តារាងនៃអនុគមន៍ដែលបានមកជាមួយអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ។ ច្បាប់សម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ

ចាប់តាំងពីអ្នកមកទីនេះ អ្នកប្រហែលជាបានឃើញរូបមន្តនេះរួចហើយនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា

ហើយធ្វើមុខបែបនេះ៖

មិត្តកុំបារម្ភ! តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺគ្រាន់តែជាការខឹងសម្បារប៉ុណ្ណោះ។ អ្នកប្រាកដជាយល់គ្រប់យ៉ាង។ សំណើតែមួយគត់ - អានអត្ថបទ យ៉ាងយឺតព្យាយាមយល់គ្រប់ជំហាន។ ខ្ញុំបានសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែអ្នកនៅតែត្រូវយល់ពីគំនិតនេះ។ ហើយត្រូវប្រាកដថាដោះស្រាយភារកិច្ចពីអត្ថបទ។

តើមុខងារស្មុគស្មាញគឺជាអ្វី?

ស្រមៃថាអ្នកកំពុងផ្លាស់ទៅអាផាតមិនមួយផ្សេងទៀត ដូច្នេះហើយខ្ចប់របស់របរដាក់ក្នុងប្រអប់ធំ។ ឧបមាថាអ្នកត្រូវប្រមូលរបស់របរតូចៗមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ សម្ភារៈសរសេររបស់សាលា។ ប្រសិនបើអ្នកគ្រាន់តែបោះវាទៅក្នុងប្រអប់ដ៏ធំ ពួកគេនឹងបាត់បង់ក្នុងចំណោមរបស់ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះ ជាដំបូងអ្នកដាក់ពួកវាជាឧទាហរណ៍ក្នុងថង់មួយ ដែលអ្នកបន្ទាប់មកដាក់ក្នុងប្រអប់ធំមួយ បន្ទាប់មកអ្នកបិទវា។ ដំណើរការ "ស្មុគស្មាញ" នេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងដ្យាក្រាមខាងក្រោម៖

វាហាក់ដូចជា, តើគណិតវិទ្យាមានអ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយវា? បាទ ទោះបីជាមុខងារស្មុគស្មាញត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបដូចគ្នាក៏ដោយ! មានតែយើងទេដែល "ខ្ចប់" មិនមែនសៀវភៅកត់ត្រា និងប៊ិចទេ ប៉ុន្តែ $x$ ខណៈពេលដែល "កញ្ចប់" និង "ប្រអប់" គឺខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយក x និង "pack" វាទៅជាមុខងារមួយ៖

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាន $\cos⁡x$។ នេះគឺជា "កាបូប" របស់យើង។ ឥឡូវនេះយើងដាក់វានៅក្នុង "ប្រអប់" - ខ្ចប់វាឧទាហរណ៍ទៅជាមុខងារគូប។

តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅទីបញ្ចប់? បាទ ត្រូវហើយ វានឹងមាន "ថង់របស់របរនៅក្នុងប្រអប់មួយ" នោះគឺ "កូស៊ីនុស X cubed"។

ការរចនាលទ្ធផលគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ វាខុសគ្នាពីសាមញ្ញមួយនៅក្នុងនោះ។ "ឥទ្ធិពល" ជាច្រើន (កញ្ចប់) ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះ X មួយជួរហើយវាប្រែថា "មុខងារពីមុខងារ" - "ការវេចខ្ចប់ក្នុងវេចខ្ចប់" ។

IN វគ្គសិក្សាសាលាមានប្រភេទ "កញ្ចប់" ទាំងនេះតិចតួចណាស់ មានតែបួនប៉ុណ្ណោះ៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើង "ខ្ចប់" X ជាដំបូងទៅក្នុងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋាន 7 ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ យើងទទួលបាន:

$x → 7^x → tg⁡(7^x)$

ឥឡូវនេះសូម "ខ្ចប់" X ពីរដង អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទីមួយនៅក្នុង ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុង៖

$x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)$

សាមញ្ញទេ?

ឥឡូវសរសេរមុខងារដោយខ្លួនឯង ដែល x:
- ដំបូងវាត្រូវបាន "ខ្ចប់" ទៅក្នុងកូស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយមូលដ្ឋាន $3$;
- ទីមួយដល់អំណាចទីប្រាំហើយបន្ទាប់មកទៅតង់សង់;
- ដំបូងទៅលោការីតទៅមូលដ្ឋាន $4$ បន្ទាប់មកទៅថាមពល $-2$ ។

ស្វែងរកចម្លើយចំពោះកិច្ចការនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ។

តើយើងអាច "ខ្ចប់" X មិនមែនពីរ ប៉ុន្តែបីដងទេ? គ្មានបញ្ហា! និងបួន, ប្រាំ, ម្ភៃប្រាំដង។ ឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាមុខងារដែល x ត្រូវបាន "ខ្ចប់" $4$ ដង៖

$y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))$

ប៉ុន្តែរូបមន្តបែបនេះនឹងមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការអនុវត្តនៅសាលាទេ (សិស្សមានសំណាងជាង - របស់ពួកគេអាចស្មុគស្មាញជាង☺)។

"ការវេចខ្ចប់" មុខងារស្មុគស្មាញ

មើលមុខងារមុនម្តងទៀត។ តើអ្នកអាចស្វែងយល់ពីលំដាប់ "វេចខ្ចប់" បានទេ? អ្វីដែល X ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងទីមួយ អ្វីបន្ទាប់មក និងបន្តរហូតដល់ទីបញ្ចប់។ នោះគឺថាតើមុខងារមួយណាត្រូវបានបង្កប់ក្នុងនោះ? យកក្រដាសមួយសន្លឹក ហើយសរសេរអ្វីដែលអ្នកគិត។ អ្នកអាចធ្វើដូចនេះដោយប្រើខ្សែសង្វាក់ដែលមានព្រួញដូចដែលយើងបានសរសេរខាងលើ ឬតាមមធ្យោបាយផ្សេងទៀត។

ឥឡូវនេះចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺ៖ ដំបូង x ត្រូវបាន "ខ្ចប់" ទៅក្នុងថាមពលទី \$4$ បន្ទាប់មកលទ្ធផលត្រូវបានខ្ចប់ចូលទៅក្នុងស៊ីនុស ហើយវាត្រូវបានដាក់ចូលទៅក្នុងលោការីតទៅមូលដ្ឋាន $2$ ហើយនៅទីបញ្ចប់ សំណង់ទាំងមូលនេះត្រូវបានរុញចូលទៅក្នុងថាមពលប្រាំ។

នោះគឺ អ្នកត្រូវស្រាយលំដាប់តាមលំដាប់បញ្ច្រាស។ ហើយនេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបធ្វើវាឱ្យកាន់តែងាយស្រួល៖ មើល X ភ្លាម អ្នកគួរតែរាំពីវា។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាមុខងារ៖ $y=tg⁡(\log_2⁡x)$។ យើងក្រឡេកមើល X - តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះវាមុនគេ? យកពីគាត់។ ហើយបន្ទាប់មក? តង់សង់នៃលទ្ធផលត្រូវបានយក។ លំដាប់នឹងដូចគ្នា៖

$x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)$

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ $y=\cos⁡((x^3))$ ។ ចូរយើងវិភាគ - ដំបូងយើងកាត់ X ហើយបន្ទាប់មកយកកូស៊ីនុសនៃលទ្ធផល។ នេះមានន័យថា លំដាប់នឹងមាន៖ $x → x^3 → \cos⁡((x^3))$ ។ យកចិត្តទុកដាក់ មុខងារហាក់ដូចជាស្រដៀងនឹងមុខងារទីមួយ (ដែលវាមានរូបភាព)។ ប៉ុន្តែនេះគឺជាមុខងារខុសគ្នាទាំងស្រុង៖ នៅទីនេះក្នុងគូបគឺ x (នោះគឺ $\cos⁡((x·x·x)))$ ហើយនៅក្នុងគូបគឺជាកូស៊ីនុស $x$ ( នោះគឺ $\cos⁡x·\cos⁡x·\cos⁡x$)។ ភាពខុសគ្នានេះកើតឡើងពីលំដាប់ "វេចខ្ចប់" ផ្សេងៗគ្នា។

ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ (ជាមួយ ពត៌មានសំខាន់នៅក្នុងវា): $y=\sin⁡((2x+5))$។ វាច្បាស់ណាស់នូវអ្វីដែលពួកគេបានធ្វើនៅទីនេះមុន។ ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធជាមួយ x បន្ទាប់មកយកស៊ីនុសនៃលទ្ធផល៖ $x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))$ ។ ហើយនេះ ចំណុចសំខាន់: ទោះបីជាការពិតដែលថាប្រតិបត្តិការនព្វន្ធមិនមានមុខងារនៅក្នុងខ្លួនពួកគេក៏ដោយក៏នៅទីនេះពួកគេក៏ដើរតួជាវិធីនៃ "ការវេចខ្ចប់" ផងដែរ។ ចូរយើងស្វែងយល់ឱ្យស៊ីជម្រៅបន្តិចទៅក្នុងភាពទន់ភ្លន់នេះ។

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយខាងលើនៅក្នុងមុខងារសាមញ្ញ x ត្រូវបាន "ខ្ចប់" ម្តងហើយនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ - ពីរឬច្រើន។ លើសពីនេះទៅទៀត ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃមុខងារសាមញ្ញណាមួយ (នោះគឺផលបូក ភាពខុសគ្នា គុណ ឬចែក) មុខងារសាមញ្ញ. ឧទាហរណ៍ $x^7$ គឺជាមុខងារសាមញ្ញ ហើយដូច្នេះគឺ $ctg x$។ នេះមានន័យថាបន្សំទាំងអស់របស់ពួកគេគឺជាមុខងារសាមញ្ញ៖

$x^7+ ctg x$ - សាមញ្ញ,
$x^7· cot x$ – សាមញ្ញ,
$\frac(x^7)(ctg x)$ – សាមញ្ញ។ល។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើមុខងារមួយបន្ថែមទៀតត្រូវបានអនុវត្តចំពោះការរួមបញ្ចូលគ្នាបែបនេះ វានឹងក្លាយជាមុខងារស្មុគស្មាញ ព្រោះវានឹងមាន "កញ្ចប់" ពីរ។ សូមមើលដ្យាក្រាម៖

មិនអីទេ ទៅមុខឥឡូវនេះ។ សរសេរលំដាប់នៃមុខងារ "រុំ"៖
$y=cos(⁡(sin⁡x)))$
$y=5^(x^7)$
$y=arctg⁡(11^x)$
$y=log_2⁡(1+x)$
ចម្លើយគឺម្តងទៀតនៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ។

មុខងារខាងក្នុងនិងខាងក្រៅ

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវយល់ពីមុខងារសំបុក? តើនេះផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វី? ការពិតគឺថាបើគ្មានការវិភាគបែបនេះទេ យើងនឹងមិនអាចរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារដែលបានពិភាក្សាខាងលើដោយភាពជឿជាក់នោះទេ។

ហើយដើម្បីបន្តទៅមុខទៀត យើងនឹងត្រូវការគោលគំនិតពីរបន្ថែមទៀត៖ មុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ។ នេះគឺខ្លាំងណាស់ រឿងសាមញ្ញលើសពីនេះទៅទៀត តាមការពិត យើងបានវិភាគពួកវាខាងលើរួចហើយ៖ ប្រសិនបើយើងរំលឹកពីភាពស្រដៀងគ្នារបស់យើងនៅដើមដំបូង នោះមុខងារខាងក្នុងគឺជា “កញ្ចប់” ហើយមុខងារខាងក្រៅគឺជា “ប្រអប់”។ ទាំងនោះ។ អ្វីដែល X ត្រូវបាន "រុំ" ជាដំបូងគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយអ្វីដែលមុខងារខាងក្នុងត្រូវបាន "រុំ" នៅក្នុងគឺខាងក្រៅរួចហើយ។ ជាការប្រសើរណាស់, វាច្បាស់ណាស់ថាហេតុអ្វីបានជា - នាងនៅខាងក្រៅ, ដែលមានន័យថាខាងក្រៅ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ៖ $y=tg⁡(log_2⁡x)$ មុខងារ $\log_2⁡x$ គឺខាងក្នុង ហើយ
- ខាងក្រៅ។

ហើយនៅក្នុងនេះ៖ $y=\cos⁡((x^3+2x+1)))$, $x^3+2x+1$ គឺខាងក្នុង ហើយ
- ខាងក្រៅ។

បំពេញការអនុវត្តចុងក្រោយនៃការវិភាគមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ហើយចុងក្រោយសូមបន្តទៅអ្វីដែលយើងទាំងអស់គ្នាបានចាប់ផ្តើមសម្រាប់ - យើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

បំពេញចន្លោះក្នុងតារាង៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ

Bravo ចំពោះពួកយើង ទីបំផុតយើងបានទៅដល់ "ចៅហ្វាយ" នៃប្រធានបទនេះ - តាមពិត ដេរីវេ មុខងារស្មុគស្មាញហើយជាពិសេសចំពោះរូបមន្តដ៏អាក្រក់នោះតាំងពីដើមអត្ថបទ។☺

$(f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)$

រូបមន្តនេះអានដូចនេះ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអនុគមន៍ខាងក្នុងថេរ និងដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្នុង។

ហើយមើលដ្យាក្រាមញែកតាមពាក្យនោះភ្លាម ដើម្បីឱ្យអ្នកយល់ថាត្រូវធ្វើអ្វីជាមួយនឹងអ្វី៖

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាពាក្យ "ដេរីវេ" និង "ផលិតផល" មិនបង្កឱ្យមានការលំបាកណាមួយឡើយ។ "មុខងារស្មុគស្មាញ" - យើងបានតម្រៀបវារួចហើយ។ ការចាប់នៅក្នុង "ដេរីវេ" មុខងារខាងក្រៅនេះបើយោងតាមផ្ទៃក្នុងដែលមិនមានការផ្លាស់ប្តូរ»។ តើវាជាអ្វី?

ចម្លើយ៖ នេះគឺជាដេរីវេធម្មតានៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ ដែលមានតែមុខងារខាងក្រៅផ្លាស់ប្តូរ ហើយផ្នែកខាងក្នុងនៅតែដដែល។ នៅតែមិនច្បាស់? មិនអីទេ ចូរយើងប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានមុខងារ $y=\sin⁡(x^3)$ ។ វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារខាងក្នុងនៅទីនេះគឺ $x^3$ និងខាងក្រៅ
. ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកខាងក្រៅ ដោយគោរពទៅផ្នែកខាងក្នុងថេរ។

និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ $y = f(x)$ ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយដែលមានចំណុច $x_0$ នៅខាងក្នុងវា។ ចូរផ្តល់អាគុយម៉ង់ជាការបង្កើន $\Delta x $ ដូចដែលវាមិនទុកចន្លោះពេលនេះទេ។ ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ $\Delta y $ (នៅពេលផ្លាស់ទីពីចំណុច $x_0 $ ទៅចំណុច $x_0 + \Delta x $) ហើយសរសេរទំនាក់ទំនង $\frac(\Delta y)(\Delta x)$។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់ចំពោះសមាមាត្រនេះនៅ $\Delta x \rightarrow 0$ នោះដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានហៅ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។$y=f(x) \$ ត្រង់ចំណុច $x_0 \$ ហើយបញ្ជាក់ $f"(x_0) \$ ។

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

និមិត្តសញ្ញា y ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់ដេរីវេ។ មុខងារថ្មី។ប៉ុន្តែត្រូវបានភ្ជាប់ដោយធម្មជាតិជាមួយនឹងមុខងារ y = f(x) ដែលកំណត់នៅគ្រប់ចំណុច x ដែលដែនកំណត់ខាងលើមាន។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x).

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេគឺដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអាចគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅចំណុចជាមួយ abscissa x=a ដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស y នោះ f(a) បង្ហាញពីជម្រាលនៃតង់សង់ :
$k = f"(a)$

ចាប់តាំងពី $k = tg(a) \$ បន្ទាប់មកសមភាព $f"(a) = tan(a) \$ គឺពិត។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកស្រាយនិយមន័យនៃដេរីវេពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ $y = f(x)$ មានដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ $x$៖
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
នេះមានន័យថានៅជិតចំនុច x សមភាពប្រហាក់ប្រហែល $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, i.e. $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ ដីសណ្ត x$ ។ អត្ថន័យដ៏មានអត្ថន័យនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលលទ្ធផលមានដូចខាងក្រោម៖ ការបង្កើនមុខងារគឺ "ស្ទើរតែសមាមាត្រ" ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ហើយមេគុណនៃសមាមាត្រគឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅក្នុង ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ X. ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ $y = x^2$ សមភាពប្រហាក់ប្រហែល $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ មានសុពលភាព។ ប្រសិនបើយើងវិភាគដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ នោះយើងនឹងឃើញថាវាមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ស្វែងរកវា។

ចូរយើងបង្កើតវា។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x)?

1. ជួសជុលតម្លៃនៃ $x$, ស្វែងរក $f(x)$
2. ផ្តល់អាគុយម៉ង់ $x$ បង្កើន $\Delta x$ ទៅកាន់ ចំណុចថ្មី។\\ (x+ \\ Delta x \\), ស្វែងរក \\ (f (x + \\ Delta x) \\)
3. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍៖ $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. បង្កើតទំនាក់ទំនង $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. គណនា $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ដែនកំណត់នេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះវាត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ នីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាមុខងារ y = f (x) ។

ចូរយើងពិភាក្សាសំណួរខាងក្រោម៖ តើការបន្ត និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៅចំណុចមួយមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?

សូមអោយអនុគមន៍ y = f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ បន្ទាប់មកតង់ហ្សង់មួយអាចត្រូវបានទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M(x; f(x)) ហើយសូមចាំថា មេគុណមុំនៃតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង f "(x)។ ក្រាហ្វបែបនេះមិនអាច "បំបែក" បានទេ។ នៅចំណុច M, ឧ. មុខងារត្រូវតែបន្តនៅចំណុច x ។

ទាំងនេះគឺជាអំណះអំណាង "ដោយដៃ" ។ ចូរយើងផ្តល់ហេតុផលដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះសមភាពប្រហាក់ប្រហែល $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ រក្សា។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមភាពនេះ $\Delta x $ ទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មក $\Delta y $ នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះវានឹងបន្តនៅចំណុចនោះ។.

សេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ច្រាសគឺមិនពិតទេ។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ y = |x| គឺបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែង ជាពិសេសនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ “ចំណុចប្រសព្វ” (0; 0) មិនមានទេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយចំនួន តង់សង់មិនអាចទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នោះដេរីវេមិនមាននៅត្រង់ចំណុចនោះទេ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុគមន៍ $y=\sqrt(x)$ គឺបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល រួមទាំងនៅចំណុច x = 0។ ហើយតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាននៅចំណុចណាមួយ រួមទាំងនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះតង់សង់ត្រូវគ្នានឹងអ័ក្ស y ពោលគឺវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa សមីការរបស់វាមានទម្រង់ x = 0 ។ មេគុណជម្រាលបន្ទាត់បែបនេះមិនមានទេ ដែលមានន័យថា $f"(0) $ ក៏មិនមានដែរ។

ដូច្នេះ យើងបានស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីនៃមុខងារ - ភាពខុសគ្នា។ តើគេអាចសន្និដ្ឋានដោយរបៀបណាពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ថាវាខុសគ្នា?

ចម្លើយគឺពិតជាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះវាអាចគូរតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះមុខងារគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមិនមានទេ ឬវាកាត់កែងទៅអ័ក្ស abscissa នោះនៅចំណុចនេះ មុខងារមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ ជារឿយៗអ្នកត្រូវធ្វើការជាមួយ កូតា ផលបូក ផលិតផលនៃមុខងារ ក៏ដូចជា "មុខងារនៃមុខងារ" ពោលគឺ មុខងារស្មុគស្មាញ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចទាញយកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលធ្វើឱ្យការងារនេះកាន់តែងាយស្រួល។ ប្រសិនបើ C - ចំនួនថេរនិង f=f(x), g=g(x) គឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានមួយចំនួន បន្ទាប់មកខាងក្រោមគឺពិត ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$$$ (fg)"=f"g + fg" $$$$ ( Cf)"=Cf" $$$$ \left(\frac(f)(g)\right) "=\frac(f"g-fg")(g^2) $$$$ \\left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ៖
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

តារាងដេរីវេនៃមុខងារមួយចំនួន

$$ \left(\frac(1)(x)\right) " = -\frac(1)(x^2) $$$$(\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$$$ \left(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$(\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$$$$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

ដែលយើងបានវិភាគនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយក៏បានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងមួយចំនួនផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តបច្ចេកទេសការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវពូកែជាមួយដេរីវេនៃមុខងារ ឬចំណុចមួយចំនួនក្នុងអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមមានអារម្មណ៍ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនសាមញ្ញទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាញឹកញាប់ ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

យើងក្រឡេកមើលតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ចូរយើងដោះស្រាយវា។ ជាបឋមសូមយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការចូល។ នៅទីនេះយើងមានមុខងារពីរ – និង ហើយមុខងារដែលនិយាយក្នុងន័យធៀបគឺត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមុខងារ។ មុខងារនៃប្រភេទនេះ (នៅពេលដែលមុខងារមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារស្មុគស្មាញ។

ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).

! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំដាក់ពាក្យ ការបញ្ចេញមតិក្រៅផ្លូវការ"មុខងារខាងក្រៅ", "ខាងក្នុង" មុខងារតែមួយគត់ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ស្ថានភាព សូមពិចារណា៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅក្រោមស៊ីនុស យើងមិនត្រឹមតែមានអក្សរ “X” ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាកន្សោមទាំងមូល ដូច្នេះការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗពីតារាងនឹងមិនដំណើរការទេ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ទាំងបួនដំបូងនៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប៉ុន្តែការពិតគឺថាស៊ីនុសមិនអាច "ហែកជាបំណែកៗ" បានទេ៖

IN ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។វាច្បាស់ណាស់ដោយវិចារណញាណពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំថា មុខងារគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺជាមុខងារខាងក្នុង (បង្កប់) និងមុខងារខាងក្រៅ។

ជំហានដំបូងអ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញគឺដើម្បី យល់ថាតើមុខងារមួយណាជាខាងក្នុង និងមួយណាជាខាងក្រៅ.

ពេលណា ឧទាហរណ៍សាមញ្ញវាហាក់ដូចជាច្បាស់ណាស់ថាពហុនាមមួយត្រូវបានបង្កប់នៅក្រោមស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្វីៗមិនច្បាស់? តើត្រូវកំណត់យ៉ាងត្រឹមត្រូវថា មួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ និងមួយណាជាផ្ទៃក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង។

ចូរស្រមៃថាយើងត្រូវការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ជំនួសឱ្យលេខមួយអាចមានលេខណាមួយ) ។

តើយើងនឹងគណនាអ្វីមុនគេ? ជាដំបូងបង្អស់អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោម៖ ដូច្នេះពហុធានឹងជាមុខងារខាងក្នុង៖

ទីពីរនឹងត្រូវរកឃើញ ដូច្នេះស៊ីនុស - នឹងក្លាយជាមុខងារខាងក្រៅ៖

បន្ទាប់ពីយើង លក់ហើយជាមួយនឹងមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ វាដល់ពេលដែលត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ .

តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?យើងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយចំពោះដេរីវេណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងភ្ជាប់កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀប ហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ៖

ជាដំបូងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ (ស៊ីនុស) សូមមើលតារាងដេរីវេ មុខងារបឋមហើយយើងកត់សំគាល់ថា។ រូបមន្តតារាងទាំងអស់ក៏អាចអនុវត្តបានដែរ ប្រសិនបើ "x" ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មុគស្មាញ, វ ក្នុងករណីនេះ:

សូមចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិនបានផ្លាស់ប្តូរ, យើងមិនប៉ះវា.

មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា

លទ្ធផលនៃការអនុវត្តរូបមន្ត នៅក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា វាមើលទៅដូចនេះ៖

មេគុណថេរជាធម្មតាដាក់នៅដើមកន្សោម៖

ប្រសិនបើមានការយល់ច្រឡំ សូមសរសេរដំណោះស្រាយលើក្រដាស ហើយអានការពន្យល់ម្តងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចរាល់ដង យើងសរសេរចុះ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ពីកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្រៅ និងកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្នុង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងព្យាយាម (ផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅ . តើអ្នកគួរធ្វើអ្វីមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដូច្នេះពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖

ហើយមានតែនៅពេលនោះ និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះ មុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖

យោងតាមរូបមន្ត ជាដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ ក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ រកមើលនៅក្នុងតារាង រូបមន្តដែលត្រូវការ:. យើងនិយាយម្តងទៀត៖ ណាមួយ។ រូបមន្តតារាងមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ "x" ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។. ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ បន្ទាប់៖

ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា នៅពេលដែលយើងយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ មុខងារខាងក្នុងរបស់យើងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

ឥឡូវនេះនៅសល់គឺត្រូវស្វែងរកដេរីវេសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកែប្រែលទ្ធផលបន្តិច៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ(ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពីដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍មួយដោយគ្មានយោបល់ ព្យាយាមរកវាដោយខ្លួនឯង ហេតុផលថាតើមុខងារខាងក្នុងនៅឯណា ហេតុអ្វីកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបនេះ?

ឧទាហរណ៍ 5

ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះយើងមានឫសមួយ ហើយដើម្បីបំបែកឫសគល់ វាត្រូវតែតំណាងឱ្យអំណាច។ ដូច្នេះ ជាដំបូងយើងនាំយកមុខងារទៅជាទម្រង់ដែលសមរម្យសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖

ការវិភាគមុខងារ យើងសន្និដ្ឋានថា ផលបូកនៃពាក្យទាំងបីគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយការលើកទៅជាថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ :

យើងតំណាងឱ្យដឺក្រេម្តងទៀតជារ៉ាឌីកាល់ (ឫស) ហើយសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង យើងអនុវត្តច្បាប់សាមញ្ញមួយសម្រាប់បែងចែកផលបូក៖

រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចផ្តល់កន្សោមក្នុងវង់ក្រចកទៅ កត្តាកំណត់រួមហើយសរសេរអ្វីៗទាំងអស់ជាប្រភាគ។ វាពិតជាស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែនៅពេលដែលអ្នកទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុដ៏វែងឆ្ងាយ វាល្អជាងកុំធ្វើវា (វាងាយនឹងច្របូកច្របល់ ធ្វើខុសដែលមិនចាំបាច់ ហើយវានឹងមិនស្រួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការពិនិត្យ) ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញអ្នកអាចប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា។ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅដូចជាការបង្វែរមិនធម្មតា។ នៅទីនេះ ឧទាហរណ៍ធម្មតា។:

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃ quotient ប៉ុន្តែ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការស្វែងរកដេរីវេតាមរយៈច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងរៀបចំមុខងារសម្រាប់ភាពខុសគ្នា - យើងផ្លាស់ទីដកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ហើយលើកកូស៊ីនុសទៅក្នុងភាគយក៖

កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
ចូរប្រើច្បាប់របស់យើង។ :

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖

រួចរាល់។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។ ដោយវិធីនេះព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើក្បួន , ចម្លើយត្រូវតែផ្គូផ្គង។

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

រហូតមកដល់ពេលនេះយើងបានពិនិត្យមើលករណីដែលយើងមានសំបុកតែមួយគត់នៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលដូចជាសំបុកតុក្កតា មួយនៅខាងក្នុងផ្សេងទៀត មុខងារ 3 ឬសូម្បីតែ 4-5 ត្រូវបានដាក់សំបុកក្នុងពេលតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ចូរយើងយល់ពីឯកសារភ្ជាប់នៃមុខងារនេះ។ ចូរយើងព្យាយាមគណនាកន្សោមដោយប្រើតម្លៃពិសោធន៍។ តើយើងនឹងពឹងផ្អែកលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយរបៀបណា?

ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ដែលមានន័យថា arcsine គឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត៖

បន្ទាប់មក arcsine នៃមួយគួរតែជាការ៉េ:

ហើយទីបំផុតយើងលើកប្រាំពីរទៅជាថាមពលមួយ៖

នោះគឺនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះយើងមានបី មុខងារផ្សេងគ្នានិងការបង្កប់ពីរ ដោយមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត

យោងតាមច្បាប់ ដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "X" យើងមាន កន្សោមស្មុគស្មាញដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះ។ ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ បន្ទាប់។

បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ដែលមានមុខងារ 3-4-5 សំបុកនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ប្រហែលជាឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមនេះហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់ពីពួកគេ (នរណាម្នាក់នឹងរងទុក្ខ) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុង ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលវានឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រូវហើយ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគរបស់អ្នក។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ល្បិចមានប្រយោជន៍៖ យើងយកអត្ថន័យពិសោធន៍នៃ "x" ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួសអត្ថន័យនេះទៅជា "កន្សោមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។

1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោមដែលមានន័យថាផលបូកគឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។

2) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖

4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:

5) នៅជំហានទីប្រាំភាពខុសគ្នា:

៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖

រូបមន្តសម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ នឹងត្រូវបានប្រើនៅក្នុង លំដាប់បញ្ច្រាសពីមុខងារខាងក្រៅទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖

វាហាក់ដូចជាគ្មានកំហុស៖

1) យកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។

2) យកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន

3) ដេរីវេនៃបីគឺសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រ (គូប) ។

4) យកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។

6) ហើយចុងក្រោយយើងយកដេរីវេនៃការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។

វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តចំពោះភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថា ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់វត្ថុស្រដៀងគ្នានៅក្នុងការប្រឡង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ព័ត៌មានជំនួយ៖ ជាដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់លីនេអ៊ែរ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផល

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដល់ពេលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលតូចជាង និងស្អាតជាង។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើម្បីបង្ហាញផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែ មុខងារបី. របៀបស្វែងរកដេរីវេនៃ ផលិតផលបីមេគុណ?

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ជាដំបូង សូមមើលថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរដែរឬទេ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល យើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។

ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល ពីរដង

ល្បិចគឺថាដោយ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងដោយ "ve" យើងបង្ហាញពីលោការីត: . ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើវាពិតជាមែនទេ? - នេះមិនមែនជាផលិតផលនៃកត្តាពីរហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ តង្កៀប៖

អ្នកក៏អាចបត់បែន និងដាក់អ្វីមួយចេញពីតង្កៀបបានដែរ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការទុកចំលើយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។

ឧទាហរណ៍ដែលពិចារណាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖

ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យមួយនៅក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដំបូង។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

មានវិធីជាច្រើនដែលអ្នកអាចទៅទីនេះ៖

ឬដូចនេះ៖

ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួម ប្រសិនបើយើងប្រើក្បួននៃភាពខុសគ្នានៃកូតាដំបូង យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖

ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលនោះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេលវេលា វាតែងតែត្រូវពិនិត្យមើលសេចក្តីព្រាងដើម្បីមើលថាតើចម្លើយអាចសាមញ្ញបានឬទេ?

ចូរកាត់បន្ថយកន្សោមនៃភាគយកទៅជាភាគបែងរួម ហើយកម្ចាត់រចនាសម្ព័ន្ធបីជាន់នៃប្រភាគ:

គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែក្នុងអំឡុងពេលការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់លើវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់ដូចជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

មុននឹងរៀនស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ចូរយើងស្វែងយល់ពីគោលគំនិតនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញមួយ តើវាជាអ្វី "អ្វីដែលវាត្រូវបានបរិភោគជាមួយ" និង "របៀបចំអិនវាឱ្យបានត្រឹមត្រូវ" ។

ចូរយើងពិចារណា មុខងារបំពានឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៅជ្រុងខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមីការអនុគមន៍គឺជាលេខដូចគ្នា ឬកន្សោម។

ជំនួសឱ្យអថេរ យើងអាចដាក់ឧទាហរណ៍កន្សោមខាងក្រោម៖ . ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារ

ចូរហៅកន្សោមថាជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយមុខងារជាអនុគមន៍ខាងក្រៅ។ វាមិនតឹងរ៉ឹងទេ។ គំនិតគណិតវិទ្យាប៉ុន្តែពួកគេជួយឱ្យយល់ពីអត្ថន័យនៃគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញគឺ៖

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មួយត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំមួយ និងជាសំណុំនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំ (ឬសំណុំរងរបស់វា) ជាដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ។ ចូរកំណត់លេខដល់ពួកគេម្នាក់ៗ។ ដូច្នេះមុខងារនឹងត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសមាសភាពមុខងារឬមុខងារស្មុគស្មាញ។

នៅក្នុងនិយមន័យនេះ ប្រសិនបើយើងប្រើវាក្យស័ព្ទរបស់យើង មុខងារខាងក្រៅគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ត្រូវបានរកឃើញដោយយោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំចូលចិត្តសរសេរច្បាប់នេះដូចខាងក្រោម៖

នៅក្នុងកន្សោមនេះ ការប្រើតំណាងឱ្យមុខងារកម្រិតមធ្យម។

ដូច្នេះ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ អ្នកត្រូវការ

1. កំណត់មុខងារមួយណានៅខាងក្រៅ និងស្វែងរកដេរីវេដែលទាក់ទងគ្នាពីតារាងដេរីវេ។

2. កំណត់អំណះអំណាងកម្រិតមធ្យម។

នៅក្នុងនីតិវិធីនេះការលំបាកបំផុតគឺការស្វែងរកមុខងារខាងក្រៅ។ ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញមួយត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការនេះ៖

ក. សរសេរសមីការនៃអនុគមន៍។

ខ. ស្រមៃថាអ្នកត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ x ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកជំនួសតម្លៃ x នេះទៅក្នុងសមីការអនុគមន៍ ហើយអនុវត្តនព្វន្ធ។ សកម្មភាពចុងក្រោយដែលអ្នកធ្វើគឺមុខងារខាងក្រៅ។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុងមុខងារ

សកម្មភាពចុងក្រោយគឺនិទស្សន្ត។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម