Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Definition og grundlæggende egenskaber for et parallelogram
Lad os starte med at huske definitionen af para-ral-le-lo-gram.
Definition. Parallelogram- what-you-rekh-gon-nick, som har hver to pro-ti-falske sider, der er parallelle (se fig. 1).
Ris. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Lad os huske grundlæggende egenskaber ved pa-ral-le-lo-gram-ma:
For at kunne bruge alle disse egenskaber, skal du være sikker på, at fi-gu-ra, om nogen -Roy vi taler om, - pa-ral-le-lo-gram. For at gøre dette er det nødvendigt at kende sådanne fakta som tegn på pa-ral-le-lo-gram-ma. Vi kigger på de to første af dem nu.
2. Det første tegn på et parallelogram
Sætning. Det første tegn på pa-ral-le-lo-gram-ma. Hvis de to modstående sider i et firekul er lige store og parallelle, så er dette firekuls kaldenavn - parallelogram. 
.
Ris. 2. Det første tegn på pa-ral-le-lo-gram-ma
Bevis. Lad os sætte dia-go-nalen i fire-reh-coal-ni-ka (se fig. 2), hun delte den i to tri-coal-ni-ka. Lad os skrive ned, hvad vi ved om disse trekanter:
ifølge det første tegn på trekanters lighed.
Af ligheden af de angivne trekanter følger det, at ved tegnet på parallelitet af lige linjer, når de krydser ch-nii deres s-ku-shchi. Det har vi:
Gør-ka-za-men.
3. Andet tegn på et parallelogram
Sætning. Det andet tegn er pa-ral-le-lo-gram-ma. Hvis i et fire-hjørne hver to pro-ti-falske sider er ens, så er dette fire-hjørne parallelogram. 
.
Ris. 3. Det andet tegn på pa-ral-le-lo-gram-ma
Bevis. Vi sætter diagonalen i fire-hjørnet (se fig. 3), hun deler den i to trekanter. Lad os skrive ned, hvad vi ved om disse trekanter, baseret på teoriens form:
ifølge det tredje tegn på trekanters lighed.
Fra ligheden af trekanter følger det, at ved tegnet af parallelle linjer, når de skærer dem s-ku-shchey. Lad os spise:
par-ral-le-lo-gram per definition. Q.E.D.
Gør-ka-za-men.
4. Et eksempel på brug af den første parallelogramfunktion
Lad os se på et eksempel på brugen af tegn på pa-ral-le-lo-gram.
Eksempel 1. I bulen er der ingen kul Find: a) kullenes hjørner; b) hundrede-ro-brønd.
Løsning. Illustration Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram ifølge det første tegn på pa-ral-le-lo-gram-ma.
EN. 
ved egenskaben af et par-ral-le-lo-gram om pro-ti-falske vinkler, ved egenskaben af et par-ral-le-lo-gram om summen af vinkler, når man ligger til den ene side.
B. 
af karakteren af ligestilling af pro-falske sider.
re-tiy tegn pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Gennemgang: Definition og egenskaber af et parallelogram
Lad os huske det parallelogram- dette er et firkantet hjørne, som har pro-ti-falske sider i par. Det vil sige, hvis - par-ral-le-lo-gram, så 
(se fig. 1).
Parallel-le-lo-grammet har en række egenskaber: de modsatte vinkler er ens (), de modsatte vinkler -vi er ens ( 
). Desuden er dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma ved punktet for re-se-che-niya opdelt efter summen af vinklerne, at-le- pressende til evt. side pa-ral-le-lo-gram-ma, lige, osv.
Men for at udnytte alle disse egenskaber er det nødvendigt at være helt sikker på, at ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Til dette formål er der tegn på par-ral-le-lo-gram: det vil sige de fakta, hvorfra man kan drage en enkelt værdifuld konklusion, at det-du-rekh-kul-nick er et par-ral- le-lo-gram-mor. I den forrige lektion så vi allerede på to tegn. Nu ser vi på tredje gang.
6. Det tredje tegn på et parallelogram og dets bevis
Hvis der i en fire-kul er en dia-go-on på punktet for re-se-che-niya, de gør-by-lams, så er den givne fire-du Roh-coal-nick en pa-ral-le -lo-gram-mor.
Givet:
Hvad-du-re-kul-nick; ; .
Bevise:
Parallelogram.
Bevis:
For at bevise denne kendsgerning er det nødvendigt at vise parternes parallelitet til par-le-lo-gram. Og parallelliteten af lige linjer opnås oftest gennem ligheden af indre tværliggende vinkler ved disse rette vinkler. Så her er den næste metode til at opnå det tredje tegn på par-ral -le-lo-gram-ma: gennem trekanters lighed 
.
Lad os se, hvordan disse trekanter er lige store. Af betingelsen følger nemlig: . Da vinklerne er lodrette, er de desuden lige store. Det er:
(første tegn på ligestillingtri-coal-ni-cov- langs to sider og hjørnet mellem dem).
Fra trekanters lighed: (da de indre tværgående vinkler ved disse rette linjer og separatorer er ens). Derudover følger det af trekanters lighed, at . Det betyder, at vi forstår, at i fire-kul er to hundrede lige store og parallelle. Ifølge det første tegn, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Gør-ka-za-men.
7. Eksempel på et problem på det tredje tegn i et parallelogram og generalisering
Lad os se på eksemplet med at bruge det tredje tegn på pa-ral-le-lo-gram.
Eksempel 1
Givet:
- parallelogram; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (se fig. 2).
Bevise:- pa-ral-le-lo-gram.
Bevis:
Det betyder, at i fire-kul-no-dia-go-on-om på punktet af re-se-che-niya de gør-by-lam. Ved det tredje tegn på pa-ral-le-lo-gram følger det heraf, at - pa-ral-le-lo-gram.
Gør-ka-za-men.
Hvis du analyserer det tredje tegn på pa-ral-le-lo-gram, så kan du bemærke, at dette tegn er med-vet- har egenskaben af et par-ral-le-lo-gram. Det vil sige, at dia-go-na-li de-la-xia ikke kun er en egenskab ved par-le-lo-grammet, og dets karakteristiske, kha-rak-te-ri-sti-che- ejendom, hvorved det kan skelnes fra sættet hvad-du-rekh-kul-ni-cov.
KILDE
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Et parallelogram er en firkant med modsatte sider parvis parallelt. Denne definition er allerede tilstrækkelig, da parallelogrammets resterende egenskaber følger af den og bevises i form af teoremer.
De vigtigste egenskaber ved et parallelogram er:
- et parallelogram er en konveks firkant;
- Et parallelogram har modsatte sider, der er parvis lige store;
- ved parallelogrammet modsatte vinkler parvis lige;
- Diagonalerne i et parallelogram er delt i to af skæringspunktet.
Parallelogram - konveks firkant
Lad os først bevise sætningen et parallelogram er en konveks firkant. En polygon er konveks, hvis hvilken som helst side af den er forlænget til en ret linje, vil alle andre sider af polygonen være på samme side af denne lige linje.
Lad det være givet parallelogram ABCD, hvor AB er den modsatte side for CD, og BC er den modsatte side for AD. Så af definitionen af et parallelogram følger det, at AB || CD, BC || A.D.
U parallelle segmenter Ingen fælles punkter, de krydser ikke hinanden. Det betyder, at CD ligger på den ene side af AB. Da segment BC forbinder punkt B i segment AB med punkt C i segment CD, og segment AD forbinder andre punkter AB og CD, ligger segmenterne BC og AD også på samme side af linje AB, hvor CD ligger. Således ligger alle tre sider - CD, BC, AD - på samme side af AB.
På samme måde er det bevist, at i forhold til de andre sider af parallelogrammet, ligger de tre andre sider på samme side.
Modsatte sider og vinkler er lige store
En af egenskaberne ved et parallelogram er det I et parallelogram er modsatte sider og modsatte vinkler parvis lige store. For eksempel, hvis et parallelogram ABCD er givet, så har det AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Denne sætning er bevist som følger.
Et parallelogram er en firkant. Det betyder, at den har to diagonaler. Da et parallelogram er en konveks firkant, deler enhver af dem det i to trekanter. I parallelogrammet ABCD skal du overveje trekanter ABC og ADC opnået ved at tegne diagonalen AC.
Disse trekanter har en side til fælles - AC. Vinkel BCA lig med vinkel CAD som lodret med parallelle BC og AD. Vinkler BAC og ACD er også lig med lodrette vinkler, når AB og CD er parallelle. Derfor er ∆ABC = ∆ADC ved to vinkler og siden mellem dem.
I disse trekanter svarer side AB til siden CD, og side BC svarer til AD. Derfor er AB = CD og BC = AD.
Vinkel B svarer til vinkel D, dvs. ∠B = ∠D. Vinkel A på et parallelogram er summen af to vinkler - ∠BAC og ∠CAD. Vinkel C er lig med ∠BCA og ∠ACD. Da par af vinkler er lig med hinanden, så er ∠A = ∠C.
Således er det bevist, at i et parallelogram er modsatte sider og vinkler ens.
Diagonaler er delt i to
Da et parallelogram er en konveks firkant, har det to diagonaler, og de skærer hinanden. Lad parallelogram ABCD være givet, dets diagonaler AC og BD skærer hinanden i punkt E. Betragt trekanter ABE og CDE dannet af dem.
Disse trekanter har sider AB og CD lig med de modsatte sider af et parallelogram. Vinkel ABE er lig med vinkel CDE som liggende på tværs med parallelle linjer AB og CD. Af samme grund er ∠BAE = ∠DCE. Det betyder ∆ABE = ∆CDE ved to vinkler og siden mellem dem.
Du kan også bemærke, at vinklerne AEB og CED er lodrette og derfor også lig med hinanden.
Da trekanter ABE og CDE er ens med hinanden, så er alle deres tilsvarende elementer ens. Side AE af den første trekant svarer til side CE på den anden, hvilket betyder AE = CE. Tilsvarende BE = DE. Hvert par lige store segmenter er diagonalen af et parallelogram. Det er således bevist Diagonalerne i et parallelogram er halveret af deres skæringspunkt.
For at afgøre om denne figur parallelogram er der en række funktioner. Lad os se på de tre hovedtræk ved et parallelogram.
1 parallelogram tegn
Hvis to sider af en firkant er lige store og parallelle, så vil denne firkant være et parallelogram.
Bevis:
Overvej firkanten ABCD. Lad siderne AB og CD være parallelle. Og lad AB=CD. Lad os tegne den diagonale BD i den. Det vil dele den givne firkant i to lige stor trekant: ABD og CBD.
Disse trekanter er lig med hinanden på to sider og vinklen mellem dem (BD - fælles side, AB = CD efter betingelse, vinkel1 = vinkel2 som tværgående vinkler med den tværgående BD af parallelle linjer AB og CD.), og derfor vinkel3 = vinkel4.
Og disse vinkler vil ligge på tværs, når linjerne BC og AD skærer sekanten BD. Det følger heraf, at BC og AD er parallelle med hinanden. Vi har, at i firkanten ABCD er de modsatte sider parvis parallelle, og derfor er firkanten ABCD et parallelogram.
Parallelogram tegn 2
Hvis i en firkant er de modsatte sider parvis lige store, så vil denne firkant være et parallelogram.
Bevis:
Overvej firkanten ABCD. Lad os tegne den diagonale BD i den. Det vil opdele denne firkant i to lige store trekanter: ABD og CBD.
Disse to trekanter vil være lig med hinanden på tre sider (BD er den fælles side, AB = CD og BC = AD efter betingelse). Ud fra dette kan vi konkludere, at vinkel1 = vinkel2. Det følger heraf, at AB er parallel med CD. Og da AB = CD og AB er parallel med CD, så vil firkanten ABCD ifølge det første kriterium for et parallelogram være et parallelogram.
3 parallelogram tegn
Hvis diagonalerne på en firkant skærer hinanden og er halveret af skæringspunktet, vil denne firkant være et parallelogram.
Overvej firkanten ABCD. Lad os tegne to diagonaler AC og BD i den, som vil skære hinanden i punktet O og halveres af dette punkt.
Trekanter AOB og COD vil være lig med hinanden, ifølge det første tegn på lighed af trekanter. (AO = OC, BO = OD efter betingelse, vinkel AOB = vinkel COD as lodrette vinkler.) Derfor er AB = CD og vinkel 1 = vinkel 2. Fra ligheden mellem vinkel 1 og 2 har vi, at AB er parallel med CD. Så har vi, at i firkanten ABCD er siderne AB lig med CD og parallelle, og ifølge det første kriterium for et parallelogram vil firkanten ABCD være et parallelogram.
Firkantet ABCD er en figur, der består af fire punkter A, B, C, D, tre hver, der ikke ligger på den samme rette linje, og fire segmenter AB, BC, CD og AD, der forbinder disse punkter.
Billederne viser firkanter.
Punkterne A, B, C og D kaldes hjørner af en firkant og segmenterne AB, BC, CD og AD - fester. Toppunkter A og C, B og D kaldes modsatte hjørner. Sider AB og CD, BC og AD kaldes modstående partier .
Der er firkanter konveks(til venstre på billedet) og ikke-konveks(på billedet - til højre).
Hver diagonal konveks firkant deler den op i to trekanter(diagonal AC deler ABCD i to trekant ABC og ACD; diagonal BD - på BCD og BAD). U ikke-konveks firkant kun en af diagonalerne deler den i to trekanter(diagonal AC deler ABCD i to trekanter ABC og ACD; diagonal BD gør ikke).
Lad os overveje hovedtyper af firkanter, deres egenskaber, arealformler:
Parallelogram
Parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider parvis er parallelle.
Ejendomme:
Tegn på et parallelogram:
1. Hvis to sider af en firkant er lige store og parallelle, så er denne firkant et parallelogram.
2. Hvis de modstående sider i en firkant er parvis lige store, så er denne firkant et parallelogram.
3. Hvis diagonalerne i en firkant skærer hinanden og deles i halvdelen af skæringspunktet, så er denne firkant et parallelogram.
Areal af et parallelogram:
Trapez
Trapeze En firkant kaldes en firkant, hvor to sider er parallelle, og de to andre sider ikke er parallelle.
Grunde hedder parallelle sider, og de to andre sider er sider.
Midterste linje Et trapez er et segment, der forbinder midtpunkterne på dets sider.
SÆTNING.
midterste linje trapezet er parallelt med baserne og lig med deres halvsum.
Trapezområde:
Rhombus
Diamant kaldes et parallelogram, hvor alle sider er lige store.
Ejendomme:
Rhombus område:
Rektangel
Rektangel kaldes et parallelogram, hvor alle vinkler er lige store.
Ejendomme:
Rektangel tegn:
Hvis diagonalerne i et parallelogram er ens, så er dette parallelogram et rektangel.
Rektangel område:
Firkant
Firkant kaldes et rektangel, hvis sider alle er lige store.
Ejendomme:
Et kvadrat har alle egenskaberne for et rektangel og en rombe (et rektangel er et parallelogram, derfor er et kvadrat et parallelogram med alle sider lige store, dvs. en rombe).
Kvadratisk areal: