Ved hjælp af en online lommeregner kan du finde bøjningspunkter og konveksitetsintervaller for funktionsgrafen med design af løsningen i Word. Om en funktion af to variable f(x1,x2) er konveks afgøres ved hjælp af den hessiske matrix.
Regler for indtastning af funktioner:
Konveksitetsretningen af grafen for en funktion. Bøjningspunkter
Definition: Kurven y=f(x) kaldes konveks nedad i intervallet (a; b), hvis den ligger over tangenten på et hvilket som helst punkt i dette interval.Definition: Kurven y=f(x) siges at være konveks opad i intervallet (a; b), hvis den ligger under tangenten på et hvilket som helst punkt i dette interval. 
Definition: De intervaller, hvor grafen for en funktion er konveks op eller ned, kaldes konveksintervaller for funktionsgrafen.
Konveksiteten nedad eller opad af en kurve, der er en graf for funktionen y=f(x), er karakteriseret ved tegnet af dens anden afledede: hvis i et bestemt interval f''(x) > 0, så er kurven konveks nedad på dette interval; hvis f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Definition: Et punkt på grafen for en funktion y=f(x), der adskiller konveksitetsintervallerne modsatte retninger af denne graf kaldes bøjningspunktet. 
Bøjningspunkter kan kun tjene kritiske punkter II slags, dvs. punkter, der hører til definitionsdomænet for funktionen y = f(x), hvor den anden afledede f''(x) forsvinder eller har en diskontinuitet.
Reglen for at finde bøjningspunkter i grafen for en funktion y = f(x)
- Find den anden afledede f''(x) .
- Find kritiske punkter for den anden slags af funktionen y=f(x), dvs. det punkt, hvor f''(x) forsvinder eller oplever en diskontinuitet.
- Undersøg fortegnet for den anden afledede f''(x) i det interval, hvori de fundne kritiske punkter deler definitionsdomænet for funktionen f(x). Hvis det kritiske punkt x 0 adskiller konveksitetsintervallerne for modsatte retninger, så er x 0 abscissen af funktionsgrafens bøjningspunkt.
- Beregn funktionsværdierne ved bøjningspunkterne.
Eksempel 1. Find konveksitetsintervallerne og bøjningspunkterne for følgende kurve: f(x) = 6x 2 –x 3.
Løsning: Find f ‘(x) = 12x – 3x 2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Lad os finde de kritiske punkter for den anden afledede ved at løse ligningen 12-6x=0. x=2. 
f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Svar: Funktionen er konveks opad for x∈(2; +∞) ; funktionen er konveks nedad ved x∈(-∞; 2) ; bøjningspunkt (2;16) .
Eksempel 2. Har funktionen bøjningspunkter: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1
Eksempel 3. Find de intervaller, hvor grafen for funktionen er konveks og buet: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4
Graf over en funktion y=f(x) hedder konveks på intervallet (a; b), hvis den er placeret under nogen af dens tangenter på dette interval.
Graf over en funktion y=f(x) hedder konkave på intervallet (a; b), hvis den er placeret over nogen af dens tangenter på dette interval.
Figuren viser en kurve, der er konveks kl (a; b) og konkav på (b;c).
Eksempler.
Lad os overveje et tilstrækkeligt kriterium til at fastslå, om grafen for funktionen vil være i givet interval konveks eller konkav.
Sætning. Lade y=f(x) differentierbar på (a; b). Hvis på alle punkter i intervallet (a; b) anden afledet af funktionen y = f(x) negativ, dvs. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkav.
Bevis. Lad os antage det for en bestemthed f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
Lad os tage funktionerne på grafen y = f(x) vilkårligt punkt M0 med abscisse x 0 Î ( -en; b) og træk gennem punktet M0 tangent. Hendes ligning. Vi skal vise, at grafen for funktionen på (a; b) ligger under denne tangent, dvs. til samme værdi x ordinat af kurve y = f(x) vil være mindre end tangentens ordinat.
Så kurvens ligning er y = f(x). Lad os betegne ordinaten af tangenten, der svarer til abscissen x. Derefter . Følgelig er forskellen mellem ordinaterne af kurven og tangenten for den samme værdi x vil.
Forskel f(x) – f(x 0) transformere ifølge Lagranges sætning, hvor c mellem x Og x 0.
Dermed,
Vi anvender igen Lagranges sætning på udtrykket i firkantede parenteser: , hvor c 1 mellem c 0 Og x 0. Ifølge sætningens betingelser f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.
Ethvert punkt på kurven ligger således under tangenten til kurven for alle værdier x Og x 0 Î ( -en; b), hvilket betyder, at kurven er konveks. Den anden del af sætningen er bevist på lignende måde.
Eksempler.
Graf punkt kontinuerlig funktion, der adskiller dens konvekse del fra den konkave del, kaldes bøjningspunkt.
Det er klart, at i bøjningspunktet skærer tangenten, hvis den findes, kurven, fordi på den ene side af dette punkt ligger kurven under tangenten, og på den anden side - over den.
Lad os fastlægge tilstrækkelige betingelser for det givet point kurven er bøjningspunktet.
Sætning. Lad kurven defineres af ligningen y = f(x). Hvis f ""(x 0) = 0 eller f ""(x 0) eksisterer ikke, selv når den passerer gennem værdien x = x 0 afledte f ""(x) skifter fortegn, så punktet i grafen for funktionen med abscissen x = x 0 der er et bøjningspunkt.
Bevis. Lade f ""(x) < 0 при x < x 0 Og f ""(x) > 0 kl x > x 0. Så kl x < x 0 kurven er konveks, og hvornår x > x 0– konkav. Derfor pointen EN, liggende på kurven, med abscisse x 0 der er et bøjningspunkt. Det andet tilfælde kan betragtes på samme måde, hvornår f ""(x) > 0 kl x < x 0 Og f ""(x) < 0 при x > x 0.
Derfor bør bøjningspunkter kun søges blandt de punkter, hvor den anden afledede forsvinder eller ikke eksisterer.
Eksempler. Find bøjningspunkter og bestem intervallerne for konveksitet og konkavitet af kurver.
ASYMPTOTER AF FUNKTIONENS GRAF
Når man studerer en funktion, er det vigtigt at etablere formen på dens graf i en ubegrænset afstand af grafpunktet fra origo.
Af særlig interesse er tilfældet, når grafen for en funktion, når dens variable punkt er fjernet til det uendelige, uendeligt nærmer sig en bestemt ret linje.
Den rette linje kaldes asymptote funktionsgrafik y = f(x), hvis afstanden fra det variable punkt M grafik til denne linje, når du fjerner et punkt M til det uendelige har en tendens til nul, dvs. et punkt på grafen for en funktion, da det tenderer mod det uendelige, skal uendeligt nærme sig asymptoten.
En kurve kan nærme sig sin asymptote, mens den forbliver på den ene side af den eller med forskellige sider, uendeligt sæt en gang krydser asymptoten og bevæger sig fra den ene side til den anden.
Hvis vi angiver med d afstanden fra punktet M kurve til asymptoten, så er det klart, at d har en tendens til nul, når punktet bevæger sig væk M til evighed.
Vi vil yderligere skelne mellem lodrette og skrå asymptoter.
VERTIKALE ASYMPTOTER
Lad kl x→ x 0 fra enhver sidefunktion y = f(x) stiger ubegrænset i absolut værdi, dvs. eller eller 
. Så af definitionen af en asymptote følger det, at den rette linje x = x 0 er en asymptote. Det modsatte er også indlysende, hvis linjen x = x 0 er en asymptote, dvs. .
Således den lodrette asymptote af grafen for funktionen y = f(x) kaldes en ret linje if f(x)→ ∞ under mindst én af betingelserne x→ x 0– 0 eller x → x 0 + 0, x = x 0
Derfor, for at finde de lodrette asymptoter af grafen for funktionen y = f(x) skal finde disse værdier x = x 0, hvor funktionen går til uendelig (lider en uendelig diskontinuitet). Derefter lodret asymptote har ligningen x = x 0.
Eksempler.
SKÅ ASYMPTOTER
Da asymptoten er en ret linje, så hvis kurven y = f(x) har en skrå asymptote, så vil dens ligning være y = kx + b. Vores opgave er at finde koefficienterne k Og b.
Sætning. Lige y = kx + b fungerer som en skrå asymptote ved x→ +∞ for grafen for funktionen y
= f(x) dengang og kun når 
. Et lignende udsagn gælder for x → –∞.
Bevis. Lade MP– segmentets længde, lig med afstanden fra punkt M at asymptotere. Efter betingelse. Lad os med φ betegne hældningsvinklen for asymptoten i forhold til aksen Okse. Derefter fra ΔMNP følger det. Da φ er en konstant vinkel (φ ≠ π/2), så, men
Når vi studerer en funktion og konstruerer dens graf, bestemmer vi på et tidspunkt bøjningspunkter og konveksitetsintervaller. Disse data, sammen med intervallerne for stigning og fald, gør det muligt skematisk at repræsentere grafen for den undersøgte funktion.
Den videre præsentation forudsætter, at du kan lave op til en vis rækkefølge og forskellige typer.
Lad os begynde at studere materialet med nødvendige definitioner og koncepter. Dernæst vil vi udtrykke forbindelsen mellem værdien af den anden afledede af en funktion på et bestemt interval og retningen af dens konveksitet. Herefter går vi videre til de forhold, der gør det muligt at bestemme funktionsgrafens bøjningspunkter. Ifølge teksten vil vi give typiske eksempler med detaljerede løsninger.
Sidenavigation.
Konveksitet, konkavitet af en funktion, bøjningspunkt.
Definition.
konveks ned på intervallet X, hvis dets graf ikke er placeret lavere end tangenten til det på et hvilket som helst punkt i intervallet X.
Definition.
Funktionen der skal differentieres kaldes konveks op på intervallet X, hvis dets graf ikke er placeret højere end tangenten til det på noget punkt i intervallet X.
En opadgående konveks funktion kaldes ofte konveks, og konveks ned - konkave.
Se på tegningen, der illustrerer disse definitioner.
Definition.
Pointen hedder funktionsgrafens bøjningspunkt y=f(x) hvis der i et givet punkt er en tangent til grafen for funktionen (den kan være parallel med Oy-aksen), og der er et naboskab til punktet, inden for hvilket til venstre og højre for punktet M grafen for funktionen har forskellige konveksitetsretninger.
Med andre ord kaldes punktet M et bøjningspunkt for en funktions graf, hvis der er en tangent på dette punkt, og grafen for funktionen ændrer retningen af konveksiteten og passerer gennem den.
Se om nødvendigt afsnittet for at huske betingelserne for eksistensen af en ikke-lodret og vertikal tangent.
Nedenstående figur viser nogle eksempler på bøjningspunkter (markeret med røde prikker). Bemærk, at nogle funktioner muligvis ikke har nogen bøjningspunkter, mens andre kan have et, flere eller uendeligt mange bøjningspunkter.
Finde intervaller for konveksitet af en funktion.
Lad os formulere en sætning, der giver os mulighed for at bestemme konveksitetsintervallerne for en funktion.
Sætning.
Hvis funktionen y=f(x) har en endelig anden afledet på intervallet X, og hvis uligheden holder 
(), så har grafen for funktionen en konveksitet rettet nedad (opad) med X.
Denne teorem giver dig mulighed for at finde intervallerne for konkavitet og konveksitet for en funktion; du behøver kun at løse ulighederne og henholdsvis på definitionsdomænet for den oprindelige funktion.
Det skal bemærkes, at punkter, hvor funktionen y=f(x) er defineret, og den anden afledede ikke eksisterer, vil blive inkluderet i konkavitets- og konveksitetsintervallerne.
Lad os forstå dette med et eksempel.
Eksempel.
Find ud af de intervaller, hvorpå grafen for funktionen 
har en konveksitet rettet opad og en konveksitet rettet nedad.
Løsning.
En funktions domæne er hele sættet reelle tal.
Lad os finde den anden afledede. 
Definitionsdomænet for den anden afledte falder sammen med definitionsdomænet for den oprindelige funktion, derfor er det nok at løse og i overensstemmelse hermed for at finde ud af intervallerne for konkavitet og konveksitet. 
Derfor er funktionen konveks nedad på intervallet og konveks opad på intervallet.
Grafisk illustration.
Den del af funktionsgrafen i det konvekse interval er vist med blåt og i konkavitetsintervallet - med rødt.
Lad os nu overveje et eksempel, når definitionsdomænet for den anden afledede ikke falder sammen med definitionsdomænet for funktionen. I dette tilfælde, som vi allerede har bemærket, bør punkter i definitionsdomænet, hvor der ikke eksisterer en endelig anden afledet, inkluderes i intervallerne for konveksitet og (eller) konkavitet.
Eksempel.
Find intervallerne for konveksitet og konkavitet for funktionens graf.
Løsning.
Lad os starte med funktionens domæne:
Lad os finde den anden afledede: 
Definitionsdomænet for den anden afledte er mængden 
. Som du kan se, hører x=0 til domænet af den oprindelige funktion, men hører ikke til domænet af den anden afledede. Glem ikke dette punkt; det skal inkluderes i intervallet for konveksitet og (eller) konkavitet.
Nu løser vi uligheder på definitionsdomænet for den oprindelige funktion. Lad os ansøge. Tæller for udtryk 
går til nul kl 
eller 
, nævner – ved x = 0 eller x = 1. Vi plotter disse punkter skematisk på tallinjen og finder ud af udtrykkets tegn på hvert af de intervaller, der indgår i definitionsdomænet for den oprindelige funktion (det er vist som et skraveret område på den nederste tallinje). For en positiv værdi sætter vi et plustegn, for en negativ værdi sætter vi et minustegn. 
Dermed,
Og 
Derfor får vi svaret ved at inkludere punktet x=0.
På 
grafen for funktionen har en konveksitet rettet nedad, med 
- konveksitet rettet opad.
Grafisk illustration.
Den del af grafen for funktionen på konveksitetsintervallet er afbildet i blåt, på konkavitetsintervallerne - i rødt er den sorte stiplede linje den lodrette asymptote.
Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for bøjning.
Nødvendig betingelse for bøjning.
Lad os formulere nødvendig betingelse bøjning funktionsgrafik.
Lad grafen for funktionen y=f(x) have en bøjning i et punkt og have en kontinuerlig andenafledet, så holder ligheden.
Af denne betingelse følger det, at bøjningspunkternes abscisse skal søges blandt dem, hvor den anden afledede af funktionen forsvinder. MEN denne betingelse er ikke tilstrækkelig, det vil sige, at ikke alle værdier, hvor den anden afledede er lig med nul, er abscisser af bøjningspunkter.
Det skal også bemærkes, at definitionen af et bøjningspunkt kræver eksistensen af en tangentlinje eller en lodret. Hvad betyder det? Og det betyder følgende: bøjningspunkternes abscisse kan være alt fra definitionsdomænet for den funktion, som 
Og 
. Disse er normalt de punkter, hvor nævneren af den første afledte forsvinder.
Den første tilstrækkelige betingelse for bøjning.
Efter at alt, hvad der kan være abscisser af bøjningspunkter er fundet, bør du bruge den første tilstrækkelige betingelse for bøjning funktionsgrafik.
Lad funktionen y=f(x) være kontinuert i punktet, have en tangent (muligvis lodret) ved det, og lad denne funktion have en anden afledet i et eller andet område af punktet. Så, hvis inden for dette kvarter til venstre og højre for , har den anden afledte forskellige tegn, så er inflektionspunktet for funktionsgrafen.
Som du kan se den første tilstrækkelig stand kræver ikke eksistensen af den anden afledede i selve punktet, men kræver dens eksistens i nærheden af punktet.
Lad os nu opsummere alle oplysningerne i form af en algoritme.
Algoritme til at finde bøjningspunkter for en funktion.
Vi finder alle abscisser af mulige bøjningspunkter for funktionsgrafen (eller Og ) og find ud af ved at passere gennem hvilken den anden afledede skifter fortegn. Sådanne værdier vil være abscissen af bøjningspunkterne, og de tilsvarende punkter vil være bøjningspunkterne for funktionsgrafen.
Lad os se på to eksempler på at finde bøjningspunkter til afklaring.
Eksempel.
Find bøjningspunkter og intervaller for konveksitet og konkavitet af grafen for en funktion 
.
Løsning.
En funktions domæne er hele sættet af reelle tal.
Lad os finde den første afledte: 
Definitionsdomænet for den første afledte er også hele sættet af reelle tal, derfor lighederne Og er ikke opfyldt for nogen .
Lad os finde den anden afledede:
Lad os finde ud af, ved hvilke værdier af argumentet x den anden afledede går til nul: 
Abscissen af mulige bøjningspunkter er således x=-2 og x=3.
Nu er det tilbage at kontrollere, ved hjælp af et tilstrækkeligt bøjningstegn, ved hvilket af disse punkter den anden afledede ændrer fortegn. For at gøre dette skal du plotte punkterne x=-2 og x=3 på talaksen og, som i generaliseret intervalmetode, placerer vi fortegnene for den anden afledede over hvert interval. Under hvert interval vises funktionsgrafens konveksitetsretning skematisk med buer. 
Den anden afledede ændrer fortegn fra plus til minus, passerer gennem punktet x=-2 fra venstre mod højre, og skifter fortegn fra minus til plus, passerer gennem x=3. Derfor er både x=-2 og x=3 abscisser af funktionsgrafens bøjningspunkter. De svarer til grafpunkterne og .
Ved at tage endnu et kig på tallinjen og tegnene for den anden afledede på dens intervaller, kan vi drage konklusioner om intervallerne for konveksitet og konkavitet. Grafen for en funktion er konveks på intervallet og konkav på intervallerne og .
Grafisk illustration.
Den del af funktionsgrafen på det konvekse interval er vist med blåt, på konkavitetsintervallet - med rødt, og bøjningspunkter er vist som sorte prikker.
Eksempel.
Find abscissen af alle inflektionspunkter i funktionsgrafen 
.
Løsning.
Definitionsdomænet for denne funktion er hele sættet af reelle tal.
Lad os finde den afledte. 
Den første afledede, i modsætning til den oprindelige funktion, er ikke defineret ved x=3. Men 
Og 
. Derfor er der i punktet med abscisse x=3 en lodret tangent til grafen for den oprindelige funktion. Således kan x=3 være abscissen af funktionsgrafens bøjningspunkt.
Vi finder den anden afledte, dens definitionsdomæne og de punkter, hvor den forsvinder: 
Vi opnåede yderligere to mulige abscisser af bøjningspunkter. Vi markerer alle tre punkter på tallinjen og bestemmer tegnet for den anden afledede på hvert af de resulterende intervaller. 
Den anden afledede ændrer fortegn, når den passerer gennem hvert af punkterne, derfor er de alle abscisser af bøjningspunkter.
Instruktioner
Points bøjning funktioner skal tilhøre dets definitions domæne, som skal findes først. Tidsplan funktioner er en linje, der kan være kontinuerlig eller have brud, monotont aftage eller øge, have minimum eller maksimum point(asymptoter), være konvekse eller konkave. En skarp ændring i de sidste to tilstande kaldes et bøjningspunkt.
Nødvendig betingelse for at eksistere bøjning funktioner består i ligheden mellem sekundet og nul. Ved at differentiere funktionen to gange og ligne det resulterende udtryk til nul, kan vi således finde abscissen af mulige punkter bøjning.
Denne betingelse følger af definitionen af egenskaberne for konveksitet og konkavitet af grafen funktioner, dvs. negativ og positiv værdi anden afledt. På punktet bøjning brat forandring disse egenskaber, hvilket betyder, at den afledte passerer nulmærket. Dog er lig med nul endnu ikke nok til at angive en bøjning.
Der er to tilstrækkelige betingelser for, at abscissen fundet i det foregående trin hører til punktet bøjning:Gennem dette punkt kan du tegne en tangent til funktioner. Den anden afledede har forskellige fortegn til højre og venstre for den forventede point bøjning. Således er dets eksistens på selve punktet ikke nødvendigt, det er nok at fastslå, at det skifter fortegn ved det. funktioner er lig med nul, og den tredje er det ikke.
Løsning: Find . I I dette tilfælde der er ingen begrænsninger, derfor er det hele rummet af reelle tal. Beregn den første afledede: y’ = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².
Vær opmærksom på . Det følger heraf, at definitionsområdet for derivatet er begrænset. Punktet x = 5 er punkteret, hvilket betyder, at der kan passere en tangent, hvilket til dels svarer til det første tegn på tilstrækkelighed bøjning.
Bestem det resulterende udtryk for x → 5 – 0 og x → 5 + 0. De er lig med -∞ og +∞. Du har bevist, at en lodret tangent går gennem punktet x=5. Dette punkt kan vise sig at være et punkt bøjning, men beregn først den anden afledede: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.
Udelad nævneren, da du allerede har taget højde for punktet x = 5. Løs ligningen 2 x – 22 = 0. Den har en enkelt rod x = 11. Det sidste trin er at bekræfte, at point x=5 og x=11 er punkter bøjning. Analyser adfærden af den anden afledte i deres nærhed. Det er klart, at ved punktet x = 5 skifter det fortegn fra "+" til "-", og i punktet x = 11 - omvendt. Konklusion: begge dele point er point bøjning. Den første tilstrækkelige betingelse er opfyldt.