidak mempunyai punca sebenar.

Jawapan:- 3 ± 5 2

Keseluruhan persamaan darjah tinggi sering muncul dalam masalah. Tidak perlu takut kepada mereka. Anda perlu bersedia untuk menggunakan kaedah bukan standard untuk menyelesaikannya, termasuk beberapa transformasi buatan.

Menyelesaikan persamaan rasional pecahan

Kami akan memulakan pertimbangan kami tentang subtopik ini dengan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dalam bentuk p (x) q (x) = 0, di mana p(x) Dan q(x)– ungkapan rasional keseluruhan. Penyelesaian persamaan rasional pecahan lain sentiasa boleh dikurangkan kepada penyelesaian persamaan jenis yang ditunjukkan.

Kaedah yang paling biasa digunakan untuk menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0 adalah berdasarkan pernyataan berikut: pecahan berangka u v, Di mana v- ini ialah nombor yang berbeza daripada sifar, sama dengan sifar hanya dalam kes-kes apabila pengangka pecahan itu sama dengan sifar. Mengikut logik pernyataan di atas, kita boleh mendakwa bahawa penyelesaian kepada persamaan p (x) q (x) = 0 boleh dikurangkan untuk memenuhi dua syarat: p(x)=0 Dan q(x) ≠ 0. Ini adalah asas untuk membina algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan bentuk p (x) q (x) = 0:

cari penyelesaian kepada keseluruhan persamaan rasional p(x)=0;
kami menyemak sama ada keadaan itu berpuas hati untuk akar yang ditemui semasa penyelesaian q(x) ≠ 0.

Jika syarat ini dipenuhi, maka akar yang ditemui Jika tidak, maka akar bukanlah penyelesaian kepada masalah.

Contoh 6

Mari cari punca-punca persamaan 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Penyelesaian

Kita berurusan dengan persamaan rasional pecahan dalam bentuk p (x) q (x) = 0, di mana p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Mari kita mulakan menyelesaikan persamaan linear 3 x − 2 = 0. Punca bagi persamaan ini ialah x = 2 3.

Mari kita semak akar yang ditemui untuk melihat sama ada ia memenuhi syarat 5 x 2 − 2 ≠ 0. Untuk melakukan ini, gantikan nilai berangka ke dalam ungkapan. Kami dapat: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Syaratnya dipenuhi. Maksudnya begitu x = 2 3 ialah punca bagi persamaan asal.

Jawapan: 2 3 .

Terdapat pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0. Ingat bahawa persamaan ini bersamaan dengan keseluruhan persamaan p(x)=0 pada julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x persamaan asal. Ini membolehkan kita menggunakan algoritma berikut dalam menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0:

selesaikan persamaan p(x)=0;
cari julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x;
kita mengambil punca yang terletak dalam julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x sebagai punca yang dikehendaki bagi persamaan rasional pecahan asal.

Contoh 7

Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Penyelesaian

Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratik x 2 − 2 x − 11 = 0. Untuk mengira puncanya, kami menggunakan formula punca untuk pekali kedua genap. Kita mendapatkan D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .

Sekarang kita boleh mencari ODZ bagi pembolehubah x untuk persamaan asal. Ini semua adalah nombor yang x 2 + 3 x ≠ 0. Ia sama seperti x (x + 3) ≠ 0, dari mana x ≠ 0, x ≠ − 3.

Sekarang mari kita semak sama ada punca x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada peringkat pertama penyelesaian berada dalam julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x. Kita lihat mereka masuk. Ini bermakna persamaan rasional pecahan asal mempunyai dua punca x = 1 ± 2 3.

Jawapan: x = 1 ± 2 3

Kaedah penyelesaian kedua yang diterangkan adalah lebih mudah daripada yang pertama dalam kes di mana julat nilai yang dibenarkan pembolehubah x mudah dijumpai, dan punca persamaan p(x)=0 tidak rasional. Contohnya, 7 ± 4 · 26 9. Akar boleh rasional, tetapi dengan pengangka atau penyebut yang besar. Sebagai contoh, 127 1101 Dan − 31 59 . Ini menjimatkan masa untuk memeriksa keadaan q(x) ≠ 0: Lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai mengikut ODZ.

Dalam kes di mana punca persamaan p(x)=0 adalah integer, adalah lebih sesuai untuk menggunakan algoritma pertama yang diterangkan untuk menyelesaikan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0. Cari punca keseluruhan persamaan dengan lebih cepat p(x)=0, dan kemudian semak sama ada syarat itu dipenuhi untuk mereka q(x) ≠ 0, daripada mencari ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Ini disebabkan oleh fakta bahawa dalam kes sedemikian biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada mencari DZ.

Contoh 8

Cari punca bagi persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Penyelesaian

Mari kita mulakan dengan melihat keseluruhan persamaan (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan mencari akarnya. Untuk melakukan ini, kami menggunakan kaedah menyelesaikan persamaan melalui pemfaktoran. Ternyata persamaan asal adalah bersamaan dengan set empat persamaan 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, di mana tiga daripadanya adalah linear dan satu adalah kuadratik. Mencari punca: daripada persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua - x=6, daripada yang ketiga – x = 7 , x = − 2 , daripada yang keempat – x = − 1.

Mari kita semak akar yang diperolehi. Sukar bagi kita untuk menentukan ODZ dalam kes ini, kerana untuk ini kita perlu menyelesaikan persamaan algebra darjah kelima. Ia akan menjadi lebih mudah untuk menyemak keadaan mengikut mana penyebut pecahan, yang berada di sebelah kiri persamaan, tidak boleh pergi ke sifar.

Mari kita bergilir-gilir menggantikan punca untuk pembolehubah x dalam ungkapan x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 13 + 13 + 112

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Pengesahan yang dijalankan membolehkan kita menentukan bahawa punca bagi persamaan rasional pecahan asal ialah 1 2, 6 dan − 2 .

Jawapan: 1 2 , 6 , - 2

Contoh 9

Cari punca bagi persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Penyelesaian

Mari kita mula bekerja dengan persamaan (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Mari cari akarnya. Lebih mudah untuk kita membayangkan persamaan ini sebagai satu set persamaan kuadratik dan linear 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Dan x − 2 = 0.

Kami menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik untuk mencari punca-punca. Kami memperoleh daripada persamaan pertama dua punca x = 7 ± 69 10, dan daripada yang kedua x = 2.

Agak sukar bagi kita untuk menggantikan nilai punca ke dalam persamaan asal untuk menyemak keadaan. Lebih mudah untuk menentukan ODZ bagi pembolehubah x. Dalam kes ini, ODZ bagi pembolehubah x ialah semua nombor kecuali nombor yang syaratnya dipenuhi x 2 + 5 x − 14 = 0. Kami dapat: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Sekarang mari kita semak sama ada akar yang kami temui tergolong dalam julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x.

Punca-punca x = 7 ± 69 10 - tergolong, oleh itu, ia adalah punca-punca persamaan asal, dan x = 2- tidak tergolong, oleh itu, ia adalah akar luar.

Jawapan: x = 7 ± 69 10 .

Mari kita periksa secara berasingan kes apabila pengangka bagi persamaan rasional pecahan bentuk p (x) q (x) = 0 mengandungi nombor. Dalam kes sedemikian, jika pengangka mengandungi nombor selain sifar, maka persamaan itu tidak akan mempunyai punca. Jika nombor ini sama dengan sifar, maka punca persamaan akan menjadi sebarang nombor daripada ODZ.

Contoh 10

Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Penyelesaian

Persamaan ini tidak akan mempunyai punca, kerana pengangka bagi pecahan di sebelah kiri persamaan mengandungi nombor bukan sifar. Ini bermakna tiada nilai x akan nilai pecahan yang diberikan dalam pernyataan masalah sama dengan sifar.

Jawapan: tiada akar.

Contoh 11

Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Penyelesaian

Oleh kerana pengangka bagi pecahan mengandungi sifar, penyelesaian kepada persamaan ialah sebarang nilai x daripada ODZ pembolehubah x.

Sekarang mari kita takrifkan ODZ. Ia akan merangkumi semua nilai x yang mana x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Penyelesaian kepada persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 Dan − 5 , kerana persamaan ini bersamaan dengan persamaan x 3 (x + 5) = 0, dan ini pula bersamaan dengan gabungan dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0, di mana akar ini kelihatan. Kami sampai pada kesimpulan bahawa julat nilai yang boleh diterima yang dikehendaki adalah sebarang x kecuali x = 0 Dan x = − 5.

Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga, iaitu sebarang nombor selain sifar dan - 5.

Jawapan: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sekarang mari kita bercakap tentang persamaan rasional pecahan bentuk arbitrari dan kaedah untuk menyelesaikannya. Mereka boleh ditulis sebagai r(x) = s(x), Di mana r(x) Dan s(x)– ungkapan rasional, dan sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah pecahan. Menyelesaikan persamaan tersebut mengurangkan kepada menyelesaikan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0.

Kita sudah tahu bahawa kita boleh mendapatkan persamaan setara dengan memindahkan ungkapan dari sebelah kanan persamaan ke kiri dengan tanda yang bertentangan. Ini bermakna bahawa persamaan r(x) = s(x) adalah bersamaan dengan persamaan r (x) − s (x) = 0. Kami juga telah membincangkan cara untuk menukar ungkapan rasional kepada pecahan rasional. Terima kasih kepada ini, kita boleh mengubah persamaan dengan mudah r (x) − s (x) = 0 menjadi pecahan rasional yang sama dalam bentuk p (x) q (x) .

Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan asal r(x) = s(x) kepada persamaan bentuk p (x) q (x) = 0, yang telah kita pelajari untuk menyelesaikannya.

Ia harus diambil kira bahawa apabila membuat peralihan dari r (x) − s (x) = 0 kepada p(x)q(x) = 0 dan kemudian kepada p(x)=0 kita mungkin tidak mengambil kira pengembangan julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x.

Ia agak mungkin bahawa persamaan asal r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 akibat daripada transformasi mereka akan berhenti menjadi setara. Kemudian penyelesaian kepada persamaan p(x)=0 boleh memberi kita akar yang akan asing r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kes adalah perlu untuk menjalankan pengesahan menggunakan mana-mana kaedah yang diterangkan di atas.

Untuk memudahkan anda mempelajari topik tersebut, kami telah meringkaskan semua maklumat ke dalam algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan bagi bentuk r(x) = s(x):

kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan dengan tanda yang bertentangan dan mendapat sifar di sebelah kanan;
mengubah ungkapan asal kepada pecahan rasional p (x) q (x) , secara berurutan melaksanakan operasi dengan pecahan dan polinomial;
selesaikan persamaan p(x)=0;
Kami mengenal pasti punca luar dengan memeriksa kepunyaannya dalam ODZ atau dengan penggantian ke dalam persamaan asal.

Secara visual, rantaian tindakan akan kelihatan seperti ini:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → penyingkiran AKAR LUARAN

Contoh 12

Selesaikan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .

Penyelesaian

Mari kita beralih kepada persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Mari tukarkan ungkapan rasional pecahan di sebelah kiri persamaan kepada bentuk p (x) q (x) .

Untuk melakukan ini, kita perlu mengurangkan pecahan rasional kepada penyebut sepunya dan memudahkan ungkapan:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Untuk mencari punca-punca persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan − 2 x − 1 = 0. Kami mendapat satu akar x = - 1 2.

Apa yang perlu kita lakukan ialah menyemak menggunakan mana-mana kaedah. Mari kita lihat kedua-duanya.

Mari kita gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal. Kita dapat - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Kami telah mencapai kesamaan berangka yang betul − 1 = − 1 . Maksudnya begitu x = − 1 2 ialah punca bagi persamaan asal.

Sekarang mari kita semak melalui ODZ. Mari kita tentukan julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x. Ini akan menjadi keseluruhan set nombor, kecuali − 1 dan 0 (pada x = − 1 dan x = 0, penyebut pecahan lenyap). Akar yang kami perolehi x = − 1 2 kepunyaan ODZ. Ini bermakna ia adalah punca kepada persamaan asal.

Jawapan: − 1 2 .

Contoh 13

Cari punca-punca persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Penyelesaian

Kami sedang berurusan dengan persamaan rasional pecahan. Oleh itu, kami akan bertindak mengikut algoritma.

Mari kita gerakkan ungkapan dari sebelah kanan ke kiri dengan tanda bertentangan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Mari kita laksanakan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Kami tiba di persamaan x = 0. Punca bagi persamaan ini ialah sifar.

Mari kita semak sama ada punca ini adalah luar daripada persamaan asal. Mari kita gantikan nilai ke dalam persamaan asal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Seperti yang anda lihat, persamaan yang terhasil tidak masuk akal. Ini bermakna 0 ialah punca luar, dan persamaan rasional pecahan asal tidak mempunyai punca.

Jawapan: tiada akar.

Jika kita tidak memasukkan transformasi setara lain dalam algoritma, ini tidak bermakna ia tidak boleh digunakan. Algoritma adalah universal, tetapi ia direka untuk membantu, bukan mengehadkan.

Contoh 14

Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Penyelesaian

Cara paling mudah ialah menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang diberikan mengikut algoritma. Tetapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.

Kurangkan 7 dari sisi kanan dan kiri, kita dapat: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa ungkapan dalam penyebut di sebelah kiri mestilah sama dengan kebalikan nombor di sebelah kanan, iaitu, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Tolak 3 daripada kedua-dua belah: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Dengan analogi, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, dari mana 1 5 - x 2 = 1 3, dan kemudian 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Mari kita jalankan semakan untuk menentukan sama ada punca-punca yang ditemui ialah punca-punca persamaan asal.

Jawapan: x = ± 2

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Sekolah: Cawangan Sekolah Menengah Institusi Pendidikan Perbandaran dengan. Svyatoslavka di kampung. Vozdvizhenka

Subjek: matematik.

Kurikulum - 5 jam seminggu (di mana 3 jam adalah algebra, 2 jam adalah geometri)

Topik: Keseluruhan persamaan dan punca-puncanya. Menyelesaikan keseluruhan persamaan.

Jenis pelajaran: meningkatkan kemahiran dan kebolehan.

Objektif pelajaran:

didaktik : sistematisasi dan generalisasi, pengembangan dan pendalaman pengetahuan pelajar untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan dengan satu pembolehubah di atas darjah kedua; menyediakan pelajar untuk menggunakan pengetahuan dalam situasi tidak standard, untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu.

membangun : pembangunan keperibadian pelajar melalui kerja kreatif bebas, pembangunan inisiatif pelajar; menyediakan persekitaran motivasi yang stabil, minat dalam topik yang dipelajari; membangunkan keupayaan untuk membuat generalisasi, memilih kaedah dengan betul untuk menyelesaikan persamaan;

pendidikan: mengembangkan minat untuk belajar matematik, menyediakan pelajar untuk menggunakan pengetahuan dalam situasi yang tidak standard; memupuk kemahuan dan ketabahan untuk mencapai hasil akhir

Langkah-langkah pengajaran	Masa	Borang	Aktiviti guru	Aktiviti pelajar	Catatan
1.1.Org. sekejap (*Bahagian pengenalan dan motivasi, untuk meningkatkan aktiviti pelajar)*		(Lampiran 1)	Mentakrifkan kesediaan pelajar. Memfokuskan perhatian pelajar. Petikan moto pelajaran dan epigraf kepada pelajaran.	Mendengar, menjawab soalan, membuat kesimpulan,
1.2. Menyemak kerja rumah Pengemaskinian ilmu rujukan		Tinjauan lisan (Lampiran 2-4)	Menyelaras aktiviti murid	Berikan definisi persamaan, punca-punca persamaan, konsep menyelesaikan persamaan Mereka menyelesaikan persamaan secara lisan dan mengasingkan keseluruhan persamaan daripadanya.	pembentukan kecekapan kognitif
1.3. Penetapan matlamat dan motivasi		Perancangan	Memotivasikan pelajar Menyampaikan objektif pelajaran	Nama dan tulis topik pelajaran, tetapkan matlamat pelajaran mereka sendiri.	pembentukan kecekapan komunikatif
2.1 Sistematisasi pengetahuan. *Matlamat* : ajar penulisan rasional pendek, amalkan kebolehan membuat kesimpulan dan generalisasi		(Lampiran 5)	Memberi contoh keseluruhan persamaan pelbagai jenis.	Mereka mendengar, menjawab soalan, membuat kesimpulan, dan menerangkan cara menyelesaikan keseluruhan persamaan. Susun dan tulis ringkasan sokongan untuk pelajaran dalam buku nota.	pembentukan kecekapan kognitif, komunikatif dan sosial
2.2. minit pendidikan jasmani		Mengulas	Komen tentang satu set latihan mata	Murid mengulangi latihan.
2.3. Penyatuan. Menyelesaikan persamaan keseluruhan Matlamat: mengajar untuk beroperasi dengan pengetahuan, membangunkan fleksibiliti dalam menggunakan pengetahuan		Aktiviti amali (Lampiran 6)	Mengatur dan mengawal aktiviti pelajar. Menunjukkan penyelesaian yang berbeza	Mereka menyelesaikan keseluruhan persamaan dalam buku nota, menunjukkan penyelesaian di papan tulis, dan menyemak. Buat kesimpulan	Penyatuan pembentukan maklumat dan kognitif kecekapan
3.1. Merumuskan pelajaran		Refleksi (Lampiran 7)	Memotivasikan pelajar untuk merumuskan pelajaran Memberi gred.	Merumuskan bahan yang dipelajari. Mereka membuat kesimpulan. Tulis kerja rumah. Nilaikan kerja mereka	Persamaan lengkap

(Lampiran 1)

1. Detik organisasi– matlamat dan objektif pelajaran ditetapkan.

Lelaki! Anda akan mendapat pensijilan akhir dalam matematik dalam bentuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersepadu. Untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersatu, anda mesti mengetahui matematik bukan sahaja pada tahap minimum, tetapi juga menggunakan pengetahuan anda dalam situasi yang tidak standard. Dalam bahagian B dan C Peperiksaan Negeri Bersepadu, persamaan darjah yang lebih tinggi sering dijumpai. Tugas kami: sistematisasi dan generalisasi, pengembangan dan pendalaman pengetahuan untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan dengan satu pembolehubah di atas darjah kedua; persediaan untuk mengaplikasikan pengetahuan dalam situasi bukan standard, untuk Peperiksaan Negeri dan Peperiksaan Negeri Bersatu.

Motopelajaran kita: "Lebih banyak saya tahu, lebih banyak saya boleh."

Epigaph:

Siapa yang tidak perasan apa-apa

Dia tidak belajar apa-apa.

Siapa yang tidak belajar apa-apa

Dia sentiasa merengek dan bosan.

(penyair R. Seph).

Persamaan adalah masalah matematik yang paling mudah dan paling biasa. Anda telah mengumpul beberapa pengalaman dalam menyelesaikan pelbagai persamaan dan kami perlu menyusun pengetahuan kami dan memahami teknik untuk menyelesaikan persamaan bukan piawai.

U persamaan itu sendiri menarik untuk dikaji. Manuskrip terawal menunjukkan bahawa teknik untuk menyelesaikan persamaan linear diketahui di Babylon kuno dan Mesir purba. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan kira-kira 2000 tahun dahulu SM. e. orang Babylon.

Teknik dan kaedah piawai untuk menyelesaikan persamaan algebra asas adalah bahagian penting dalam menyelesaikan semua jenis persamaan.

Dalam kes paling mudah, menyelesaikan persamaan dengan satu yang tidak diketahui dibahagikan kepada dua langkah: mengubah persamaan kepada satu piawai dan menyelesaikan persamaan piawai. Adalah mustahil untuk mengalgoritkan sepenuhnya proses penyelesaian persamaan, tetapi adalah berguna untuk mengingati teknik yang paling biasa yang biasa untuk semua jenis persamaan. banyak persamaan apabila menggunakan teknik bukan piawai diselesaikan dengan lebih pendek dan lebih mudah.

Kami akan menumpukan perhatian kami kepada mereka.

(Lampiran 2)

Mengemas kini pengetahuan.

Untuk kerja rumah anda diberi tugasan untuk mengulang topik persamaan dan cara menyelesaikannya.

Ø Apakah persamaan yang dipanggil? ( Persamaan yang mengandungi pembolehubah dipanggil persamaan dengan satu pembolehubah)

Ø Apakah punca persamaan?(Nilai pembolehubah di mana persamaan bertukar menjadi berangka yang betul

kesaksamaan.)

Ø Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan?(Cari semua akarnya atau buktikan bahawa tiada akar.)

Saya cadangkan anda menyelesaikan beberapa persamaan secara lisan:

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0.01 = 0.03

e) x2 = – 25 j) 19 – c2 = 10

Beritahu saya, apa yang menyatukan persamaan ini?(pembolehubah tunggal, persamaan keseluruhan, dsb.)

Ø Apakah keseluruhan persamaan dengan satu pembolehubah dipanggil? ( Persamaan di mana sisi kiri dan kanan adalah integer

ungkapan

Ø Apakah darjah keseluruhan persamaan dipanggil?(Tahap persamaan setara bentuk P(x) = 0, di mana P(x) – polinomial

jenis standard)

Ø Berapakah bilangan punca bagi keseluruhan persamaan dengan satu pembolehubah ke-2, ke-3, ke-4, P ijazah ke(tidak lebih daripada 2, 3, 4, P)

Adakah saya tahu kaedah untuk menyelesaikan keseluruhan persamaan?

Adakah saya tahu cara menggunakan kaedah ini?

Adakah saya akan dapat menyelesaikan persamaan sendiri?

Adakah anda berasa selesa semasa pelajaran?

6. Pada “3” - persamaan jadual No. 1 + 1 daripada jadual yang tinggal.

Pada "4" - persamaan jadual No. 1 + 1 daripada mana-mana dua jadual

Pada “5” - Jadual No. 1 + 1 persamaan daripada setiap baki

meja

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

merumuskan:

Mengisi jadual penilaian kendiri

Penggredan

Di rumah: lengkapkan baki persamaan yang tidak dapat diselesaikan daripada semua jadual.

Pelajaran tentang keseluruhan persamaan dan punca-puncanya. Keseluruhan persamaan dan puncanya

“senarai semak pelajar”

Lihat kandungan dokumen "Edaran"

"ujian"

Lihat kandungan pembentangan "1"

imlak matematik

Selesaikan persamaan secara lisan:

Selesaikan persamaan:

Keseluruhan persamaan dan punca-puncanya

Objektif pelajaran:

Persamaan

Keseluruhan persamaan

10. Darjah persamaan

11. Apakah darjah persamaan itu?

12. Mari kita ulangi

13. Persamaan darjah pertama

14. Persamaan darjah ketiga

15. Selesaikan persamaan:

16. Mari kita selesaikan persamaan biquadratik:

17. Selesaikan persamaan:

18. Wujudkan surat-menyurat: Kaedah persamaan.

19. Ujian

20.

21. Kerja rumah:

Persamaan rasional: definisi dan contoh

Menyelesaikan persamaan keseluruhan

Menyelesaikan persamaan rasional pecahan

Lihat kandungan dokumen
"Edaran"

Lihat kandungan pembentangan
"1"