Apakah jenis poligon yang ada? Pelajaran "Poligon"

Topik: poligon - gred 8:

Garis segmen bersebelahan yang tidak terletak pada garis lurus yang sama dipanggil garis putus.

Hujung segmen ialah puncak.

Setiap segmen adalah pautan.

Dan semua jumlah panjang segmen membentuk jumlah keseluruhan panjang garis putus Contohnya, AM + ME + EK + KO = panjang garis putus

Jika segmen ditutup, maka ini poligon(lihat di atas) .

Pautan dalam poligon dipanggil pihak.

Jumlah panjang sisi - perimeter poligon.

Bucu terletak di sebelah adalah jiran.

Segmen yang menghubungkan puncak jiran, dipanggil menyerong.

Poligon dipanggil mengikut bilangan sisi: pentagon, heksagon, dsb.

Segala-galanya di dalam poligon ialah bahagian dalam kapal terbang, dan segala yang ada di luar - bahagian luar kapal terbang.

Catatan! Dalam gambar di bawah- ini BUKAN poligon, kerana terdapat tambahan perkara biasa pada garis lurus yang sama untuk segmen bukan bersebelahan.

Poligon cembung terletak pada satu sisi setiap garis lurus. Untuk menentukannya secara mental (atau dengan lukisan), kami meneruskan setiap sisi.

Dalam poligon seberapa banyak sudut sebagai sisi.

Dalam poligon cembung jumlah semua sudut pedalaman sama dengan (n-2)*180°. n ialah bilangan sudut.

Poligon itu dipanggil betul, jika semua sisi dan sudutnya adalah sama. Jadi pengiraan sudut dalamannya dilakukan mengikut formula (di mana n ialah bilangan sudut): 180° * (n-2) / n

Di bawah ialah poligon, jumlah sudutnya dan satu sudut sama dengannya.

Sudut luar poligon cembung dikira seperti berikut:

Dalam pelajaran ini kita akan mulakan topik baru dan memperkenalkan konsep baharu untuk kami: "poligon". Kita akan melihat konsep asas yang dikaitkan dengan poligon: sisi, sudut bucu, kecembungan dan tidak cembung. Kemudian kita akan buktikan fakta yang paling penting, seperti teorem hasil tambah sudut dalam poligon, teorem hasil tambah sudut luar poligon. Akibatnya, kita akan hampir mengkaji kes-kes khas poligon, yang akan dipertimbangkan dalam pelajaran selanjutnya.

Topik: Segiempat

Pelajaran: Poligon

Dalam kursus geometri, kami mengkaji sifat-sifat angka geometri dan telah memeriksa yang paling mudah: segi tiga dan bulatan. Pada masa yang sama, kami juga membincangkan kes-kes khas khusus bagi angka-angka ini, seperti segi empat tepat, sama kaki dan segi tiga sekata. Kini tiba masanya untuk bercakap tentang lebih umum dan angka kompleks - poligon.

Dengan kes khas poligon kita sudah biasa - ini adalah segi tiga (lihat Rajah 1).

nasi. 1. Segi tiga

Nama itu sendiri sudah menekankan bahawa ini adalah angka dengan tiga sudut. Oleh itu, dalam poligon boleh ada banyak daripada mereka, i.e. lebih daripada tiga. Sebagai contoh, mari kita lukis pentagon (lihat Rajah 2), i.e. rajah dengan lima penjuru.

nasi. 2. Pentagon. Poligon cembung

Definisi.Poligon- angka yang terdiri daripada beberapa titik (lebih daripada dua) dan bilangan segmen yang sepadan yang menghubungkannya secara berurutan. Titik-titik ini dipanggil puncak poligon, dan segmennya ialah pihak. Dalam kes ini, tiada dua sisi bersebelahan terletak pada garis lurus yang sama dan tiada dua sisi bukan bersebelahan bersilang.

Definisi.Poligon biasa ialah poligon cembung di mana semua sisi dan sudut adalah sama.

mana-mana poligon membahagikan pesawat kepada dua kawasan: dalaman dan luaran. Kawasan dalaman juga disebut sebagai poligon.

Dalam erti kata lain, sebagai contoh, apabila mereka bercakap tentang pentagon, mereka bermaksud kedua-dua kawasan dalamannya dan sempadannya. Dan kawasan dalaman termasuk semua titik yang terletak di dalam poligon, i.e. titik itu juga merujuk kepada pentagon (lihat Rajah 2).

Poligon juga kadangkala dipanggil n-gon untuk menekankan bahawa kes umum kehadiran beberapa bilangan sudut yang tidak diketahui (n keping) dipertimbangkan.

Definisi. Perimeter poligon- hasil tambah panjang sisi poligon itu.

Sekarang kita perlu membiasakan diri dengan jenis poligon. Mereka dibahagikan kepada cembung Dan tidak cembung. Sebagai contoh, poligon yang ditunjukkan dalam Rajah. 2 ialah cembung, dan dalam Rajah. 3 tidak cembung.

nasi. 3. Poligon bukan cembung

Definisi 1. Poligon dipanggil cembung, jika apabila melukis garis lurus melalui mana-mana sisinya, keseluruhannya poligon hanya terletak pada satu sisi garis lurus ini. Tidak cembung adalah orang lain poligon.

Adalah mudah untuk membayangkan bahawa apabila memanjangkan mana-mana sisi pentagon dalam Rajah. 2 semuanya akan berada pada satu sisi garis lurus ini, i.e. ia adalah cembung. Tetapi apabila melukis garis lurus melalui segi empat dalam Rajah. 3 kita sudah melihat bahawa ia membahagikannya kepada dua bahagian, i.e. ia tidak cembung.

Tetapi terdapat definisi lain untuk kecembungan poligon.

Definisi 2. Poligon dipanggil cembung, jika apabila memilih mana-mana dua titik dalamannya dan menyambungkannya dengan segmen, semua titik segmen itu juga merupakan titik dalam poligon.

Demonstrasi penggunaan definisi ini boleh dilihat dalam contoh membina segmen dalam Rajah. 2 dan 3.

Definisi. pepenjuru poligon ialah sebarang segmen yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan.

Untuk menerangkan sifat poligon, terdapat dua teorem terpenting tentang sudut mereka: teorem jumlah sudut pedalaman poligon cembung Dan teorem hasil tambah sudut luar poligon cembung. Mari lihat mereka.

Teorem. Pada hasil tambah sudut pedalaman poligon cembung (n-gon).

Di manakah bilangan sudutnya (sisi).

Bukti 1. Mari kita gambarkan dalam Rajah. 4 cembung n-gon.

nasi. 4. Cembung n-gon

Dari puncak kita melukis semua pepenjuru yang mungkin. Mereka membahagikan n-gon kepada segi tiga, kerana setiap sisi poligon membentuk segi tiga, kecuali sisi yang bersebelahan dengan bucu. Adalah mudah untuk melihat dari rajah bahawa jumlah sudut semua segi tiga ini akan sama dengan jumlah sudut dalam n-gon. Oleh kerana jumlah sudut mana-mana segi tiga ialah , maka hasil tambah sudut dalam bagi n-gon ialah:

Q.E.D.

Bukti 2. Satu lagi bukti teorem ini mungkin. Mari kita lukis n-gon yang serupa dalam Rajah. 5 dan sambungkan mana-mana titik dalamannya dengan semua bucu.

nasi. 5.

Kami telah memperoleh pembahagian n-gon kepada n segi tiga (sebanyak sisi yang terdapat segi tiga). Jumlah semua sudutnya adalah sama dengan jumlah sudut pedalaman poligon dan jumlah sudut di titik dalaman, dan ini adalah sudutnya. Kami ada:

Q.E.D.

Terbukti.

Menurut teorem terbukti, adalah jelas bahawa jumlah sudut n-gon bergantung kepada bilangan sisinya (pada n). Sebagai contoh, dalam segi tiga, dan jumlah sudut ialah . Dalam segi empat, dan jumlah sudut ialah, dsb.

Teorem. Pada hasil tambah sudut luar poligon cembung (n-gon).

Di manakah bilangan sudutnya (sisi), dan , …, ialah sudut luar.

Bukti. Mari kita gambarkan n-gon cembung dalam Rajah. 6 dan tentukan sudut dalam dan luarnya.

nasi. 6. N-gon cembung dengan sudut luar yang ditetapkan

Kerana sudut luar disambungkan dengan dalaman sebagai bersebelahan, kemudian dan begitu juga untuk sudut luar yang tinggal. Kemudian:

Semasa penjelmaan, kami menggunakan teorem yang telah terbukti tentang jumlah sudut dalaman n-gon.

Terbukti.

Daripada teorem terbukti ia berikut fakta menarik, bahawa jumlah sudut luar cembung n-gon sama dengan pada bilangan sudutnya (sisi). By the way, berbeza dengan jumlah sudut dalaman.

Bibliografi

Alexandrov A.D. dan lain-lain Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, darjah 8. - M.: Pendidikan, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, darjah 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Kerja rumah

Sifat Poligon

Poligon ialah angka geometri, biasanya ditakrifkan sebagai garis putus tertutup tanpa persilangan diri (poligon mudah (Rajah 1a)), tetapi kadangkala persilangan diri dibenarkan (maka poligon itu tidak mudah).

Bucu poligon dipanggil bucu poligon, dan segmen dipanggil sisi poligon. Bucu poligon dipanggil bersebelahan jika ia adalah hujung salah satu sisinya. Segmen yang menghubungkan bucu bukan bersebelahan poligon dipanggil pepenjuru.

Sudut (atau sudut dalaman) poligon cembung pada bucu tertentu ialah sudut yang dibentuk oleh sisinya yang menumpu pada bucu ini, dan sudut dikira dari sisi poligon itu. Khususnya, sudut boleh melebihi 180° jika poligon bukan cembung.

Sudut luar poligon cembung pada bucu tertentu ialah sudut bersebelahan dengan sudut pedalaman poligon pada bucu ini. DALAM kes am Sudut luar ialah perbezaan antara 180° dan sudut dalam. Daripada setiap bucu segitiga untuk > 3 terdapat 3 pepenjuru, jadi jumlah nombor Diagonal bagi segi tiga adalah sama.

Poligon dengan tiga bucu dipanggil segitiga, dengan empat - segiempat, dengan lima - pentagon, dsb.

Poligon dengan n dipanggil bucu n- segi empat sama.

Poligon rata ialah rajah yang terdiri daripada poligon dan bahagian terhingga kawasan yang dihadkan olehnya.

Poligon dipanggil cembung jika salah satu daripada syarat (bersamaan) berikut dipenuhi:

1. ia terletak pada sebelah mana-mana garis lurus yang menghubungkan bucu jirannya. (iaitu, sambungan sisi poligon tidak bersilang dengan sisi lain);
2. ia adalah persimpangan (iaitu. bahagian biasa) beberapa satah separuh;
3. mana-mana segmen dengan hujung pada titik kepunyaan poligon adalah kepunyaan sepenuhnya.

Poligon cembung dipanggil sekata jika semua sisinya adalah sama dan semua sudut adalah sama, contohnya segi tiga sama sisi, segi empat sama dan pentagon.

Poligon cembung dikatakan dihadkan tentang bulatan jika semua sisinya menyentuh beberapa bulatan

Poligon sekata ialah poligon di mana semua sudut dan semua sisi adalah sama.

Sifat poligon:

1 Setiap pepenjuru bagi cembung -gon, di mana >3, menguraikannya kepada dua poligon cembung.

2 Jumlah semua sudut bagi segi tiga cembung adalah sama.

D-vo: Kami membuktikan teorem menggunakan kaedah induksi matematik. Pada = 3 ia adalah jelas. Mari kita andaikan bahawa teorem adalah benar untuk a -gon, di mana <, dan buktikan untuk -gon.

Biar menjadi poligon yang diberi. Mari kita lukis pepenjuru poligon ini. Menurut Teorem 3, poligon diuraikan kepada segi tiga dan segitiga cembung (Rajah 5). Dengan hipotesis induksi. Di sebelah sana, . Menambah persamaan ini dan mengambil kira itu (- rasuk sudut dalaman ) Dan (- rasuk sudut dalaman ), kita dapat. Apabila kita dapat: .

3 Di sekeliling mana-mana poligon biasa anda boleh menerangkan bulatan, dan hanya satu.

D-vo: Biarkan ia menjadi poligon sekata, dan dan menjadi pembahagi dua sudut, dan (Gamb. 150). Sejak, maka, oleh itu, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке TENTANG. Mari kita buktikan O = OA 2 = TENTANG =… = OA P . Segi tiga TENTANG sama kaki, oleh itu TENTANG= TENTANG. Mengikut kriteria kedua bagi kesamaan segi tiga, oleh itu, TENTANG = TENTANG. Begitu juga, terbukti bahawa TENTANG = TENTANG dan lain-lain. Jadi intinya TENTANG adalah sama jarak dari semua bucu poligon, jadi bulatan dengan pusat TENTANG jejari TENTANG terhad kepada poligon.

Sekarang mari kita buktikan bahawa hanya ada satu bulatan terhad. Pertimbangkan beberapa tiga bucu poligon, sebagai contoh, A 2 , . Oleh kerana hanya satu bulatan yang melalui titik ini, maka mengelilingi poligon … Anda tidak boleh menerangkan lebih daripada satu kalangan.

4 Anda boleh menulis bulatan ke dalam mana-mana poligon sekata, dan hanya satu.
5 Bulatan yang tertera dalam poligon sekata menyentuh sisi poligon pada titik tengahnya.
6 Pusat bulatan yang dihadkan tentang poligon sekata bertepatan dengan pusat bulatan yang ditulis dalam poligon yang sama.
7 Simetri:

Mereka mengatakan bahawa rajah mempunyai simetri (simetri) jika terdapat pergerakan sedemikian (tidak serupa) yang menterjemahkan rajah ini ke dalam dirinya.

7.1. Segitiga am tidak mempunyai paksi atau pusat simetri; Segi tiga sama kaki (tetapi bukan sama sisi) mempunyai satu paksi simetri: pembahagi dua serenjang dengan tapak.
7.2. Segi tiga sama mempunyai tiga paksi simetri (pembahagi dua serenjang ke sisi) dan simetri putaran mengenai pusat dengan sudut putaran 120°.

7.3 Mana-mana n-gon sekata mempunyai n paksi simetri, kesemuanya melalui pusatnya. Ia juga mempunyai simetri putaran mengenai pusat dengan sudut putaran.

Apabila genap n Sesetengah paksi simetri melalui bucu bertentangan, yang lain melalui titik tengah sisi bertentangan.

Untuk ganjil n setiap paksi melalui bahagian atas dan tengah sisi bertentangan.

Pusat poligon sekata dengan bilangan sisi genap ialah pusat simetrinya. Poligon sekata dengan bilangan sisi ganjil tidak mempunyai pusat simetri.

8 Persamaan:

Dengan persamaan dan -gon masuk ke -gon, separuh satah menjadi separuh satah, oleh itu cembung n-sudut menjadi cembung n-gon.

Teorem: Jika sisi dan sudut poligon cembung memenuhi kesamaan:

di manakah pekali podium

maka poligon ini adalah serupa.

8.1 Nisbah perimeter dua poligon serupa adalah sama dengan pekali persamaan.
8.2. Nisbah luas dua poligon serupa cembung adalah sama dengan kuasa dua pekali persamaan.

teorem perimeter segi tiga poligon

Bahagian satah yang dibatasi oleh garis putus tertutup dipanggil poligon.

Segmen garis putus ini dipanggil pihak poligon. AB, BC, CD, DE, EA (Rajah 1) ialah sisi poligon ABCDE. Jumlah semua sisi poligon dipanggilnya perimeter.

Poligon itu dipanggil cembung, jika ia terletak pada satu sisi mana-mana sisinya, melepasi kedua-dua bucu selama-lamanya.

Poligon MNPKO (Rajah 1) tidak akan cembung, kerana ia terletak pada lebih daripada satu sisi garis lurus KR.

Kami hanya akan mempertimbangkan poligon cembung.

Sudut yang dibentuk oleh dua sisi bersebelahan poligon dipanggilnya dalaman sudut, dan bahagian atasnya adalah bucu poligon.

Segmen garis lurus yang menghubungkan dua bucu bukan bersebelahan poligon dipanggil pepenjuru poligon itu.

AC, AD - pepenjuru poligon (Rajah 2).

Sudut yang bersebelahan dengan sudut pedalaman poligon dipanggil sudut luar poligon (Rajah 3).

Bergantung kepada bilangan sudut (sisi), poligon dipanggil segitiga, segi empat, pentagon, dll.

Dua poligon dikatakan kongruen jika ia boleh disatukan secara bertindih.

Poligon bertulis dan berhad

Jika semua bucu poligon terletak pada bulatan, maka poligon itu dipanggil tertulis ke dalam bulatan, dan bulatan - diterangkan berhampiran poligon (rajah).

Jika semua sisi poligon bertangen kepada bulatan, maka poligon itu dipanggil diterangkan tentang bulatan, dan bulatan itu dipanggil tertulis ke dalam poligon (Rajah).

Persamaan poligon

Dua poligon dengan nama yang sama dipanggil serupa jika sudut salah satu daripadanya masing-masing sama dengan sudut yang lain, dan sisi poligon yang serupa adalah berkadar.

Poligon dengan bilangan sisi (sudut) yang sama dipanggil poligon dengan nama yang sama.

Sisi poligon serupa yang menghubungkan bucu sudut yang sama sama dipanggil serupa (Rajah).

Jadi, sebagai contoh, untuk poligon ABCDE serupa dengan poligon A'B'C'D'E', adalah perlu bahawa: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' dan, sebagai tambahan, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Nisbah perimeter poligon yang serupa

Pertama, pertimbangkan sifat siri nisbah yang sama. Mari kita, sebagai contoh, mempunyai nisbah berikut: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Mari kita cari jumlah sebutan sebelumnya bagi hubungan ini, kemudian jumlah istilah berikutnya dan cari nisbah jumlah yang terhasil, kita dapat:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Kita mendapat perkara yang sama jika kita mengambil satu siri beberapa hubungan lain, contohnya: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 Mari kita cari hasil tambah sebutan sebelumnya bagi hubungan ini dan hasil tambah yang berikutnya, dan kemudian cari nisbah jumlah ini, kita dapat:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Dalam kedua-dua kes, jumlah ahli sebelumnya bagi satu siri hubungan yang sama berkaitan dengan jumlah ahli berikutnya dari siri yang sama, sama seperti ahli sebelumnya mana-mana hubungan ini berkaitan dengan yang berikutnya.

Kami memperoleh sifat ini dengan mempertimbangkan beberapa contoh berangka. Ia boleh diperolehi secara ketat dan dalam bentuk umum.

Sekarang pertimbangkan nisbah perimeter poligon yang serupa.

Biarkan poligon ABCDE serupa dengan poligon A'B'C'D'E' (Rajah).

Daripada persamaan poligon ini, ia mengikutinya

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

Berdasarkan sifat yang kami perolehi untuk siri nisbah yang sama, kami boleh menulis:

Jumlah sebutan sebelumnya bagi hubungan yang telah kita ambil mewakili perimeter poligon pertama (P), dan jumlah sebutan berikutnya bagi hubungan ini mewakili perimeter poligon kedua (P'), yang bermaksud P / P ' = AB / A'B'.

Oleh itu, Perimeter poligon yang serupa adalah berkaitan dengan sisi yang serupa.

Nisbah kawasan poligon yang serupa

Biarkan ABCDE dan A'B'C'D'E' ialah poligon yang serupa (Rajah).

Adalah diketahui bahawa ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' dan ΔADE ~ ΔA'D'E'.

selain itu,

;

Oleh kerana nisbah kedua perkadaran ini adalah sama, yang mengikuti daripada persamaan poligon, maka

Menggunakan sifat siri nisbah yang sama kita dapat:

Ataupun

di mana S dan S’ ialah kawasan poligon serupa ini.

Oleh itu, Luas poligon yang serupa adalah berkaitan sebagai segi empat sama sisi yang serupa.

Formula yang terhasil boleh ditukar kepada bentuk ini: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Kawasan poligon sewenang-wenangnya

Biarkan perlu untuk mengira luas segiempat ABC sewenang-wenangnya (Gamb.).

Mari kita lukis pepenjuru di dalamnya, contohnya AD. Kami mendapat dua segitiga ABD dan ACD, kawasan yang boleh kami kira. Kemudian kita dapati hasil tambah luas bagi segi tiga ini. Jumlah yang terhasil akan menyatakan luas segi empat ini.

Sekiranya anda perlu mengira luas pentagon, maka kami melakukan perkara yang sama: kami melukis pepenjuru dari salah satu bucu. Kami mendapat tiga segi tiga, kawasan yang boleh kami kira. Ini bermakna kita boleh mencari kawasan pentagon ini. Kami melakukan perkara yang sama apabila mengira luas mana-mana poligon.

Luas unjuran poligon

Mari kita ingat bahawa sudut antara garis dan satah ialah sudut antara garis yang diberikan dan unjurannya ke atas satah (Gamb.).

Teorem. Luas unjuran ortogon poligon pada satah adalah sama dengan luas poligon unjuran didarab dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh satah poligon dan satah unjuran.

Setiap poligon boleh dibahagikan kepada segi tiga yang jumlah kawasannya sama dengan luas poligon. Oleh itu, cukup untuk membuktikan teorem bagi segitiga.

Biarkan ΔАВС diunjurkan ke atas kapal terbang R. Mari kita pertimbangkan dua kes:

a) salah satu sisi ΔABC selari dengan satah R;

b) tiada satu pun sisi ΔABC selari R.

Mari kita pertimbangkan kes pertama: biarkan [AB] || R.

Mari kita lukis satah melalui (AB) R 1 || R dan unjurkan secara ortogon ΔАВС pada R 1 dan seterusnya R(beras.); kita mendapat ΔАВС 1 dan ΔА'В'С'.

Dengan sifat unjuran kita mempunyai ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', dan oleh itu

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Mari lukis ⊥ dan segmen D 1 C 1 . Kemudian ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ ialah nilai sudut antara satah ΔABC dan satah R 1 . sebab tu

S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

dan, oleh itu, S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan kes kedua. Mari kita lukis kapal terbang R 1 || R melalui bucu ΔАВС itu, jarak dari mana ke pesawat R yang terkecil (biar ini bucu A).

Mari unjurkan ΔАВС pada pesawat R 1 dan R(beras.); biarkan unjurannya masing-masing ialah ΔАВ 1 С 1 dan ΔА'В'С'.

Biarkan (BC) ∩ hlm 1 = D. Kemudian

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Bahan lain

Segitiga, segi empat sama, heksagon - angka ini diketahui hampir semua orang. Tetapi tidak semua orang tahu apa itu poligon biasa. Tetapi ini semua adalah sama Poligon sekata ialah poligon yang mempunyai sudut dan sisi yang sama. Terdapat banyak angka sedemikian, tetapi semuanya mempunyai sifat yang sama, dan formula yang sama digunakan untuk mereka.

Sifat poligon sekata

Mana-mana poligon biasa, sama ada segi empat sama atau oktagon, boleh ditulis dalam bulatan. Sifat asas ini sering digunakan semasa membina rajah. Di samping itu, bulatan boleh ditulis dalam poligon. Dalam kes ini, bilangan titik hubungan akan sama dengan bilangan sisinya. Adalah penting bahawa bulatan yang ditulis dalam poligon biasa akan mempunyai pusat yang sama dengannya. Angka geometri ini tertakluk kepada teorem yang sama. Mana-mana sisi n-gon sekata adalah berkaitan dengan jejari bulatan R yang mengelilinginya, ia boleh dikira menggunakan formula berikut: a = 2R ∙ sin180°. Melalui anda boleh mencari bukan sahaja sisi, tetapi juga perimeter poligon.

Bagaimana untuk mencari bilangan sisi poligon sekata

Mana-mana satu terdiri daripada bilangan segmen tertentu yang sama antara satu sama lain, yang, apabila disambungkan, membentuk garis tertutup. Dalam kes ini, semua sudut rajah yang terhasil mempunyai nilai yang sama. Poligon dibahagikan kepada mudah dan kompleks. Kumpulan pertama termasuk segi tiga dan segi empat sama. Poligon kompleks mempunyai lebih banyak sisi. Ini juga termasuk figura berbentuk bintang. Untuk poligon sekata kompleks, sisi ditemui dengan menuliskannya dalam bulatan. Mari kita berikan bukti. Lukis poligon sekata dengan nombor arbitrari sisi n. Lukis bulatan di sekelilingnya. Tetapkan jejari R. Sekarang bayangkan anda diberi beberapa n-gon. Jika titik sudutnya terletak pada bulatan dan sama antara satu sama lain, maka sisi boleh didapati menggunakan formula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Mencari bilangan sisi bagi segi tiga sekata tertulis

Segi tiga sama ialah poligon sekata. Formula yang sama digunakan untuknya seperti segi empat sama dan n-gon. Segitiga akan dianggap sekata jika sisinya sama panjang. Dalam kes ini, sudut ialah 60⁰. Mari bina sebuah segitiga dengan panjang sisi tertentu a. Mengetahui median dan ketinggiannya, anda boleh mencari nilai sisinya. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan kaedah mencari melalui formula a = x: cosα, dengan x ialah median atau ketinggian. Oleh kerana semua sisi segitiga adalah sama, kita mendapat a = b = c. Maka pernyataan berikut akan menjadi benar: a = b = c = x: cosα. Begitu juga, anda boleh mencari nilai sisi dalam segi tiga sama kaki, tetapi x ialah ketinggian yang diberikan. Dalam kes ini, ia harus diunjurkan dengan ketat ke pangkal angka. Jadi, dengan mengetahui ketinggian x, kita mencari sisi a bagi segi tiga sama kaki menggunakan formula a = b = x: cosα. Selepas mencari nilai a, anda boleh mengira panjang tapak c. Mari kita gunakan teorem Pythagoras. Kita akan mencari nilai separuh asas c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Maka c = 2xtanα. Dengan cara mudah ini, anda boleh mencari bilangan sisi mana-mana poligon bertulis.

Mengira sisi segi empat sama yang ditulis dalam bulatan

Seperti mana-mana poligon sekata bertulis lain, segi empat sama mempunyai sisi dan sudut yang sama. Formula yang sama digunakan untuknya seperti segi tiga. Anda boleh mengira sisi segi empat sama menggunakan nilai pepenjuru. Mari pertimbangkan kaedah ini dengan lebih terperinci. Adalah diketahui bahawa pepenjuru membahagikan sudut kepada separuh. Pada mulanya nilainya ialah 90 darjah. Oleh itu, selepas pembahagian, dua terbentuk sudut mereka di tapak akan sama dengan 45 darjah. Sehubungan itu, setiap sisi segi empat sama adalah sama, iaitu: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, dengan e ialah pepenjuru segi empat sama, atau tapak segi tiga tegak yang terbentuk selepas pembahagian. Ini bukan satu-satunya cara untuk mencari sisi segi empat sama. Mari kita tulis angka ini dalam bulatan. Mengetahui jejari bulatan R ini, kita dapati sisi segi empat sama. Kami akan mengiranya seperti berikut: a4 = R√2. Jejari poligon sekata dikira menggunakan formula R = a: 2tg (360 o: 2n), dengan a ialah panjang sisi.

Bagaimana untuk mengira perimeter n-gon

Perimeter n-gon ialah hasil tambah semua sisinya. Ia mudah untuk mengira. Untuk melakukan ini, anda perlu mengetahui makna semua pihak. Untuk beberapa jenis poligon terdapat formula khas. Mereka membolehkan anda mencari perimeter dengan lebih cepat. Adalah diketahui bahawa mana-mana poligon sekata mempunyai sisi yang sama. Oleh itu, untuk mengira perimeternya, cukup untuk mengetahui sekurang-kurangnya satu daripadanya. Formula akan bergantung pada bilangan sisi rajah. Secara umum, ia kelihatan seperti ini: P = an, dengan a ialah nilai sisi dan n ialah bilangan sudut. Sebagai contoh, untuk mencari perimeter oktagon sekata dengan sisi 3 cm, anda perlu mendarabnya dengan 8, iaitu, P = 3 ∙ 8 = 24 cm Untuk heksagon dengan sisi 5 cm, kami mengira seperti berikut: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Dan seterusnya bagi setiap poligon.

Mencari perimeter segi empat selari, segi empat sama dan rombus

Bergantung pada bilangan sisi poligon sekata, perimeternya dikira. Ini menjadikan tugas lebih mudah. Sesungguhnya, tidak seperti angka lain, dalam kes ini anda tidak perlu mencari semua sisinya, satu sudah cukup. Menggunakan prinsip yang sama, kita dapati perimeter segi empat, iaitu segi empat sama dan rombus. Walaupun fakta bahawa ini adalah angka yang berbeza, formula untuk mereka adalah sama: P = 4a, di mana a ialah sisi. Mari kita beri contoh. Jika sisi rombus atau segi empat sama ialah 6 cm, maka kita dapati perimeter seperti berikut: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Untuk segi empat selari, hanya sisi bertentangan adalah sama. Oleh itu, perimeternya didapati menggunakan kaedah yang berbeza. Jadi, kita perlu mengetahui panjang a dan lebar b rajah itu. Kemudian kita gunakan formula P = (a + b) ∙ 2. Sebuah segi empat selari di mana semua sisi dan sudut di antara mereka adalah sama dipanggil rombus.

Mencari perimeter segi tiga sama sisi dan tegak

Perimeter yang betul boleh didapati menggunakan formula P = 3a, dengan a ialah panjang sisi. Jika ia tidak diketahui, ia boleh didapati melalui median. Dalam segi tiga tegak, hanya dua sisi yang mempunyai nilai yang sama. Asasnya boleh didapati melalui teorem Pythagoras. Setelah nilai ketiga-tiga sisi diketahui, kami mengira perimeter. Ia boleh didapati dengan menggunakan formula P = a + b + c, di mana a dan b ialah sisi yang sama dan c ialah tapak. Ingat bahawa dalam segi tiga sama kaki a = b = a, yang bermaksud a + b = 2a, kemudian P = 2a + c. Contohnya, sisi segi tiga sama kaki ialah 4 cm, mari kita cari tapak dan perimeternya. Kami mengira nilai hipotenus menggunakan teorem Pythagoras dengan = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 cm Sekarang hitung perimeter P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.

Bagaimana untuk mencari sudut poligon sekata

Poligon biasa berlaku dalam kehidupan kita setiap hari, contohnya, segi empat sama, segi tiga, oktagon. Nampaknya tidak ada yang lebih mudah daripada membina angka ini sendiri. Tetapi ini mudah hanya pada pandangan pertama. Untuk membina sebarang n-gon, anda perlu mengetahui nilai sudutnya. Tetapi bagaimana untuk mencari mereka? Malah saintis purba cuba membina poligon biasa. Mereka memikirkan cara untuk memasukkan mereka ke dalam bulatan. Dan kemudian titik yang diperlukan ditandakan di atasnya dan disambungkan dengan garis lurus. Untuk angka mudah masalah pembinaan telah diselesaikan. Formula dan teorem diperolehi. Sebagai contoh, Euclid, dalam karya terkenalnya "Inception," berurusan dengan menyelesaikan masalah untuk 3-, 4-, 5-, 6-, dan 15-gon. Dia menemui cara untuk membinanya dan mencari sudut. Mari lihat bagaimana untuk melakukan ini untuk 15-gon. Mula-mula anda perlu mengira jumlah sudut dalamannya. Ia perlu menggunakan formula S = 180⁰(n-2). Jadi, kita diberi 15-gon, yang bermaksud nombor n ialah 15. Kami menggantikan data yang kita ketahui ke dalam formula dan mendapat S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Kami mendapati jumlah semua sudut pedalaman 15-gon. Sekarang anda perlu mendapatkan nilai setiap daripada mereka. Terdapat 15 sudut kesemuanya Kami membuat pengiraan 2340⁰: 15 = 156⁰. Ini bermakna setiap sudut dalam adalah sama dengan 156⁰, kini menggunakan pembaris dan kompas anda boleh membina 15-gon biasa. Tetapi bagaimana dengan n-gon yang lebih kompleks? Selama berabad-abad, saintis telah berjuang untuk menyelesaikan masalah ini. Ia hanya ditemui pada abad ke-18 oleh Carl Friedrich Gauss. Dia mampu membina 65537-gon. Sejak itu, masalah itu secara rasmi dianggap selesai sepenuhnya.

Pengiraan sudut n-gon dalam radian

Sudah tentu, terdapat beberapa cara untuk mencari sudut poligon. Selalunya mereka dikira dalam darjah. Tetapi mereka juga boleh dinyatakan dalam radian. Bagaimana hendak melakukannya? Anda perlu meneruskan seperti berikut. Mula-mula, kita mengetahui bilangan sisi poligon sekata, kemudian tolak 2 daripadanya Ini bermakna kita mendapat nilai: n - 2. Darabkan perbezaan yang ditemui dengan nombor n (“pi” = 3.14). Sekarang yang tinggal hanyalah membahagikan hasil darab dengan bilangan sudut dalam n-gon. Mari kita pertimbangkan pengiraan ini menggunakan dekagon yang sama sebagai contoh. Jadi, nombor n ialah 15. Mari kita gunakan formula S = n(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Ini, tentu saja, bukan satu-satunya cara untuk mengira sudut dalam radian. Anda hanya boleh membahagikan sudut dalam darjah dengan 57.3. Lagipun, ini ialah bilangan darjah yang bersamaan dengan satu radian.

Pengiraan nilai sudut dalam darjah

Selain darjah dan radian, anda boleh cuba mencari sudut poligon sekata dalam darjah. Ini dilakukan seperti berikut. Tolak 2 daripada jumlah sudut dan bahagikan perbezaan yang terhasil dengan bilangan sisi poligon sekata. Kami mendarabkan hasil yang ditemui sebanyak 200. Dengan cara ini, unit ukuran sudut sebagai darjah praktikalnya tidak digunakan.

Pengiraan sudut luar n-gons

Untuk mana-mana poligon biasa, sebagai tambahan kepada poligon dalaman, anda juga boleh mengira sudut luaran. Nilainya didapati dengan cara yang sama seperti untuk angka lain. Jadi, untuk mencari sudut luar poligon sekata, anda perlu mengetahui nilai poligon dalam. Selanjutnya, kita tahu bahawa jumlah kedua-dua sudut ini sentiasa sama dengan 180 darjah. Oleh itu, kami melakukan pengiraan seperti berikut: 180⁰ tolak nilai sudut dalam. Kami dapati perbezaannya. Ia akan sama dengan nilai sudut yang bersebelahan dengannya. Sebagai contoh, sudut dalaman segi empat sama ialah 90 darjah, bermakna sudut luaran ialah 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Seperti yang kita lihat, ia tidak sukar untuk dicari. Sudut luaran boleh mengambil nilai dari +180⁰ hingga -180⁰, masing-masing.