Täna vaatame, milliseid suurusi nimetatakse pöördvõrdelisteks, kuidas näeb välja pöördproportsionaalsuse graafik ja kuidas see kõik võib teile kasulik olla mitte ainult matemaatikatundides, vaid ka väljaspool kooli.
Sellised erinevad proportsioonid
Proportsionaalsus nimeta kaks suurust, mis on üksteisest vastastikku sõltuvad.
Sõltuvus võib olla otsene ja pöördvõrdeline. Sellest tulenevalt kirjeldatakse suuruste vahelisi seoseid otsese ja pöördvõrdelisusega.
Otsene proportsionaalsus– see on selline seos kahe suuruse vahel, milles ühe suurenemine või vähenemine toob kaasa teise suurenemise või vähenemise. Need. nende suhtumine ei muutu.
Näiteks kui rohkem vaeva Mida rohkem pingutate eksamiteks valmistumisel, seda kõrgemad on teie hinded. Või mida rohkem asju matkale kaasa võtad, seda raskem on seljakott kaasas kanda. Need. Eksamiteks valmistumiseks kulutatud pingutuste hulk on otseselt võrdeline saadud hinnetega. Ja seljakotti pakitud asjade arv on otseselt võrdeline selle kaaluga.
Pöördvõrdelisus - See funktsionaalne sõltuvus, milles vähenemine või tõus on mitu korda sõltumatu kogus(seda nimetatakse argumendiks) põhjustab sõltuva suuruse proportsionaalse (st sama arv kordi) suurenemise või vähenemise (seda nimetatakse funktsiooniks).
Illustreerime lihtne näide. Tahad turult õunu osta. Õunad letil ja raha hulk rahakotis on pöördvõrdelises seoses. Need. Mida rohkem õunu ostate, seda vähem raha jääb.
Funktsioon ja selle graafik
Pöördproportsionaalsuse funktsiooni saab kirjeldada kui y = k/x. Milles x≠ 0 ja k≠ 0.
Sellel funktsioonil on järgmised omadused:
- Selle määratluspiirkond on kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Vahemik on kõik reaalarvud, välja arvatud y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Sellel pole maksimaalseid ega minimaalseid väärtusi.
- See on paaritu ja selle graafik on päritolu suhtes sümmeetriline.
- Mitteperioodiline.
- Selle graafik ei lõiku koordinaatide telgedega.
- Nulle pole.
- Kui k> 0 (st argument suureneb), väheneb funktsioon proportsionaalselt igal selle intervallil. Kui k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Argumendi suurenedes ( k> 0) negatiivsed väärtused funktsioonid on vahemikus (-∞; 0) ja positiivsed on (0; +∞). Kui argument väheneb ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Pöördvõrdelisuse funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks. Näidatud järgmiselt:
Pöördproportsionaalsuse probleemid
Et see oleks selgem, vaatame mitut ülesannet. Need ei ole liiga keerulised ja nende lahendamine aitab teil visualiseerida, mis on pöördproportsionaalsus ja kuidas need teadmised teie igapäevaelus kasulikud võivad olla.
Ülesanne nr 1. Auto liigub kiirusega 60 km/h. Tal kulus sihtkohta jõudmiseks 6 tundi. Kui kaua kulub tal sama vahemaa läbimiseks, kui ta liigub kaks korda kiiremini?
Alustuseks võime üles kirjutada valemi, mis kirjeldab aja, vahemaa ja kiiruse seost: t = S/V. Nõus, see meenutab meile väga pöördproportsionaalsuse funktsiooni. Ja see näitab, et aeg, mille auto teel veedab, ja kiirus, millega ta liigub, on pöördvõrdelised.
Selle kontrollimiseks leiame V 2, mis vastavalt tingimusele on 2 korda suurem: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Seejärel arvutame kauguse valemiga S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nüüd pole keeruline teada saada aega t 2, mis meilt vastavalt ülesande tingimustele nõutakse: t 2 = 360/120 = 3 tundi.
Nagu näete, on sõiduaeg ja kiirus tõepoolest pöördvõrdelised: algsest kiirusest 2 korda suurema kiirusega veedab auto teel 2 korda vähem aega.
Selle ülesande lahenduse võib kirjutada ka proportsioonina. Loome kõigepealt selle diagrammi:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Nooled näitavad pöördvõrdelist seost. Samuti soovitavad nad proportsiooni koostamisel pöörata kirje paremat külge: 60/120 = x/6. Kust saame x = 60 * 6/120 = 3 tundi.
Ülesanne nr 2. Töökojas töötab 6 töötajat, kes suudavad etteantud tööhulga teha 4 tunniga. Kui töötajate arvu vähendatakse poole võrra, siis kui kaua kulub ülejäänud töötajatel sama palju tööd?
Kirjutame ülesande tingimused visuaalse diagrammi kujul:
↓ 6 töötajat – 4 tundi
↓ 3 töötajat – x h
Kirjutame selle proportsioonina: 6/3 = x/4. Ja saame x = 6 * 4/3 = 8 tundi Kui töötajaid on 2 korda vähem, kulutavad ülejäänud 2 korda rohkem aega kogu töö tegemiseks.
Ülesanne nr 3. Basseini viib kaks toru. Läbi ühe toru voolab vesi kiirusega 2 l/s ja täidab basseini 45 minutiga. Teise toru kaudu täitub bassein 75 minutiga. Millise kiirusega vesi selle toru kaudu basseini siseneb?
Alustuseks taandagem kõik meile antud suurused vastavalt ülesande tingimustele samadele mõõtühikutele. Selleks väljendame basseini täitmise kiirust liitrites minutis: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Kuna tingimusest, et bassein täitub teise toru kaudu aeglasemalt, tuleneb see, et vee voolukiirus on väiksem. Proportsionaalsus on pöördvõrdeline. Avaldame tundmatut kiirust läbi x ja koostame järgmise diagrammi:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
Ja siis moodustame proportsiooni: 120/x = 75/45, kust x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Ülesandes on basseini täituvus väljendatud liitrites sekundis, taandame saadud vastuse samale kujule: 72/60 = 1,2 l/s.
Ülesanne nr 4. Väike eratrükikoda prindib visiitkaarte. Trükikoja töötaja töötab kiirusega 42 visiitkaarti tunnis ja töötab täispäeva - 8 tundi. Kui ta töötaks kiiremini ja trükiks tunnis 48 visiitkaarti, siis kui palju varem saaks ta koju minna?
Järgime tõestatud teed ja koostame vastavalt probleemi tingimustele diagrammi, määrates soovitud väärtuse x:
↓ 42 visiitkaarti/tund – 8 tundi
↓ 48 visiitkaarti/h – x h
Tagasi meie ees proportsionaalne sõltuvus: mitu korda rohkem visiitkaarte trükikoja töötaja tunnis prindib, sama mitu korda vähem aega kulub tal sama töö tegemiseks. Seda teades loome proportsiooni:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 tundi.
Seega, olles töö 7 tunniga valmis saanud, sai trükikoja töötaja tund aega varem koju minna.
Järeldus
Meile tundub, et need pöördproportsionaalsuse probleemid on tõesti lihtsad. Loodame, et nüüd ka teie mõtlete neile nii. Ja peamine on see, et teadmised suuruste pöördvõrdelisest sõltuvusest võivad teile tõesti kasulikud olla rohkem kui üks kord.
Mitte ainult matemaatikatundides ja eksamites. Kuid isegi siis, kui valmistute reisile, poodlema, otsustate pühade ajal veidi lisaraha teenida jne.
Räägi meile kommentaarides, milliseid pöörd- ja otseproportsionaalsete seoste näiteid enda ümber märkad. Las see olla selline mäng. Näete, kui põnev see on. Ärge unustage seda artiklit jagada sotsiaalvõrgustikes et ka teie sõbrad ja klassikaaslased saaksid mängida.
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
Sõltuvuste tüübid
Vaatame aku laadimist. Esimese kogusena võtame laadimiseks kuluva aja. Teine väärtus on aeg, mil see pärast laadimist töötab. Mida kauem akut laadite, seda kauem see kestab. Protsess jätkub, kuni aku on täielikult laetud.
Aku tööaja sõltuvus laadimisajast
Märkus 1
Seda sõltuvust nimetatakse sirge:
Kui üks väärtus suureneb, suureneb ka teine. Kui üks väärtus väheneb, väheneb ka teine väärtus.
Vaatame teist näidet.
Kuidas rohkem raamatuidõpilane loeb siis vähem vigu teeb seda diktaadis. Või mida kõrgemale mägedes tõused, seda madalam on atmosfäärirõhk.
Märkus 2
Seda sõltuvust nimetatakse tagurpidi:
Kui üks väärtus suureneb, siis teine väheneb. Kui üks väärtus väheneb, siis teine väärtus suureneb.
Seega juhul otsene sõltuvus mõlemad suurused muutuvad võrdselt (mõlemad kas suurenevad või vähenevad) ning juhul pöördvõrdeline seos– vastupidine (üks suureneb ja teine väheneb või vastupidi).
Suuruste vaheliste sõltuvuste määramine
Näide 1
Sõbra külastamiseks kuluv aeg on $20 $ minutit. Kui kiirus (esimene väärtus) suureneb $2$ korda, siis leiame, kuidas muutub aeg (teine väärtus), mis kulub teel sõbra juurde.
Ilmselt väheneb aeg $2$ korda.
Märkus 3
Seda sõltuvust nimetatakse proportsionaalne:
Mitu korda muutub üks suurus, mitu korda muutub teine suurus.
Näide 2
Poes $2$ leivapätsi eest tuleb maksta 80 rubla. Kui teil on vaja ostma 4 dollarit leiba (leiva kogus suureneb 2 dollarit korda), siis mitu korda rohkem peate maksma?
Ilmselgelt suurenevad kulud ka $2 $ korda. Meil on näide proportsionaalsest sõltuvusest.
Mõlemas näites võeti arvesse proportsionaalseid sõltuvusi. Kuid leivapätside näites muutuvad kogused ühes suunas, seega sõltuvus on sirge. Ja sõbra majja mineku näitel on kiiruse ja aja suhe tagurpidi. Seega on olemas otseselt proportsionaalne suhe Ja pöördvõrdeline suhe.
Otsene proportsionaalsus
Vaatleme $2$ proportsionaalseid koguseid: leivapätside arv ja nende maksumus. Maksku $2$ leivapäts 80$ rubla. Kui kuklite arv suureneb $4$ korda ($8$ kuklid), on nende kogumaksumus $320$ rubla.
Kuklite arvu suhe: $\frac(8)(2)=4$.
Kuklite maksumuse suhe: $\frac(320)(80)=4 $.
Nagu näete, on need suhted üksteisega võrdsed:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definitsioon 1
Kahe suhte võrdsust nimetatakse proportsioon.
Otseselt proportsionaalse sõltuvusega saadakse seos, kui esimese ja teise suuruse muutus langeb kokku:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
2. definitsioon
Neid kahte suurust nimetatakse võrdeline, kui ühe muutumisel (suurenemisel või vähenemisel) muutub (vastavalt suureneb või väheneb) ka teine väärtus sama palju.
Näide 3
Auto läbis $2$ tunniga 180$ km. Leidke aeg, mille jooksul ta läbib sama kiirusega $2$-kordse vahemaa.
Lahendus.
Aeg on otseselt võrdeline vahemaaga:
$t=\frac(S)(v)$.
Mitu korda vahemaa suureneb millal püsikiirus, pikeneb aeg sama palju:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Auto läbis $2$ tunniga 180$ km
Auto läbib $180 \cdot 2=360 $ km – $x$ tunniga
Kuidas pikem vahemaa siis läheb auto mööda pikemat aega tal läheb seda vaja. Järelikult on koguste vaheline seos otseselt võrdeline.
Teeme proportsiooni:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Vastus: Auto vajab 4 $ tundi.
Pöördvõrdelisus
3. definitsioon
Lahendus.
Aeg on kiirusega pöördvõrdeline:
$t=\frac(S)(v)$.
Mitu korda suureneb kiirus sama tee juures, aeg väheneb sama palju:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Kirjutame probleemitingimuse tabeli kujul:
Auto läbis $60$ km – $6$ tunniga
Auto läbib $120 $ km – $x$ tunniga
Mida kiiremini auto sõidab, seda vähem aega kulub. Järelikult on suuruste suhe pöördvõrdeline.
Teeme proportsiooni.
Sest proportsionaalsus on pöördvõrdeline, proportsiooni teine seos on vastupidine:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Vastus: Auto vajab 3 $ tundi.
Põhieesmärgid:
- tutvustada suuruste otsese ja pöördvõrdelise sõltuvuse mõistet;
- õpetada nende sõltuvuste abil probleeme lahendama;
- soodustada probleemide lahendamise oskuste arengut;
- kinnistada võrrandite lahendamise oskust proportsioonide abil;
- korrake samme tavalise ja kümnendkohad;
- areneda loogiline mõtlemineõpilased.
TUNNIDE AJAL
I. Enesemääramine tegevuseks(Korraldamise aeg)
- Poisid! Tänases tunnis tutvume proportsioonide abil lahendatud probleemidega.
II. Teadmiste värskendamine ja tegevustes esinevate raskuste fikseerimine
2.1. Suuline töö (3 min)
– Otsige välja väljendite tähendus ja leidke vastustes krüpteeritud sõna.
14 – s; 0,1 – ja; 7 – l; 0,2 – a; 17 – sisse; 25 – kuni
– Tulemuseks on tugevus. Hästi tehtud!
– Meie tänase õppetunni moto: Võim on teadmistes! Ma otsin – see tähendab, et ma õpin!
– Tehke saadud arvudest proportsioon. (14:7 = 0,2:0,1 jne)
2.2. Vaatleme meile teada olevate koguste vahelist seost (7 min)
– auto läbitud vahemaa konstantsel kiirusel ja selle liikumise aeg: S = v t ( kiiruse (aja) suurenemisega distants pikeneb);
– sõiduki kiirus ja reisile kulunud aeg: v=S:t(raja läbimise aja pikenedes kiirus väheneb);
–
ühe hinnaga ostetud kauba maksumus ja kogus:
C = a · n (hinna tõusuga (langemisega) ostukulu suureneb (väheneb));
– toote hind ja selle kogus: a = C: n (koguse suurenemisega hind langeb)
- ristküliku pindala ja selle pikkus (laius): S = a · b (pikkuse (laiuse) suurenemisega pindala suureneb;
– ristküliku pikkus ja laius: a = S: b (pikkuse kasvades laius väheneb;
- töötajate arv, kes teevad mõnda tööd sama tööviljakusega, ja selle töö tegemiseks kuluv aeg: t = A: n (tööliste arvu suurenemisel väheneb töö tegemiseks kuluv aeg) jne .
Oleme saanud sõltuvused, milles ühe koguse mitmekordsel suurenemisel suureneb kohe teine sama palju (näited on näidatud nooltega) ja sõltuvused, mille korral ühe koguse mitmekordsel suurenemisel teine suurus väheneb sama palju kordi.
Selliseid sõltuvusi nimetatakse otseseks ja pöördvõrdelisuseks.
Otseselt proportsionaalne sõltuvus– seos, kus ühe väärtuse mitmekordsel suurenemisel (vähenemisel) teine väärtus suureneb (väheneb) sama palju.
Pöördvõrdeline suhe– seos, kus ühe väärtuse mitmekordsel suurenemisel (vähenemisel) teine väärtus väheneb (suureneb) sama palju.
III. Lavastus hariduslik ülesanne
– Mis probleem meie ees seisab? (Õppige eristama sirgeid ja pöördsõltuvused)
- see - sihtmärk meie õppetund. Nüüd sõnastage teemaõppetund. (Otsene ja pöördvõrdeline suhe).
- Hästi tehtud! Kirjutage tunni teema vihikusse. (Õpetaja kirjutab teema tahvlile.)
IV. Uute teadmiste "avastamine".(10 min)
Vaatame probleemi nr 199.
1. Printer prindib 27 lehekülge 4,5 minutiga. Kui kaua kulub 300 lehekülje printimiseks?
27 lk – 4,5 min.
300 lehekülge - x?
2. Karbis on 48 pakki teed, igaüks 250 g. Mitu 150g pakki seda teed saate?
48 pakki – 250 g.
X? - 150 g.
3. Auto läbis 310 km, kasutades 25 liitrit bensiini. Kui kaugele suudab auto 40-liitrise paagiga sõita?
310 km – 25 l
X? – 40 l
4. Ühel siduri käigul on 32 hammast ja teisel 40. Mitu pööret teeb teine käik, samas kui esimene 215 pööret?
32 hammast – 315 pööret.
40 hammast – x?
Proportsiooni koostamiseks on vajalik noolte üks suund, selleks asendatakse pöördvõrdelisuse korral üks suhe pöördvõrdelisega.
Tahvli juurest leiavad õpilased suuruste tähenduse, kohapeal lahendavad õpilased omal valikul ühe ülesande.
– Sõnastada reegel otsese ja pöördvõrdelise sõltuvusega ülesannete lahendamiseks.
Tahvlile ilmub tabel:
V. Esmane konsolideerumine väliskõnes(10 min)
Töölehe ülesanded:
- 21 kg puuvillaseemnest saadi 5,1 kg õli. Kui palju õli saadakse 7 kg puuvillaseemnest?
- Staadioni ehitamiseks puhastasid 5 buldooserit platsi 210 minutiga. Kui kaua kuluks selle saidi puhastamiseks 7 buldooserit?
VI. Iseseisev töö enesetestiga standardi suhtes(5 minutit)
Kaks õpilast täidavad ülesande nr 225 iseseisvalt peidetud tahvlitel ja ülejäänud - vihikutes. Seejärel kontrollivad nad algoritmi tööd ja võrdlevad seda tahvlil oleva lahendusega. Vead parandatakse ja nende põhjused selgitatakse välja. Kui ülesanne on õigesti täidetud, panevad õpilased enda kõrvale märgi “+”.
Õpilased, kes teevad iseseisvas töös vigu, saavad kasutada konsultante.
VII. Teadmussüsteemi kaasamine ja kordamine№ 271, № 270.
Juhatuses töötab kuus inimest. 3-4 minuti pärast esitlevad tahvli juures töötavad õpilased oma lahendusi, ülejäänud kontrollivad ülesandeid ja osalevad nende arutelus.
VIII. Mõtisklus tegevusest (tunni kokkuvõte)
– Mida uut te tunnis õppisite?
- Mida nad kordasid?
– Mis on proportsiooniülesannete lahendamise algoritm?
– Kas oleme oma eesmärgi saavutanud?
– Kuidas te oma tööd hindate?
Näide
1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 jne.Proportsionaalsustegur
Nimetatakse proportsionaalsete suuruste konstantset seost proportsionaalsustegur. Proportsionaalsuskoefitsient näitab, mitu ühikut ühest suurusest on teise suuruse ühiku kohta.
Otsene proportsionaalsus
Otsene proportsionaalsus- funktsionaalne sõltuvus, mille puhul teatud suurus sõltub teisest suurusest nii, et nende suhe jääb muutumatuks. Teisisõnu, need muutujad muutuvad proportsionaalselt, V võrdsed osad st kui argument muutub kaks korda suvalises suunas, siis muutub ka funktsioon kaks korda samas suunas.
Matemaatiliselt kirjutatakse otsene proportsionaalsus valemina:
f(x) = ax,a = const
Pöördvõrdelisus
Pöördvõrdelisus- see on funktsionaalne sõltuvus, mille puhul sõltumatu väärtuse (argumendi) suurenemine põhjustab sõltuva väärtuse (funktsiooni) proportsionaalse vähenemise.
Matemaatiliselt kirjutatakse pöördproportsionaalsus valemina:
Funktsiooni omadused:
Allikad
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
- Newtoni teine seadus
- Coulombi barjäär
Vaadake, mis on "otsene proportsionaalsus" teistes sõnaraamatutes:
otsene proportsionaalsus- - [A.S. Goldberg. Inglise-vene energiasõnastik. 2006] Energia teemad üldiselt EN otsesuhe ... Tehniline tõlkija juhend
otsene proportsionaalsus- tiesioginis proporcingumas statusas T ala fizika atitikmenys: engl. otsene proportsionaalsus vok. direkte Proportsionalität, f rus. otsene proportsionaalsus, f pranc. Proportsionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORTSIONAALSUS- (ladina keelest proportsionaalne proportsionaalne, proportsionaalne). Proportsionaalsus. Sõnastik võõrsõnad, sisaldub vene keeles. Tšudinov A.N., 1910. PROPORTSIONAALSUS lat. proportsionaalne, proportsionaalne. Proportsionaalsus. Selgitus 25000...... Vene keele võõrsõnade sõnastik
PROPORTSIONAALSUS- PROPORTSIONAALSUS, proportsionaalsus, mitmus. ei, naine (raamat). 1. abstraktne nimisõna proportsionaalseks. Osade proportsionaalsus. Keha proportsionaalsus. 2. Selline suuruste suhe, kui need on proportsionaalsed (vt proportsionaalne ... Sõnastik Ušakova
Proportsionaalsus- Kaht üksteisest sõltuvat suurust nimetatakse proportsionaalseks, kui nende väärtuste suhe jääb muutumatuks. Sisu 1 Näide 2 Proportsionaalsuskoefitsient ... Wikipedia
PROPORTSIONAALSUS- PROPORTSIONAALSUS ja, naine. 1. vt proportsionaalne. 2. Matemaatikas: selline suuruste suhe, milles ühe suurenemine toob kaasa teise muutumise sama palju. Sirge joon (ühe väärtuse suurenemisega lõikega... ... Ožegovi seletav sõnaraamat
proportsionaalsus- Ja; ja. 1. proportsionaalseks (1 väärtus); proportsionaalsus. P. osad. P. kehaehitus. P. esindatus parlamendis. 2. Matemaatika. Proportsionaalselt muutuvate suuruste vaheline sõltuvus. Proportsionaalsustegur. Otseliin (milles ... ... entsüklopeediline sõnaraamat