Dalam rumusan Newton, hukum Kepler berbunyi seperti ini::
Undang-undang pertama: di bawah pengaruh graviti, satu jasad angkasa boleh bergerak berhubung dengan yang lain dalam bulatan, elips, parabola dan hiperbola. Ia mesti dikatakan bahawa ia adalah sah untuk semua badan yang antara tarikan bersama bertindak.
- perumusan undang-undang kedua Kepler tidak diberikan, kerana ini tidak perlu.
- Undang-undang ketiga Kepler telah dirumuskan oleh Newton seperti berikut: kuasa dua tempoh sidereal planet-planet, didarab dengan jumlah jisim Matahari dan planet, adalah berkaitan sebagai kiub paksi separuh utama planet-planet. orbit.
Undang-undang Pertama Kepler (Undang-undangelips)
Undang-undang pertama Kepler.
Setiap planetsistem suria kenalan olehelips, dalam salah satu fokusnya ialahmatahari.
Bentuk elips dan tahap persamaannya dengan bulatan dicirikan oleh hubungan , di mana c- jarak dari pusat elips ke fokusnya (separuh jarak interfocal), a- separuh paksi utama. Magnitud e dipanggil kesipian elips. Pada c= 0 dan e= 0 elips bertukar menjadi bulatan.
Bukti undang-undang pertama Kepler
Undang-undang graviti sejagat Newton menyatakan bahawa "setiap objek di alam semesta menarik setiap objek lain di sepanjang garis yang menghubungkan pusat jisim objek, dalam perkadaran dengan jisim setiap objek, dan berkadar songsang dengan kuasa dua jarak antara objek." Ini mengandaikan bahawa pecutan a mempunyai bentuk
Mari kita ingat bahawa dalam koordinat kutub
Dalam bentuk koordinat kita menulis
Menggantikan dan ke dalam persamaan kedua, kita dapat
yang dipermudahkan
Selepas penyepaduan kami menulis ungkapan
untuk beberapa pemalar, iaitu momentum sudut tertentu ().
Persamaan gerakan dalam arah menjadi sama
Hukum graviti sejagat Newton mengaitkan daya per unit jisim dengan jarak sebagai
di mana G- pemalar graviti sejagat dan M- jisim bintang.
Akibatnya
ini persamaan pembezaan Ia ada keputusan bersama:
untuk pemalar penyepaduan sewenang-wenangnya e dan θ 0 .
Menggantikan u oleh 1/ r dan meletakkan θ 0 = 0, kita dapat:
Kami mendapat persamaan bahagian kon dengan kesipian e dan asal sistem koordinat pada salah satu fokus. Oleh itu, hukum pertama Kepler mengikuti secara langsung dari hukum graviti universal Newton dan hukum kedua Newton.
Undang-undang Kedua Kepler (Undang-undang Kawasan)
Undang-undang kedua Kepler.
Setiap planet bergerak dalam satah yang melalui pusat Matahari, dan dalam masa yang sama vektor jejari yang menghubungkan Matahari dan planet menyapu keluar sektor yang sama luasnya.
Berhubung dengan sistem Suria kita, dua konsep dikaitkan dengan undang-undang ini: perihelion- titik orbit yang paling hampir dengan Matahari, dan aphelion- titik paling jauh orbit. Oleh itu, daripada undang-undang kedua Keppler ia mengikuti bahawa planet ini bergerak tidak sekata mengelilingi Matahari, mempunyai saiz yang lebih besar. kelajuan linear daripada di aphelion.
Setiap tahun pada awal Januari, Bumi bergerak lebih pantas apabila melalui perihelion, jadi pergerakan ketara Matahari di sepanjang ekliptik ke timur juga berlaku lebih cepat daripada purata untuk tahun itu. Pada awal bulan Julai, Bumi, melalui aphelion, bergerak lebih perlahan, dan oleh itu pergerakan Matahari di sepanjang ekliptik menjadi perlahan. Undang-undang kawasan menunjukkan bahawa kuasa mengawal gerakan orbit planet, diarahkan ke arah Matahari.
Bukti undang-undang kedua Kepler
Mengikut definisi, momentum sudut zarah titik dengan jisim m dan kelajuan ditulis sebagai:
.di mana ialah vektor jejari zarah dan ialah momentum zarah itu.
A-priory
.Akibatnya kita ada
. Mari bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan masa
kerana ia produk vektor vektor selari adalah sama dengan sifar. perasan, itu F sentiasa selari r, kerana daya adalah jejari, dan hlm sentiasa selari v a-priory. Oleh itu kita boleh mengatakan bahawa ia adalah pemalar.
Hukum Ketiga Kepler (Hukum Harmonik)
Kuasa dua tempoh revolusi planet-planet mengelilingi Matahari adalah berkaitan sebagai kiub paksi separa besar orbit planet.
di mana T 1 dan T 2 - tempoh revolusi dua planet mengelilingi Matahari, dan a 1 dan a 2 - panjang paksi separuh utama orbitnya.
Newton mendapati bahawa tarikan graviti Pembentukan planet dengan jisim tertentu hanya bergantung pada jarak kepadanya, dan bukan pada sifat lain, seperti komposisi atau suhu. Dia juga menunjukkan bahawa undang-undang ketiga Kepler tidak sepenuhnya tepat - malah, ia termasuk jisim planet: 
, Di mana M ialah jisim Matahari, dan m 1 dan m 2 – jisim planet.
Oleh kerana gerakan dan jisim didapati berkaitan, gabungan hukum harmonik Kepler dan hukum graviti Newton ini digunakan untuk menentukan jisim planet dan satelit jika orbit dan tempoh orbitnya diketahui.
Bukti undang-undang ketiga Kepler
Undang-undang kedua Kepler menyatakan bahawa vektor jejari badan pusingan menyapu keluar kawasan sama rata untuk tempoh masa yang sama. Jika kita sekarang mengambil tempoh masa yang sangat kecil pada masa ini apabila planet berada pada titik A Dan B(perihelion dan aphelion), maka kita boleh menganggarkan kawasan dengan segi tiga dengan ketinggian, sama dengan jarak dari planet ke Matahari, dan asasnya, sama dengan produk kelajuan planet dari masa ke masa.
Menggunakan hukum kekekalan tenaga untuk jumlah tenaga planet pada titik A Dan B, Mari menulis
Sekarang kita telah menemui V B, kita boleh mencari halaju sektoral. Oleh kerana ia adalah malar, kita boleh memilih mana-mana titik elips: contohnya, untuk titik itu B kita mendapatkan
Namun begitu jumlah kawasan elips adalah sama 
(yang sama dengan π ab, kerana ia 
). Masa giliran penuh, dengan itu sama
Andaian gerakan bulat seragam planet-planet sistem suria tidak konsisten dengan sistem heliosentrik dunia N. Copernicus, kerana percanggahan antara kedudukan planet yang dikira dan sebenar dalam tempoh masa tertentu adalah ketara. Percanggahan ini telah diselesaikan oleh ahli astronomi Jerman yang cemerlang DAN. Kepler . Berdasarkan pemerhatian selama bertahun-tahun terhadap pergerakan planet dan kajian karya pendahulunya, Kepler menemui tiga undang-undang, kemudian dinamakan sempena namanya.
Undang-undang pertama Kepler, juga dipanggil hukum elips, telah dirumuskan oleh seorang saintis pada tahun 1609.
Undang-undang pertama Kepler: Semua planet dalam sistem suria bergerak dalam orbit elips, dengan matahari pada satu fokus.
Titik paling hampir dengan Matahari P trajektori dipanggil perihelion, titik A, paling jauh dari Matahari, ialah aphelion. Jarak antara aphelion dan perihelion ialah paksi utama orbit elips. Separuh panjang paksi utama, separuh gandar a, ialah jarak purata dari planet ke Matahari.
Jarak purata dari Bumi ke Matahari dipanggil unit astronomi (AU) dan bersamaan dengan 150 juta km.
Bentuk elips dan darjah perbezaannya daripada bulatan ditentukan oleh nisbah c/a, Di mana c— jarak dari pusat elips ke fokus, a- paksi semimajor elips.
Semakin besar nisbah ini, semakin memanjang orbit pergerakan planet (Rajah 37), fokusnya lebih jauh dari satu sama lain. Jika nisbah ini adalah sifar, maka elips berubah menjadi bulatan, fokus bergabung menjadi satu titik - pusat bulatan.
Orbit Bumi dan Zuhrah hampir bulat, bagi Bumi nisbahnya adalah c/a ialah 0.0167, untuk Zuhrah - 0.0068. Orbit planet lain lebih rata. Orbit Pluto yang paling memanjang, yang mana c/a = 0.2488. Bukan sahaja planet mengelilingi Matahari bergerak dalam orbit elips, tetapi juga satelit (semula jadi dan buatan) mengelilingi planet. Titik pergerakan satelit yang paling hampir dengan Bumi dipanggil perigee, yang paling jauh dipanggil apogee.
Undang-undang kedua Kepler (undang-undang kawasan): vektor jejari planet menerangkan kawasan yang sama dalam tempoh masa yang sama.
Rajah 38 menggambarkan hukum kedua Kepler. Jelas daripada rajah bahawa vektor jejari ialah segmen yang menghubungkan fokus orbit (pada asasnya, pusat Matahari) dan pusat planet pada mana-mana titik dalam pergerakannya di sepanjang orbit. Selaras dengan undang-undang kedua Kepler, kawasan sektor yang diserlahkan dalam warna adalah sama antara satu sama lain. Kemudian ternyata dalam tempoh masa yang sama planet mengembara jarak yang berbeza dalam orbitnya, iaitu kelajuan pergerakan tidak tetap: v 2 >v 1 . Bagaimana planet yang lebih dekat ke perihelion, semakin laju pergerakannya, seolah-olah cuba melarikan diri dengan cepat daripada terik cahaya matahari.Bahan dari tapak
Undang-undang ketiga Kepler (harmonik): segi empat sama tempoh revolusi dua planet mengelilingi Matahari adalah berkaitan antara satu sama lain, seperti kubus paksi separuh utama orbitnya.
Mengingati bahawa panjang paksi separuh utama orbit dianggap sebagai jarak purata dari planet ke Matahari, kami menulis ungkapan matematik Undang-undang ketiga Kepler:
T 2 1 /T 2 2 =a 3 1 /a 3 2 ,
di mana T1,T 2— tempoh revolusi planet 1 dan 2; a 1 >a 2— jarak purata dari planet 1 dan 2 ke Matahari.
Undang-undang ketiga Kepler adalah benar untuk kedua-dua planet dan satelit, dengan ralat tidak lebih daripada 1%.
Berdasarkan undang-undang ini, adalah mungkin untuk mengira panjang tahun (masa revolusi lengkap mengelilingi Matahari) mana-mana planet jika jaraknya ke Matahari diketahui. Dan sebaliknya - menggunakan undang-undang yang sama, anda boleh mengira orbit, mengetahui tempoh revolusi.
Pada halaman ini terdapat bahan mengenai topik berikut:
Laporan undang-undang kedua Kepler
Anatomi undang-undang Kepler
Undang-undang harmonik Kepler
Mesej astronomi undang-undang Kepler
Soalan tentang bahan ini:
Peranan penting dalam pembentukan idea tentang struktur sistem suria juga dimainkan oleh undang-undang pergerakan planet, yang ditemui oleh Johannes Kepler (1571-1630) dan menjadi undang-undang sains semula jadi pertama dalam mereka. pemahaman moden. Kerja Kepler mencipta peluang untuk menyamaratakan pengetahuan mekanik era itu dalam bentuk undang-undang dinamik dan undang-undang graviti sejagat, yang kemudiannya dirumuskan oleh Isaac Newton. Ramai saintis sehingga awal XVII V. percaya bahawa pergerakan itu benda angkasa hendaklah seragam dan berlaku di sepanjang bulatan lengkung "paling sempurna". Hanya Kepler yang berjaya mengatasi prasangka ini dan mewujudkan bentuk sebenar orbit planet, serta corak perubahan dalam kelajuan pergerakan planet semasa ia beredar mengelilingi Matahari. Dalam pencariannya, Kepler meneruskan dari kepercayaan bahawa "nombor memerintah dunia," yang dinyatakan oleh Pythagoras. Dia mencari hubungan antara pelbagai kuantiti yang mencirikan pergerakan planet - saiz orbit, tempoh revolusi, kelajuan. Kepler bertindak secara membabi buta, secara empirik semata-mata. Dia cuba membandingkan ciri-ciri pergerakan planet dengan corak skala muzik, panjang sisi poligon yang diterangkan dan ditulis dalam orbit planet, dsb. Kepler perlu membina orbit planet, bergerak dari sistem koordinat khatulistiwa yang menunjukkan kedudukan planet di atas sfera cakerawala, kepada sistem koordinat yang menunjukkan kedudukannya dalam satah orbit. Dia menggunakan pemerhatiannya sendiri terhadap planet Marikh, serta bertahun-tahun penentuan koordinat dan konfigurasi planet ini yang dijalankan oleh gurunya Tycho Brahe. Kepler menganggap orbit Bumi (untuk anggaran pertama) sebagai bulatan, yang tidak bercanggah dengan pemerhatian. Untuk membina orbit Marikh, dia menggunakan kaedah yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Beritahu kami jarak sudut Marikh dari titik ekuinoks vernal semasa salah satu penentangan planet ialah kenaikan kanannya "15 yang dinyatakan oleh sudut g(gamma)Т1М1, di mana T1 ialah kedudukan Bumi dalam orbit pada masa ini, dan M1 ialah kedudukan Marikh. Jelas sekali, selepas 687 hari (ini adalah tempoh sidereal orbit Marikh), planet itu akan tiba di titik yang sama dalam orbitnya.
Sekiranya kita menentukan kenaikan Marikh yang betul pada tarikh ini, maka, seperti yang dapat dilihat dari angka itu, kita boleh menunjukkan kedudukan planet di angkasa, lebih tepat lagi, dalam satah orbitnya. Bumi pada masa ini berada pada titik T2, dan, oleh itu, sudut gT2M1 tidak lebih daripada kenaikan kanan Marikh - a2. Setelah mengulangi operasi serupa untuk beberapa penentangan Marikh yang lain, Kepler memperoleh keseluruhan siri mata dan, melukis lengkung licin di sepanjang mereka, membina orbit planet ini. Setelah mengkaji lokasi titik yang diperoleh, dia mendapati bahawa kelajuan orbit planet berubah, tetapi pada masa yang sama vektor jejari planet menggambarkan kawasan yang sama dalam tempoh masa yang sama. Selepas itu, corak ini dipanggil undang-undang kedua Kepler.
Vektor jejari dipanggil dalam kes ini segmen saiz berubah-ubah yang menghubungkan Matahari dan titik dalam orbit di mana planet itu berada. AA1, BB1 dan CC1 ialah lengkok yang dilalui planet dalam tempoh masa yang sama. Kawasan rajah berlorek adalah sama antara satu sama lain. Mengikut undang-undang pemuliharaan tenaga, jumlah tenaga mekanikal sistem tertutup jasad antaranya daya graviti bertindak kekal tidak berubah semasa sebarang pergerakan badan sistem ini. Oleh itu, hasil tambah kinetik dan tenaga keupayaan planet yang bergerak mengelilingi Matahari adalah malar di semua titik di orbitnya dan sama dengan jumlah tenaganya. Apabila planet menghampiri Matahari, kelajuannya meningkat dan tenaga kinetiknya meningkat, tetapi apabila jarak ke Matahari berkurangan, tenaga potensinya berkurangan. Setelah menetapkan corak perubahan dalam kelajuan pergerakan planet, Kepler menetapkan untuk menentukan lengkung di mana ia berputar mengelilingi Matahari. Dia berhadapan dengan keperluan untuk memilih satu daripada dua penyelesaian yang mungkin: 1) menganggap bahawa orbit Marikh ialah bulatan, dan menganggap bahawa di beberapa bahagian orbit, koordinat planet yang dikira menyimpang daripada pemerhatian (disebabkan oleh ralat pemerhatian) sebanyak 8"; 2) menganggap bahawa pemerhatian tidak mengandungi ralat sedemikian, dan orbitnya bukan bulatan, yakin dengan ketepatan pemerhatian Tycho Brahe, Kepler memilih penyelesaian kedua dan mendapati bahawa cara yang paling baik Kedudukan Marikh di orbitnya bertepatan dengan lengkung yang dipanggil elips, manakala Matahari tidak terletak di tengah elips. Akibatnya, satu undang-undang telah digubal, yang dipanggil undang-undang pertama Kepler. Setiap planet beredar mengelilingi Matahari dalam bentuk elips, dengan Matahari pada satu fokus.
Seperti yang diketahui, elips ialah lengkung di mana jumlah jarak dari mana-mana titik P ke fokusnya ialah nilai malar. Rajah menunjukkan: O - pusat elips; S dan S1 ialah fokus elips; AB ialah paksi utamanya. Separuh daripada nilai ini (a), yang biasanya dipanggil paksi semimajor, mencirikan saiz orbit planet. Titik A yang paling hampir dengan Matahari dipanggil perihelion, dan titik B yang paling jauh daripadanya dipanggil aphelion. Perbezaan antara elips dan bulatan dicirikan oleh magnitud kesipiannya: e = OS/OA. Dalam kes apabila kesipian adalah sama dengan O, fokus dan pusat bergabung menjadi satu titik - elips bertukar menjadi bulatan.
Perlu diperhatikan bahawa buku di mana Kepler menerbitkan dua undang-undang pertama yang ditemuinya pada tahun 1609 dipanggil " Astronomi baru, atau Fizik Syurga, yang dinyatakan dalam kajian tentang pergerakan planet Marikh...". Kedua-dua undang-undang ini, yang diterbitkan pada tahun 1609, mendedahkan sifat gerakan setiap planet secara berasingan, yang tidak memuaskan Kepler. Dia meneruskan pencariannya untuk "keharmonian" dalam pergerakan semua planet, dan 10 tahun kemudian dia berjaya merumuskan undang-undang ketiga Kepler:
T1^2 / T2^2 = a1^3 / a2^3
Kuadrat bagi tempoh sidereal revolusi planet-planet adalah berkaitan antara satu sama lain, seperti kiub paksi separuh besar orbitnya. Inilah yang ditulis Kepler selepas penemuan undang-undang ini: “Apa 16 tahun lalu saya memutuskan untuk mencari,<... >akhirnya ditemui, dan penemuan ini melebihi semua jangkaan saya yang paling liar..." Sesungguhnya, undang-undang ketiga berhak menerimanya amat dihargai. Lagipun, ia membolehkan anda mengira jarak relatif planet dari Matahari, menggunakan sudah tempoh yang diketahui pusingan mereka mengelilingi Matahari. Tidak perlu menentukan jarak dari Matahari untuk setiap daripada mereka; ia cukup untuk mengukur jarak dari Matahari sekurang-kurangnya satu planet. Saiz paksi separuh utama orbit bumi - unit astronomi(a.e.) - menjadi asas untuk mengira semua jarak lain dalam Sistem Suria. Tidak lama kemudian undang-undang graviti sejagat ditemui. Semua jasad di Alam Semesta tertarik antara satu sama lain dengan daya yang berkadar terus dengan hasil darab jisimnya dan berkadar songsang dengan kuasa dua jarak antara mereka:
F = G m1m2/r2
Di mana m1 dan m2 ialah jisim jasad; r ialah jarak antara mereka; G - pemalar graviti
Penemuan undang-undang graviti sejagat telah dipermudahkan oleh undang-undang pergerakan planet yang dirumuskan oleh Kepler dan pencapaian astronomi lain pada abad ke-17. Oleh itu, pengetahuan tentang jarak ke Bulan membolehkan Isaac Newton (1643 - 1727) membuktikan identiti daya yang menahan Bulan semasa ia bergerak mengelilingi Bumi dan daya yang menyebabkan jasad jatuh ke Bumi. Lagipun, jika daya graviti berbeza dalam perkadaran songsang dengan kuasa dua jarak, seperti berikut dari undang-undang graviti universal, maka Bulan, yang terletak dari Bumi pada jarak kira-kira 60 jejarinya, harus mengalami pecutan. 3600 kali kurang daripada pecutan graviti di permukaan Bumi, bersamaan dengan 9. 8 m/s. Oleh itu, pecutan Bulan hendaklah 0.0027 m/s2.
Daya yang mengekalkan Bulan dalam orbit ialah daya graviti, dilemahkan sebanyak 3600 kali berbanding dengan yang bertindak di permukaan Bumi. Anda juga boleh yakin bahawa apabila planet bergerak, mengikut undang-undang ketiga Kepler, pecutan mereka dan daya graviti Matahari yang bertindak ke atasnya adalah berkadar songsang dengan kuasa dua jarak, seperti berikut dari undang-undang graviti sejagat. Sesungguhnya, mengikut undang-undang ketiga Kepler, nisbah kubus paksi separuh utama orbit d dan kuasa dua tempoh orbit T ialah nilai tetap: Pecutan planet adalah sama dengan:
A= u2/d =(2pid/T)2/d=4pi2d/T2
Dari undang-undang ketiga Kepler ia berikut:
Oleh itu, pecutan planet adalah sama dengan:
A = 4pi2 const/d2
Jadi, daya interaksi antara planet dan Matahari memenuhi undang-undang graviti sejagat dan terdapat gangguan dalam pergerakan jasad Sistem Suria. Undang-undang Kepler benar-benar dipenuhi jika pergerakan dua jasad terpencil (Matahari dan planet) di bawah pengaruh tarikan bersama mereka dipertimbangkan. Walau bagaimanapun, terdapat banyak planet dalam Sistem Suria, semuanya berinteraksi bukan sahaja dengan Matahari, tetapi juga antara satu sama lain. Oleh itu, pergerakan planet dan badan lain tidak betul-betul mematuhi undang-undang Kepler. Penyimpangan badan daripada bergerak sepanjang elips dipanggil gangguan. Gangguan ini adalah kecil, kerana jisim Matahari adalah banyak lebih jisim bukan sahaja planet individu, tetapi semua planet secara keseluruhan. Gangguan terbesar dalam pergerakan badan dalam sistem suria disebabkan oleh Musytari, yang jisimnya 300 kali lebih besar daripada jisim Bumi.
Penyimpangan asteroid dan komet amat ketara apabila ia melalui berhampiran Musytari. Pada masa ini, gangguan diambil kira semasa mengira kedudukan planet, satelitnya dan badan lain Sistem Suria, serta trajektori. kapal angkasa, dilancarkan untuk penyelidikan mereka. Tetapi pada abad ke-19. pengiraan gangguan memungkinkan untuk membuat salah satu penemuan paling terkenal dalam sains "di hujung pena" - penemuan planet Neptunus. Menjalankan satu lagi tinjauan di langit untuk mencari objek yang tidak diketahui, William Herschel pada tahun 1781 menemui sebuah planet, kemudian dinamakan Uranus. Selepas kira-kira setengah abad, menjadi jelas bahawa gerakan Uranus yang diperhatikan tidak bersetuju dengan yang dikira, walaupun apabila mengambil kira gangguan dari semua planet terkenal. Berdasarkan andaian kehadiran planet "subauranian" yang lain, pengiraan dibuat terhadap orbit dan kedudukannya di langit. Masalah ini diselesaikan secara bebas oleh John Adams di England dan Urbain Le Verrier di Perancis. Berdasarkan pengiraan Le Verrier, ahli astronomi Jerman Johann Halle menemui pada 23 September 1846, sebuah planet yang tidak diketahui sebelum ini - Neptunus - dalam buruj Aquarius. Penemuan ini adalah satu kejayaan sistem heliosentrik, pengesahan yang paling penting tentang kesahihan hukum graviti sejagat. Selepas itu, gangguan telah diperhatikan dalam pergerakan Uranus dan Neptun, yang menjadi asas kepada andaian kewujudan planet lain dalam sistem suria. Pencariannya dinobatkan dengan kejayaan hanya pada tahun 1930, apabila, selepas melihat Kuantiti yang besar gambar langit berbintang, Pluto ditemui.