Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige myndigheder i Den Russiske Føderations område - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
Denne artikel handler om parallelle linjer og parallelle linjer. Først gives definitionen af parallelle linjer på et plan og i rummet, notationer introduceres, eksempler og grafiske illustrationer af parallelle linjer gives. Dernæst diskuteres tegnene og betingelserne for parallelitet af linjer. Afslutningsvis vises løsninger på typiske problemer med at bevise linjers parallelitet, som er givet ved visse ligninger af en linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan og i tredimensionelt rum.
Sidenavigation.
Parallelle linjer - grundlæggende information.
Definition.
To linjer i et plan kaldes parallel, hvis de ikke har fælles punkter.
Definition.
To linjer i tredimensionelt rum kaldes parallel, hvis de ligger i samme plan og ikke har fælles punkter.
Bemærk venligst, at klausulen "hvis de ligger i samme plan" i definitionen af parallelle linjer i rummet er meget vigtig. Lad os præcisere dette punkt: to linjer i tredimensionelt rum, der ikke har fælles punkter og ikke ligger i samme plan, er ikke parallelle, men skærer hinanden.
Her er nogle eksempler på parallelle linjer. De modsatte kanter af notebook-arket ligger på parallelle linjer. De lige linjer, langs hvilke husets vægplan skærer loftets og gulvets planer, er parallelle. Jernbaneskinner på jævnt terræn kan også betragtes som parallelle linjer.
For at angive parallelle linjer, brug symbolet "". Det vil sige, at hvis linje a og b er parallelle, så kan vi kort skrive a b.
Bemærk venligst: hvis linje a og b er parallelle, så kan vi sige, at linje a er parallel med linje b, og også at linje b er parallel med linje a.
Lad os give udtryk for et udsagn, der spiller en vigtig rolle i studiet af parallelle linjer på et plan: gennem et punkt, der ikke ligger på en given linje, passerer den eneste rette linje parallelt med den givne. Dette udsagn er accepteret som et faktum (det kan ikke bevises på grundlag af de kendte aksiomer for planimetri), og det kaldes aksiomet for parallelle linjer.
For tilfældet i rummet er sætningen gyldig: gennem ethvert punkt i rummet, der ikke ligger på en given linje, passerer der en enkelt ret linje parallelt med den givne. Denne sætning er let bevist ved hjælp af ovenstående aksiom for parallelle linjer (du kan finde dets bevis i geometri lærebogen for klasse 10-11, som er opført i slutningen af artiklen i listen over referencer).
For tilfældet i rummet er sætningen gyldig: gennem ethvert punkt i rummet, der ikke ligger på en given linje, passerer der en enkelt ret linje parallelt med den givne. Denne sætning kan let bevises ved hjælp af ovenstående parallellinjeaksiom.
Parallelisme af linjer - tegn og betingelser for parallelitet.
Et tegn på parallelitet af linjer er en tilstrækkelig betingelse for, at linjerne er parallelle, det vil sige en betingelse, hvis opfyldelse garanterer, at linjerne er parallelle. Med andre ord er opfyldelsen af denne betingelse tilstrækkelig til at fastslå, at linjerne er parallelle.
Der er også nødvendige og tilstrækkelige betingelser for paralleliteten af linjer på et plan og i tredimensionelt rum.
Lad os forklare betydningen af udtrykket "nødvendig og tilstrækkelig betingelse for parallelle linjer."
Vi har allerede behandlet den tilstrækkelige betingelse for parallelle linjer. Hvad er en "nødvendig betingelse for parallelle linjer"? Fra navnet "nødvendigt" er det klart, at opfyldelsen af denne betingelse er nødvendig for parallelle linjer. Med andre ord, hvis den nødvendige betingelse for parallelle linjer ikke er opfyldt, så er linjerne ikke parallelle. Dermed, nødvendig og tilstrækkelig betingelse for parallelle linjer er en betingelse, hvis opfyldelse både er nødvendig og tilstrækkelig for parallelle linjer. Det vil sige, på den ene side er dette et tegn på parallelitet af linjer, og på den anden side er dette en egenskab, som parallelle linjer har.
Før du formulerer en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for linjers parallelitet, er det tilrådeligt at huske flere hjælpedefinitioner.
Sekant linje er en linje, der skærer hver af to givne ikke-sammenfaldende linjer.
Når to lige linjer skærer hinanden med en tværgående, dannes otte uudviklede. I formuleringen af den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for linjers parallelitet, den såkaldte liggende på tværs, tilsvarende Og ensidige vinkler. Lad os vise dem på tegningen.
Sætning.
Hvis to rette linjer i et plan skæres af en tværgående, så er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at de skærende vinkler er ens, eller at de tilsvarende vinkler er ens, eller summen af ensidede vinkler er lig med 180 for at være parallelle grader.
Lad os vise en grafisk illustration af denne nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelliteten af linjer på et plan.
Du kan finde beviser for disse betingelser for paralleliteten af linjer i geometrilærebøger for klasse 7-9.
Bemærk, at disse forhold også kan bruges i tredimensionelt rum - det vigtigste er, at de to rette linjer og sekanten ligger i samme plan.
Her er et par flere sætninger, der ofte bruges til at bevise linjers parallelitet.
Sætning.
Hvis to linjer i et plan er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriterium følger af aksiomet for parallelle linjer.
Der er en lignende betingelse for parallelle linjer i tredimensionelt rum.
Sætning.
Hvis to linjer i rummet er parallelle med en tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriterium diskuteres i geometritimerne i 10. klasse.
Lad os illustrere de anførte teoremer.
Lad os præsentere en anden sætning, der giver os mulighed for at bevise parallelliteten af linjer på et plan.
Sætning.
Hvis to linjer i et plan er vinkelrette på en tredje linje, så er de parallelle.
Der er en lignende sætning for linjer i rummet.
Sætning.
Hvis to linjer i det tredimensionelle rum er vinkelrette på det samme plan, så er de parallelle.
Lad os tegne billeder, der svarer til disse teoremer.
Alle sætninger, kriterier og nødvendige og tilstrækkelige betingelser formuleret ovenfor er fremragende til at bevise parallelliteten af linjer ved hjælp af geometriske metoder. Det vil sige, at for at bevise paralleliteten af to givne linjer, skal du vise, at de er parallelle med en tredje linje, eller vise ligheden af tværgående liggende vinkler osv. Mange lignende problemer løses i geometritimerne i gymnasiet. Det skal dog bemærkes, at det i mange tilfælde er praktisk at bruge koordinatmetoden til at bevise parallelliteten af linjer på et plan eller i tredimensionelt rum. Lad os formulere de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for paralleliteten af linjer, der er specificeret i et rektangulært koordinatsystem.
Parallelisme af linjer i et rektangulært koordinatsystem.
I dette afsnit af artiklen vil vi formulere nødvendige og tilstrækkelige betingelser for parallelle linjer i et rektangulært koordinatsystem, afhængigt af typen af ligninger, der definerer disse linjer, og vi vil også give detaljerede løsninger på karakteristiske problemer.
Lad os starte med betingelsen om parallelitet af to rette linjer på et plan i det rektangulære koordinatsystem Oxy. Hans bevis er baseret på definitionen af retningsvektoren for en linje og definitionen af normalvektoren for en linje på et plan.
Sætning.
For at to ikke-sammenfaldende linjer skal være parallelle i et plan, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at retningsvektorerne for disse linjer er kollineære, eller normalvektorerne for disse linjer er kollineære, eller retningsvektoren for en linje er vinkelret på normalen vektor af den anden linje.
Det er klart, at betingelsen for parallelitet af to linjer på et plan er reduceret til (retningsvektorer af linjer eller normale vektorer af linjer) eller til (retningsvektor for en linje og normalvektor for den anden linje). Således, hvis og er retningsvektorer af linje a og b, og 
Og 
er normale vektorer af henholdsvis linje a og b, så vil den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for paralleliteten af linje a og b blive skrevet som 
, eller 
, eller , hvor t er et reelt tal. Til gengæld findes koordinaterne for hjælpelinjerne og (eller) normalvektorerne for linje a og b ved hjælp af de kendte ligninger af linjer.
Især hvis lige linje a i det rektangulære koordinatsystem Oxy på planet definerer en generel lige linjeligning af formen 
, og lige linje b - 
, så har normalvektorerne for disse linjer henholdsvis koordinater og, og betingelsen for parallelitet af linje a og b vil blive skrevet som .
Hvis linje a svarer til ligningen for en linje med en vinkelkoefficient på formen og linie b-, så har disse linjers normalvektorer koordinater og , og betingelsen for parallelitet af disse linjer har formen 
. Følgelig, hvis linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem er parallelle og kan specificeres ved ligninger af linjer med vinkelkoefficienter, så vil linjernes vinkelkoefficienter være ens. Og omvendt: hvis ikke-sammenfaldende linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem kan specificeres ved ligningerne for en linje med lige store vinkelkoefficienter, så er sådanne linjer parallelle.
Hvis en linje a og en linje b i et rektangulært koordinatsystem er bestemt af de kanoniske ligninger for en linje på et plan af formen 
Og 
, eller parametriske ligninger af en ret linje på et plan af formen 
Og 
i overensstemmelse hermed har retningsvektorerne for disse linjer koordinater og , og betingelsen for parallelitet af linjerne a og b er skrevet som .
Lad os se på løsninger på flere eksempler.
Eksempel.
Er linjerne parallelle? 
Og ?
Løsning.
Lad os omskrive ligningen for en linje i segmenter i form af en generel ligning for en linje: 
. Nu kan vi se, at det er linjens normale vektor , a er linjens normalvektor. Disse vektorer er ikke kollineære, da der ikke er noget reelt tal t, for hvilket ligheden ( 
). Følgelig er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelliteten af linjer på et plan ikke opfyldt, derfor er de givne linjer ikke parallelle.
Svar:
Nej, linjerne er ikke parallelle.
Eksempel.
Er lige linjer og parallelle?
Løsning.
Lad os reducere den kanoniske ligning for en ret linje til ligningen for en ret linje med en vinkelkoefficient: . Det er klart, at linjernes ligninger og ikke er de samme (i dette tilfælde ville de givne linjer være de samme), og linjernes vinkelkoefficienter er ens, derfor er de oprindelige linjer parallelle.
De krydser ikke hinanden, uanset hvor længe de fortsættes. Parallellen mellem rette linjer i skrift er angivet som følger: AB|| MEDE
Muligheden for eksistensen af sådanne linjer bevises af sætningen.
Sætning.
Gennem ethvert punkt taget uden for en given linje, kan man tegne et punkt parallelt med denne linje.
Lade AB denne lige linje og MED et punkt taget uden for det. Det er påkrævet at bevise det igennem MED du kan tegne en lige linje parallelAB. Lad os sænke den til AB fra punkt MED vinkelretMEDD og så gennemfører vi MEDE^ MEDD, hvad der er muligt. Lige C.E. parallel AB.
For at bevise dette, lad os antage det modsatte, dvs C.E. krydser hinanden AB på et tidspunkt M. Så fra punktet M til en lige linje MEDD vi ville have to forskellige perpendikulære MD Og FRK, hvilket er umuligt. Midler, C.E. ikke kan krydse med AB, dvs. MEDE parallel AB.
Følge.
To vinkelrette sider (CEOgD.B.) til en lige linje (CD) er parallelle.
Aksiom for parallelle linjer.
Gennem det samme punkt er det umuligt at tegne to forskellige linjer parallelt med den samme linje.
Så hvis lige MEDD, trukket gennem punktet MED parallelt med linjen AB, derefter hver anden linje MEDE, trukket gennem samme punkt MED, kan ikke være parallel AB, dvs. hun fortsætter vil skære hinanden Med AB.
At bevise denne ikke helt åbenlyse sandhed viser sig at være umuligt. Det accepteres uden bevis, som en nødvendig antagelse (postulatum).
Konsekvenser.
1. Hvis lige(MEDE) skærer med en af parallel(NE), så skærer den med en anden ( AB), fordi ellers gennem samme punkt MED der ville være to forskellige linjer, der passerer parallelt AB, hvilket er umuligt.
2. Hvis hver af de to direkte (ENOgB) er parallelle med den samme tredje linje ( MED) , så de parallel indbyrdes.
Faktisk, hvis vi antager det EN Og B krydser hinanden på et tidspunkt M, så ville to forskellige linjer parallelt med dette punkt passere igennem MED, hvilket er umuligt.
Sætning.
Hvis linjen er vinkelret til en af de parallelle linjer, så er den vinkelret på den anden parallel.
Lade AB || MEDD Og E.F. ^ AB.Det er påkrævet at bevise det E.F. ^ MEDD.
VinkelretEF, skærende med AB, vil helt sikkert krydse og MEDD. Lad skæringspunktet være H.
Lad os nu antage det MEDD ikke vinkelret på E.H.. Så en anden lige linje, for eksempel H.K., vil være vinkelret på E.H. og derfor gennem samme punkt H der bliver to lige parallel AB: en MEDD, efter betingelse, og den anden H.K. som tidligere bevist. Da dette er umuligt, kan det ikke antages NE var ikke vinkelret på E.H..
Instruktioner
Før du starter beviset, skal du sikre dig, at stregerne ligger i samme plan og kan tegnes på det. Den nemmeste måde at bevise dette på er ved at måle med en lineal. For at gøre dette skal du bruge en lineal til at måle afstanden mellem de lige linjer flere steder så langt fra hinanden som muligt. Hvis afstanden forbliver uændret, er de givne linjer parallelle. Men denne metode er ikke nøjagtig nok, så det er bedre at bruge andre metoder.
Tegn en tredje linje, så den skærer begge parallelle linjer. Den danner fire ydre og fire indre hjørner med dem. Overvej de indvendige hjørner. Dem, der ligger gennem sekantlinjen, kaldes krydsliggende. Dem, der ligger på den ene side, kaldes ensidige. Brug en vinkelmåler til at måle de to indvendige skærende vinkler. Hvis de er ens med hinanden, så vil linjerne være parallelle. Hvis du er i tvivl, mål ensidige indvendige vinkler og tilføj de resulterende værdier. Linjerne vil være parallelle, hvis summen af ensidede indre vinkler er lig med 180º.
Hvis du ikke har en vinkelmåler, så brug en 90º firkant. Brug den til at konstruere en vinkelret på en af linjerne. Herefter fortsættes denne vinkelret, så den skærer en anden linje. Brug den samme firkant til at kontrollere, i hvilken vinkel denne vinkelrette skærer den. Hvis denne vinkel også er 90º, så er linjerne parallelle med hinanden.
Hvis linjerne er givet i det kartesiske koordinatsystem, skal du finde deres retning eller normalvektorer. Hvis disse vektorer henholdsvis er kollineære med hinanden, så er linjerne parallelle. Reducer ligningen af linjer til en generel form og find koordinaterne for normalvektoren for hver linje. Dens koordinater er lig med koefficienterne A og B. Hvis forholdet mellem de tilsvarende koordinater for normalvektorerne er det samme, er de kollineære, og linjerne er parallelle.
For eksempel er rette linjer givet ved ligningerne 4x-2y+1=0 og x/1=(y-4)/2. Den første ligning er af generel form, den anden er kanonisk. Bring den anden ligning til sin generelle form. Brug proportionskonverteringsreglen til dette, resultatet bliver 2x=y-4. Efter reduktion til den generelle form får du 2x-y+4=0. Da den generelle ligning for enhver linje er skrevet Ax+By+C=0, så for den første linje: A=4, B=2, og for den anden linje A=2, B=1. For den første direkte koordinat af normalvektoren (4;2), og for den anden – (2;1). Find forholdet mellem de tilsvarende koordinater for normalvektorerne 4/2=2 og 2/1=2. Disse tal er ens, hvilket betyder, at vektorerne er kollineære. Da vektorerne er kollineære, er linjerne parallelle.
Parallelle linjer er linjer, der ligger i samme plan og ikke har fælles punkter. Det er med andre ord linjer, der aldrig vil skære hinanden. Der er mange eksempler på parallelisme i vores verden: disse er jernbaneskinner og strenge på en guitar og ledningerne til en højspændingsledning. Denne liste kan fortsættes i det uendelige. I produktionen af nogle dele er det meget vigtigt at opretholde parallelitet, så det vil være nyttigt for os at vide, hvordan man beviser, at segmenterne er parallelle.
Nogle kan være indignerede: "Hvordan kan du bevise parallelliteten af segmenter, hvis kun tegnene på parallelle af lige linjer er kendt?" Svaret på dette spørgsmål er meget enkelt: ethvert segment kan forlænges på begge sider, samtidig med at retningen bevares og derved opnås en lige linje. Bevis derefter paralleliteten af de allerede opnåede linjer, og herfra vil paralleliteten af segmenterne følge. At bevise linjers parallelitet svarer til, hvordan man finder ordinaten af midtpunktet af et segment - det gøres i et eller to trin og kan udføres af ethvert skolebarn.
Det første, enkleste og mest visuelle bevis er at bruge en retvinklet trekant til at tegne en vinkelret linje på en af linjerne. Hvis den tegnede linje også er vinkelret på den anden linje, så er disse linjer parallelle. Vinkelvinkel kan kontrolleres ved at anvende en ret vinkel på skæringspunktet mellem en ret linje og en tværgående linje. Ved at vide, hvordan man deler et segment i to, kan du forbinde deres ender og midter. Hvis du får parallelle linjer, så er de oprindelige segmenter parallelle.
Et klassisk bevis er at kontrollere, om betingelserne for følgende sætning er opfyldt: "Hvis, når to linjer skærer et tværgående, summen af de ensidede vinkler er lig med 180 grader, så er linjerne parallelle." Men for dette skal du få en vinkelmåler, tage nøjagtige mål og undgå fejl. For dem, der ved, hvordan man konstruerer et segment svarende til et givet, er der en mere snoet måde at bevise på.
Det er nødvendigt at konstruere et segment, så dets begyndelse falder sammen med begyndelsen af det første segment, og dets slutning med slutningen af det andet. Dernæst skal du konstruere et segment svarende til dette og kontrollere, om det er passende at forbinde slutningen af det første med begyndelsen af det andet. Hvis denne betingelse er opfyldt, er segmenterne parallelle. Det er bydende nødvendigt at tage højde for, at denne metode kun virker for parallelle og lige lange segmenter.
Ligesom at finde rødder, der tilhører et segment, kan du bevise parallelliteten af segmenter gennem en hjælpelinje eller et segment. Du skal kende følgende sætning: to linjer, der begge er parallelle med tredjedele, er også parallelle med hinanden. Metoden er god til de tilfælde, hvor det er umuligt at tegne en sekant, eller der ikke er nogen vinkelmåler.