Основни свойства на събирането и умножението на числата.
Комутативно свойство на събирането: пренареждането на членовете не променя стойността на сумата. За всякакви числа a и b равенството е вярно
Комбинативно свойство на събирането: за да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число. За всякакви числа a, b и c равенството е вярно
Комутативно свойство на умножението: пренареждането на множителите не променя стойността на произведението. За всякакви числа a, b и c равенството е вярно
Комбинативно свойство на умножението: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото.
За всякакви числа a, b и c равенството е вярно
Разпределително свойство: За да умножите число по сума, можете да умножите това число по всеки член и да добавите резултатите. За всякакви числа a, b и c равенството е вярно
От комутативните и комбинативните свойства на събирането следва: във всяка сума можете да пренаредите членовете по какъвто желаете начин и произволно да ги комбинирате в групи.
Пример 1 Нека изчислим сумата 1,23+13,5+4,27.
За да направите това, е удобно да комбинирате първия термин с третия. Получаваме:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
От комутативните и комбинативните свойства на умножението следва: във всеки продукт можете да пренаредите факторите по всякакъв начин и произволно да ги комбинирате в групи.
Пример 2 Нека намерим стойността на продукта 1,8·0,25·64·0,5.
Комбинирайки първия фактор с четвъртия и втория с третия, имаме:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Разпределителното свойство също е вярно, когато едно число се умножи по сумата от три или повече члена.
Например за всякакви числа a, b, c и d равенството е вярно
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Знаем, че изваждането може да бъде заменено със събиране, като към умаляваното се добави обратното число на изважданото:
Това позволява числов израз тип a-bсе счита за сбор от числата a и -b, числов израз от формата a+b-c-d се счита за сбор от числа a, b, -c, -d и т.н. Разгледаните свойства на действията са валидни и за такива суми.
Пример 3 Нека намерим стойността на израза 3,27-6,5-2,5+1,73.
Този израз е сумата от числата 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Прилагайки свойствата на събирането, получаваме: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Пример 4 Нека изчислим произведението 36·().
Множителят може да се разглежда като сбор от числата и -. Използвайки разпределителното свойство на умножението, получаваме:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Идентичности
Определение. Два израза, чиито съответни стойности са равни за всякакви стойности на променливите, се наричат идентично равни.
Определение. Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.
Нека намерим стойностите на изразите 3(x+y) и 3x+3y за x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Получихме същия резултат. от разпределителни свойстваследва, че като цяло за всякакви стойности на променливите, съответните стойности на изразите 3(x+y) и 3x+3y са равни.
Нека сега разгледаме изразите 2x+y и 2xy. Когато x=1, y=2 те приемат равни стойности:
Можете обаче да посочите стойности на x и y така, че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава
Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.
Равенството 3(x+y)=x+3y, вярно за всякакви стойности на x и y, е идентичност.
Истинските числени равенства също се считат за идентичности.
По този начин идентичностите са равенства, които изразяват основните свойства на операциите с числа:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Могат да се дадат и други примери за идентичности:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Тъждествени преобразувания на изрази
Замяната на един израз с друг идентично равен израз се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз.
Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.
За да намерите стойността на израза xy-xz, когато дадени стойности x, y, z, трябва да извършите три действия. Например с x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаваме:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Този резултат може да бъде получен чрез извършване само на две стъпки, ако използвате израза x(y-z), който е идентично равен на израза xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Ние опростихме изчисленията, като заместихме израза xy-xz идентично равно изражение x(y-z).
Идентичните трансформации на изрази се използват широко при изчисляване на стойностите на изрази и решаване на други проблеми. някои трансформации на идентичносттаВече трябваше да изпълня, например, намаляването на подобни термини и разширяването на скобите. Нека си припомним правилата за извършване на тези трансформации:
да водят подобни условия, трябва да съберете техните коефициенти и да умножите резултата по общата буквена част;
ако има знак плюс пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като се запази знакът на всеки термин, заграден в скоби;
Ако има знак минус преди скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знака на всеки термин, заграден в скобите.
Пример 1 Нека представим подобни членове в сумата 5x+2x-3x.
Нека използваме правилото за намаляване на подобни термини:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Тази трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението.
Пример 2 Нека отворим скобите в израза 2a+(b-3c).
Използване на правилото за отваряне на скоби, предшествани от знак плюс:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Извършената трансформация се основава на комбинаторното свойство на събирането.
Пример 3 Нека отворим скобите в израза a-(4b-c).
Нека използваме правилото за отваряне на скоби, предхождани от знак минус:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Извършената трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението и комбинаторното свойство на събирането. Нека го покажем. Нека си представим в този изразвторият член -(4b-c) под формата на продукт (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Чрез кандидатстване определени свойствадействия, получаваме:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Числата и изразите, съставляващи оригиналния израз, могат да бъдат заменени с идентично равни изрази. Такава трансформация на оригиналния израз води до израз, който е идентично равен на него.
Например в израза 3+x числото 3 може да бъде заменено със сумата 1+2, което ще доведе до израза (1+2)+x, който е идентично равен на оригиналния израз. Друг пример: в израза 1+a 5 степента a 5 може да бъде заменена с идентично равен продукт, например във формата a·a 4. Това ще ни даде израза 1+a·a 4 .
Тази трансформация несъмнено е изкуствена и обикновено е подготовка за някои следващи трансформации. Например, в сумата 4 x 3 +2 x 2, като се вземат предвид свойствата на степента, членът 4 x 3 може да бъде представен като продукт 2 x 2 2 x. След тази трансформация оригиналният израз ще приеме формата 2 x 2 2 x+2 x 2. Очевидно членовете в резултантната сума имат общ множител 2 x 2 , така че можем да извършим следната трансформация - поставяне в скоби. След него стигаме до израза: 2 x 2 (2 x+1) .
Събиране и изваждане на едно и също число
Друга изкуствена трансформация на израз е събирането и едновременното изваждане на едно и също число или израз. Тази трансформация е идентична, защото по същество е еквивалентна на добавяне на нула, а добавянето на нула не променя стойността.
Нека разгледаме един пример. Нека вземем израза x 2 +2·x. Ако добавите едно към него и извадите едно, това ще ви позволи да извършите друга идентична трансформация в бъдеще - повдигнете бинома на квадрат: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Референции.
- Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Тип на урока: урок за обобщаване и систематизиране на знанията.
Цели на урока:
- Усъвършенстване на способността за прилагане на придобитите преди това знания за подготовка за държавен изпит в 9. клас.
- Научете способността да анализирате и да подхождате творчески към дадена задача.
- Да култивира култура и ефективност на мислене, познавателен интерескъм математиката.
- Помогнете на учениците да се подготвят за държавния изпит.
- Систематизирайте теоретични знаниястуденти.
- Укрепване практическа насоченосттази тема в подготовка за държавен изпит.
- Развиване на умения за умствена работа - търсене на рационални решения.
Оборудване: мултимедиен проектор, работен лист, часовник.
План на урока: 1. Организационен момент.
- Актуализиране на знанията.
- Разработване на теоретичен материал.
- Обобщение на урока.
- домашна работа.
ХОД НА УРОКА
I. Организационен момент.
1) Поздрав от учителя.
Криптографията е наука за начините за трансформиране (криптиране) на информация, за да се защити от незаконни потребители. Един от тези методи се нарича "мрежа". Тя е една от сравнително простите и е тясно свързана с аритметиката, но не се изучава в училище. Мостра на решетката е пред вас. Някой ще се сети как да го използва.
- решението на съобщението.
"Всичко, което престане да успява, престава да привлича."
Франсоа Ларашфуко.
2) Съобщения за темата на урока, целите на урока, плана на урока.
– слайдове в презентацията.
II. Актуализиране на знанията.
1) Устна работа.
1. Числа. Какви числа знаете?
– естествени числа са числата 1,2,3,4... които се използват при броене
– целите числа са числата…-4,-3,-2,-1,0,1, 2… естествените числа, техните противоположности и числото 0.
– рационалните числа са цели и дробни числа
– ирационални – това са безкрайни десетични непериодични дроби
– реални – това са рационални и ирационални.
2. Изрази. Какви изрази знаете?
– числови са изрази, състоящи се от числа, свързани с аритметични знаци.
– азбучен – това е израз, съдържащ някои променливи, числа и знаци за действие.
– Целите числа са изрази, състоящи се от числа и променливи, използващи операциите събиране, изваждане, умножение и деление с число.
– дробните са цели изрази, използващи деление на израз с променлива.
3. Трансформации. Кои са основните свойства, използвани при извършване на трансформации?
– комутативен – за всякакви числа a и b е вярно: a+b=b+a, ab=va
– асоциативен – за всякакви числа a, b, c важи (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)
– разпределителен – за всякакви числа a, b, c е вярно: a(b+c)=av+ac
4. Направете:
– подредете числата във възходящ ред: 0,0157; 0,105; 0,07
– подредете числата в низходящ ред: 0,0216; 0,12; 0,016
– една от маркираните точки на координатната права съответства на числото v68. Какъв смисъл е това?
– на коя точка отговарят числата?
– на координатната права са отбелязани числата a и b. Кое от следните твърдения е вярно?
III. Разработване на теоретичен материал.
1. Работа в тетрадки, на дъската.
Всеки учител има работен лист, в който са записани задачи за работа в тетрадките по време на урока. В дясната колона на този лист са задачите за работа в клас, а в лявата колона са домашните.
Учениците излизат да работят на дъската.
Задача No1. В какъв случай изразът се преобразува в тъждествено равен.
Задача No3. Извадете го на фактори:
a 3 – av – a 2 c + a 2;
x 2 y – x 2 -y + x 3.
2x+ y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .
2. Самостоятелна работа.
На работните листове имате самостоятелна работа, долу след текста има таблица, в която въвеждате числото под верния отговор. Завършването на работата отнема 7 минути.
Тест „Числа и преобразувания“
1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5
1. Напишете 0,00019 в стандартна форма.
2. Една от точките, отбелязани на координатната права, съответства на числото 3. За числата a и b
известно е, че a>0, b>0, a>4b. Кое от следните неравенства е грешно?
1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.
1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.
4. Намерете стойността на израза: (6x – 5y): (3x+y), ако x=1,5 и y=0,5.
5. Кой от следните изрази може да се преобразува в (7 – x)(x – 4)?
1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);
След приключване на работата проверката се извършва с помощта на програмата ASUOK (автоматизирана система за управление на обучението и контрола). Момчетата разменят тетрадки със своя съученик и проверяват теста заедно с учителя.| упражнения | |||||
| отговор: | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 |
6. Обобщение на урока.
Днес в клас решавахте задачи, избрани от сборници за подготовка за Държавен изпит. Това е малка част от това, което трябва да повторите, за да издържите перфектно изпита.
- Урокът свърши. Какво намерихте за полезно от урока?
"Експертът е човек, който вече не мисли, той знае." Франк Хъбард.
7. Домашна работа
Върху листовете са поставени задачи за решаване у дома.
Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, сумите от мономи заемат важно място. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Сумата от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат членове на полинома. Мономите също се класифицират като полиноми, като се счита, че мономът е полином, състоящ се от един член.
Например полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да бъде опростен.
Нека представим всички членове под формата на мономи стандартен изглед:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Нека представим подобни членове в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.
За степен на полиномот стандартна форма поемат най-високите правомощия на своите членове. Така биномът \(12a^2b - 7b\) има трета степен, а триномът \(2b^2 -7b + 6\) има втора.
Обикновено членовете на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на показатели. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Сумата от няколко полинома може да се трансформира (опрости) в полином със стандартна форма.
Понякога членовете на полином трябва да бъдат разделени на групи, затваряйки всяка група в скоби. Тъй като затварянето на скоби е обратното преобразуване на отварящите скоби, е лесно да се формулира правила за отваряне на скоби:
Ако пред скобите е поставен знак „+“, то термините, поставени в скоби, се изписват със същите знаци.
Ако пред скобите е поставен знак „-“, то заключените в скобите термини се изписват с противоположни знаци.
Трансформация (опростяване) на произведението на моном и полином
Използвайки разпределителното свойство на умножението, можете да трансформирате (опростите) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведението на моном и полином е идентично равно на сумата от продуктите на този моном и всеки от членовете на полинома.
Този резултат обикновено се формулира като правило.
За да умножите моном по полином, трябва да умножите този моном по всеки от членовете на полинома.
Вече сме използвали това правило няколко пъти, за да умножим по сума.
Произведение на полиноми. Трансформация (опростяване) на произведението на два полинома
Като цяло произведението на два полинома е идентично равно на сумата от произведението на всеки член на един полином и всеки член на другия.
Обикновено се използва следното правило.
За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.
Формули за съкратено умножение. Сбор на квадрати, разлики и разлика на квадрати
С някои изрази в алгебрични трансформациитрябва да се справят по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратът на сумата, квадратът на разликата и разликата на квадратите. Забелязахте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, например \((a + b)^2 \) е, разбира се, не просто квадрат на сбора, а квадрат на сбора на a и b . Квадратът на сумата от a и b обаче не се среща много често, вместо буквите a и b той съдържа различни, понякога доста сложни изрази.
Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) могат лесно да бъдат преобразувани (опростени) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте срещали тази задача при умножаване на полиноми:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Полезно е да запомните получените идентичности и да ги приложите без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат на сумата равно на суматаквадрати и удвоете продукта.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е равен на сумата от квадратите без удвоеното произведение.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.
Тези три идентичности позволяват при трансформации да се заменят левите им части с десни и обратно - десните части с леви. Най-трудното е да видите съответните изрази и да разберете как променливите a и b са заменени в тях. Нека да разгледаме няколко примера за използване на формули за съкратено умножение.