Logaritmiavaldised, näidete lahendamine. Käesolevas artiklis vaatleme logaritmide lahendamisega seotud probleeme. Ülesannetes küsitakse väljendi tähenduse leidmist. Tuleb märkida, et logaritmi mõistet kasutatakse paljudes ülesannetes ja selle tähenduse mõistmine on äärmiselt oluline. Mis puudutab ühtset riigieksamit, siis logaritmi kasutatakse võrrandite lahendamisel, rakendusülesannetes ja ka funktsioonide uurimisega seotud ülesannetes.
Toome näiteid, et mõista logaritmi tähendust:
Põhilogaritmiline identiteet:
Logaritmide omadused, mida tuleb alati meeles pidada:
*Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.
* * *
*Jagatise (murru) logaritm võrdub tegurite logaritmide vahega.
* * *
*Astendaja logaritm võrdub eksponendi ja selle aluse logaritmi korrutisega.
* * *
*Üleminek uuele vundamendile
* * *
Rohkem omadusi:
* * *
Logaritmide arvutamine on tihedalt seotud eksponentide omaduste kasutamisega.
Loetleme mõned neist:
Selle omaduse olemus seisneb selles, et lugeja kandmisel nimetajale ja vastupidi muutub astendaja märk vastupidiseks. Näiteks:
Selle omaduse tagajärg:
* * *
Tõsttes astme astmeks, jääb alus samaks, kuid eksponendid korrutatakse.
* * *
Nagu olete näinud, on logaritmi mõiste iseenesest lihtne. Peaasi, et vajad head praktikat, mis annab teatud oskuse. Loomulikult on valemite tundmine vajalik. Kui elementaarlogaritmide teisendamise oskus pole arenenud, siis lihtsate ülesannete lahendamisel võib kergesti eksida.
Harjuta, lahenda esmalt matemaatikakursuse kõige lihtsamad näited, siis liigu edasi keerulisemate juurde. Tulevikus näitan kindlasti, kuidas "hirmutavad" logaritmid lahendatakse, ühtsel riigieksamil neid ei kuvata, kuid need pakuvad huvi, ärge jätke ilma!
See on kõik! Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh
P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.
-
Kontrollige, kas logaritmimärgi all on negatiivsed arvud või üks. Seda meetodit saab kasutada vormiavaldiste puhul log b (x) log b (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Kuid see ei sobi teatud erijuhtudel:
- Negatiivse arvu logaritm on määratlemata üheski aluses (näiteks log (− 3) (\displaystyle \log(-3)) või log 4 (− 5) (\displaystyle \log _(4) (-5))). Sel juhul kirjutage "lahendus puudub".
- Samuti on määratlemata nulli logaritm mis tahes aluse suhtes. Kui vahele jääd ln (0) (\displaystyle \ln(0)), kirjutage üles "lahendus puudub".
- Logaritm ühest mis tahes baasi ( log (1) (\displaystyle \log(1))) on alati null, sest x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) kõigi väärtuste jaoks x. Kirjuta selle logaritmi asemel 1 ja ära kasuta allolevat meetodit.
- Kui logaritmidel on näiteks erinevad alused l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ja neid ei taandata täisarvudeks, ei saa avaldise väärtust käsitsi leida.
-
Teisenda avaldis üheks logaritmiks. Kui avaldis ülaltoodud erijuhtudel ei kehti, saab seda väljendada ühe logaritmina. Kasutage selleks järgmist valemit: log b (x) log b (a) = log a (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Näide 1: kaaluge väljendit log 16 log 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
Esmalt esitame avaldise ühe logaritmina, kasutades ülaltoodud valemit: log 16 log 2 = log 2 (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2) (16)). - See logaritmi "aluse asendamise" valem on tuletatud logaritmide põhiomadustest.
- Näide 1: kaaluge väljendit log 16 log 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
-
Võimalusel hinnake avaldise väärtust käsitsi. Leidma logi a (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), kujutage ette väljendit " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", see tähendab, esitage järgmine küsimus: "Millisele võimule peaksite tõstma a, Et saada x?. Sellele küsimusele vastamiseks võib olla vaja kalkulaatorit, kuid kui teil veab, võite selle võib-olla käsitsi leida.
- Näide 1 (jätkub): Kirjuta ümber kui 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Peate leidma, milline number peaks seisma märgi "?" asemel. Seda saab teha katse-eksituse meetodil:
2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^ (4) = 8 * 2 = 16)
Nii et number, mida otsime, on 4: log 2 (16) (\displaystyle \log _(2) (16)) = 4 .
- Näide 1 (jätkub): Kirjuta ümber kui 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Peate leidma, milline number peaks seisma märgi "?" asemel. Seda saab teha katse-eksituse meetodil:
-
Kui te ei saa seda lihtsustada, jätke oma vastus logaritmilises vormis. Paljusid logaritme on käsitsi väga raske arvutada. Sel juhul vajate täpse vastuse saamiseks kalkulaatorit. Kui aga lahendad tunnis ülesannet, jääb õpetaja suure tõenäosusega logaritmilises vormis vastusega rahule. Allpool käsitletud meetodit kasutatakse keerukama näite lahendamiseks:
- näide 2: mis on võrdne log 3 (58) log 3 (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3) (58))(\log _(3) (7))))?
- Teisendame selle avaldise üheks logaritmiks: log 3 (58) log 3 (7) = log 7 (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3) (58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Pange tähele, et mõlema logaritmi jaoks ühine alus 3 kaob; see on igal põhjusel tõsi.
- Kirjutame avaldise vormis ümber 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ja proovime leida väärtust?:
7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^ (3) = 49 * 7 = 343)
Kuna 58 on nende kahe numbri vahel, ei väljendata seda täisarvuna. - Jätame vastuse logaritmilises vormis: log 7 (58) (\displaystyle \log _(7) (58)).
Vaatame logaritmiliste võrrandite näiteid.
Näide 1: lahendage võrrand
Selle lahendamiseks kasutame potentseerimismeetodit. Ebavõrdsused >0 ja >0 määravad võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Ebavõrdsus > 0 kehtib mis tahes x väärtuste korral, kuna 5x> 0 ainult x positiivsete väärtuste korral. See tähendab, et ODZ võrrand on arvude kogum nullist pluss lõpmatuseni. Võrrand on võrdne ruutvõrrandiga. Selle võrrandi juured on arvud 2 ja 3, kuna nende arvude korrutis on 6 ja nende arvude summa on 5 - koefitsiendi b vastupidine väärtus? Mõlemad numbrid asuvad intervallis, mis tähendab, et need on selle võrrandi juured. Pange tähele, et me lahendasime selle võrrandi lihtsalt.
Näide 2: lahendage võrrand
(avaldise kümme x miinus üheksa logaritm kolme põhipunktini on võrdne logaritmiga x kuni üks kolmandik)
See võrrand erineb eelmisest selle poolest, et logaritmidel on erinevad alused. Ja vaadeldud võrrandi lahendamise meetodit ei saa siin enam kasutada, kuigi saate leida vastuvõetavate väärtuste vahemiku ja proovida võrrandit lahendada funktsionaalse graafilise meetodi abil. Ebavõrdsused >0 ja x>0 määravad võrrandi lubatud väärtuste vahemiku, mis tähendab. Vaatame selle võrrandi graafilist illustratsiooni. Selleks koostame funktsiooni ja punkt-punkti graafiku. Võime vaid öelda, et sellel võrrandil on üks juur, see on positiivne ja asub vahemikus 1 kuni 2. Juure täpset väärtust pole võimalik anda.
Muidugi pole see võrrand ainus, mis sisaldab erinevate alustega logaritme. Selliseid võrrandeid saab lahendada ainult uuele logaritmialusele liikumisega. Erinevate aluste logaritmidega seotud raskusi võib kohata ka teist tüüpi ülesannete puhul. Näiteks kui võrrelda numbreid ja.
Assistent selliste probleemide lahendamisel on teoreem
Teoreem: Kui a,b,c on positiivsed arvud ning a ja c erinevad 1-st, siis võrdus kehtib
Seda valemit nimetatakse uude baasi liikumise valemiks)
Seega alates ja rohkemgi. Kuna uude baasi kolimise valemi järgi võrdne ja võrdne
Tõestame teoreemi ülemineku kohta logaritmi uuele alusele.
Selle tõestamiseks võtame kasutusele tähise = m, =n, =k(arvu BE logaritm alusele a võrdub em, arvu BE logaritm alusele CE võrdub en, arvu a logaritm alusele CE võrdub ka). logaritmi definitsioon: arv b on a astmeni m, arv b on c astmeni n, arv a on c astmeni k. Niisiis, asendame selle väärtuse astme tõstmisel astmele, astmete astendajad korrutatakse, saame et =, kuid seega =, kui astme alused on võrdsed, siis antud astme eksponendid on võrdsed =. Seega = pöördume tagasi pöördasenduse juurde: (arvu BE logaritm aluse a suhtes on võrdne arvu BE ja aluse CE logaritmi ja arvu a logaritmi suhtega aluse CE suhtes)
Vaatleme selle teoreemi kahte järeldust.
Esimene tagajärg. Olgu selles teoreemis me tahame minna baasi b. Siis
(arvu BE logaritm baasile BE jagatud arvu a logaritmiga baasile BE)
on võrdne ühega, siis on see võrdne
See tähendab, et kui a ja b on positiivsed arvud ja erinevad 1-st, siis on võrdsus tõene
Järeldus 2. Kui a ja b on positiivsed arvud ja A arv ei võrdu ühega, siis mis tahes arvu puhul m, ei ole võrdne nulliga, võrdsus on tõsi
logaritm b põhineb A võrdne logaritmiga b mingil määral m põhineb a mingil määral m.
Tõestame seda võrdsust paremalt vasakule. Liigume avaldiselt (arvu be logaritm astmele em alusele a astmele em) baasiga logaritmile A. Logaritmi omaduse järgi saab alaaritmilise avaldise eksponenti nihutada edasi – logaritmi ette. =1. Me saame selle kätte. (murd lugejas em korrutatuna arvu logaritmiga on baasi ja nimetajas em) Arv m ei ole tingimusel võrdne nulliga, mis tähendab, et saadud murdosa saab m võrra vähendada. Me saame selle kätte. Q.E.D.
See tähendab, et logaritmi uuele alusele liikumiseks kasutatakse kolme valemit
Näide 2: lahendage võrrand
(avaldise kümme x miinus üheksa logaritm alus kolm võrdub x logaritmiga üks kolmandik)
Selle võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemiku leidsime varem. Toome uude baasi 3. Selleks kirjuta see sellesse logaritmi murruna. Lugeja on logaritm x-st aluse kolm, nimetaja on logaritm üks kolmandik alus kolm. on võrdne miinus ühega, siis võrdub võrrandi parem pool miinusega
Liigutame selle võrrandi vasakule poole ja kirjutame selle järgmiselt: Omaduse järgi on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga, mis tähendab, et (avaldise kümme x miinus üheksa kuni alus kolm pluss logaritm x kuni alus kolm) saab kirjutada kujul. (korrutise logaritm kümme x miinus üheksa ja x alus kolm) Korrutame ja saame võrrandi osad
ja paremale küljele kirjutame nulli kui, kuna kolm nulli astmeni on üks.
Potentsieerimismeetodit kasutades saame ruutvõrrandi =0. Koefitsientide a+b+c=0 omaduse järgi on võrrandi juured võrdsed 1 ja 0,1.
Kuid määratlusvaldkonnas on ainult üks juur. See on number üks.
Näide 3. Arvuta. (kolm neljakordse logaritmi kahe astmeni aluse kolm pluss kahe juure logaritm aluse viiekordse logaritmi kahekümne viie astmeni aluse neli)
Kõigepealt vaatame kolme võimsust. Kui astmed korrutada, siis sooritatakse astme tõstmine astmeks, nii et kolme astme saab kirjutada kolmeks astmeks nelja. Logaritmid erinevate alustega korrutises, mugavam on nelja aluse logaritm taandada viiega seotud alusele. Seetõttu asendagem see sellega identse väljendiga. Uude baasi kolimise valemi järgi.
Vastavalt põhilogaritmilisele identiteedile (ja astmele on be-de arvu logaritm aluse a suhtes võrdne be-de arvuga)
selle asemel saame Avaldises valime aluse ruudu ja alaaritmilise avaldise. Me saame selle kätte. Uuele alusele ülemineku valemi järgi kirjutatakse see lahendusest paremale, saame ainult asemel. Kirjutame ruutjuure kahest kaheks poole astmega ja paneme logaritmi omaduse järgi eksponendi logaritmi ette. Saame väljenduse. Seega saab arvutatud avaldis kuju...
Pealegi on see 16 ja korrutis on võrdne ühega, mis tähendab, et avaldise väärtus on 16,5.
Näide 4. Arvutage, kui log2= a,log3= b
Arvutamiseks kasutame logaritmi omadusi ja uuele alusele ülemineku valemeid.
Kujutagem ette 18 kuue ja kolme korrutisena. Korrutise logaritm on võrdne logaritmitegurite summaga, st kus on võrdne 1-ga. Kuna me teame kümnendlogaritme, liigume 6. alusega logaritmilt kümnendlogaritmile, saame murdosa lugeja (kümnendlogaritm kolmest) ja nimetaja (kuue kümnendlogaritm). Sel juhul saate selle juba asendada b. Korrigeerime kuus teguriteks kaks ja kolm. Kirjutame saadud korrutise logaritmide summana lg2 ja lg 3. Asendage need vastavalt a ja b-ga. Väljend on kujul: . Kui see avaldis teisendada murruks, vähendades ühisnimetajat, on vastus
Uuele logaritmialusele üleminekuga seotud ülesannete edukaks sooritamiseks peate teadma uuele logaritmialusele ülemineku valemeid
- , kus a,b,c on positiivsed arvud, a, c
- , kus a, b on positiivsed arvud, a, b
- , kus a,b on positiivsed arvud a, m
Tuleneb selle määratlusest. Ja nii ka arvu logaritm b põhineb A on defineeritud kui astendaja, milleni arv tuleb tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).
Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x=log a b, on võrdne võrrandi lahendamisega a x =b. Näiteks, log 2 8 = 3 sest 8 = 2 3 . Logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhineb a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmide teema on tihedalt seotud arvu astmete teemaga.
Logaritmidega, nagu kõigi arvudega, saate hakkama liitmise, lahutamise tehted ja muuta igal võimalikul viisil. Kuid kuna logaritmid ei ole täiesti tavalised arvud, kehtivad siin oma erireeglid, mida nimetatakse peamised omadused.
Logaritmide liitmine ja lahutamine.
Võtame kaks samade alustega logaritmi: logi x Ja logi a y. Seejärel on võimalik teha liitmise ja lahutamise toiminguid:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi x 1 + logi x 2 + logi x 3 + ... + logi a x k.
Alates logaritmi jagatise teoreem Võib saada veel ühe logaritmi omaduse. On üldteada, et logi a 1 = 0, seega
logi a 1 /b=logi a 1 - palk a b= - log a b.
See tähendab, et on olemas võrdsus:
log a 1 / b = - log a b.
Kahe pöördarvu logaritmid samal põhjusel erinevad üksteisest ainult märgi poolest. Niisiis:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Logaritmide liitmine ja lahutamine
Logaritmide põhiomadused
Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.
Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtki tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.
Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: log a x ja logi jah. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:
1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).
Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!
Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:
Leidke väljendi tähendus: log 6 4 + palk 6 9.
Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Leidke väljendi tähendus: log 2 48 − log 2 3.
Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Leidke väljendi tähendus: log 3 135 − log 3 5.
Jällegi on alused samad, seega on meil:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).
Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:
1. logi a x n = n logi a x;
3. 
On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.
Muidugi on kõik need reeglid mõistlikud, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.
Leidke väljendi tähendus: logi 7 49 6 .
Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Leidke väljendi tähendus:
Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed võimsused: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Meil on:
Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.