ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត។ អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតតែមួយសន្លឹក សមីការ Canonical របស់វា; ម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear

អ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយ។ ផ្ទៃដែលបានកំណត់ដោយសមីការ

ហៅថាអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹក។ ផ្ទៃនេះមានប្លង់ស៊ីមេទ្រីចំនួនបី - ប្លង់សម្របសម្រួល ចាប់តាំងពីកូអរដោនេបច្ចុប្បន្ន y និង z ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការ (55) នៅក្នុងអំណាចគូ។

ការកាត់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹកជាមួយយន្តហោះ យើងទទួលបានអ៊ីពែបូឡា ABCD ដេកនៅក្នុងយន្តហោះ (រូបភាព 97)

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ នៅក្នុងផ្នែកមួយនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតសន្លឹកតែមួយដោយយន្តហោះ យើងទទួលបានអ៊ីពែបូឡា EFGH

ក្នុងយន្តហោះ

នៅពេលដែលអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតសន្លឹកតែមួយត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ លទ្ធផលគឺអេលីប BFCG ដែលសមីការមានទម្រង់៖

អ័ក្សពាក់កណ្តាលនៃរាងពងក្រពើនេះកើនឡើងជាមួយនឹងការកើនឡើង តម្លៃ​ដាច់ខាតម៉ោង

នៅពេលដែលអ្នកទទួលបានរាងពងក្រពើនៅក្នុងយន្តហោះ ហើយមានអ័ក្សពាក់កណ្តាលតូចបំផុត a និង b ។ នៅពេលដែលយើងទទួលបានអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹកនៃបដិវត្តន៍

នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់វា រង្វង់នឹងត្រូវបានទទួល

នៅក្នុងកថាខណ្ឌ 2 និង 3 ចាត់ទុកថាជាស៊ីឡាំង និង ផ្ទៃរាងសាជីដែលនីមួយៗត្រូវបានផ្សំឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់។ វាប្រែថា hyperboloid មួយសន្លឹកក៏អាចចាត់ទុកថាជាផ្ទៃដែលផ្សំឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ពិចារណាលើបន្ទាត់ត្រង់ដែលកំណត់ដោយសមីការ

ដែលក្នុងនោះ a, b និង c គឺជាអ័ក្សពាក់កណ្តាលនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយ ហើយ k គឺជាលេខដែលបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត

ការគុណសមីការទាំងនេះតាមពាក្យ យើងទទួលបានសមីការ

ឧ. សមីការនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹក។

ដូច្នេះសមីការនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹកគឺជាផលវិបាកនៃប្រព័ន្ធសមីការ (59) ។ ដូច្នេះ កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលបំពេញប្រព័ន្ធសមីការ (59) ក៏បំពេញសមីការ (55) នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹកផងដែរ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ (59) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡូអ៊ីត (55)។ ដោយការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃ k យើងទទួលបានគ្រួសារទាំងមូលនៃបន្ទាត់ដែលដេកលើផ្ទៃ (55) ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹកមានក្រុមគ្រួសារផ្ទាល់ទាំងអស់។

តើប៉ារ៉ាម៉ែត្របំពាននៅឯណា។

វាក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញថាតាមរយៈចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹក នោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់មួយពីគ្រួសារនីមួយៗដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ដូច្នេះ អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹកអាចចាត់ទុកថាជាផ្ទៃដែលផ្សំឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាព 98)។ បន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាម៉ាស៊ីនបង្កើត rectilinear នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹក។

សមត្ថភាពក្នុងការផ្សំផ្ទៃនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយពីបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាសំណង់។

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ យោងតាមការរចនាដែលស្នើឡើងដោយវិស្វករ V.G. Shukhov បង្គោលវិទ្យុមួយត្រូវបានសាងសង់នៅទីក្រុងមូស្គូ ដោយប្រើធ្នឹមដែលមានទីតាំងនៅតាមបណ្ដោយផ្លូវ rectilinear នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយបែហោងធ្មែញ។

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។ ផ្ទៃដែលបានកំណត់ដោយសមីការ

ហៅថាអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។

យន្តហោះសំរបសំរួលគឺជាយន្តហោះនៃស៊ីមេទ្រីសម្រាប់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។

ការប្រសព្វផ្ទៃនេះជាមួយនឹងប្លង់កូអរដោនេ យើងទទួលបានរៀងគ្នា hyperbolas

អ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយ

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1។

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹកគឺជាផ្ទៃដែលបានកំណត់ ប្រព័ន្ធចតុកោណសំរបសំរួល Oxyz ដោយសមីការ Canonical

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.

នៅក្នុងសមីការ (4.48), (4.49) a, b, c គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រវិជ្ជមានដែលកំណត់លក្ខណៈអ៊ីពែបូឡូអ៊ីត និង a\geqslant b ។

ប្រភពដើមនៃកូអរដោណេត្រូវបានគេហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត។ ចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលមានអ័ក្សកូអរដោណេត្រូវបានគេហៅថាចំនុចកំពូលរបស់វា។ ទាំងនេះគឺជាចំណុចបួន (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹក (4.48) និងពីរពិន្ទុ (0,0,\pm c) នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក (៤.៤៩)។ ផ្នែកទាំងបីនៃអ័ក្សកូអរដោណេដែលតភ្ជាប់ចំណុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត។ អ័ក្សអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ័ក្សកូអរដោនេ Ox,\,Oy ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សឆ្លងកាត់នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត ហើយអ័ក្សដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ័ក្សអនុវត្ត Oz ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សបណ្តោយនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត។ លេខ a,\,b,\,c, ស្មើនឹងពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថាពាក់កណ្តាលអ័ក្សនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីត។

ផ្នែកយន្តហោះនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹក

ការជំនួស z=0 ទៅក្នុងសមីការ (4.48) យើងទទួលបានសមីការ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹកជាមួយនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ Oxy ។ សមីការនេះនៅក្នុងយន្តហោះ Oxy កំណត់ពងក្រពើដែលហៅថាបំពង់ក។ បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹកជាមួយនឹងប្លង់កូអរដោនេផ្សេងទៀតគឺជាអ៊ីពែបូឡា។ ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាអ៊ីពែបូឡាចម្បង។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ x=0 យើងទទួលបានអ៊ីពែបូឡាចម្បង \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1និងសម្រាប់ y=0 - អ៊ីពែបូឡាចម្បង \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1

ឥឡូវ​នេះ សូម​យើង​ពិចារណា​ផ្នែក​នៃ​អ៊ីពែបូអ៊ីដ​សន្លឹក​តែមួយ​ដោយ​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​អុកស៊ី។ ការជំនួស z = h ដែល h ជាថេរ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) ទៅជាសមីការ (4.48) យើងទទួលបាន

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2)។

សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ h សមីការកំណត់ពងក្រពើជាមួយអ័ក្សពាក់កណ្តាល a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. អាស្រ័យហេតុនេះ ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតសន្លឹកតែមួយដោយប្លង់ z=h គឺជារាងពងក្រពើ ចំណុចកណ្តាលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអនុវត្ត ហើយកំពូលស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡាមេ។ ក្នុងចំណោមពងក្រពើទាំងអស់ដែលទទួលបានក្នុងផ្នែកដោយយន្តហោះ z=h នៅ អត្ថន័យផ្សេងគ្នាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ h ពងក្រពើបំពង់ក (នៅ h=0) គឺជាពងក្រពើដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាលតូចបំផុត។

ដូច្នេះ អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹកអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយរាងពងក្រពើ ចំនុចកំពូលដែលស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡាសមេ (រូបភាព 4.42, ក)

ផ្នែកយន្តហោះនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក

ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹកដោយកូអរដោនេ Oyz និង Oxz គឺជាអ៊ីពែបូឡាស (អ៊ីពែបូឡាចម្បង) ។

ឥឡូវ​នេះ សូម​យើង​ពិចារណា​ផ្នែក​នៃ​អ៊ីពែបូអ៊ីដ​ពីរ​សន្លឹក​ដោយ​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​អុកស៊ី។ ការជំនួស z = h ដែល h ជាថេរ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) ទៅជាសមីការ (4.49) យើងទទួលបាន

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \\quad \\Leftrightarrow \\quad \\frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.

សម្រាប់ |h| c យើងទទួលបានសមីការនៃពងក្រពើ \frac(x^2)((a")^2)+\frac(y^2)((b")^2)=1ជាមួយនឹងអ័ក្សអ័ក្ស a"=a\sqrt(\frac(h^2)(c^2)-1), b"=b\sqrt(\frac(h^2)(c^2)-1). ដូច្នេះហើយ ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹកដោយប្លង់ z=h ជាមួយ |h|>c គឺជារាងពងក្រពើដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលអ័ក្សអនុវត្ត ដែលជាចំនុចកំពូលដែលស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡាមេ។

ដូច្នេះ អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹកអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយពងក្រពើ ចំនុចកំពូលដែលស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡាសមេ (រូបភាព 4.43, ក)។

Hyperboloids នៃការបង្វិល

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត ដែលអ័ក្សពាក់កណ្តាលឆ្លងកាត់ស្មើគ្នា (a=b) ត្រូវបានគេហៅថា hyperboloid នៃបដិវត្តន៍. អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតបែបនេះគឺជាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ ហើយផ្នែករបស់វាដោយប្លង់ z=h (សម្រាប់អ៊ីពែបូអ៊ីតពីរសន្លឹកដែលមាន |h|>c) គឺជារង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅលើអ័ក្សអនុវត្ត។ អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតសន្លឹកតែមួយ ឬសន្លឹកទ្វេអាចទទួលបានដោយការបង្វិលអ៊ីពែបូឡាជុំវិញអ័ក្សអុក \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(រូបភាព 4.42, ខ) ឬ conjugate អ៊ីពែបូឡា \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(រូបភាព 4.43, ខ) រៀងគ្នា។ ចំណាំថាសមីការសម្រាប់ក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលអ័ក្សឆ្លងកាត់ខុសគ្នា (a\ne b) ត្រូវបានគេហៅថា triaxial (ឬទូទៅ) ។

កំណត់ចំណាំ 4.9

1. យន្តហោះ X x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm គកំណត់ក្នុងលំហ មូលដ្ឋាន គូប នៅខាងក្រៅដែលមានអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក (រូបភាព 4.43, គ)។ មុខពីរ (z=\pm c) នៃ parallelepiped ប៉ះអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតនៅចំនុចកំពូលរបស់វា។

2. ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយសន្លឹកដោយយន្តហោះ, អ័ក្សប៉ារ៉ាឡែលអនុវត្ត និង​មាន​ចំណុច​រួម​មួយ​ជាមួយ​ពង​ក្រពើ​បំពង់ក (ឧ. តង់សង់​ទៅ​វា) តំណាង​ឱ្យ​បន្ទាត់​ត្រង់​ពីរ​ប្រសព្វ​គ្នា​ត្រង់​ចំណុច​នៃ​តង់ស៊ីតេ។ ឧទាហរណ៍ ការជំនួស x=\pm a ទៅក្នុងសមីការ (4.48) យើងទទួលបានសមីការ \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0បន្ទាត់ប្រសព្វពីរ (សូមមើលរូប 4.42, ក)។

3. អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹកគឺជាផ្ទៃគ្រប់គ្រង ពោលគឺឧ។ ផ្ទៃ, បង្កើតឡើងដោយចលនាត្រង់ (សូមមើលរូប 4.42, គ)។ ឧទាហរណ៍ បដិវត្តន៍អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹកអាចទទួលបានដោយការបង្វិលបន្ទាត់ជុំវិញបន្ទាត់មួយទៀតដែលកាត់វា (ប៉ុន្តែមិនកាត់កែង)។

4. ប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical គឺជាមជ្ឈមណ្ឌលនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត។ សំរបសំរួលអ័ក្ស- អ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ សម្របសម្រួលប្លង់ - យន្តហោះនៃស៊ីមេទ្រីអ៊ីពែបូអ៊ីត។

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើចំនុច M(x,y,z) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត នោះចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (\pm x,\pm y,\pm z)សម្រាប់ជម្រើសនៃសញ្ញាណាមួយក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតផងដែរ ចាប់តាំងពីកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការ (4.48) ឬ (4.49) រៀងគ្នា។

Javascript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដើម្បីអនុវត្តការគណនា អ្នកត្រូវតែបើកការគ្រប់គ្រង ActiveX!

ឧបសម្ព័ន្ធ ២

SINGLE-CAVE HYPERBOLOID នៃការបង្វិល

(ព័ត៌មានសង្ខេប)

ប្រសិនបើចលនានៃបន្ទាត់បង្កើតគឺជាការបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ថេរមួយចំនួន (អ័ក្ស) បន្ទាប់មកផ្ទៃដែលបានបង្កើតឡើងក្នុងករណីនេះត្រូវបានគេហៅថាផ្ទៃនៃការបង្វិល។ បន្ទាត់បង្កើតអាចជាខ្សែកោងរាបស្មើ ឬលំហ ក៏ដូចជាបន្ទាត់ត្រង់។

ចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់បង្កើត នៅពេលបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស ពិពណ៌នាអំពីរង្វង់ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សនៃការបង្វិល។ រង្វង់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាឡែល។ អាស្រ័យហេតុនេះ យន្តហោះដែលកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សប្រសព្វគ្នាលើផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ស្របគ្នា។ បន្ទាត់ដែលផ្ទៃនៃការបង្វិលប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា meridian ។ meridians ទាំងអស់នៃផ្ទៃនៃការបង្វិលគឺស្របគ្នា។

សំណុំនៃប៉ារ៉ាឡែល ឬ meridians តំណាងឱ្យស៊ុមបន្តនៃផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍។ តាមរយៈចំណុចនីមួយៗនៅលើផ្ទៃខាងលើ ឆ្លងកាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយ និង meridian មួយ។ ការព្យាករណ៍នៃចំណុចមួយមានទីតាំងនៅលើការព្យាករណ៍ដែលត្រូវគ្នានៃប៉ារ៉ាឡែល ឬ meridian ។ អ្នកអាចកំណត់ចំណុចនៅលើផ្ទៃ ឬសាងសង់ការព្យាករទីពីរនៃចំណុចមួយ ប្រសិនបើគេផ្តល់ឱ្យ ដោយប្រើប៉ារ៉ាឡែល ឬ meridian ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។ ផ្នែកធរណីមាត្រនៃកត្តាកំណត់នៃផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ មានអ័ក្សរង្វិល និង generatrix ។

ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលបន្ទាត់ត្រង់៖

1. - ស៊ីឡាំងនៃការបង្វិលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស;

2. - កោណនៃការបង្វិលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយប្រសព្វអ័ក្ស;

3. - hyperboloid មួយសន្លឹកនៃបដិវត្តន៍ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់អ័ក្ស;

ភាពស្របគ្នានៃផ្ទៃគឺជារង្វង់។

meridian នៃផ្ទៃគឺជាអ៊ីពែបូឡា។

ផ្ទៃគ្រប់គ្រងទាំងអស់នៃបដិវត្តន៍ដែលបានរាយបញ្ជីគឺជាផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ។

ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរជុំវិញអ័ក្សរបស់ពួកគេ។

1. ស្វ៊ែរមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលរង្វង់ជុំវិញអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។

2. រាងពងក្រពើនៃបដិវត្តន៍ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលរាងពងក្រពើជុំវិញអ័ក្សធំ ឬតូច។

3. paraboloid នៃបដិវត្តន៍ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិល parabola ជុំវិញអ័ក្សរបស់វា។

4. អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតនៃបដិវត្តមួយសន្លឹកត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលអ៊ីពែបូឡាជុំវិញអ័ក្សស្រមើស្រមៃរបស់វា (ផ្ទៃនេះក៏ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលបន្ទាត់ត្រង់មួយផងដែរ៖ ជំហាន ក-1)។

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតសន្លឹកតែមួយគឺជាផ្ទៃ សមីការ Canonicalដែលមានទម្រង់៖

ដែល a, b, c គឺជាលេខវិជ្ជមាន។

វាមានប្លង់បីនៃស៊ីមេទ្រី អ័ក្សបីនៃស៊ីមេទ្រី និងកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី។ ពួកវារៀងគ្នា សំរបសំរួលយន្តហោះ អ័ក្សសំរបសំរួល និងប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ដើម្បីសាងសង់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត យើងរកឃើញផ្នែករបស់វាដោយយន្តហោះផ្សេងៗ។ ចូររកបន្ទាត់ប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ xOy ។ នៅលើយន្តហោះនេះ z = 0 ដូច្នេះ

សមីការនេះនៅលើយន្តហោះ xOy កំណត់ពងក្រពើដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b (រូបភាព 1) ។ ចូរយើងស្វែងរកបន្ទាត់ប្រសព្វជាមួយយន្តហោះ yOz ។ នៅលើយន្តហោះនេះ x = 0 ដូច្នេះ

នេះគឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡានៅក្នុងយន្តហោះ yOz ដែលអ័ក្សពាក់កណ្តាលពិតប្រាកដគឺ b ហើយអ័ក្សពាក់កណ្តាលស្រមៃគឺ គ។ ចូរ​យើង​បង្កើត​អ៊ីពែបូល​នេះ។

ផ្នែកដោយយន្តហោះ xOz ក៏ជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានសមីការផងដែរ។

យើងក៏នឹងគូរអ៊ីពែបូឡានេះផងដែរ ប៉ុន្តែដើម្បីកុំឱ្យគំនូរលើសទម្ងន់ជាមួយនឹងបន្ទាត់បន្ថែម យើងនឹងមិនពណ៌នា asymptotes របស់វាទេ ហើយនឹងលុប asymptotes នៅក្នុងផ្នែកដោយយន្តហោះ yOz ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញបន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃជាមួយយន្តហោះ z = ± h, h > 0 ។

អង្ករ។ 1. ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយ

សមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះគឺ៖

ចូរយើងបំប្លែងសមីការទីមួយទៅជាទម្រង់

សមីការ​នេះ​គឺ​ជា​សមីការ​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ​ស្រដៀង​នឹង​រាង​ពង​ក្រពើ​ក្នុង​យន្តហោះ xOy ដោយ​មាន​មេគុណ​ភាព​ស្រដៀង​គ្នា និង​ពាក់កណ្តាល​អ័ក្ស a 1 និង b 1 ។ តោះគូរផ្នែកលទ្ធផល (រូបភាពទី 2) ។

អង្ករ។ 2. រូបភាពនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយដោយប្រើផ្នែក

អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតនៃបដិវត្តមួយសន្លឹកអាចទទួលបានដោយការបង្វិលបន្ទាត់ត្រង់កាត់អ័ក្សស្រមើស្រមៃជុំវិញដែលបន្ទាត់បង្វិល។ ក្នុងករណីនេះវាប្រែចេញ តួលេខទំហំ(រូបទី 3) ផ្ទៃដែលមានទីតាំងជាប់ៗគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់កំឡុងពេលបង្វិល។

អង្ករ។ 3. សន្លឹកតែមួយសន្លឹកនៃបដិវត្តន៍ដែលទទួលបានដោយការបង្វិលបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់អ័ក្សនៃការបង្វិល

meridian នៃផ្ទៃបែបនេះគឺជាអ៊ីពែបូឡា។ ចន្លោះនៅខាងក្នុងតួរលេខនៃការបង្វិលនេះនឹងក្លាយជាការពិត ហើយនៅខាងក្រៅវានឹងជាការស្រមើលស្រមៃ។ ប្លង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សស្រមើស្រមៃ ហើយបំបែកអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយសន្លឹកនៅផ្នែកអប្បបរមារបស់វាត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះប្រសព្វ។

រូបភាពដែលធ្លាប់ស្គាល់នៃសន្លឹកអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយសន្លឹកចំពោះភ្នែកត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ៦.៤.

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ a=b នោះផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOy គឺជារង្វង់។ ក្នុងករណីនេះ ផ្ទៃត្រូវបានគេហៅថា hyperboloid នៃបដិវត្តមួយសន្លឹក ហើយអាចទទួលបានដោយការបង្វិលអ៊ីពែបូឡាដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះ yOz ជុំវិញអ័ក្ស Oz (រូបភាព 4) ។

អង្ករ។ 4. សន្លឹកតែមួយសន្លឹកនៃបដិវត្តន៍,

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយបន្ទះ x 2 /a 2 + y 2 / b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0;ឆ្លងកាត់ សម្របសម្រួលអ័ក្ស x=0,y=0,z=0 ដោយអ៊ីពែបូឡាស y 2/b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 និង ellipsoid x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1 រៀងគ្នា។ នៅក្នុងផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលមានបន្ទះតែមួយដោយប្លង់ z=h ពងក្រពើ x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1 + h 2 / c 2 ជាមួយពាក់កណ្តាលអ័ក្ស ហើយតែងតែទទួលបាន។

សមីការ Canonical:

a = ខ- អ៊ីពែបូអ៊ីដសន្លឹកតែមួយនៃការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស អុក.

ពងក្រពើក៖

កោណ asymptotic៖

ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតសន្លឹកតែមួយដោយយន្តហោះគឺជារាងអេលីប ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ឬបន្ទាត់ត្រង់មួយគូ (ម៉ាស៊ីនបង្កើតរាងចតុកោណកែង)។

ម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear

តាមរយៈចំណុចបំពាន ឆ្លងកាត់ generatrices ត្រង់ពីរជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រទិសដៅ និងកន្លែងដែល:

ជាពិសេសប្រសិនបើចំណុចមួយត្រូវបានជ្រើសរើសនៅលើពងក្រពើបំពង់ក បន្ទាប់មកសមីការនៃម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear នឹងមានៈ

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក សមីការ Canonical របស់វា។

អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h លទ្ធផលគឺពងក្រពើ x 2 /a 2 + z 2 / b 2 = -1 + h 2 /c 2 ជាមួយពាក់កណ្តាលអ័ក្ស b*Root(h 2 /a 2 -1) និង c*Root(h 2/a 2 - 1) ។ នៅពេល h = a យើងទទួលបានពិន្ទុ (±a,0,0) នៅក្នុងផ្នែកឆ្លងកាត់ - ចំនុចកំពូលនៃសន្លឹកពីរ។ នៅក្នុងផ្នែកនៃកូអរដោនេការ៉េ។ z=0 និង y=0 យើងទទួលបានអ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 – y 2 / b 2 = 1 និង x 2 /a 2 – z 2 / c 2 = 1 រៀងគ្នា។

សមីការ Canonical:

a = ខ- អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹកនៃការបង្វិលជុំវិញអ័ក្សមួយ។ អុក.

កោណ asymptotic៖

ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹកតាមយន្តហោះ៖ រាងពងក្រពើ ឬអ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡា ឬចំណុច ឬ។

Elliptic paraboloid សមីការ Canonical របស់វា។

paraboloid រាងអេលីប x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 2pz a>0,b>0;

សមីការ Canonical:

p = q- paraboloid នៃការបង្វិលជុំវិញអ័ក្សមួយ។ អុក.

ផ្នែកនៃ paraboloid រាងអេលីបដោយយន្តហោះគឺជារាងអេលីប ប៉ារ៉ាបូឡា ចំណុច ឬ។

អ៊ីពែបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត សមីការ Canonical របស់វា។ ក្រុមគ្រួសារនៃម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear នៃអ៊ីពែរបូល paraboloid ។

អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 2pz a>0,b>0;

សមីការ Canonical:

ផ្នែកនៃអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត តាមយន្តហោះ គឺជាអ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា ឬបន្ទាត់ត្រង់មួយគូ (ម៉ាស៊ីនបង្កើតរាងចតុកោណ)។
ម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear

តាមរយៈចំណុចនីមួយៗ បន្ទាត់ត្រង់ពីរឆ្លងកាត់៖

ផ្ទៃនៃការបង្វិល។

ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ គឺជាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃបន្ទាត់រាបស្មើជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃបន្ទាត់នេះ។

ដើម្បីទាញយកសមីការសម្រាប់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ អ្នកត្រូវតែជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។ ដើម្បីធ្វើឱ្យសមីការនៃផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍មើលទៅសាមញ្ញជាងមុន អ័ក្សនៃការបង្វិលត្រូវបានយកជាអ័ក្សកូអរដោនេមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យចូល សំរបសំរួលយន្តហោះ Oyz ត្រូវបានកំណត់ដោយខ្សែកោង L ដោយសមីការ F(Y, Z)=0 (រូបភាព 24) ។ យើងបង្វិលខ្សែកោង L ជុំវិញអ័ក្ស Oy ។ ចូរយើងទទួលបានផ្ទៃខ្លះ។ អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y, z) - ចំណុចបំពានផ្ទៃលទ្ធផល។ បន្ទាប់មក
, ប៉ុន្តែ ដោយសារតែ ប្រសិនបើយើងយកចំណុច M 1 ជាមួយនឹងការអនុវត្តអវិជ្ជមានបន្ទាប់មក

ដូច្នេះយើងមាន Y = y, និងកូអរដោនេនៃចំនុច M(x, y, z) បំពេញសមីការ

សមីការ (62) គឺជាសមីការដែលត្រូវការសម្រាប់ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍។

ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានសមីការផ្ទៃ។ បង្កើតឡើងដោយការបង្វិលបន្ទាត់ L ដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះ Oyz ជុំវិញអ័ក្ស Oy អ្នកត្រូវជំនួស z ក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយ

ច្បាប់ស្រដៀងគ្នានឹងអនុវត្តចំពោះសមីការនៃផ្ទៃដែលទទួលបានដោយការបង្វិល បន្ទាត់រាបស្មើជុំវិញអ័ក្សកូអរដោនេផ្សេងទៀត។

ស៊ីឡាំង។

ស៊ីឡាំងលំដាប់ទីពីរ៖ ស៊ីឡាំងរាងអេលីប x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1 a>0, b>0; ស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូល x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 a>0, b>0; ស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូល y 2 = 2px; យន្តហោះប្រសព្វមួយគូ a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 គូនៃយន្តហោះស្របគ្នា ឬស្របគ្នា x-a=0 a>=0; បន្ទាត់ត្រង់ x 2 + y 2 = 0

កោណ។

កោណលំដាប់ទីពីរ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0;ឆ្លងកាត់ការ៉េ z=h --> x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1 ។ នៅក្នុងផ្នែកដោយយន្តហោះ x=0 y=0 យើងមានគូនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 − z 2 /c 2 = 0 resp ។

ចន្លោះលីនេអ៊ែរ

© 2015-2019 គេហទំព័រ
សិទ្ធិទាំងអស់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្នកនិពន្ធ។ គេហទំព័រនេះមិនទាមទារសិទ្ធិជាអ្នកនិពន្ធទេ ប៉ុន្តែផ្តល់ការប្រើប្រាស់ដោយឥតគិតថ្លៃ។
កាលបរិច្ឆេទបង្កើតទំព័រ៖ 2016-02-12

ជុំវិញអ័ក្សដែលកាត់វា (ជុំវិញអ័ក្សពិត)។

ឃ ដើម្បីផ្លាស់ទីពីសមីការបន្ទាត់ (43) ទៅសមីការនៃផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ យើងជំនួស Xនៅលើ
យើងទទួលបានសមីការនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹកនៃបដិវត្តន៍

.

ជាលទ្ធផលនៃការបង្ហាប់នៃផ្ទៃនេះផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការត្រូវបានទទួល

. (44)

ផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian មួយចំនួនមានសមីការនៃទម្រង់ (44) ត្រូវបានគេហៅថា អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។សាខាទាំងពីរនៃអ៊ីពែបូឡានៅទីនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្នែកដែលមិនភ្ជាប់គ្នា ("បែហោងធ្មែញ") នៃផ្ទៃ ខណៈពេលដែលនៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតនៃបដិវត្តមួយសន្លឹក សាខានីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡាពណ៌នាផ្ទៃទាំងមូល (រូបភាព 60)។

កោណ asymptotic សម្រាប់អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹកត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងអ៊ីពែបូអ៊ីតមួយសន្លឹក (រូបភាព 61) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក (44) ដែលមានប្លង់ស្របនឹងកូអរដោណេ។

យន្តហោះ z = ម៉ោងនៅ | ម៉ោង| < គប្រសព្វផ្ទៃ (44) តាមបណ្តោយរាងពងក្រពើដែលមាន | ម៉ោង| > គនេះ​បើ​តាម​ការ​ពិត។ ប្រសិនបើ ក = ខបន្ទាប់មក ពងក្រពើទាំងនេះគឺជារង្វង់ ហើយអ៊ីពែបូឡូអ៊ីត គឺជាអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតនៃបដិវត្តន៍។ ពេលណា | ម៉ោង| = គយើង​ទទួល​បាន

,

i.e. គូនៃបន្ទាត់ផ្សំដែលមានចំណុចពិតមួយ (0; 0; ជាមួយ) (ឬ (0; 0; - ជាមួយ) រៀងៗខ្លួន) ។

យន្តហោះ x= α និង y= β ប្រសព្វអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត (44) តាមបណ្តោយអ៊ីពែបូឡា

និង
.

8. paraboloid រាងអេលីប

នៅពេលបង្វិលប៉ារ៉ាបូឡា x 2 = 2ទំជុំវិញអ័ក្សស៊ីមេទ្រីរបស់វា យើងទទួលបានផ្ទៃជាមួយនឹងសមីការ

x 2 + y 2 = 2ទំ,

ន ហៅ paraboloid នៃបដិវត្តន៍. ការបង្ហាប់ទៅយន្តហោះ នៅ= 0 បំប្លែង paraboloid នៃបដិវត្តន៍ទៅជាផ្ទៃដែលមានសមីការ

. (45)

ផ្ទៃដែលមានសមីការបែបនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានគេហៅថា paraboloid រាងអេលីប។

រូបរាងនៃ paraboloid រាងអេលីបគឺច្បាស់លាស់ពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់របស់វា។ វាទាំងអស់មានទីតាំងនៅម្ខាងនៃយន្តហោះ z= 0 ក្នុងចន្លោះពាក់កណ្តាល z > 0 (រូបភាព 62) ។ ផ្នែកតាមយន្តហោះ z = ម៉ោង, ម៉ោង> 0 មានសមីការ៖

និងជាពងក្រពើ។

ផ្នែកនៃ paraboloid រាងអេលីប (45) ដោយយន្តហោះ នៅ= 0 និង X= 0 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា

x 2 = 2ក 2 z, y = 0; (46)

y 2 = 2ខ 2 z, x = 0. (47)

ប៉ារ៉ាបូឡាទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាបូឡាចម្បងប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតរាងអេលីប និងប៉ារ៉ាបូឡា (៤៦) នឹងត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា។ គ្មានចលនានិងប៉ារ៉ាបូឡា (47) - ចល័ត.

សំណង់ដ៏ច្បាស់លាស់ខាងក្រោមនៃ paraboloid រាងអេលីបអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរុញប៉ារ៉ាបូឡាមួយតាមបណ្តោយមួយទៀត (ប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រូវបានសន្មត់ថាជាចតុកោណកែង)។

ចូរយើងយកផ្នែកនៃ paraboloid (45) ដោយយន្តហោះ x= α, យើងទទួលបាននៅក្នុងយន្តហោះនេះមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេ អូ 0 អ៊ី 2 អ៊ី 3 កន្លែងណា អូ 0 = (α, 0, 0) ខ្សែកោងដែលសមីការនឹងជា

, x = α

y 2 = 2ខ 2 (z – γ), x= α, (48)

កន្លែងណា
.

តោះទៅយន្តហោះ x= α ពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេ អូអ៊ី 2 អ៊ី 3 ដើម្បីសម្របសម្រួលប្រព័ន្ធ អូ′ អ៊ី 2 អ៊ី 3 កន្លែងណា អូ′ = (α, 0, γ) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ x= α ជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាថេរ x 2 = 2ក 2 z, y = 0.

ដោយផ្លាស់ទីប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធ អូ 0 អ៊ី 2 អ៊ី 3 ដល់ចំណុច អូ' បានធ្វើការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ

y = y′, z = z′ + γ.

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរនេះ សមីការ (48) មានទម្រង់៖

y' 2 = 2 ទំ′, x = α.

ខ្សែកោង (48) គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា "ផ្លាស់ទី" ដូចគ្នា ប៉ុន្តែត្រូវបានផ្ទេរស្របទៅនឹងខ្លួនវាទៅក្នុងយន្តហោះ x= α ការផ្ទេរនេះអាចត្រូវបានធ្វើដូចខាងក្រោម។ ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលរំកិលរំកិលតាមប៉ារ៉ាបូឡាថេរពីចំណុចមួយ។ អំពីយ៉ាង​ពិតប្រាកដ អូហើយប៉ារ៉ាបូឡាខ្លួនវាផ្លាស់ទីដូច រឹងនៅសល់គ្រប់ពេលក្នុងយន្តហោះស្របនឹងយន្តហោះ yOz.

លទ្ធផលនេះអាចត្រូវបានបង្កើតជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម។

ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតរាងអេលីបគឺជាផ្ទៃដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយចលនាមួយ (“ផ្លាស់ទី”) ប៉ារ៉ាបូឡា (៤៧) តាមបណ្តោយមួយទៀត ថេរមួយ (៤៦) ដូច្នេះចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលរំកិលរំកិលតាមបណ្តោយថេរ ហើយយន្តហោះ និងអ័ក្សនៃ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលផ្លាស់ទីនៅតែស្របទៅនឹងខ្លួនវាគ្រប់ពេលវេលា ហើយវាត្រូវបានសន្មត់ថាប៉ារ៉ាបូឡាទាំងពីរ (អាចចល័តបាន និងថេរ) ត្រូវបានតម្រង់ទិសស្របគ្នា (ពោលគឺនៅក្នុង ផ្នែកវិជ្ជមានអ័ក្ស អុក).

ចំណាំថា paraboloid រាងអេលីបមិនមានម៉ាស៊ីនបង្កើត rectilinear ទេ។ ជាការពិតត្រង់ ស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOyអាចប្រសព្វតែផ្នែកមួយនៃ paraboloid ជាមួយនឹងយន្តហោះជាក់លាក់មួយ។ z = ម៉ោងហើយផ្នែកនេះ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយ គឺជារាងពងក្រពើ។ នេះមានន័យថាបន្ទាត់ត្រង់មួយមានមិនលើសពីពីរ ចំណុចរួមជាមួយ paraboloid មួយ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់មិនស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOyបន្ទាប់មកបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពាក់កណ្តាល z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. អ៊ីពែរបូល paraboloid

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយសមីការ (45) យើងអាចសរសេរសមីការ

. (49)

ផ្ទៃដែលមានសមីការនៃទម្រង់ (49) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយចំនួននឹងត្រូវបានហៅ អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូអ៊ីដ.

ចូរយើងពិនិត្យមើលរូបរាងរបស់អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត ដោយប្រើផ្នែក (រូបភាព 63)។ ផ្នែកយន្តហោះ z = ម៉ោងគឺជាអ៊ីពែបូឡា ដែលនៅក្នុងយន្តហោះនេះមានសមីការ៖

ឬ
.

សម្រាប់តម្លៃធំ ម៉ោងអ័ក្សពាក់កណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា
និង
មានទំហំធំនិងថយចុះជាមួយនឹងការថយចុះ ម៉ោង. ក្នុងករណីនេះ អ័ក្សអ៊ីពែបូឡាដែលប្រសព្វគ្នាគឺស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1 .

នៅ ម៉ោង= 0 អ៊ីពែបូឡា degenerates ទៅជាគូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វ

=>

,
.

ប្រសិនបើ ម៉ោង < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору អ៊ី ២. អ័ក្សអ័ក្សកើនឡើងជាមួយនឹងការកើនឡើង | ម៉ោង| សមាមាត្រនៃពាក់កណ្តាលអ័ក្សសម្រាប់អ៊ីពែបូឡាទាំងអស់ដែលមានសញ្ញាដូចគ្នា។ ម៉ោងដូចគ្នា ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងគូរផ្នែកទាំងអស់នៃអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត នៅលើយន្តហោះតែមួយ យើងទទួលបានគ្រួសារនៃអ៊ីពែបូឡាទាំងអស់ដែលមាន asymtotes គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាជាមួយសមីការ។

,
.

ផ្នែកនៃអ៊ីពែរបូល paraboloid ជាមួយយន្តហោះ នៅ= 0 និង X= 0 គឺជា "ប៉ារ៉ាបូឡាសំខាន់" ពីរ៖

x 2 = 2ក 2 z, y = 0 (50)

គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាថេរ និង

y 2 = –2ខ 2 z, x = 0 (51)

- ប៉ារ៉ាបូឡាដែលអាចចល័តបាន។

ប៉ារ៉ាបូឡាទាំងនេះមានរាងកោងក្នុងទិសដៅផ្ទុយ៖ ថេរមួយគឺ "ឡើង" (ឧទាហរណ៍ក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អុក) ហើយចលនវត្ថុគឺ "ចុះក្រោម" (ពោលគឺក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អុក) ផ្នែកយន្តហោះ x= α មាននៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ អូ 0 អ៊ី 2 អ៊ី 3 កន្លែងណា អូ 0 = (α, 0, 0) សមីការ

, x = α

y 2 = –2ខ 2 (z – z 0), x= α, (52)

កន្លែងណា
.

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរប្រភពដើមនៃកូអរដោនេទៅចំណុច អូ′ = (α, 0, z 0) សមីការ (51) នឹងមានទម្រង់៖

y' 2 = −2 ខ 2 z′, x = α,

កន្លែងណា y = y′, z = z′ + z 0. សមីការចុងក្រោយបង្ហាញថា ខ្សែកោង (52) គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលផ្លាស់ទីដូចគ្នា (51) តែបានផ្លាស់ប្តូរស្របទៅនឹងខ្លួនវានៅពេលដែល vertex របស់វារអិលតាមប៉ារ៉ាបូឡាថេរពីចំណុច អំពីវ អូ′.

សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ខាង​ក្រោម​នេះ​ធ្វើ​ឡើង​ពី​នេះ។ ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតអ៊ីពែរបូល ដែលកំណត់ (ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) ដោយសមីការ (៤៩) គឺជាផ្ទៃដែលពិពណ៌នាដោយប៉ារ៉ាបូឡា y 2 = –2ខ 2 z, X= 0 នៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីតាមប៉ារ៉ាបូឡាដែលចល័តបាន (50) ដូច្នេះផ្នែកខាងលើនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលអាចចល័តបានរអិលតាមប៉ារ៉ាបូឡាស្ថានី ហើយយន្តហោះ និងអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលអាចចលនបាននៅតែស្របគ្នានឹងខ្លួនវាគ្រប់ពេលវេលា ខណៈដែលប៉ារ៉ាបូឡាទាំងពីរជាមួយនឹងភាពជាប់របស់វាជានិច្ច។ ប្រឈមមុខនឹងទិសដៅផ្ទុយ៖ ស្ថានីមួយដែលមានរាងកោងរបស់ពួកគេ "ឡើង" ពោលគឺក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ zហើយចលនាមួយគឺ "ចុះក្រោម" ។

ពីការសាងសង់នេះ វាច្បាស់ណាស់ថាអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត មានរាងដូចក្រវ៉ាត់។

អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត ដូចជាអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតសន្លឹកតែមួយ មានពីរគ្រួសារនៃម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear (រូបភាព 64) ។ តាមរយៈចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ពីរ ដែលចំណុចទាំងអស់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះនេះ។

ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear ។ ចូរយើងសរសេរសមីការ (49) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់

.

ពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ដែលកំណត់ថាជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ

(53)

វាច្បាស់ណាស់ថាសមីការដែលពេញចិត្តចំណុចណាមួយ (53) ក៏បំពេញសមីការ (49) ដែលជាលទ្ធផលនៃសមីការ (53)

.

នេះមានន័យថាចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់ (53) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត (49)។

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានព្យាបាលស្រដៀងគ្នា

បន្ទាត់ (54) ក៏ស្ថិតនៅជាមួយចំណុចទាំងអស់របស់វានៅលើអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត។