Во 7 и 8 одделение се изучува графикот на директна пропорционалност.
Како да се изгради графикон за директна пропорционалност?
Да го погледнеме графикот на директна пропорционалност користејќи примери.
Формула за графикон за директна пропорционалност
Графикот на директна пропорционалност претставува функција.
Генерално, директната пропорционалност ја има формулата
Аголот на наклон на графиконот на директна пропорционалност во однос на оската x зависи од големината и знакот на коефициентот на директна пропорционалност.
Графикот на директна пропорционалност поминува низ
График на директна пропорционалност поминува низ потеклото.
Графикот на директна пропорционалност е права линија. Правата линија е дефинирана со две точки.
Така, кога се конструира графикон со директна пропорционалност, доволно е да се одреди позицијата на две точки.
Но, ние секогаш знаеме еден од нив - ова е потеклото на координатите.
Останува само да се најде вториот. Ајде да погледнеме пример за конструирање график на директна пропорционалност.
Директна пропорционалност на графиконот y = 2x
Задача .
Нацртај график на директна пропорционалност даден со формулата
Решение .
Сите бројки се таму.
Земете кој било број од доменот на директна пропорционалност, нека биде 1.
Најдете ја вредноста на функцијата кога x е еднаква на 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
односно за x = 1 добиваме y = 2. Точката со овие координати припаѓа на графикот на функцијата y = 2x.
Знаеме дека графикот на директна пропорционалност е права линија, а права линија се дефинира со две точки.
Линеарна функција
Линеарна функцијае функција која може да се специфицира со формулата y = kx + b,
каде што x е независна променлива, k и b се некои броеви.
Графикот на линеарна функција е права линија.
Се нарекува бројот k наклон на права линија– график на функцијата y = kx + b.
Ако k > 0, тогаш аголот на наклонетост на правата линија y = kx + b кон оската Xзачинета; ако к< 0, то этот угол тупой.
Ако наклоните на правите што се графикони на две линеарни функции се различни, тогаш овие линии се сечат. И ако аголните коефициенти се исти, тогаш линиите се паралелни.
График на функција y =kx +б, каде k ≠ 0, е права паралелна на правата y = kx.
Директна пропорционалност.
Директна пропорционалносте функција која може да се специфицира со формулата y = kx, каде што x е независна променлива, k е број што не е нула. Се нарекува бројот k коефициент на директна пропорционалност.
Графикот на директна пропорционалност е права линија што минува низ потеклото на координатите (види слика).
Директната пропорционалност е посебен случај на линеарна функција.
Својства на функцијатаy =kx:
Обратна пропорционалност
Обратна пропорционалностсе нарекува функција која може да се определи со формулата:
к
y = -
x
Каде xе независната променлива, и к– број кој не е нула.
Графикот на обратна пропорционалност е крива наречена хипербола(види слика).
За крива што е графикот на оваа функција, оската xИ yдејствуваат како асимптоти. Асимптота- ова е права линија до која се приближуваат точките на кривата додека се оддалечуваат до бесконечноста.
к
Својства на функцијатаy = -:
x
Двете количини се нарекуваат директно пропорционална, ако кога еден од нив се зголемува неколку пати, другиот се зголемува за исто толку. Според тоа, кога еден од нив се намалува неколку пати, другиот се намалува за истиот износ.
Врската помеѓу таквите количини е правопропорционална врска. Примери за директно пропорционална зависност:
1) со постојана брзина, поминатото растојание е директно пропорционално со времето;
2) периметарот на квадрат и неговата страна се правопропорционални величини;
3) цената на чинење на производот купен по една цена е правопропорционална на неговата количина.
За да разликувате правопропорционална врска од обратна, можете да ја користите поговорката: „Колку подалеку во шумата, толку повеќе огревно дрво“.
Удобно е да се решаваат проблеми кои вклучуваат директно пропорционални количини користејќи пропорции.
1) За да направите 10 делови потребни ви се 3,5 кг метал. Колку метал ќе вложи за да се направат 12 од овие делови?
(Ние размислуваме вака:
1. Во пополнетата колона ставете стрелка во правец од најголемиот број кон најмалиот.
2. Колку повеќе делови, толку повеќе метал е потребен за да се направат. Тоа значи дека ова е директно пропорционална врска.
Нека се потребни x kg метал за да се направат 12 дела. Ние ја сочинуваме пропорцијата (во насока од почетокот на стрелката до нејзиниот крај):
12:10=х:3,5
За да најдете , треба да го поделите производот на екстремните членови со познатиот среден член:
Тоа значи дека ќе бидат потребни 4,2 кг метал.
Одговор: 4,2 кг.
2) За 15 метри ткаенина платија 1680 рубли. Колку чинат 12 метри ваква ткаенина?
(1. Во пополнетата колона, поставете стрелка во насока од најголемиот број кон најмалиот.
2. Колку помалку ткаенина купувате, толку помалку треба да платите за неа. Тоа значи дека ова е директно пропорционална врска.
3. Затоа, втората стрелка е во иста насока како и првата).
Нека x рубли чинат 12 метри ткаенина. Правиме пропорција (од почетокот на стрелката до нејзиниот крај):
15:12=1680:x
За да го пронајдете непознатиот екстремен член на пропорцијата, поделете го производот од средните членови со познатиот екстремен член на пропорцијата:
Ова значи дека 12 метри чинат 1344 рубли.
Одговор: 1344 рубли.
Типови на зависност
Ајде да го разгледаме полнењето на батеријата. Како прва количина, да одвоиме време за полнење. Втората вредност е времето кога ќе работи по полнењето. Колку подолго ја полните батеријата, толку подолго ќе трае. Процесот ќе продолжи додека батеријата не се наполни целосно.
Зависност од времето на работа на батеријата од времето кога се полни
Забелешка 1
Оваа зависност се нарекува директно:
Како што една вредност се зголемува, така се зголемува и втората. Како што се намалува една вредност, така се намалува и втората вредност.
Ајде да погледнеме друг пример.
Колку повеќе книги чита ученикот, толку помалку грешки ќе направи во диктатот. Или колку повисоко ќе се издигнете во планините, толку помал ќе биде атмосферскиот притисок.
Забелешка 2
Оваа зависност се нарекува обратно:
Како што една вредност се зголемува, втората се намалува. Како што една вредност се намалува, втората вредност се зголемува.
Така, во случај директна зависностдвете количини се менуваат подеднакво (и двете се зголемуваат или намалуваат), а во случај обратна врска– спротивно (едниот се зголемува, а другиот се намалува, или обратно).
Одредување на зависности помеѓу количините
Пример 1
Времето потребно за посета на пријател е 20 долари минути. Ако брзината (првата вредност) се зголеми за $2 $ пати, ќе откриеме како се менува времето (втората вредност) што ќе се потроши на патот до пријател.
Очигледно, времето ќе се намали за $2 $ пати.
Забелешка 3
Оваа зависност се нарекува пропорционален:
Колку пати се менува една количина, колку пати се менува втората количина.
Пример 2
За леб од 2 долари во продавницата треба да платите 80 рубли. Ако треба да купите леб од 4$ (количината на леб се зголемува за 2$ пати), колку пати повеќе ќе треба да платите?
Очигледно, цената исто така ќе се зголеми за 2 $ пати. Имаме пример за пропорционална зависност.
Во двата примери, беа земени предвид пропорционалните зависности. Но, во примерот со векни леб, количините се менуваат во еден правец, значи, зависноста е директно. А во примерот на одење кај пријател, врската помеѓу брзината и времето е обратно. Така постои директно пропорционален односИ обратно пропорционален однос.
Директна пропорционалност
Да ги земеме предвид пропорционалните количини од 2$: бројот на лебови и нивната цена. Нека чинат лебови од 2 долари од 80 долари, рубли. Ако бројот на лепчиња се зголеми за 4$ пати (бухти од 8$), нивната вкупна цена ќе биде 320$ рубли.
Односот на бројот на лепчиња: $\frac(8)(2)=4$.
Сооднос на трошоци за пунџа: $\frac(320)(80)=4$.
Како што можете да видите, овие односи се еднакви едни на други:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Дефиниција 1
Се нарекува еднаквост на два соодноси пропорција.
Со директно пропорционална зависност, врска се добива кога промената во првата и втората количина се совпаѓа:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Дефиниција 2
Двете количини се нарекуваат директно пропорционална, ако кога еден од нив се менува (се зголемува или намалува), и другата вредност се менува (се зголемува или намалува, соодветно) за истиот износ.
Пример 3
Автомобилот помина 180 долари км за 2 долари часа. Најдете го времето во кое тој ќе помине 2$ пати повеќе од растојанието со иста брзина.
Решение.
Времето е директно пропорционално на растојанието:
$t=\frac(S)(v)$.
Колку пати ќе се зголеми растојанието, со постојана брзина, за исто толку ќе се зголеми времето:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Автомобилот помина 180 долари км за 2 долари часа
Автомобилот ќе помине 180$ \cdot 2=360$ km - за $x$ часа
Колку повеќе автомобилот патува, толку подолго ќе му треба. Следствено, односот помеѓу количините е директно пропорционален.
Ајде да направиме пропорција:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Одговори: На автомобилот ќе му требаат 4$ часа.
Обратна пропорционалност
Дефиниција 3
Решение.
Времето е обратно пропорционално на брзината:
$t=\frac(S)(v)$.
За колку пати се зголемува брзината, со иста патека, времето се намалува за иста количина:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Да ја напишеме проблемската состојба во форма на табела:
Автомобилот помина 60$ км - за 6$ часа
Автомобилот ќе помине 120$ км – за x$ часа
Колку побрзо автомобилот забрзува, толку помалку време ќе му биде потребно. Следствено, односот помеѓу количините е обратно пропорционален.
Ајде да направиме пропорција.
Бидејќи пропорционалноста е инверзна, втората релација во пропорцијата е обратна:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Одговори: На автомобилот ќе му требаат 3$ часа.
Денес ќе разгледаме кои количини се нарекуваат обратно пропорционални, како изгледа графикот на обратна пропорционалност и како сето тоа може да ви биде корисно не само на часовите по математика, туку и надвор од училиштето.
Толку различни пропорции
Пропорционалностнаведете две величини кои се меѓусебно зависни една од друга.
Зависноста може да биде директна и инверзна. Следствено, односите помеѓу количините се опишани со директна и обратна пропорционалност.
Директна пропорционалност– ова е таков однос помеѓу две величини во кои зголемувањето или намалувањето на едната од нив доведува до зголемување или намалување на другата. Оние. нивниот став не се менува.
На пример, колку повеќе труд вложувате во учењето за испити, толку се повисоки вашите оценки. Или колку повеќе работи понесете со себе на планинарење, толку потежок ќе ви биде ранецот за носење. Оние. Количината на вложениот труд за подготовка за испити е директно пропорционална со добиените оценки. И бројот на нешта спакувани во ранец е директно пропорционален на неговата тежина.
Обратна пропорционалност- ова е функционална зависност во која намалувањето или зголемувањето за неколку пати во независна вредност (тоа се нарекува аргумент) предизвикува пропорционално (т.е. ист број пати) зголемување или намалување на зависната вредност (тоа се нарекува функција).
Ајде да илустрираме со едноставен пример. Сакате да купите јаболка на пазар. Јаболката на шанкот и паричната сума во вашиот паричник се во обратна пропорција. Оние. Колку повеќе јаболка купите, толку помалку пари ќе ви останат.
Функција и нејзиниот график
Функцијата на обратна пропорционалност може да се опише како y = k/x. Во која x≠ 0 и к≠ 0.
Оваа функција ги има следните својства:
- Неговиот домен на дефиниција е множеството од сите реални броеви освен x = 0. Д(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Опсегот е сите реални броеви освен y= 0. E(y): (-∞; 0) У (0; +∞) .
- Нема максимални или минимални вредности.
- Тоа е непарно и неговиот график е симетричен во однос на потеклото.
- Непериодични.
- Неговиот график не ги пресекува координатните оски.
- Нема нули.
- Ако к> 0 (т.е. аргументот се зголемува), функцијата пропорционално се намалува на секој нејзин интервал. Ако к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Како што се зголемува аргументот ( к> 0) негативните вредности на функцијата се во интервалот (-∞; 0), а позитивните вредности се во интервалот (0; +∞). Кога аргументот ќе се намали ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Графикот на функцијата на обратна пропорционалност се нарекува хипербола. Прикажано на следниов начин:
Проблеми со обратна пропорционалност
За да биде појасно, ајде да погледнеме неколку задачи. Тие не се премногу комплицирани, а нивното решавање ќе ви помогне да визуелизирате што е обратна пропорционалност и како ова знаење може да биде корисно во вашиот секојдневен живот.
Задача бр. 1. Автомобил се движи со брзина од 60 km/h. Му требаа 6 часа да стигне до целта. Колку време ќе му треба да помине исто растојание ако се движи со двојно поголема брзина?
Можеме да започнеме со запишување формула која ја опишува врската помеѓу времето, растојанието и брзината: t = S/V. Се согласувам, многу не потсетува на функцијата на обратна пропорционалност. И тоа покажува дека времето што автомобилот го поминува на патот и брзината со која се движи се во обратна пропорција.
За да го потврдиме ова, да го најдеме V 2, кој според условот е 2 пати поголем: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Потоа го пресметуваме растојанието користејќи ја формулата S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Сега не е тешко да се открие времето t 2 што се бара од нас според условите на проблемот: t 2 = 360/120 = 3 часа.
Како што можете да видите, времето на патување и брзината се навистина обратно пропорционални: со брзина 2 пати поголема од првичната брзина, автомобилот ќе помине 2 пати помалку време на патот.
Решението за овој проблем може да се напише и како пропорција. Значи, прво да го создадеме овој дијаграм:
↓ 60 km/h – 6h
↓120 km/h – x h
Стрелките укажуваат на обратно пропорционална врска. Тие исто така сугерираат дека при изготвување на пропорција, десната страна на записот мора да се преврти: 60/120 = x/6. Каде добиваме x = 60 * 6/120 = 3 часа.
Задача бр. 2. Во работилницата се вработени 6 работници кои можат да завршат одредена количина на работа за 4 часа. Ако бројот на работници се преполови, колку време ќе им треба на преостанатите работници да завршат исто толку работа?
Дозволете ни да ги запишеме условите на проблемот во форма на визуелен дијаграм:
↓ 6 работници – 4 часа
↓ 3 работници – x ч
Да го напишеме ова како пропорција: 6/3 = x/4. И добиваме x = 6 * 4/3 = 8 часа.Ако има 2 пати помалку работници, останатите ќе потрошат 2 пати повеќе време за да ја завршат целата работа.
Задача бр.3. Има две цевки кои водат во базенот. Низ една цевка тече вода со брзина од 2 l/s и го полни базенот за 45 минути. Преку друга цевка, базенот ќе се наполни за 75 минути. Со која брзина водата влегува во базенот преку оваа цевка?
За почеток, да ги намалиме сите количини што ни се дадени според условите на проблемот на исти мерни единици. За да го направите ова, ја изразуваме брзината на полнење на базенот во литри во минута: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Бидејќи тоа произлегува од условот базенот да се полни побавно низ втората цевка, тоа значи дека стапката на проток на вода е помала. Пропорционалноста е инверзна. Да ја изразиме непознатата брзина преку x и да го подготвиме следниот дијаграм:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 мин
И тогаш ја сочинуваме пропорцијата: 120/x = 75/45, од каде x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Во проблемот, брзината на полнење на базенот е изразена во литри во секунда; да го намалиме одговорот што го добивме на истата форма: 72/60 = 1,2 l/s.
Задача бр.4. Мала приватна печатница печати визит-картички. Вработен во печатница работи со брзина од 42 визит карти на час и работи цел ден - 8 часа. Ако работел побрзо и испечатил 48 визит-картички за еден час, колку порано би можел да си оди дома?
Ја следиме докажаната патека и изготвуваме дијаграм според условите на проблемот, означувајќи ја саканата вредност како x:
↓ 42 визит-картички/час – 8 часа
↓ 48 визит-картички/ч – x ч
Имаме обратно пропорционална врска: колку пати повеќе визит-картички печати вработен во печатница на час, ист број пати помалку време ќе му треба да ја заврши истата работа. Знаејќи го ова, ајде да создадеме пропорција:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 часа.
Така, откако ќе ја заврши работата за 7 часа, вработениот во печатницата можеше да си оди дома еден час порано.
Заклучок
Ни се чини дека овие проблеми со обратна пропорционалност се навистина едноставни. Се надеваме дека сега и вие така размислувате за нив. И главната работа е дека знаењето за обратно пропорционална зависност на количините навистина може да ви биде корисно повеќе од еднаш.
Не само на часовите по математика и на испитите. Но и тогаш, кога ќе се подготвите за патување, одете на шопинг, одлучете се да заработите малку повеќе пари за време на празниците итн.
Кажете ни во коментар какви примери на обратни и правопропорционални односи забележувате околу вас. Нека биде таква игра. Ќе видите колку е возбудливо. Не заборавајте да ја споделите оваа статија на социјалните мрежи за да можат да играат и вашите пријатели и соученици.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.