Näiteks jada \(2\); \(5\); \(8\); \(üksteist\); \(14\)... on aritmeetiline progressioon, sest iga järgmine element erineb eelmisest kolme võrra (saab eelmisest kolme lisamisega):

Selles progressioonis on erinevus \(d\) positiivne (võrdne \(3\)) ja seetõttu on iga järgmine liige suurem kui eelmine. Selliseid progressioone nimetatakse suureneb.

Samas võib ka \(d\) olla negatiivne arv. Näiteks, aritmeetilises progressioonis \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresseerumise erinevus \(d\) võrdub miinus kuuega.

Ja sel juhul on iga järgmine element väiksem kui eelmine. Neid progressioone nimetatakse väheneb.

Aritmeetiline progressiooni tähistus

Edenemist tähistab väike ladina täht.

Arve, mis moodustavad progressiooni, nimetatakse liikmed(või elemendid).

Neid tähistatakse aritmeetilise progressioonina sama tähega, kuid numbrilise indeksiga, mis on võrdne elemendi numbriga järjekorras.

Näiteks aritmeetiline progressioon \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koosneb elementidest \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja nii edasi.

Teisisõnu, progressi jaoks \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine

Põhimõtteliselt on ülaltoodud teave juba piisav peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniprobleemide lahendamiseks (kaasa arvatud OGE-s pakutavad).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon antud tingimustega \(b_1=7; d=4\). Otsige üles \(b_5\).
Lahendus:

Vastus: \(b_5=23\)

Näide (OGE). Aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: \(62; 49; 36…\) Leidke selle progressiooni esimese negatiivse liikme väärtus.
Lahendus:

	Meile antakse jada esimesed elemendid ja teame, et see on aritmeetiline progressioon. See tähendab, et iga element erineb naabrist sama numbri võrra. Uurime välja, milline, lahutades järgmisest elemendist eelmise: \(d=49-62=-13\).
	Nüüd saame taastada oma arengu (esimese negatiivse) elemendini, mida vajame.
	Valmis. Võite kirjutada vastuse.

Vastus: \(-3\)

Näide (OGE). Antud aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Leia tähega \(x\) tähistatud elemendi väärtus.
Lahendus:

	\(x\) leidmiseks peame teadma, kui palju erineb järgmine element eelmisest ehk teisisõnu progresseerumise erinevus. Leiame selle kahe teadaoleva naaberelemendi järgi: \(d=12,5-10=2,5\).
	Ja nüüd leiame lihtsalt selle, mida otsime: \(x=5+2.5=7.5\).
	Valmis. Võite kirjutada vastuse.

Vastus: \(7,5\).

Näide (OGE). Antakse aritmeetiline progressioon järgmised tingimused: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Leidke selle progressiooni esimese kuue liikme summa.
Lahendus:

	Peame leidma progressiooni esimese kuue liikme summa. Kuid me ei tea nende tähendusi, meile on antud ainult esimene element. Seetõttu arvutame esmalt väärtused ükshaaval, kasutades meile antud: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Ja kui oleme välja arvutanud kuus vajalikku elementi, leiame nende summa.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Vajalik summa on leitud.

Vastus: \(S_6=9\).

Näide (OGE). Aritmeetilises progressioonis \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Leidke selle edenemise erinevus.
Lahendus:

Vastus: \(d=7\).

Aritmeetilise progressiooni olulised valemid

Nagu näete, saab paljusid aritmeetilise progressiooni ülesandeid lahendada lihtsalt peamise mõistmisega - et aritmeetiline progressioon on arvude ahel ja iga järgnev element selles ahelas saadakse, lisades sama arvu eelmisele ( progresseerumise erinevus).

Kuid mõnikord tuleb ette olukordi, kus "peapealt" otsustamine on väga ebamugav. Näiteks kujutage ette, et kõige esimeses näites peame leidma mitte viienda elemendi \(b_5\), vaid kolmesaja kaheksakümne kuuenda \(b_(386)\). Kas peaksime lisama neli \(385\) korda? Või kujutage ette, et eelviimases näites peate leidma esimese seitsmekümne kolme elemendi summa. Sa oled väsinud loendamisest...

Seetõttu ei lahenda nad sellistel puhkudel asju “peapeale”, vaid kasutavad aritmeetiliseks progressiooniks tuletatud spetsiaalseid valemeid. Ja peamised neist on progressiooni n-nda liikme valem ja \(n\) esimeste liikmete summa valem.

\(n\)-nda liikme valem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kus \(a_1\) on progressiooni esimene liige;
\(n\) – nõutava elemendi number;
\(a_n\) – progressi liige numbriga \(n\).

See valem võimaldab meil kiiresti leida isegi kolmesajanda või miljonilise elemendi, teades ainult esimest ja progressiooni erinevust.

Näide. Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Otsige üles \(b_(246)\).
Lahendus:

Vastus: \(b_(246)=1850\).

Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kus

\(a_n\) – viimane summeeritud liige;

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(a_n=3,4n-0,6\). Leidke selle progressiooni esimeste \(25\) liikmete summa.
Lahendus:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Esimese kahekümne viie liikme summa arvutamiseks peame teadma esimese ja kahekümne viienda liikme väärtust. Meie progressioon on antud n-nda liikme valemiga sõltuvalt selle arvust (vt täpsemalt). Arvutame esimese elemendi, asendades ühe \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Nüüd leiame kahekümne viienda liikme, asendades \(n\) asemel kakskümmend viis.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Noh, nüüd saame lihtsalt vajaliku summa arvutada.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Vastus on valmis.

Vastus: \(S_(25)=1090\).

Esimeste terminite summa \(n\) jaoks saate teise valemi: peate lihtsalt \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) asemel asenda selle valem \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saame:

Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kus

\(S_n\) – \(n\) esimese elemendi nõutav summa;
\(a_1\) – esimene summeeritud liige;
\(d\) – progresseerumise erinevus;
\(n\) – elementide arv kokku.

Näide. Leidke aritmeetilise progressiooni esimeste \(33\)-ex liikmete summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lahendus:

Vastus: \(S_(33)=-231\).

Keerulisemad aritmeetilised progressiooniülesanded

Nüüd on sul kõik olemas vajalikku teavet peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamiseks. Lõpetagem teema, kaaludes probleeme, mille puhul peate mitte ainult valemeid rakendama, vaid ka veidi mõtlema (matemaatikas võib see olla kasulik ☺)

Näide (OGE). Leidke progressiooni kõigi negatiivsete liikmete summa: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lahendus:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Ülesanne on väga sarnane eelmisele. Hakkame lahendama sama asja: kõigepealt leiame \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nüüd tahaksin asendada \(d\) summa valemis... ja siit tuleb välja väike nüanss - me ei tea \(n\). Teisisõnu, me ei tea, kui palju termineid tuleb lisada. Kuidas teada saada? Mõelgem. Lõpetame elementide lisamise, kui jõuame esimese positiivse elemendini. See tähendab, et peate välja selgitama selle elemendi numbri. Kuidas? Kirjutame üles valemi aritmeetilise progressiooni mis tahes elemendi arvutamiseks: \(a_n=a_1+(n-1)d\) meie juhtumi jaoks.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Peame \(a_n\) olema suuremad kui null. Uurime välja, mis \(n\) see juhtub.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Jagame võrratuse mõlemad pooled arvuga \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Kanname üle miinus ühe, unustamata märke vahetada
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Arvutame...
\(n> 65 333…\)		...ja selgub, et esimese positiivse elemendi arv on \(66\). Vastavalt sellele on viimasel negatiivsel \(n=65\). Igaks juhuks kontrollime seda.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Seega peame lisama esimesed \(65\) elemendid.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Vastus on valmis.

Vastus: \(S_(65)=-630,5\).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Leidke summa elemendist \(26\) kuni \(42\) (kaasa arvatud).
Lahendus:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Selles ülesandes peate leidma ka elementide summa, kuid alustades mitte esimesest, vaid \(26\)-ndast. Selliseks juhuks meil valemit ei ole. Kuidas otsustada? See on lihtne – et saada summa \(26\)-ndast \(42\)-ndani, peate esmalt leidma summa \(1\)-ndast kuni \(42\)-ndani ja seejärel lahutama sellest summa esimesest \(25\)-ndani (vt pilti).
	Meie progressiooni \(a_1=-33\) ja erinevuse \(d=4\) jaoks (lõppkokkuvõttes lisame järgmise leidmiseks neli eelmisele elemendile). Seda teades leiame summa esimesed \(42\)-y elemendid.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nüüd esimeste \(25\) elementide summa.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Ja lõpuks arvutame vastuse.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Vastus: \(S=1683\).

Aritmeetilise progressiooni jaoks on veel mitu valemit, mida me selles artiklis ei käsitlenud nende vähese praktilise kasulikkuse tõttu. Siiski saate neid hõlpsalt leida.

Esimene tase

Aritmeetiline progressioon. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2019)

Numbrite jada

Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:
Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ​​ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbrite jada
Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama.
Numbriga arvu nimetatakse jada th liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Oletame, et meil on numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.
Näiteks:

jne.
Seda arvujada nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Mõiste "edenemine" võttis Rooma autor Boethius kasutusele 6. sajandil ja seda mõisteti rohkem laiemas mõttes, nagu lõpmatu arvujada. Nimetus "aritmeetika" kanti üle pidevate proportsioonide teooriast, mida uurisid iidsed kreeklased.

See on numbrijada, mille iga liige on võrdne samale arvule lisatud eelmisega. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja see tähistatakse.

Proovige kindlaks teha, millised arvujadad on aritmeetiline progressioon ja millised mitte:

a)
b)
c)
d)

Sain aru? Võrdleme oma vastuseid:
On aritmeetiline progressioon - b, c.
Ei ole aritmeetiline progressioon - a, d.

Lähme tagasi antud progresseerumine() ja proovige leida selle th liikme väärtus. Olemas kaks viis selle leidmiseks.

1. Meetod

Saame lisada edenemisnumbri eelmisele väärtusele, kuni jõuame progressiooni th liikmeni. Hea, et meil pole palju kokkuvõtet – ainult kolm väärtust:

Seega on kirjeldatud aritmeetilise progressiooni th liige võrdne.

2. Meetod

Mis siis, kui meil oleks vaja leida progressiooni th liikme väärtus? Summeerimine võtaks meil rohkem kui ühe tunni ja pole tõsiasi, et me arvude liitmisel vigu ei teeks.
Muidugi on matemaatikud välja mõelnud viisi, et aritmeetilise progressiooni erinevust ei ole vaja eelnevale väärtusele lisada. Vaadake joonistatud pilti lähemalt... Kindlasti olete juba märganud teatud mustrit, nimelt:

Näiteks vaatame, millest selle aritmeetilise progressiooni liikme väärtus koosneb:


Teisisõnu:

Püüdke sel viisil ise leida antud aritmeetilise progressiooni liikme väärtus.

Kas sa arvutasid? Võrrelge oma märkmeid vastusega:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu, mis eelmises meetodis, kui lisasime järjestikku eelmisele väärtusele aritmeetilise progressiooni tingimused.
Proovime "depersonaliseerida" see valem- Toome ta juurde üldine vorm ja saame:

Aritmeetilise progressiooni võrrand.

Aritmeetiline progressioon võib suureneda või väheneda.

Kasvav- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on eelmisest suurem.
Näiteks:

Langevad- progressioonid, milles iga järgmine termini väärtus on väiksem kui eelmine.
Näiteks:

Tuletatud valemit kasutatakse aritmeetilise progressiooni nii kasvavate kui ka kahanevate liikmete liikmete arvutamisel.
Kontrollime seda praktikas.
Meile antakse aritmeetiline progressioon, mis koosneb järgmised numbrid: Kontrollime, milline on selle aritmeetilise progressiooni number, kui kasutame selle arvutamiseks meie valemit:

Sellest ajast:

Seega oleme veendunud, et valem toimib nii kahanevas kui ka suurenevas aritmeetilises progressioonis.
Proovige ise leida selle aritmeetilise progressiooni th ja th liiget.

Võrdleme tulemusi:

Aritmeetilise progressiooni omadus

Teeme ülesande keerulisemaks – tuletame aritmeetilise progressiooni omaduse.
Oletame, et meile antakse järgmine tingimus:
- aritmeetiline progressioon, leidke väärtus.
Lihtne, ütlete ja hakkate loendama juba tuttava valemi järgi:

Las, ah, siis:

Täiesti õigus. Selgub, et kõigepealt leiame, siis lisame selle esimesele numbrile ja saame otsitava. Kui progresseerumist kujutavad väikesed väärtused, siis pole selles midagi keerulist, aga mis siis, kui tingimuses on meile antud numbrid? Nõus, arvutustes on võimalik viga teha.
Mõelge nüüd, kas seda probleemi on võimalik ühe sammuga lahendada mis tahes valemi abil? Muidugi jah, ja see on see, mida me nüüd püüame välja tuua.

Tähistame aritmeetilise progressiooni nõutavat liiget nii, et selle leidmise valem on meile teada - see on sama valem, mille tuletasime alguses:
, Siis:

• edenemise eelmine tähtaeg on:
• edenemise järgmine tähtaeg on:

Võtame kokku edenemise eelmised ja järgnevad tingimused:

Selgub, et progressiooni eelneva ja järgneva liikme summa on nende vahel paikneva progressiooniliikme topeltväärtus. Teisisõnu, teadaolevate eelnevate ja järjestikuste väärtustega progressiooniliikme väärtuse leidmiseks peate need liitma ja jagama.

Täpselt nii, meil on sama number. Kinnitame materjali. Arvutage edenemise väärtus ise, see pole sugugi keeruline.

Hästi tehtud! Teate progresseerumisest peaaegu kõike! Jääb välja selgitada ainult üks valem, mille legendi järgi tuletas hõlpsasti üks kõigi aegade suurimaid matemaatikuid, "matemaatikute kuningas" - Karl Gauss...

Kui Carl Gauss oli 9-aastane, andis õpetaja, kes oli hõivatud teiste klasside õpilaste tööde kontrollimisega, tunnis järgmise ülesande: "Arvutage kõigi naturaalarvude summa alates kuni (teistel allikatel kuni) kaasa arvatud." Kujutage ette õpetaja üllatust, kui üks tema õpilastest (see oli Karl Gauss) andis minut hiljem ülesandele õige vastuse, samal ajal kui enamik juraka klassikaaslasi sai pärast pikki arvutusi vale tulemuse...

Noor Carl Gauss märkas teatud mustrit, mida on lihtne märgata ka teie.
Oletame, et meil on aritmeetiline progressioon, mis koosneb -ndast liikmest: Peame leidma aritmeetilise progressiooni nende liikmete summa. Muidugi saame kõik väärtused käsitsi summeerida, aga mis siis, kui ülesanne nõuab selle liikmete summa leidmist, nagu Gauss otsis?

Kujutagem meile antud edenemist. Vaadake esiletõstetud numbreid lähemalt ja proovige nendega sooritada erinevaid matemaatilisi tehteid.


Kas olete seda proovinud? Mida sa märkasid? Õige! Nende summad on võrdsed

Öelge nüüd, kui palju selliseid paare meile antud progressioonis kokku on? Muidugi täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab.
Lähtudes asjaolust, et aritmeetilise progressiooni kahe liikme summa on võrdne ja sarnased paarid on võrdsed, saame, et kogu summa on võrdne:
.
Seega on mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa valem järgmine:

Mõnes ülesandes me ei tea ndat liiget, kuid teame progresseerumise erinevust. Proovige asendada th liikme valem summa valemiga.
Mis sa said?

Hästi tehtud! Nüüd pöördume tagasi Carl Gaussile esitatud ülesande juurde: arvutage ise, millega võrdub th-st algavate arvude summa ja th-st algavate arvude summa.

Kui palju sa said?
Gauss leidis, et terminite summa on võrdne ja liikmete summa. Kas nii otsustasite?

Tegelikult tõestas aritmeetilise progressiooni liikmete summa valemit Vana-Kreeka teadlane Diophantus juba 3. sajandil ja kogu selle aja. vaimukad inimesed kasutas täielikult ära aritmeetilise progressiooni omadused.
Näiteks kujutage ette Iidne Egiptus ja kõige rohkem suuremahuline ehitus see aeg - püramiidi ehitamine... Pildil on selle üks pool.

Kus siin areng on, ütlete? Vaadake hoolikalt ja leidke püramiidi seina igas reas liivaplokkide arvust muster.


Miks mitte aritmeetiline progressioon? Arvutage, mitu plokki on vaja ühe seina ehitamiseks, kui alusele asetatakse klotsid. Loodan, et te ei loe sõrmega üle monitori liigutades, mäletate viimast valemit ja kõike, mida me aritmeetilise progressiooni kohta rääkisime?

IN sel juhul progresseerumine näeb välja järgmisel viisil: .
Aritmeetilise progressiooni erinevus.
Aritmeetilise progressiooni liikmete arv.
Asendame oma andmed viimastesse valemitesse (arvutame plokkide arvu kahel viisil).

1. meetod.

2. meetod.

Ja nüüd saate monitoril arvutada: võrrelda saadud väärtusi meie püramiidis olevate plokkide arvuga. Sain aru? Hästi tehtud, olete omandanud aritmeetilise progressiooni n-nda liikme summa.
Muidugi ei saa te aluse plokkidest püramiidi ehitada, aga millest? Proovige arvutada, kui palju liivatelliseid on selle tingimusega seina ehitamiseks vaja.
Kas said hakkama?
Õige vastus on plokid:

Koolitus

Ülesanded:

1. Maša on suveks vormi saamas. Iga päev suurendab ta kükkide arvu. Mitu korda teeb Maša kükki nädalas, kui ta tegi kükki esimesel treeningul?
2. Mis on kõigis sisalduvate paaritute arvude summa.
3. Palkide ladustamisel laovad metsaraidurid need nii, et iga ülemine kiht sisaldab ühe logi vähem kui eelmine. Mitu palki on ühes müüritises, kui müüritise vundamendiks on palk?

Vastused:

1. Määratleme aritmeetilise progressiooni parameetrid. Sel juhul
   (nädalad = päevad).

   Vastus: Kahe nädala pärast peaks Masha tegema kükke üks kord päevas.

2. Esiteks paaritu number, viimane number.
   Aritmeetilise progressiooni erinevus.
   Paaritute arvude arv on pooleks, kuid kontrollime seda fakti aritmeetilise progressiooni kolmanda liikme leidmise valemi abil:

   Numbrid sisaldavad paarituid numbreid.
   Asendame olemasolevad andmed valemiga:

   Vastus: Kõigis sisalduvate paaritute arvude summa on võrdne.

3. Meenutagem püramiidide probleemi. Meie puhul a , kuna iga pealmine kiht väheneb ühe palgi võrra, siis kokku on kihte hunnik, st.
   Asendame andmed valemiga:

   Vastus: Müüritises on palgid.

Võtame selle kokku

1. - numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne. See võib suureneda või väheneda.
2. Valemi leidmine Aritmeetilise progressiooni th liige kirjutatakse valemiga - , kus on arvude arv progressioonis.
3. Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus- - kus on edenevate arvude arv.
4. Aritmeetilise progressiooni liikmete summa võib leida kahel viisil:
   
   , kus on väärtuste arv.

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. KESKMINE TASE

Numbrite jada

Istume maha ja hakkame mõnda numbrit kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite. Aga me saame alati öelda, kumb on esimene, kumb teine ​​ja nii edasi, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast.

Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Teisisõnu, iga arvu saab seostada kindla naturaalarvuga ja kordumatu numbriga. Ja me ei määra seda numbrit ühelegi teisele selle komplekti numbrile.

Numbriga arvu nimetatakse jada th liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

On väga mugav, kui jada th liikme saab määrata mõne valemiga. Näiteks valem

määrab järjestuse:

Ja valem on järgmine jada:

Näiteks aritmeetiline progressioon on jada (esimene liige on siin võrdne ja erinevus on). Või (, erinevus).

n-nda termini valem

Nimetame korduvaks valemit, milles th liikme väljaselgitamiseks peate teadma eelmist või mitut eelmist:

Et leida selle valemi abil näiteks progressiooni th liiget, peame arvutama eelmised üheksa. Näiteks lase. Seejärel:

Noh, kas nüüd on selge, mis valem on?

Igal real, mille me lisame, korrutatuna mõne arvuga. Milline? Väga lihtne: see on praeguse liikme number miinus:

Nüüd on palju mugavam, eks? Kontrollime:

Otsustage ise:

Leidke aritmeetilises progressioonis n-nda liikme valem ja sajanda liige.

Lahendus:

Esimene täht on võrdne. Mis vahe on? Siin on, mida:

(Seetõttu nimetatakse seda erinevuseks, kuna see on võrdne progressiooni järjestikuste liikmete erinevusega).

Niisiis, valem:

Siis on sajas liige võrdne:

Mis on kõigi naturaalarvude summa alates kuni?

Legendi järgi, suurepärane matemaatik Karl Gauss 9-aastase poisina arvutas selle summa välja mõne minutiga. Ta märkas, et esimese ja viimase arvu summa on võrdne, teise ja eelviimase summa on sama, kolmanda ja 3. summa lõpust on sama jne. Kui palju selliseid paare kokku on? See on õige, täpselt pool kõigist numbritest, see tähendab. Niisiis,

Mis tahes aritmeetilise progressiooni esimeste liikmete summa üldvalem on järgmine:

Näide:
Leidke kõigi summa kahekohalised numbrid, mitmekordsed.

Lahendus:

Esimene selline number on see. Iga järgmine saadakse lisamise teel eelmine kuupäev. Seega moodustavad meid huvitavad arvud aritmeetilise progressiooni esimese liikme ja erinevusega.

Selle edenemise th liikme valem:

Mitu liiget on progressioonis, kui need kõik peavad olema kahekohalised?

Väga lihtne: .

Edenemise viimane tähtaeg on võrdne. Siis summa:

Vastus:.

Otsustage nüüd ise:

1. Iga päev jookseb sportlane rohkem meetreid kui eelmisel päeval. Mitu kilomeetrit kokku jookseb ta nädalas, kui ta jooksis esimesel päeval km m?
2. Jalgrattur läbib iga päev rohkem kilomeetreid kui eelmisel päeval. Esimesel päeval sõitis ta km. Mitu päeva peab ta kilomeetri läbimiseks sõitma? Mitu kilomeetrit ta oma reisi viimasel päeval läbib?
3. Külmiku hind kaupluses langeb igal aastal sama palju. Tehke kindlaks, kui palju külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kuus aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Vastused:

1. Siin on kõige olulisem aritmeetilise progressiooni äratundmine ja selle parameetrite määramine. Sel juhul (nädalad = päevad). Peate määrama selle progresseerumise esimeste tingimuste summa:
   .
   Vastus:
2. Siin on antud: , tuleb leida.
   Ilmselt peate kasutama sama summa valemit nagu eelmises ülesandes:
   .
   Asendage väärtused:

   Juur ilmselgelt ei sobi, seega vastus on.
   Arvutame viimase päeva jooksul läbitud tee, kasutades th liikme valemit:
   (km).
   Vastus:

3. Arvestades: . Leia:.
   See ei saaks olla lihtsam:
   (hõõruda).
   Vastus:

ARITMEETILINE PROGRESSIOONI. LÜHIDALT PEAMISEST

See on numbrijada, milles külgnevate arvude erinevus on sama ja võrdne.

Aritmeetiline progressioon võib olla suurenev () ja vähenev ().

Näiteks:

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme leidmise valem

kirjutatakse valemiga, kus on järjestikuste arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete omadus

See võimaldab teil hõlpsasti leida progressiooni liiget, kui selle naaberliikmed on teada – kus on progressioonis olevate arvude arv.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa

Summa leidmiseks on kaks võimalust:

Kus on väärtuste arv.

Kus on väärtuste arv.

Meie tunni motoks on vene matemaatiku V.P. Ermakova: "Matemaatikas ei tohiks meeles pidada valemeid, vaid mõtlemisprotsesse."

Tundide ajal

Probleemi sõnastamine

Tahvlil on Gaussi portree. Õpetaja või õpilane, kellele anti ülesandeks sõnum eelnevalt ette valmistada, ütleb, et kui Gauss koolis oli, palus õpetaja õpilastel kõik kokku liita. täisarvud 1 kuni 100. Väike Gauss lahendas selle ülesande minutiga.

küsimus . Kuidas Gauss vastuse sai?

Lahenduste leidmine

Õpilased väljendavad oma oletusi, seejärel teevad kokkuvõtte: mõistes, et summad on 1 + 100, 2 + 99 jne. on võrdsed, Gauss korrutatakse 101-ga 50-ga, see tähendab selliste summade arvuga. Teisisõnu märkas ta mustrit, mis on omane aritmeetilisele progressioonile.

Summavalemi tuletamine n aritmeetilise progressiooni esimesed liikmed

Kirjutage tunni teema tahvlile ja vihikutesse. Õpilased koos õpetajaga panevad kirja valemi järeldused:

Lase a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmeetiline progressioon.

Esmane konsolideerimine

1. Valemi (1) abil lahendame Gaussi ülesande:

2. Lahendage ülesandeid valemi (1) abil suuliselt (nende tingimused on kirjutatud tahvlile või positiivne kood), ( a n) – aritmeetiline progressioon:

A) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Täida ülesanne.

Antud:( a n) - aritmeetiline progressioon;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Otsi: S 60 .

Lahendus. Kasutame summa valemit n aritmeetilise progressiooni esimesed liikmed

Vastus: 1800.

Lisaküsimus. Mitut tüüpi erinevaid probleeme saab selle valemi abil lahendada?

Vastus. Nelja tüüpi ülesandeid:

Leia summa S n;

Leidke aritmeetilise progressiooni esimene liige a 1 ;

Otsi n aritmeetilise progressiooni liige a n;

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv.

4. Täitke ülesanne: nr 369(b).

Leidke aritmeetilise progressiooni kuuekümne esimese liikme summa ( a n), Kui a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Lahendus.

Vastus: 1230.

Lisaküsimus. Kirjutage valem üles n aritmeetilise progressiooni liige.

Vastus: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Arvutage aritmeetilise progressiooni üheksa esimese liikme valem ( b n),
Kui b 1 = –17, d = 6.

Kas on võimalik valemiga kohe arvutada?

Ei, sest üheksas termin on teadmata.

Kuidas seda leida?

Vastavalt valemile n aritmeetilise progressiooni liige.

Lahendus. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Vastus: 63.

küsimus. Kas summat on võimalik leida ilma progressiooni üheksandat liiget arvutamata?

Probleemi sõnastamine

Probleem: summa valemi saamine n aritmeetilise progressiooni esimesed liikmed, teades selle esimest liiget ja erinevust d.

(Valemi tuletamine tahvlil õpilase poolt.)

Otsustame nr 371(a). uus valem (2):

Määrame verbaalselt valemid (2) ( ülesannete tingimused on kirjas tahvlile).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Uurige õpilastelt, millised küsimused on ebaselged.

Iseseisev töö

valik 1

Antud: (a n) – aritmeetiline progressioon.

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

2. võimalus

Antud: (a n) – aritmeetiline progressioon.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Õpilased vahetavad vihikuid ja kontrollivad üksteise lahendusi.

Teha kokkuvõte materjali õppimisest iseseisva töö tulemuste põhjal.