Денес ќе разгледаме кои количини се нарекуваат обратно пропорционални, како изгледа графикот на обратна пропорционалност и како сето тоа може да ви биде корисно не само на часовите по математика, туку и надвор од училиштето.
Толку различни пропорции
Пропорционалностнаведете две величини кои се меѓусебно зависни една од друга.
Зависноста може да биде директна и инверзна. Следствено, односите помеѓу количините се опишани со директна и обратна пропорционалност.
Директна пропорционалност– ова е таков однос помеѓу две величини во кои зголемувањето или намалувањето на едната од нив доведува до зголемување или намалување на другата. Оние. нивниот став не се менува.
На пример, отколку повеќе напорНапорот што го вложувате за да се подготвите за испитите, толку се повисоки вашите оценки. Или колку повеќе работи понесете со себе на планинарење, толку потежок ќе ви биде ранецот за носење. Оние. Количината на вложениот труд за подготовка за испити е директно пропорционална со добиените оценки. И бројот на нешта спакувани во ранец е директно пропорционален на неговата тежина.
Обратна пропорционалност - Ова функционална зависност, кај кои намалувањето или зголемувањето е неколкукратно независна количина(тоа се нарекува аргумент) предизвикува пропорционално (т.е. ист број пати) зголемување или намалување на зависната количина (тоа се нарекува функција).
Ајде да илустрираме едноставен пример. Сакате да купите јаболка на пазар. Јаболката на шанкот и паричната сума во вашиот паричник се во обратна пропорција. Оние. Колку повеќе јаболка купите, толку помалку пари ќе ви останат.
Функција и нејзиниот график
Функцијата на обратна пропорционалност може да се опише како y = k/x. Во која x≠ 0 и к≠ 0.
Оваа функција ги има следните својства:
- Неговиот домен на дефиниција е множеството од сите реални броеви освен x = 0. Д(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Опсегот е сè реални броеви, освен y= 0. E(y): (-∞; 0) У (0; +∞) .
- Нема максимални или минимални вредности.
- Тоа е непарно и неговиот график е симетричен во однос на потеклото.
- Непериодични.
- Неговиот график не ги пресекува координатните оски.
- Нема нули.
- Ако к> 0 (т.е. аргументот се зголемува), функцијата пропорционално се намалува на секој нејзин интервал. Ако к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Како што се зголемува аргументот ( к> 0) негативни вредностифункциите се во интервалот (-∞; 0), а позитивните се (0; +∞). Кога аргументот ќе се намали ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Графикот на функцијата на обратна пропорционалност се нарекува хипербола. Прикажано на следниов начин:
Проблеми со обратна пропорционалност
За да биде појасно, ајде да погледнеме неколку задачи. Тие не се премногу комплицирани, а нивното решавање ќе ви помогне да визуелизирате што е обратна пропорционалност и како ова знаење може да биде корисно во вашиот секојдневен живот.
Задача бр. 1. Автомобил се движи со брзина од 60 km/h. Му требаа 6 часа да стигне до целта. Колку време ќе му треба да помине исто растојание ако се движи со двојно поголема брзина?
Можеме да започнеме со запишување формула која ја опишува врската помеѓу времето, растојанието и брзината: t = S/V. Се согласувам, многу не потсетува на функцијата на обратна пропорционалност. И тоа покажува дека времето што автомобилот го поминува на патот и брзината со која се движи се во обратна пропорција.
За да го потврдиме ова, да го најдеме V 2, кој, според условот, е 2 пати поголем: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Потоа го пресметуваме растојанието користејќи ја формулата S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Сега не е тешко да се открие времето t 2 што се бара од нас според условите на проблемот: t 2 = 360/120 = 3 часа.
Како што можете да видите, времето на патување и брзината се навистина обратно пропорционални: со брзина 2 пати поголема од првобитната брзина, автомобилот ќе помине 2 пати помалку време на патот.
Решението за овој проблем може да се напише и како пропорција. Значи, прво да го создадеме овој дијаграм:
↓ 60 km/h – 6h
↓120 km/h – x h
Стрелките укажуваат на обратно пропорционална врска. Тие исто така сугерираат дека при изготвување на пропорција, десната страна на записот мора да се преврти: 60/120 = x/6. Каде добиваме x = 60 * 6/120 = 3 часа.
Задача бр. 2. Во работилницата се вработени 6 работници кои можат да завршат одредена количина на работа за 4 часа. Ако бројот на работници се преполови, колку време ќе им треба на преостанатите работници да завршат исто толку работа?
Дозволете ни да ги запишеме условите на проблемот во форма на визуелен дијаграм:
↓ 6 работници – 4 часа
↓ 3 работници – x ч
Да го напишеме ова како пропорција: 6/3 = x/4. И добиваме x = 6 * 4/3 = 8 часа Ако има 2 пати помалку работници, останатите ќе потрошат 2 пати повеќе време за да ја завршат целата работа.
Задача бр.3. Има две цевки кои водат во базенот. Низ една цевка тече вода со брзина од 2 l/s и го полни базенот за 45 минути. Преку друга цевка, базенот ќе се наполни за 75 минути. Со која брзина водата влегува во базенот преку оваа цевка?
За почеток, да ги намалиме сите количини што ни се дадени според условите на проблемот на исти мерни единици. За да го направите ова, ја изразуваме брзината на полнење на базенот во литри во минута: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Бидејќи условот подразбира базенот да се полни побавно низ втората цевка, тоа значи дека стапката на проток на вода е помала. Пропорционалноста е инверзна. Да ја изразиме непознатата брзина преку x и да го подготвиме следниот дијаграм:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 мин
И тогаш ја сочинуваме пропорцијата: 120/x = 75/45, од каде x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Во проблемот, брзината на полнење на базенот е изразена во литри во секунда, да го намалиме одговорот што го добивме на истата форма: 72/60 = 1,2 l/s.
Задача бр.4. Мала приватна печатница печати визит-картички. Вработен во печатница работи со брзина од 42 визит карти на час и работи цел ден - 8 часа. Ако работел побрзо и испечатил 48 визит-картички за еден час, колку порано би можел да си оди дома?
Ја следиме докажаната патека и изготвуваме дијаграм според условите на проблемот, означувајќи ја саканата вредност како x:
↓ 42 визит-картички/час – 8 часа
↓ 48 визит-картички/ч – x ч
Назад пред нас пропорционална зависност: колку пати повеќе визит-картички печати вработен во печатница на час, исто толку пати помалку време ќе му треба за да ја заврши истата работа. Знаејќи го ова, ајде да создадеме пропорција:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 часа.
Така, откако ќе ја заврши работата за 7 часа, вработениот во печатницата можеше да си оди дома еден час порано.
Заклучок
Ни се чини дека овие проблеми со обратна пропорционалност се навистина едноставни. Се надеваме дека сега и вие така размислувате за нив. И главната работа е дека знаењето за обратно пропорционална зависност на количините навистина може да ви биде корисно повеќе од еднаш.
Не само на часовите по математика и на испитите. Но и тогаш, кога ќе се подготвите за патување, одете на шопинг, одлучете се да заработите малку повеќе пари за време на празниците итн.
Кажете ни во коментар какви примери на обратни и правопропорционални односи забележувате околу вас. Нека биде таква игра. Ќе видите колку е возбудливо. Не заборавајте да ја споделите оваа статија на во социјалните мрежиза да можат да играат и вашите пријатели и соученици.
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Типови на зависност
Ајде да го разгледаме полнењето на батеријата. Како прва количина, да одвоиме време за полнење. Втората вредност е времето кога ќе работи по полнењето. Колку подолго ја полните батеријата, толку подолго ќе трае. Процесот ќе продолжи додека батеријата не се наполни целосно.
Зависност од времето на работа на батеријата од времето кога се полни
Забелешка 1
Оваа зависност се нарекува директно:
Како што една вредност се зголемува, така се зголемува и втората. Како што се намалува една вредност, така се намалува и втората вредност.
Ајде да погледнеме друг пример.
Како повеќе книгиученикот ќе чита, тогаш помалку грешкиќе го направи тоа во диктат. Или колку повисоко ќе се издигнете во планините, толку помал ќе биде атмосферскиот притисок.
Забелешка 2
Оваа зависност се нарекува обратно:
Како што една вредност се зголемува, втората се намалува. Како што една вредност се намалува, втората вредност се зголемува.
Така, во случај директна зависностдвете количини се менуваат подеднакво (и двете се зголемуваат или намалуваат), а во случај инверзна врска– спротивно (едниот се зголемува, а другиот се намалува, или обратно).
Одредување на зависности помеѓу количините
Пример 1
Времето потребно за посета на пријател е 20 долари минути. Ако брзината (првата вредност) се зголеми за $2 $ пати, ќе откриеме како се менува времето (втората вредност) што ќе се потроши на патот до пријател.
Очигледно, времето ќе се намали за $2 $ пати.
Забелешка 3
Оваа зависност се нарекува пропорционален:
Колку пати се менува една количина, колку пати се менува втората количина.
Пример 2
За леб од 2 долари во продавницата треба да платите 80 рубли. Ако треба да купите леб од 4$ (количината на леб се зголемува за 2$ пати), колку пати повеќе ќе треба да платите?
Очигледно, цената исто така ќе се зголеми за 2 $ пати. Имаме пример за пропорционална зависност.
Во двата примери, беа земени предвид пропорционалните зависности. Но, во примерот со векни леб, количините се менуваат во еден правец, значи, зависноста е директно. А во примерот на одење кај пријател, врската помеѓу брзината и времето е обратно. Така постои директно пропорционален односИ обратно пропорционален однос.
Директна пропорционалност
Да ги земеме предвид пропорционалните количини од 2$: бројот на лебови и нивната цена. Нека чинат лебови од 2 долари од 80 долари, рубли. Ако бројот на лепчиња се зголеми за 4$ пати (бухти од 8$), нивната вкупна цена ќе биде 320$ рубли.
Односот на бројот на лепчиња: $\frac(8)(2)=4$.
Сооднос на трошоци за пунџа: $\frac(320)(80)=4$.
Како што можете да видите, овие односи се еднакви едни на други:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Дефиниција 1
Се нарекува еднаквост на два соодноси пропорција.
Со директно пропорционална зависност, врска се добива кога промената во првата и втората количина се совпаѓа:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Дефиниција 2
Двете количини се нарекуваат директно пропорционална, ако кога еден од нив се менува (се зголемува или намалува), и другата вредност се менува (се зголемува или намалува, соодветно) за истиот износ.
Пример 3
Автомобилот помина 180 долари км за 2 долари часа. Најдете го времето во кое тој ќе помине 2$ пати повеќе од растојанието со иста брзина.
Решение.
Времето е директно пропорционално на растојанието:
$t=\frac(S)(v)$.
Колку пати ќе се зголеми растојанието кога постојана брзина, времето ќе се зголеми за иста количина:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Автомобилот помина 180 долари км за 2 долари часа
Автомобилот ќе помине 180$ \cdot 2=360$ km - за $x$ часа
Како подолго растојаниеќе помине кола, тогаш подолго времеќе му треба. Следствено, односот помеѓу количините е директно пропорционален.
Ајде да направиме пропорција:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Одговори: На автомобилот ќе му требаат 4$ часа.
Обратна пропорционалност
Дефиниција 3
Решение.
Времето е обратно пропорционално на брзината:
$t=\frac(S)(v)$.
За колку пати се зголемува брзината, со иста патека, времето се намалува за иста количина:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Да ја напишеме проблемската состојба во форма на табела:
Автомобилот помина 60$ км - за 6$ часа
Автомобилот ќе помине 120$ км – за x$ часа
Колку побрзо автомобилот забрзува, толку помалку време ќе му биде потребно. Следствено, односот помеѓу количините е обратно пропорционален.
Ајде да направиме пропорција.
Бидејќи пропорционалноста е инверзна, втората релација во пропорцијата е обратна:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Одговори: На автомобилот ќе му требаат 3$ часа.
Основни цели:
- воведување на концептот на директна и обратна пропорционална зависност на количините;
- учат како да решаваат проблеми користејќи ги овие зависности;
- промовирање на развојот на вештини за решавање проблеми;
- консолидирајте ја вештината за решавање равенки користејќи пропорции;
- повторете ги чекорите со обичните и децимали;
- развиваат логично размислувањеучениците.
ЗА ВРЕМЕ НА ЧАСОТ
Јас. Самоопределување за активност(Време на организирање)
- Момчиња! Денес во лекцијата ќе се запознаеме со проблеми решени со помош на пропорции.
II. Ажурирање на знаењето и евидентирање на тешкотии во активностите
2.1. Усна работа (3 мин.)
– Најдете го значењето на изразите и дознајте го зборот шифриран во одговорите.
14 – с; 0,1 – и; 7 – l; 0,2 – a; 17 – в; 25 – до
– Резултирачкиот збор е сила. Добро сторено!
– Мотото на нашата денешна лекција: Моќта е во знаењето! Барам - тоа значи дека учам!
– Направете пропорција од добиените броеви. (14:7 = 0,2:0,1 итн.)
2.2. Да ја разгледаме врската помеѓу количините што ги знаеме (7 мин.)
– растојанието што го поминува автомобилот со постојана брзина и времето на неговото движење: S = v t (со зголемување на брзината (времето), растојанието се зголемува);
– брзина на возилото и време поминато на патувањето: v=S:t(како што се зголемува времето за патување по патеката, брзината се намалува);
–
цената на чинење на стоката купена по една цена и нејзината количина:
C = a · n (со зголемување (намалување) на цената, набавната цена се зголемува (се намалува));
– цена на производот и неговата количина: a = C: n (со зголемување на количината, цената се намалува)
- површина на правоаголникот и неговата должина (ширина): S = a · b (со зголемување на должината (ширина), површината се зголемува;
– должина и ширина на правоаголникот: a = S: b (како што се зголемува должината, ширината се намалува;
– бројот на работници кои вршат некоја работа со иста продуктивност на трудот и времето потребно за да се заврши оваа работа: t = A: n (со зголемување на бројот на работници, времето поминато за извршување на работата се намалува) итн. .
Добивме зависности во кои, со зголемување на една количина неколку пати, другата веднаш се зголемува за иста количина (примерите се прикажани со стрелки) и зависности во кои, со зголемување на една количина неколку пати, втората количина се намалува за ист број пати.
Ваквите зависности се нарекуваат директна и обратна пропорционалност.
Директно пропорционална зависност– однос во кој како што една вредност се зголемува (намалува) неколку пати, втората вредност се зголемува (намалува) за истиот износ.
Обратно пропорционален однос– однос во кој како што една вредност се зголемува (намалува) неколку пати, втората вредност се намалува (се зголемува) за иста количина.
III. Станирање воспитна задача
– Каков проблем се соочуваме? (Научете да разликувате прави линии и инверзни зависности)
- Ова - целнашата лекција. Сега формулирајте темалекција. (Директна и обратна пропорционална врска).
- Добро сторено! Запишете ја темата на лекцијата во вашите тетратки. (Наставникот ја пишува темата на табла.)
IV. „Откривање“ на ново знаење(10 мин.)
Да го погледнеме проблемот бр. 199.
1. Печатачот печати 27 страници за 4,5 минути. Колку време ќе биде потребно да се испечатат 300 страници?
27 страници – 4,5 мин.
300 страници - x?
2. Кутијата содржи 48 пакувања чај, по 250 гр. Колку пакувања од 150гр од овој чај ќе добиете?
48 пакувања – 250 гр.
X? – 150 гр.
3. Автомобилот извозе 310 km, потрошени 25 литри бензин. Колку далеку може да помине автомобил со полн резервоар од 40 литри?
310 km – 25 l
X? – 40 л
4. Едната од запчаниците на спојката има 32 заби, а другата има 40. Колку вртежи ќе направи втората брзина додека првата 215 вртежи?
32 заби – 315 вртежи.
40 заби – x?
За да се состави пропорција, неопходна е една насока на стрелките за ова, во обратна пропорционалност, еден сооднос се заменува со обратен.
На табла учениците го наоѓаат значењето на количините, учениците решаваат еден проблем по свој избор.
– Формулирајте правило за решавање проблеми со директна и обратна пропорционална зависност.
На таблата се појавува табела:
V. Примарна консолидација во надворешниот говор(10 мин.)
Задачи на работни листови:
- Од 21 кг памучно семе, добиени се 5,1 кг масло. Колку масло ќе се добие од 7 кг памучно семе?
- За изградба на стадионот, 5 булдожери го расчистија местото за 210 минути. Колку време би биле потребни 7 булдожери да ја исчистат оваа локација?
VI. Самостојна работасо само-тестирање во однос на стандардот(5 минути)
Двајца ученици самостојно ја завршуваат задачата бр.225 на скриени табли, а останатите - во тетратки. Потоа ја проверуваат работата на алгоритмот и го споредуваат со решението на таблата. Грешките се коригираат и се утврдуваат нивните причини. Доколку задачата е правилно завршена, тогаш учениците ставаат знак „+“ до нив.
Студентите кои прават грешки во самостојната работа можат да користат консултанти.
VII. Вклучување во системот на знаење и повторување№ 271, № 270.
Шест луѓе работат во одборот. По 3-4 минути, учениците кои работат на таблата ги презентираат своите решенија, а останатите ги проверуваат задачите и учествуваат во нивната дискусија.
VIII. Рефлексија за активност (резиме на лекцијата)
– Што ново научивте на лекцијата?
-Што повторија?
– Кој е алгоритмот за решавање проблеми со пропорции?
– Дали ја постигнавме нашата цел?
– Како ја оценувате вашата работа?
Пример
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8, итн.Фактор на пропорционалност
Се нарекува постојан однос на пропорционални величини фактор на пропорционалност. Коефициентот на пропорционалност покажува колку единици од една количина има по единица на друга.
Директна пропорционалност
Директна пропорционалност- функционална зависност, во која одредена количина зависи од друга величина на тој начин што нивниот однос останува константен. Со други зборови, овие променливи се менуваат пропорционално, В еднакви акции, односно, ако аргументот се менува двапати во која било насока, тогаш функцијата исто така се менува двапати во иста насока.
Математички, директната пропорционалност се пишува како формула:
ѓ(x) = аx,а = воnст
Обратна пропорционалност
Обратна пропорционалност- ова е функционална зависност, во која зголемувањето на независната вредност (аргумент) предизвикува пропорционално намалување на зависната вредност (функција).
Математички, обратна пропорционалност се пишува како формула:
Карактеристики на функцијата:
Извори
Фондацијата Викимедија. 2010 година.
- Вториот закон на Њутн
- Кулонова бариера
Погледнете што е „Директна пропорционалност“ во другите речници:
директна пропорционалност- - [А.С. Голдберг. Англиско-руски енергетски речник. 2006] Теми за енергија воопшто EN директен сооднос ... Водич за технички преведувач
директна пропорционалност- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. директна пропорционалност vok. direkte Proportionalität, f rus. директна пропорционалност, f pranc. пропорционална директна, ѓ … Физикос терминų žodynas
ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- (од латински пропорционалис пропорционален, пропорционален). Пропорционалност. Речник странски зборови, вклучени во рускиот јазик. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ лат. пропорционалис, пропорционален. Пропорционалност. Објаснување 25000... ... Речник на странски зборови на рускиот јазик
ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, пропорционалност, множина. не, женски (книга). 1. апстрактни именка до пропорционална. Пропорционалност на делови. Пропорционалност на телото. 2. Таков однос помеѓу количините кога тие се пропорционални (види пропорционална ... РечникУшакова
Пропорционалност- Две меѓусебно зависни количини се нарекуваат пропорционални ако односот на нивните вредности останува непроменет Содржина 1 Пример 2 Коефициент на пропорционалност ... Википедија
ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, и, женски. 1. види пропорционален. 2. Во математиката: таков однос меѓу величините во кои зголемувањето на едната од нив повлекува промена на другата за иста количина. Права линија (со пресек со зголемување за една вредност... ... Објаснувачки речник на Ожегов
пропорционалност- И; и. 1. до Пропорционално (1 вредност); пропорционалност. P. делови. P. фигура. P. застапеност во парламентот. 2. Математика. Зависност помеѓу пропорционално променливите количини. Фактор на пропорционалност. Директна линија (во која со... ... енциклопедиски речник