Kaedah grafik terdiri daripada membina satu set penyelesaian yang boleh diterima kepada PLP, dan mencari dalam set ini titik yang sepadan dengan fungsi objektif maks/min.

Disebabkan oleh kemungkinan terhad bagi perwakilan grafik visual, kaedah ini hanya digunakan untuk sistem ketaksamaan linear dengan dua yang tidak diketahui dan sistem yang boleh dikurangkan kepada bentuk ini.

Untuk menunjukkan kaedah grafik dengan jelas, mari kita selesaikan masalah berikut:

1. Pada peringkat pertama, adalah perlu untuk membina kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan. Untuk contoh ini, adalah paling mudah untuk memilih X2 untuk absis, dan X1 untuk ordinat dan menulis ketaksamaan dalam bentuk berikut:

Oleh kerana kedua-dua graf dan kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan adalah pada suku pertama. Untuk mencari titik sempadan, kita menyelesaikan persamaan (1)=(2), (1)=(3) dan (2)=(3).

Seperti yang dapat dilihat daripada ilustrasi, polihedron ABCDE membentuk kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan.

Jika kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan tidak ditutup, maka sama ada max(f)=+ ?, atau min(f)= -?.

2. Sekarang kita boleh terus mencari maksimum fungsi f.

Dengan menggantikan koordinat bucu polihedron secara bergilir-gilir ke dalam fungsi f dan membandingkan nilai, kita dapati bahawa f(C)=f (4; 1)=19 ialah maksimum bagi fungsi tersebut.

Pendekatan ini agak berfaedah dengan bilangan bucu yang kecil. Tetapi prosedur ini boleh mengambil masa yang lama jika terdapat banyak bucu.

Dalam kes ini, adalah lebih mudah untuk mempertimbangkan garis aras dalam bentuk f=a. Dengan peningkatan monotonik dalam bilangan a daripada -? ke +? garis lurus f=a dianjak sepanjang vektor normal. Jika, dengan pergerakan garis aras sedemikian, terdapat titik X tertentu - titik sepunya pertama bagi kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan (polyhedron ABCDE) dan garis aras, maka f(X) ialah minimum f pada set ABCDE. Jika X ialah titik persilangan terakhir bagi garis aras dan set ABCDE, maka f(X) ialah maksimum pada set penyelesaian yang boleh dilaksanakan. Jika untuk a>-? garis lurus f=a memotong set penyelesaian yang boleh dilaksanakan, kemudian min(f)= -?. Jika ini berlaku untuk a>+?, maka max(f)=+?.

Salah satu kaedah yang paling mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik ialah kaedah grafik. Dalam artikel ini kita akan melihat bagaimana ketaksamaan kuadratik diselesaikan secara grafik. Pertama, mari kita bincangkan apakah intipati kaedah ini. Seterusnya, kami akan membentangkan algoritma dan mempertimbangkan contoh penyelesaian ketaksamaan kuadratik secara grafik.

Navigasi halaman.

Intipati kaedah grafik

sama sekali kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah digunakan bukan sahaja untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, tetapi juga jenis ketaksamaan lain. Intipati kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan seterusnya: pertimbangkan fungsi y=f(x) dan y=g(x), yang sepadan dengan sisi kiri dan kanan ketaksamaan, bina grafnya dalam satu sistem koordinat segi empat tepat dan ketahui pada selang berapa graf satu daripada mereka lebih rendah atau lebih tinggi daripada yang lain. Mereka selang di mana

• graf fungsi f di atas graf fungsi g ialah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)>g(x) ;
• graf fungsi f tidak lebih rendah daripada graf fungsi g adalah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)≥g(x) ;
• graf f di bawah graf g ialah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)
• graf fungsi f tidak lebih tinggi daripada graf fungsi g adalah penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)≤g(x) .

Kami juga akan mengatakan bahawa absis bagi titik persilangan graf bagi fungsi f dan g ialah penyelesaian kepada persamaan f(x)=g(x) .

Mari kita pindahkan keputusan ini kepada kes kita - untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Kami memperkenalkan dua fungsi: yang pertama y=a x 2 +b x+c (dengan f(x)=a x 2 +b x+c) sepadan dengan sebelah kiri ketaksamaan kuadratik, yang kedua y=0 (dengan g ( x)=0 ) sepadan dengan bahagian kanan ketaksamaan. Jadual fungsi kuadratik f ialah parabola dan graf fungsi tetap g – garis lurus bertepatan dengan paksi absis Lembu.

Seterusnya, mengikut kaedah grafik untuk menyelesaikan ketaksamaan, adalah perlu untuk menganalisis pada selang berapa graf satu fungsi terletak di atas atau di bawah yang lain, yang akan membolehkan kita menulis penyelesaian yang dikehendaki kepada ketaksamaan kuadratik. Dalam kes kita, kita perlu menganalisis kedudukan parabola berbanding paksi Lembu.

Bergantung pada nilai pekali a, b dan c, enam pilihan berikut adalah mungkin (untuk keperluan kami, perwakilan skematik adalah mencukupi, dan kami tidak perlu menggambarkan paksi Oy, kerana kedudukannya tidak mempengaruhi penyelesaian kepada ketidaksamaan):

Dalam lukisan ini kita melihat parabola, cawangannya diarahkan ke atas, dan yang bersilang dengan paksi Lembu pada dua titik, absisnya ialah x 1 dan x 2. Lukisan ini sepadan dengan pilihan apabila pekali a adalah positif (ia bertanggungjawab untuk arah atas cawangan parabola), dan apabila nilainya positif diskriminasi bagi trinomial kuadratik a x 2 +b x+c (dalam kes ini, trinomial mempunyai dua punca, yang kami nyatakan sebagai x 1 dan x 2, dan kami mengandaikan bahawa x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Untuk kejelasan, mari kita gambarkan dalam warna merah bahagian parabola yang terletak di atas paksi-x, dan dalam warna biru - yang terletak di bawah paksi-x.


Sekarang mari kita ketahui selang yang sesuai dengan bahagian ini. Lukisan berikut akan membantu anda mengenal pasti mereka (pada masa hadapan kami akan membuat pilihan yang serupa dalam bentuk segi empat tepat secara mental):


Jadi pada paksi absis dua selang (−∞, x 1) dan (x 2 , +∞) diserlahkan dengan warna merah, pada mereka parabola berada di atas paksi Ox, ia membentuk penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x +c>0 , dan selang (x 1 , x 2) diserlahkan dengan warna biru, terdapat parabola di bawah paksi Ox, ia mewakili penyelesaian kepada ketaksamaan a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Dan sekarang secara ringkas: untuk a>0 dan D=b 2 −4 a c>0 (atau D"=D/4>0 untuk pekali genap b)

• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c>0 ialah (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) atau dalam tatatanda x yang lain x2;
• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c≥0 ialah (−∞, x 1 ]∪ atau dalam tatatanda lain x 1 ≤x≤x 2 ,

dengan x 1 dan x 2 ialah punca bagi trinomial segi empat sama a x 2 +b x+c, dan x 1


Di sini kita melihat parabola, cabang-cabangnya diarahkan ke atas, dan yang menyentuh paksi absis, iaitu, ia mempunyai satu titik sepunya dengannya, kita menandakan absis titik ini sebagai x 0. Kes yang dibentangkan sepadan dengan a> 0 (cawangan diarahkan ke atas) dan D=0 (trinomial segi empat sama mempunyai satu punca x 0). Sebagai contoh, anda boleh mengambil fungsi kuadratik y=x 2 −4·x+4, di sini a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 dan x 0 =2.

Lukisan jelas menunjukkan bahawa parabola terletak di atas paksi Ox di mana-mana kecuali titik sentuhan, iaitu, pada selang (−∞, x 0), (x 0, ∞). Untuk kejelasan, mari kita serlahkan kawasan dalam lukisan dengan analogi dengan perenggan sebelumnya.


Kami membuat kesimpulan: untuk a>0 dan D=0

• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c>0 ialah (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) atau dalam tatatanda lain x≠x 0;
• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c≥0 ialah (−∞, +∞) atau dalam tatatanda lain x∈R ;
• ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• ketaksamaan kuadratik a x 2 +b x+c≤0 mempunyai penyelesaian unik x=x 0 (ia diberikan oleh titik tangen),

dengan x 0 ialah punca bagi segi tiga segi tiga a x 2 + b x + c.


Dalam kes ini, cabang parabola diarahkan ke atas, dan ia tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi absis. Di sini kita mempunyai syarat a>0 (cawangan diarahkan ke atas) dan D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Jelas sekali, parabola terletak di atas paksi Lembu di sepanjang keseluruhan panjangnya (tiada selang di mana ia berada di bawah paksi Lembu, tiada titik tangen).


Oleh itu, untuk a>0 dan D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 dan a x 2 +b x+c≥0 ialah set semua nombor nyata, dan ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Dan masih terdapat tiga pilihan untuk lokasi parabola dengan cawangan diarahkan ke bawah, bukan ke atas, berbanding dengan paksi Lembu. Pada dasarnya, mereka tidak perlu dipertimbangkan, kerana mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1 membolehkan kita pergi ke ketaksamaan setara dengan pekali positif untuk x 2. Tetapi masih tidak rugi untuk mendapatkan idea tentang kes-kes ini. Alasan di sini adalah serupa, jadi kami akan menulis hanya hasil utama.

Algoritma penyelesaian

Hasil daripada semua pengiraan sebelum ini ialah algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik secara grafik:

Lukisan skematik dibuat pada satah koordinat, yang menggambarkan paksi Lembu (ia tidak perlu untuk menggambarkan paksi Oy) dan lakaran parabola yang sepadan dengan fungsi kuadratik y=a·x 2 +b·x+c. Untuk melukis lakaran parabola, cukup untuk menjelaskan dua perkara:

• Pertama, dengan nilai pekali a ia ditentukan ke mana cawangannya diarahkan (untuk a>0 - ke atas, untuk a<0 – вниз).
• Dan kedua, berdasarkan nilai diskriminasi trinomial segi empat sama a x 2 + b x + c, ditentukan sama ada parabola bersilang dengan paksi absis pada dua titik (untuk D>0), menyentuhnya pada satu titik (untuk D= 0), atau tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi Ox (di D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Apabila lukisan sudah siap, gunakannya dalam langkah kedua algoritma

  • apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c>0, selang ditentukan di mana parabola terletak di atas absis;
  • apabila menyelesaikan ketaksamaan a·x 2 +b·x+c≥0, selang di mana parabola terletak di atas paksi absis ditentukan dan absis titik persilangan (atau absis titik tangen) ditambah kepada mereka;
  • apabila menyelesaikan ketaksamaan a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • akhirnya, apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dalam bentuk a·x 2 +b·x+c≤0, selang ditemui di mana parabola berada di bawah paksi Ox dan absis titik persilangan (atau absis titik tangen ) ditambah kepada mereka;

  ia membentuk penyelesaian yang dikehendaki kepada ketaksamaan kuadratik, dan jika tiada selang sedemikian dan tiada titik tangen, maka ketaksamaan kuadratik asal tidak mempunyai penyelesaian.

Yang tinggal hanyalah menyelesaikan beberapa ketaksamaan kuadratik menggunakan algoritma ini.

Contoh dengan penyelesaian

Contoh.

Selesaikan ketidaksamaan .

Penyelesaian.

Kita perlu menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, mari kita gunakan algoritma dari perenggan sebelumnya. Dalam langkah pertama kita perlu melukis lakaran graf fungsi kuadratik . Pekali x 2 adalah sama dengan 2, ia adalah positif, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke atas. Mari kita ketahui sama ada parabola mempunyai titik sepunya dengan paksi-x; untuk melakukan ini, kita akan mengira diskriminasi trinomial kuadratik . Kami ada . Diskriminasi ternyata lebih besar daripada sifar, oleh itu, trinomial mempunyai dua punca sebenar: Dan , iaitu x 1 =−3 dan x 2 =1/3.

Daripada ini adalah jelas bahawa parabola bersilang paksi Lembu pada dua titik dengan abscissas -3 dan 1/3. Kami akan menggambarkan mata ini dalam lukisan sebagai mata biasa, kerana kami sedang menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat. Berdasarkan data yang dijelaskan, kami memperoleh lukisan berikut (ia sesuai dengan templat pertama dari perenggan pertama artikel):

Mari kita beralih ke langkah kedua algoritma. Oleh kerana kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik tidak ketat dengan tanda ≤, kita perlu menentukan selang di mana parabola terletak di bawah absis dan menambah kepada mereka absis titik persilangan.

Daripada lukisan itu jelas bahawa parabola berada di bawah paksi-x pada selang (−3, 1/3) dan padanya kita menambah absis titik persilangan, iaitu nombor -3 dan 1/3. Akibatnya, kita tiba pada selang berangka [−3, 1/3] . Inilah penyelesaian yang kami cari. Ia boleh ditulis sebagai ketaksamaan berganda −3≤x≤1/3.

Jawapan:

[−3, 1/3] atau −3≤x≤1/3 .

Contoh.

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik −x 2 +16 x−63<0 .

Penyelesaian.

Seperti biasa, kita mulakan dengan lukisan. Pekali berangka untuk kuasa dua pembolehubah adalah negatif, -1, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke bawah. Mari kita hitung diskriminasi, atau lebih baik lagi, bahagian keempatnya: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Nilainya positif, mari kita hitung punca trinomial kuasa dua: Dan , x 1 =7 dan x 2 =9. Jadi parabola bersilang dengan paksi Ox pada dua titik dengan abscissas 7 dan 9 (ketaksamaan asal adalah ketat, jadi kita akan menggambarkan titik ini dengan pusat kosong Sekarang kita boleh membuat lukisan skematik:

Memandangkan kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang ketat dengan tanda<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Lukisan menunjukkan bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik asal ialah dua selang (−∞, 7) , (9, +∞) .

Jawapan:

(−∞, 7)∪(9, +∞) atau dalam tatatanda x yang lain<7 , x>9 .

Apabila menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, apabila diskriminasi bagi trinomial kuadratik di sebelah kirinya ialah sifar, anda perlu berhati-hati untuk memasukkan atau mengecualikan absis titik tangen daripada jawapan. Ini bergantung pada tanda ketidaksamaan: jika ketidaksamaan adalah ketat, maka ia bukan penyelesaian kepada ketidaksamaan, tetapi jika ia tidak ketat, maka ia adalah.

Contoh.

Adakah ketaksamaan kuadratik 10 x 2 −14 x+4.9≤0 mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian?

Penyelesaian.

Mari kita plot fungsi y=10 x 2 −14 x+4.9. Cawangannya diarahkan ke atas, kerana pekali x 2 adalah positif, dan ia menyentuh paksi absis pada titik dengan absis 0.7, kerana D"=(−7) 2 −10 4.9=0, dari mana atau 0.7 dalam bentuk daripada pecahan perpuluhan Secara skema ia kelihatan seperti ini:

Oleh kerana kita sedang menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dengan tanda ≤, penyelesaiannya ialah selang di mana parabola berada di bawah paksi Ox, serta absis titik tangen. Daripada lukisan itu adalah jelas bahawa tidak ada satu jurang di mana parabola akan berada di bawah paksi Lembu, jadi penyelesaiannya hanya akan menjadi absis titik tangen, iaitu, 0.7.

Jawapan:

ketaksamaan ini mempunyai penyelesaian unik 0.7.

Contoh.

Selesaikan ketaksamaan kuadratik –x 2 +8 x−16<0 .

Penyelesaian.

Kami mengikuti algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik dan mulakan dengan membina graf. Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, kerana pekali x 2 adalah negatif, -1. Mari kita cari diskriminasi bagi trinomial kuasa dua –x 2 +8 x−16, kita ada D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 dan seterusnya x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Jadi, parabola menyentuh paksi Lembu di titik absis 4. Mari buat lukisan:

Kami melihat tanda ketidaksamaan asal, ia ada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Dalam kes kami, ini adalah sinar terbuka (−∞, 4) , (4, +∞) . Secara berasingan, kami perhatikan bahawa 4 - absis titik sentuhan - bukan penyelesaian, kerana pada titik sentuhan parabola tidak lebih rendah daripada paksi Lembu.

Jawapan:

(−∞, 4)∪(4, +∞) atau dalam tatatanda lain x≠4 .

Beri perhatian khusus kepada kes di mana diskriminasi trinomial kuadratik di sebelah kiri ketaksamaan kuadratik adalah kurang daripada sifar. Tidak perlu tergesa-gesa di sini dan mengatakan bahawa ketidaksamaan tidak mempunyai penyelesaian (kita sudah biasa membuat kesimpulan sedemikian untuk persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif). Intinya ialah ketaksamaan kuadratik untuk D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Contoh.

Cari penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik 3 x 2 +1>0.

Penyelesaian.

Seperti biasa, kita mulakan dengan lukisan. Pekali a ialah 3, ia adalah positif, oleh itu, cawangan parabola diarahkan ke atas. Kami mengira diskriminasi: D=0 2 −4·3·1=−12 . Oleh kerana diskriminasi adalah negatif, parabola tidak mempunyai titik sepunya dengan paksi Lembu. Maklumat yang diperolehi adalah mencukupi untuk graf skematik:

Kami menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang ketat dengan tanda >. Penyelesaiannya ialah semua selang di mana parabola berada di atas paksi Lembu. Dalam kes kami, parabola berada di atas paksi-x sepanjang keseluruhan panjangnya, jadi penyelesaian yang dikehendaki ialah set semua nombor nyata.

Lembu , dan juga kepada mereka anda perlu menambah absis titik persilangan atau absis titik tangen. Tetapi dari lukisan itu jelas kelihatan bahawa tiada selang seperti itu (kerana parabola berada di mana-mana di bawah paksi absis), sama seperti tiada titik persilangan, sama seperti tiada titik tangen. Oleh itu, ketaksamaan kuadratik asal tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan:

tiada penyelesaian atau dalam entri lain ∅.

Rujukan.

• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: darjah 9: pendidikan. untuk pendidikan am institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 8. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 9. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-13, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra dan permulaan analisis matematik. darjah 11. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am (peringkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ed. ke-2, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Kaedah grafik adalah salah satu kaedah utama untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik. Dalam artikel itu kami akan membentangkan algoritma untuk menggunakan kaedah grafik, dan kemudian mempertimbangkan kes khas menggunakan contoh.

Intipati kaedah grafik

Kaedah ini boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang ketaksamaan, bukan sahaja yang kuadratik. Intipatinya ialah ini: bahagian kanan dan kiri ketaksamaan dianggap sebagai dua fungsi berasingan y = f (x) dan y = g (x), graf mereka diplot dalam sistem koordinat segi empat tepat dan lihat graf mana yang terletak di atas yang lain, dan pada selang mana. Selang dianggarkan seperti berikut:

Definisi 1

• penyelesaian kepada ketaksamaan f (x) > g (x) ialah selang di mana graf fungsi f lebih tinggi daripada graf fungsi g;
• penyelesaian kepada ketaksamaan f (x) ≥ g (x) ialah selang di mana graf fungsi f tidak lebih rendah daripada graf fungsi g;
• penyelesaian kepada ketaksamaan f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• penyelesaian kepada ketaksamaan f (x) ≤ g (x) ialah selang di mana graf fungsi f tidak lebih tinggi daripada graf fungsi g;
• Absis bagi titik persilangan graf bagi fungsi f dan g ialah penyelesaian kepada persamaan f (x) = g (x).

Mari kita lihat algoritma di atas menggunakan contoh. Untuk melakukan ini, ambil ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) dan terbitkan dua fungsi daripadanya. Bahagian kiri ketaksamaan akan sepadan dengan y = a · x 2 + b · x + c (dalam kes ini f (x) = a · x 2 + b · x + c), dan bahagian kanan y = 0 ( dalam kes ini g (x) = 0).

Graf fungsi pertama ialah parabola, yang kedua ialah garis lurus, yang bertepatan dengan paksi-x Lembu. Mari kita analisa kedudukan parabola berbanding paksi O x. Untuk melakukan ini, mari buat lukisan skematik.

Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Ia bersilang dengan paksi O x pada titik x 1 Dan x 2. Pekali a dalam kes ini adalah positif, kerana ia adalah yang bertanggungjawab untuk arah cabang parabola. Diskriminasi adalah positif, menunjukkan bahawa trinomial kuadratik mempunyai dua punca a x 2 + b x + c. Kami menandakan akar trinomial sebagai x 1 Dan x 2, dan itu diterima x 1< x 2 , kerana titik dengan absis digambarkan pada paksi O x x 1 di sebelah kiri titik absis x 2.

Bahagian parabola yang terletak di atas paksi O x akan dilambangkan dengan warna merah, di bawah - dengan warna biru. Ini akan membolehkan kami menjadikan lukisan lebih visual.

Mari pilih ruang yang sepadan dengan bahagian ini dan tandakannya dalam rajah dengan medan warna tertentu.

Kami menandakan dengan warna merah selang (− ∞, x 1) dan (x 2, + ∞), pada mereka parabola berada di atas paksi O x. Mereka ialah a · x 2 + b · x + c > 0. Kami menandakan dengan warna biru selang (x 1 , x 2) , yang merupakan penyelesaian kepada ketaksamaan a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Mari kita buat ringkasan ringkas penyelesaiannya. Untuk a > 0 dan D = b 2 − 4 a c > 0 (atau D " = D 4 > 0 untuk pekali genap b) kita dapat:

• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c > 0 ialah (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) atau dalam tatatanda x yang lain< x 1 , x >x2;
• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a · x 2 + b · x + c ≥ 0 ialah (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c ≤ 0 ialah [ x 1 , x 2 ] atau dalam tatatanda lain x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

dengan x 1 dan x 2 ialah punca bagi trinomial kuadratik a · x 2 + b · x + c, dan x 1< x 2 .

Dalam rajah ini, parabola menyentuh paksi O x hanya pada satu titik, yang ditetapkan sebagai x 0 a > 0. D=0, oleh itu, trinomial kuasa dua mempunyai satu punca x 0.

Parabola terletak di atas paksi O x sepenuhnya, dengan pengecualian titik tangen paksi koordinat. Mari kita warnai selang (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Mari kita tulis hasilnya. Pada a > 0 Dan D=0:

• menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c > 0 ialah (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ≠ x 0;
• menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c ≥ 0 ialah (− ∞ , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ∈ R;
• ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c< 0 tidak mempunyai penyelesaian (tiada selang di mana parabola terletak di bawah paksi O x);
• ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c ≤ 0 mempunyai penyelesaian yang unik x = x 0(ia diberikan oleh titik hubungan),

di mana x 0- punca trinomial segi empat sama a x 2 + b x + c.

Mari kita pertimbangkan kes ketiga, apabila cabang parabola diarahkan ke atas dan tidak menyentuh paksi O x. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, yang bermaksud itu a > 0. Trinomial kuasa dua tidak mempunyai punca sebenar kerana D< 0 .

Tiada selang pada graf di mana parabola akan berada di bawah paksi-x. Kami akan mengambil kira ini apabila memilih warna untuk lukisan kami.

Ternyata apabila a > 0 Dan D< 0 menyelesaikan ketaksamaan kuadratik a x 2 + b x + c > 0 Dan a x 2 + b x + c ≥ 0 ialah set semua nombor nyata, dan ketaksamaan a x 2 + b x + c< 0 Dan a x 2 + b x + c ≤ 0 tiada penyelesaian.

Kami mempunyai tiga pilihan yang tinggal untuk dipertimbangkan apabila cabang parabola diarahkan ke bawah. Tidak perlu memikirkan ketiga-tiga pilihan ini secara terperinci, kerana apabila kita mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan - 1, kita memperoleh ketaksamaan setara dengan pekali positif untuk x 2.

Pertimbangan bahagian sebelumnya artikel menyediakan kami untuk persepsi algoritma untuk menyelesaikan ketidaksamaan menggunakan kaedah grafik. Untuk menjalankan pengiraan, kita perlu menggunakan lukisan setiap kali, yang akan menggambarkan garis koordinat O x dan parabola yang sepadan dengan fungsi kuadratik. y = a x 2 + b x + c. Dalam kebanyakan kes, kami tidak akan menggambarkan paksi O y, kerana ia tidak diperlukan untuk pengiraan dan hanya akan membebankan lukisan.

Untuk membina parabola, kita perlu mengetahui dua perkara:

Definisi 2

• arah cawangan, yang ditentukan oleh nilai pekali a;
• kehadiran titik persilangan parabola dan paksi absis, yang ditentukan oleh nilai diskriminasi trinomial kuadratik a · x 2 + b · x + c .

Kami akan menandakan titik persilangan dan tangen dengan cara biasa apabila menyelesaikan ketaksamaan yang tidak ketat dan kosong apabila menyelesaikan yang ketat.

Mempunyai lukisan yang lengkap membolehkan anda meneruskan ke langkah penyelesaian seterusnya. Ia melibatkan penentuan selang di mana parabola terletak di atas atau di bawah paksi O x. Selang dan titik persilangan ialah penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik. Sekiranya tiada titik persilangan atau tangen dan tiada selang, maka dianggap ketidaksamaan yang dinyatakan dalam keadaan masalah tidak mempunyai penyelesaian.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa ketaksamaan kuadratik menggunakan algoritma di atas.

Contoh 1

Ia adalah perlu untuk menyelesaikan ketaksamaan 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 secara grafik.

Penyelesaian

Mari kita lukis graf bagi fungsi kuadratik y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Pekali pada x 2 positif kerana ia adalah sama 2 . Ini bermakna bahawa cabang parabola akan diarahkan ke atas.

Mari kita hitungkan diskriminasi bagi trinomial kuadratik 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 untuk mengetahui sama ada parabola mempunyai titik sepunya dengan paksi absis. Kami mendapat:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Seperti yang kita lihat, D lebih besar daripada sifar, oleh itu, kita mempunyai dua titik persilangan: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 dan x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, iaitu, x 1 = − 3 Dan x 2 = 1 3.

Kami menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat, oleh itu kami meletakkan mata biasa pada graf. Mari kita lukis parabola. Seperti yang anda lihat, lukisan mempunyai rupa yang sama seperti dalam templat pertama yang kami pertimbangkan.

Ketaksamaan kita mempunyai tanda ≤. Oleh itu, kita perlu menyerlahkan selang pada graf di mana parabola terletak di bawah paksi O x dan menambah titik persilangan padanya.

Selang yang kita perlukan ialah 3, 1 3. Kami menambah titik persilangan padanya dan mendapatkan segmen berangka − 3, 1 3. Ini adalah penyelesaian kepada masalah kami. Jawapannya boleh ditulis sebagai ketaksamaan berganda: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Jawapan:− 3 , 1 3 atau − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Contoh 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 kaedah grafik.

Penyelesaian

Kuasa dua pembolehubah mempunyai pekali berangka negatif, jadi cabang parabola akan diarahkan ke bawah. Mari kita hitung bahagian keempat diskriminasi D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Keputusan ini memberitahu kita bahawa akan terdapat dua titik persimpangan.

Mari kita hitung punca bagi trinomial kuasa dua: x 1 = - 8 + 1 - 1 dan x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 dan x 2 = 9.

Ternyata parabola itu bersilang dengan paksi-x pada titik-titik tersebut 7 Dan 9 . Mari kita tandai titik ini pada graf sebagai kosong, kerana kita bekerja dengan ketaksamaan yang ketat. Selepas ini, lukis parabola yang bersilang dengan paksi O x pada titik yang ditanda.

Kami akan berminat dengan selang di mana parabola terletak di bawah paksi O x. Mari tandakan selang ini dengan warna biru.

Kami mendapat jawapan: penyelesaian kepada ketaksamaan ialah selang (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Jawapan:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) atau dalam tatatanda x yang lain< 7 , x > 9 .

Dalam kes di mana diskriminasi trinomial kuadratik adalah sifar, adalah perlu untuk mempertimbangkan dengan teliti sama ada untuk memasukkan absis titik tangen dalam jawapan. Untuk membuat keputusan yang betul, adalah perlu untuk mengambil kira tanda ketidaksamaan. Dalam ketaksamaan yang ketat, titik tangen bagi paksi-x bukanlah penyelesaian kepada ketaksamaan, tetapi dalam yang tidak ketat ia adalah.

Contoh 3

Selesaikan ketaksamaan kuadratik 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 kaedah grafik.

Penyelesaian

Cawangan parabola dalam kes ini akan diarahkan ke atas. Ia akan menyentuh paksi O x pada titik 0, 7, sejak

Mari kita plot fungsi y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Cawangannya diarahkan ke atas, kerana pekali pada x 2 positif, dan ia menyentuh paksi-x pada titik paksi-x 0 , 7 , kerana D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, dari mana x 0 = 7 10 atau 0 , 7 .

Mari kita letak titik dan lukis parabola.

Kami menyelesaikan ketidaksamaan yang tidak ketat dengan tanda ≤. Oleh itu. Kami akan berminat dengan selang di mana parabola terletak di bawah paksi-x dan titik tangen. Tiada selang dalam angka yang akan memenuhi syarat kami. Hanya ada titik hubungan 0, 7. Inilah penyelesaian yang kami cari.

Jawapan: Ketaksamaan hanya mempunyai satu penyelesaian 0, 7.

Contoh 4

Selesaikan ketaksamaan kuadratik – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Penyelesaian

Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Diskriminasi adalah sifar. Titik persimpangan x 0 = 4.

Kami menandakan titik tangen pada paksi-x dan melukis parabola.

Kami sedang berhadapan dengan ketidaksamaan yang teruk. Akibatnya, kami berminat dengan selang di mana parabola terletak di bawah paksi O x. Mari tandakan mereka dengan warna biru.

Titik dengan absis 4 bukan penyelesaian, kerana parabola padanya tidak terletak di bawah paksi O x. Akibatnya, kita mendapat dua selang (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Jawapan: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) atau dalam tatatanda lain x ≠ 4 .

Tidak selalu, jika nilai diskriminasi adalah negatif, ketidaksamaan tidak akan mempunyai penyelesaian. Terdapat kes apabila penyelesaian adalah set semua nombor nyata.

Contoh 5

Selesaikan ketaksamaan kuadratik 3 x 2 + 1 > 0 secara grafik.

Penyelesaian

Pekali a adalah positif. Diskriminasi adalah negatif. Cawangan parabola akan diarahkan ke atas. Tiada titik persilangan parabola dengan paksi O x. Mari lihat lukisan itu.

Kami bekerja dengan ketidaksamaan yang ketat, yang mempunyai tanda >. Ini bermakna kita berminat dengan selang di mana parabola terletak di atas paksi-x. Ini betul-betul berlaku apabila jawapannya ialah set semua nombor nyata.

Jawapan:(− ∞, + ∞) atau lebih x ∈ R.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 secara grafik.

Penyelesaian

Cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah. Diskriminasi adalah negatif, oleh itu, tiada titik sepunya antara parabola dan paksi-x. Mari lihat lukisan itu.

Kami sedang bekerja dengan ketaksamaan tidak ketat dengan tanda ≥, oleh itu, selang di mana parabola terletak di atas paksi-x adalah menarik minat kami. Berdasarkan graf, tiada jurang sedemikian. Ini bermakna ketidaksamaan yang diberikan dalam keadaan masalah tidak mempunyai penyelesaian.

Jawapan: Tiada penyelesaian.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Tahap kemasukan

Menyelesaikan persamaan, ketaksamaan, sistem menggunakan graf fungsi. Panduan Visual (2019)

Banyak tugasan yang biasa kami kira secara algebra boleh diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih pantas menggunakan graf fungsi akan membantu kami dalam hal ini. Anda berkata "bagaimana boleh?" melukis sesuatu, dan apa yang perlu dilukis? Percayalah, kadang-kadang ia lebih mudah dan lebih mudah. Adakah kita mulakan? Mari kita mulakan dengan persamaan!

Penyelesaian grafik persamaan

Penyelesaian grafik persamaan linear

Seperti yang anda sedia maklum, graf bagi persamaan linear ialah garis lurus, maka nama jenis ini. Persamaan linear agak mudah untuk diselesaikan secara algebra - kami memindahkan semua yang tidak diketahui ke satu bahagian persamaan, semua yang kami tahu kepada yang lain dan voila! Kami menemui akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda bagaimana untuk melakukannya secara grafik.

Jadi anda mempunyai persamaan:

Bagaimana untuk menyelesaikannya?
Pilihan 1, dan yang paling biasa ialah memindahkan yang tidak diketahui ke satu pihak dan yang diketahui ke pihak yang lain, kita dapat:

Sekarang mari kita bina. Apa yang awak dapat?

Pada pendapat anda, apakah punca persamaan kita? Betul, koordinat titik persilangan graf ialah:

Jawapan kami ialah

Itulah keseluruhan kebijaksanaan penyelesaian grafik. Seperti yang anda boleh semak dengan mudah, punca persamaan kami ialah nombor!

Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah pilihan yang paling biasa, hampir dengan penyelesaian algebra, tetapi anda boleh menyelesaikannya dengan cara lain. Untuk mempertimbangkan penyelesaian alternatif, mari kita kembali kepada persamaan kita:

Kali ini kami tidak akan memindahkan apa-apa dari sisi ke sisi, tetapi akan membina graf secara langsung, seperti sekarang:

dibina? Jom tengok!

Apakah penyelesaian kali ini? betul tu. Perkara yang sama - koordinat titik persilangan graf:

Dan, sekali lagi, jawapan kami ialah.

Seperti yang anda lihat, dengan persamaan linear semuanya sangat mudah. Sudah tiba masanya untuk melihat sesuatu yang lebih kompleks... Contohnya, penyelesaian grafik persamaan kuadratik.

Penyelesaian grafik persamaan kuadratik

Jadi, sekarang mari kita mulakan penyelesaian persamaan kuadratik. Katakan anda perlu mencari punca-punca persamaan ini:

Sudah tentu, anda kini boleh mula mengira melalui diskriminasi, atau mengikut teorem Vieta, tetapi ramai orang, kerana gugup, membuat kesilapan apabila mendarab atau mengkuadratkan, terutamanya jika contoh adalah dengan nombor yang besar, dan, seperti yang anda tahu, anda menang 't have a calculator for the exam... Oleh itu, mari cuba berehat sedikit dan melukis semasa menyelesaikan persamaan ini.

Penyelesaian kepada persamaan ini boleh didapati secara grafik dalam pelbagai cara. Mari lihat pilihan yang berbeza, dan anda boleh memilih mana yang paling anda sukai.

Kaedah 1. Secara langsung

Kami hanya membina parabola menggunakan persamaan ini:

Untuk melakukan ini dengan cepat, saya akan memberi anda sedikit petunjuk: Ia adalah mudah untuk memulakan pembinaan dengan menentukan puncak parabola. Formula berikut akan membantu menentukan koordinat bucu parabola:

Anda akan berkata "Berhenti! Formula untuk adalah sangat serupa dengan formula untuk mencari diskriminasi," ya, memang, dan ini adalah kelemahan besar "secara langsung" membina parabola untuk mencari akarnya. Walau bagaimanapun, mari kita mengira sehingga akhir, dan kemudian saya akan menunjukkan kepada anda cara melakukannya dengan lebih mudah (jauh!)!

Adakah anda mengira? Apakah koordinat yang anda perolehi untuk bucu parabola? Mari kita fikirkan bersama-sama:

Jawapan yang sama? Syabas! Dan sekarang kita sudah tahu koordinat puncak, tetapi untuk membina parabola kita memerlukan lebih banyak... mata. Berapa banyak mata minimum yang anda fikir kami perlukan? Betul, .

Anda tahu bahawa parabola adalah simetri tentang bucunya, sebagai contoh:

Sehubungan itu, kita memerlukan dua lagi titik di cawangan kiri atau kanan parabola, dan pada masa akan datang kita akan mencerminkan titik-titik ini secara simetri di sisi yang bertentangan:

Mari kita kembali kepada parabola kita. Untuk kes kami, tempoh. Kita perlukan dua lagi mata, jadi kita boleh ambil yang positif, atau kita boleh ambil yang negatif? Mata yang manakah paling sesuai untuk anda? Lebih mudah bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan mengira pada dan.

Sekarang kita mempunyai tiga mata, kita boleh membina parabola kita dengan mudah dengan mencerminkan dua titik terakhir berbanding puncaknya:

Pada pendapat anda, apakah penyelesaian kepada persamaan tersebut? Betul, titik di mana, iaitu, dan. Kerana.

Dan jika kita berkata begitu, ia bermakna ia juga mesti sama, atau.

Cuma? Kami telah selesai menyelesaikan persamaan dengan anda dengan cara grafik yang kompleks, atau akan ada lebih banyak lagi!

Sudah tentu, anda boleh menyemak jawapan kami secara algebra - anda boleh mengira punca menggunakan teorem atau Diskriminasi Vieta. Apa yang awak dapat? sama ke? Anda lihat! Sekarang mari kita lihat penyelesaian grafik yang sangat mudah, saya pasti anda akan sangat menyukainya!

Kaedah 2. Terbahagi kepada beberapa fungsi

Mari kita ambil persamaan kita yang sama: , tetapi kita akan menulisnya sedikit berbeza, iaitu:

Bolehkah kita menulisnya seperti ini? Kita boleh, kerana transformasi adalah setara. Mari lihat lebih jauh.

Mari bina dua fungsi secara berasingan:

1. - graf ialah parabola ringkas, yang anda boleh bina dengan mudah walaupun tanpa mentakrifkan bucu menggunakan formula dan melukis jadual untuk menentukan titik lain.
2. - graf ialah garis lurus, yang boleh anda bina dengan mudah dengan menganggarkan nilai dalam kepala anda tanpa menggunakan kalkulator.

dibina? Mari bandingkan dengan apa yang saya dapat:

Pada pendapat anda, apakah punca-punca persamaan dalam kes ini? Betul! Koordinat yang diperolehi oleh persilangan dua graf dan, iaitu:

Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan ini ialah:

apa kata awak Setuju, kaedah penyelesaian ini lebih mudah daripada yang sebelumnya dan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminasi! Jika ya, cuba selesaikan persamaan berikut menggunakan kaedah ini:

Apa yang awak dapat? Mari bandingkan graf kami:

Graf menunjukkan bahawa jawapannya ialah:

Adakah anda berjaya? Syabas! Sekarang mari kita lihat persamaan yang lebih rumit, iaitu, menyelesaikan persamaan campuran, iaitu persamaan yang mengandungi fungsi pelbagai jenis.

Penyelesaian grafik persamaan campuran

Sekarang mari cuba selesaikan perkara berikut:

Sudah tentu, anda boleh membawa segala-galanya kepada penyebut biasa, cari punca persamaan yang terhasil, tanpa lupa untuk mengambil kira ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan cuba menyelesaikannya secara grafik, seperti yang kami lakukan dalam semua kes sebelumnya.

Kali ini mari kita bina 2 graf berikut:

1. - graf ialah hiperbola
2. - graf ialah garis lurus, yang anda boleh bina dengan mudah dengan menganggarkan nilai dalam kepala anda tanpa menggunakan kalkulator.

menyedarinya? Sekarang mula membina.

Inilah yang saya dapat:

Melihat gambar ini, beritahu saya apakah punca-punca persamaan kita?

Betul, dan. Berikut adalah pengesahannya:

Cuba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Adakah ia berkesan?

betul! Setuju, menyelesaikan persamaan sedemikian secara grafik adalah suatu keseronokan!

Cuba selesaikan persamaan secara grafik sendiri:

Saya akan memberi anda petunjuk: alihkan sebahagian daripada persamaan ke sebelah kanan supaya fungsi paling mudah untuk dibina adalah pada kedua-dua belah. Adakah anda mendapat petunjuk? Ambil tindakan!

Sekarang mari lihat apa yang anda dapat:

Masing-masing:

1. - parabola padu.
2. - garis lurus biasa.

Baiklah, mari kita bina:

Seperti yang anda tulis lama dahulu, punca persamaan ini ialah - .

Setelah meneliti sejumlah besar contoh, saya pasti anda menyedari betapa mudah dan pantasnya untuk menyelesaikan persamaan secara grafik. Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara menyelesaikan sistem dengan cara ini.

Penyelesaian grafik sistem

Sistem penyelesaian grafik pada asasnya tidak berbeza daripada persamaan penyelesaian grafik. Kami juga akan membina dua graf, dan titik persilangan mereka akan menjadi punca sistem ini. Satu graf ialah satu persamaan, graf kedua ialah persamaan lain. Semuanya sangat mudah!

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah - menyelesaikan sistem persamaan linear.

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Katakan kita mempunyai sistem berikut:

Pertama, mari kita mengubahnya supaya di sebelah kiri terdapat segala-galanya yang berkaitan, dan di sebelah kanan - semua yang berkaitan dengannya. Dengan kata lain, mari kita tulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa kita:

Sekarang kita hanya membina dua garis lurus. Apakah penyelesaian dalam kes kami? Betul! Titik persimpangan mereka! Dan di sini anda perlu berhati-hati! Fikir-fikirkan, kenapa? Izinkan saya memberi anda petunjuk: kita sedang berurusan dengan sistem: dalam sistem terdapat kedua-duanya, dan... Mendapat petunjuk?

betul! Apabila menyelesaikan sistem, kita mesti melihat kedua-dua koordinat, dan bukan hanya semasa menyelesaikan persamaan! Satu lagi perkara penting ialah menuliskannya dengan betul dan tidak mengelirukan di mana kita mempunyai makna dan di mana maknanya! Adakah anda menulisnya? Sekarang mari kita bandingkan semuanya mengikut urutan:

Dan jawapannya: dan. Lakukan pemeriksaan - gantikan akar yang ditemui ke dalam sistem dan pastikan sama ada kami menyelesaikannya dengan betul secara grafik?

Menyelesaikan sistem persamaan tak linear

Bagaimana jika, bukannya satu garis lurus, kita mempunyai persamaan kuadratik? tak apalah! Anda hanya membina parabola dan bukannya garis lurus! Tidak percaya saya? Cuba selesaikan sistem berikut:

Apakah langkah seterusnya? Betul, tuliskannya supaya mudah untuk kita membina graf:

Dan kini semuanya adalah perkara kecil - bina dengan cepat dan inilah penyelesaian anda! Kami sedang membina:

Adakah graf ternyata sama? Sekarang tandakan penyelesaian sistem dalam rajah dan tuliskan jawapan yang dikenal pasti dengan betul!

Adakah anda melakukan segala-galanya? Bandingkan dengan nota saya:

Adakah semuanya betul? Syabas! Anda sudah memecahkan jenis tugas ini seperti kacang! Jika ya, mari berikan anda sistem yang lebih rumit:

Apa yang sedang kita lakukan? Betul! Kami menulis sistem supaya mudah untuk dibina:

Saya akan memberi anda sedikit petunjuk, kerana sistem ini kelihatan sangat rumit! Apabila membina graf, binanya "lebih", dan yang paling penting, jangan terkejut dengan bilangan titik persilangan.

Jadi, mari pergi! Terhembus? Sekarang mula membina!

Jadi bagaimana? Cantik? Berapa banyak titik persimpangan yang anda dapat? Saya ada tiga! Mari bandingkan graf kami:

Juga? Sekarang tulis dengan teliti semua penyelesaian sistem kami:

Sekarang lihat sistem sekali lagi:

Bolehkah anda bayangkan bahawa anda menyelesaikannya dalam masa 15 minit sahaja? Setuju, matematik masih mudah, terutamanya apabila melihat ungkapan anda tidak takut untuk membuat kesilapan, tetapi ambil sahaja dan selesaikan! awak hebat!

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan linear

Selepas contoh terakhir, anda boleh melakukan apa sahaja! Sekarang hembus nafas - berbanding bahagian sebelumnya, yang ini akan menjadi sangat, sangat mudah!

Kami akan mulakan, seperti biasa, dengan penyelesaian grafik kepada ketaksamaan linear. Sebagai contoh, yang ini:

Mula-mula, mari kita lakukan transformasi paling mudah - buka kurungan petak sempurna dan kemukakan istilah yang serupa:

Ketaksamaan tidak ketat, oleh itu ia tidak termasuk dalam selang, dan penyelesaiannya adalah semua titik yang berada di sebelah kanan, kerana lebih banyak, lebih banyak, dan seterusnya:

Jawapan:

Itu sahaja! dengan mudah? Mari kita selesaikan ketaksamaan mudah dengan dua pembolehubah:

Mari kita lukis fungsi dalam sistem koordinat.

Adakah anda mendapat jadual sedemikian? Sekarang mari kita lihat dengan teliti apakah ketidaksamaan yang kita ada di sana? Kurang? Ini bermakna kita melukis semua yang ada di sebelah kiri garis lurus kita. Bagaimana jika ada lagi? Betul, maka kami akan melukis semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kami. Mudah sahaja.

Semua penyelesaian kepada ketidaksamaan ini dilorekkan dengan warna oren. Itu sahaja, ketidaksamaan dengan dua pembolehubah diselesaikan. Ini bermakna koordinat mana-mana titik dari kawasan berlorek adalah penyelesaiannya.

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan kuadratik

Sekarang kita akan memahami bagaimana untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik secara grafik.

Tetapi sebelum kita turun ke perniagaan, mari kita semak beberapa bahan mengenai fungsi kuadratik.

Apakah diskriminasi yang bertanggungjawab? Betul, untuk kedudukan graf relatif kepada paksi (jika anda tidak ingat ini, maka pasti baca teori tentang fungsi kuadratik).

Walau apa pun, berikut adalah sedikit peringatan untuk anda:

Memandangkan kami telah menyegarkan semula semua bahan dalam ingatan kami, mari mulakan perniagaan - selesaikan ketidaksamaan secara grafik.

Saya akan memberitahu anda dengan segera bahawa terdapat dua pilihan untuk menyelesaikannya.

Pilihan 1

Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:

Dengan menggunakan formula, kami menentukan koordinat puncak parabola (tepat sama seperti semasa menyelesaikan persamaan kuadratik):

Adakah anda mengira? Apa yang awak dapat?

Sekarang mari kita ambil dua lagi mata yang berbeza dan hitung untuknya:

Mari kita mula membina satu cabang parabola:

Kami secara simetri mencerminkan titik kami ke cabang parabola yang lain:

Sekarang mari kita kembali kepada ketidaksamaan kita.

Kami memerlukannya masing-masing kurang daripada sifar:

Oleh kerana dalam ketidaksamaan kami, tandanya kurang daripada, kami mengecualikan titik akhir - "menusuk".

Jawapan:

Jauh kan? Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda versi penyelesaian grafik yang lebih mudah menggunakan contoh ketidaksamaan yang sama:

Pilihan 2

Kami kembali kepada ketidaksamaan kami dan tandakan selang yang kami perlukan:

Setuju, ia lebih cepat.

Mari kita tuliskan jawapannya:

Mari kita pertimbangkan penyelesaian lain yang memudahkan bahagian algebra, tetapi perkara utama adalah untuk tidak mengelirukan.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Cuba selesaikan sendiri ketaksamaan kuadratik berikut dalam apa jua cara yang anda suka: .

Adakah anda berjaya?

Lihat bagaimana graf saya ternyata:

Jawapan: .

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan bercampur

Sekarang mari kita beralih kepada ketidaksamaan yang lebih kompleks!

Bagaimana anda suka ini:

Ia menyeramkan, bukan? Sejujurnya, saya tidak tahu cara menyelesaikannya secara algebra... Tetapi ia tidak perlu. Secara grafik tidak ada yang rumit tentang ini! Mata takut, tetapi tangan melakukannya!

Perkara pertama yang akan kita mulakan ialah dengan membina dua graf:

Saya tidak akan menulis jadual untuk setiap satu - saya pasti anda boleh melakukannya dengan sempurna sendiri (wah, terdapat banyak contoh untuk diselesaikan!).

Adakah anda melukisnya? Sekarang bina dua graf.

Mari bandingkan lukisan kita?

Adakah ia sama dengan anda? Hebat! Sekarang mari kita susun titik persilangan dan gunakan warna untuk menentukan graf yang sepatutnya kita miliki secara teori yang lebih besar, iaitu. Lihat apa yang berlaku pada akhirnya:

Sekarang mari kita lihat di mana graf pilihan kami lebih tinggi daripada graf? Jangan ragu untuk mengambil pensel dan melukis di kawasan ini! Dia akan menjadi penyelesaian kepada ketidaksamaan kompleks kita!

Pada selang manakah di sepanjang paksi kami terletak lebih tinggi daripada? Betul, . Ini jawapannya!

Nah, kini anda boleh mengendalikan sebarang persamaan, sebarang sistem, dan lebih-lebih lagi sebarang ketidaksamaan!

SECARA RINGKAS TENTANG PERKARA UTAMA

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan graf fungsi:

1. Mari kita luahkan melalui
2. Mari kita tentukan jenis fungsi
3. Mari bina graf bagi fungsi yang terhasil
4. Mari cari titik persilangan graf
5. Mari tulis jawapan dengan betul (dengan mengambil kira tanda ODZ dan ketaksamaan)
6. Mari kita semak jawapannya (gantikan punca ke dalam persamaan atau sistem)

Untuk mendapatkan maklumat lanjut tentang membina graf fungsi, lihat topik "".

biarlah f(x,y) Dan g(x, y)- dua ungkapan dengan pembolehubah X Dan di dan skop X. Kemudian ketaksamaan bentuk f(x, y) > g(x, y) atau f(x, y) < g(x, y) dipanggil ketidaksamaan dengan dua pembolehubah .

Maksud Pembolehubah x, y daripada ramai X, di mana ketaksamaan bertukar menjadi ketaksamaan berangka sebenar, ia dipanggil keputusan dan ditetapkan (x, y). Selesaikan ketidaksamaan - ini bermakna mencari banyak pasangan sedemikian.

Jika setiap pasangan nombor (x, y) daripada set penyelesaian kepada ketaksamaan, padankan titiknya M(x, y), kita memperoleh set mata pada satah yang ditentukan oleh ketaksamaan ini. Mereka memanggilnya graf ketidaksamaan ini . Graf ketaksamaan biasanya merupakan kawasan pada satah.

Untuk menggambarkan set penyelesaian kepada ketaksamaan f(x, y) > g(x, y), teruskan seperti berikut. Pertama, gantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan cari garis yang mempunyai persamaan f(x,y) = g(x,y). Garisan ini membahagikan satah kepada beberapa bahagian. Selepas ini, cukup untuk mengambil satu mata dalam setiap bahagian dan menyemak sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati pada ketika ini f(x, y) > g(x, y). Jika ia dilaksanakan pada ketika ini, maka ia akan dilaksanakan di seluruh bahagian di mana titik ini terletak. Menggabungkan bahagian tersebut, kami memperoleh banyak penyelesaian.

Tugasan. y > x.

Penyelesaian. Pertama, kita menggantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan membina garis dalam sistem koordinat segi empat tepat yang mempunyai persamaan y = x.

Garisan ini membahagikan satah kepada dua bahagian. Selepas ini, ambil satu mata dalam setiap bahagian dan semak sama ada ketidaksamaan itu berpuas hati pada ketika ini y > x.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan secara grafik
X 2 + di 2 £25.

nasi. 18.

Penyelesaian. Mula-mula, gantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan lukis garisan X 2 + di 2 = 25. Ini ialah bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari 5. Bulatan yang terhasil membahagikan satah kepada dua bahagian. Menyemak kepuasan ketidaksamaan X 2 + di 2 £ 25 dalam setiap bahagian, kita dapati bahawa graf ialah satu set titik pada bulatan dan bahagian satah di dalam bulatan.

Biarkan dua ketaksamaan diberikan f 1(x, y) > g 1(x, y) Dan f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sistem set ketaksamaan dengan dua pembolehubah

Sistem ketidaksamaan mewakili diri sendiri gabungan ketidaksamaan ini. Penyelesaian sistem adalah setiap makna (x, y), yang menukar setiap ketaksamaan kepada ketaksamaan berangka sebenar. Banyak penyelesaian sistem ketaksamaan ialah persilangan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang membentuk sistem tertentu.

Set ketaksamaan mewakili diri sendiri perpecahan ini ketidaksamaan Dengan penyelesaian keseluruhan adalah setiap makna (x, y), yang menukarkan sekurang-kurangnya satu set ketaksamaan kepada ketaksamaan berangka sebenar. Banyak penyelesaian keseluruhan ialah gabungan set penyelesaian kepada ketaksamaan yang membentuk satu set.

Tugasan. Selesaikan secara grafik sistem ketaksamaan

Penyelesaian. y = x Dan X 2 + di 2 = 25. Kami menyelesaikan setiap ketaksamaan sistem.

Graf sistem ialah set titik pada satah yang merupakan persilangan (penetasan berganda) bagi set penyelesaian kepada ketaksamaan pertama dan kedua.

Tugasan. Selesaikan secara grafik satu set ketaksamaan

Penyelesaian. Pertama, kita menggantikan tanda ketaksamaan dengan tanda sama dan melukis garisan dalam satu sistem koordinat y = x+ 4 dan X 2 + di 2 = 16. Selesaikan setiap ketaksamaan dalam populasi. Graf populasi akan menjadi set titik pada satah, yang merupakan gabungan set penyelesaian kepada ketaksamaan pertama dan kedua.

Latihan untuk kerja bebas

1. Selesaikan ketaksamaan secara grafik: a) di> 2x; b) di< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Selesaikan sistem ketaksamaan secara grafik:

a) b)