Докато изучавахме алгебра, се натъкнахме на концепциите за полином (например ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ и т.н.) и алгебрична дроб (например $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ и т.н.) Приликата на тези понятия е, че както полиномите, така и алгебричните дроби съдържат променливи и числени стойности и се извършват аритметични действия: събиране, изваждане, умножение, степенуване е, че при полиномите не се извършва деление по променлива.
Както полиномите, така и алгебричните дроби се наричат рационални алгебрични изрази в математиката. Но полиномите са цели рационални изрази, а алгебричните дроби са дробни рационални изрази.
Възможно е да се получи цял алгебричен израз от дробно-рационален израз с помощта на трансформация на идентичност, която в този случай ще бъде основното свойство на дроб - намаляването на дробите. Нека проверим това на практика:
Пример 1
Преобразуване:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Решение:Това дробно рационално уравнение може да се преобразува, като се използва основното свойство на дробното редуциране, т.е. деление на числителя и знаменателя на едно и също число или израз, различен от $0$.
Тази дроб не може да бъде намалена веднага; числителят трябва да се преобразува.
Нека преобразуваме израза в числителя на дробта, като за целта използваме формулата за квадрат на разликата: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Дробта изглежда така
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
Сега виждаме, че има общ множител в числителя и знаменателя - това е изразът $x-2$, с който ще намалим дробта
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
След редукция открихме, че първоначалният дробен рационален израз $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ се превърна в полином $x-2$, т.е. изцяло рационално.
Сега нека обърнем внимание на факта, че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2\ $ могат да се считат за идентични не за всички стойности на променливата, защото за да съществува дробен рационален израз и да може да се редуцира с полинома $x-2$, знаменателят на дробта не трябва да е равен на $0$ (както и факторът, с който редуцираме. В това например знаменателят и факторът са еднакви, но това не винаги се случва).
Стойностите на променливата, при които ще съществува алгебричната дроб, се наричат допустимите стойности на променливата.
Нека поставим условие върху знаменателя на дробта: $x-2≠0$, тогава $x≠2$.
Това означава, че изразите $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ и $x-2$ са идентични за всички стойности на променливата с изключение на $2$.
Определение 1
Идентично равниизразите са тези, които са равни за всички валидни стойности на променливата.
Идентично преобразуване е всяка замяна на оригиналния израз с идентично равен. Такива преобразувания включват извършване на действия: събиране, изваждане, умножение, поставяне на общ множител извън скоби, привеждане на алгебрични дроби към общ знаменател, редуциране на алгебрични дроби, привеждане на подобни. условия и др. Необходимо е да се има предвид, че редица трансформации, като намаляване, намаляване на подобни условия, могат да променят допустимите стойности на променливата.
Техники, използвани за доказване на самоличност
Преместете лявата страна на самоличността вдясно или обратно, като използвате трансформации на самоличността
Редуцирайте двете страни до един и същи израз, като използвате идентични трансформации
Прехвърлете изразите от една част на израза в друга и докажете, че получената разлика е равна на $0$
Коя от горните техники да се използва за доказване на дадена самоличност зависи от оригиналната самоличност.
Пример 2
Докажете идентичността $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Решение:За да докажем тази идентичност, използваме първия от горните методи, а именно ще трансформираме лявата страна на идентичността, докато стане равна на дясната.
Нека разгледаме лявата страна на идентичността: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - представлява разликата на два полинома. В този случай първият полином е квадрат на сумата от три члена, за да повдигнем на квадрат сумата на няколко члена, използваме формулата:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
За да направим това, трябва да умножим число по полином, за да умножим общия множител зад скобите по всеки член на полинома в скобите.
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Сега нека се върнем към оригиналния полином, той ще приеме формата:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Моля, обърнете внимание, че преди скобата има знак „-“, което означава, че когато скобите се отворят, всички знаци, които са били в скобите, се променят на противоположни.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Нека представим подобни членове, тогава получаваме, че мономите $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно се компенсират, т.е. тяхната сума е $0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Това означава, че чрез идентични трансформации сме получили идентичен израз от лявата страна на оригиналната идентичност
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Имайте предвид, че полученият израз показва, че оригиналната идентичност е вярна.
Моля, имайте предвид, че в оригиналната самоличност всички стойности на променливата са разрешени, което означава, че доказахме идентичността с помощта на трансформации на идентичност и тя е вярна за всички възможни стойности на променливата.
След като добих представа за идентичности, логично е да преминем към запознаване с. В тази статия ще отговорим на въпроса какво представляват идентично равни изрази и ще използваме примери, за да разберем кои изрази са идентично равни и кои не.
Навигация в страницата.
Кои са тъждествено равни изрази?
Определението за тъждествено равни изрази е дадено паралелно с определението за тъждество. Това се случва в часовете по алгебра в 7 клас. В учебника по алгебра за 7 клас на автора Ю. Н. Макаричев е дадена следната формулировка:
Определение.
– това са изрази, чиито стойности са равни за всякакви стойности на включените в тях променливи. Числовите изрази, които имат еднакви стойности, също се наричат идентично равни.
Това определение се използва до 8 клас и е валидно за цели изрази, тъй като те имат смисъл за всякакви стойности на променливите, включени в тях. А в 8 клас се изяснява определението за тъждествено равни изрази. Нека обясним с какво е свързано това.
В 8 клас започва изучаването на други видове изрази, които, за разлика от цели изрази, може да нямат смисъл за някои стойности на променливите. Това налага дефиниции на валидни и невалидни стойности на променливи, както и диапазон от допустими стойности на допустимата стойностпроменлива, и като следствие - да се изясни дефиницията на тъждествено равни изрази.
Определение.
Извикват се два израза, чиито стойности са равни за всички допустими стойности на включените в тях променливи тъждествено равни изрази. Два числови израза с еднакви стойности също се наричат идентично равни.
В тази дефиниция на идентично равни изрази си струва да се изясни значението на фразата „за всички допустими стойности на променливите, включени в тях“. Това предполага всички такива стойности на променливи, за които двата идентично равни израза имат смисъл едновременно. Ще обясним тази идея в следващия параграф, като разгледаме примери.
Дефиницията на идентично равни изрази в учебника на А. Г. Мордкович е дадена малко по-различно:
Определение.
Тъждествено равни изрази– това са изрази от лявата и дясната страна на самоличността.
Значението на това и предишните определения съвпадат.
Примери за тъждествено равни изрази
Дефинициите, въведени в предходния параграф, ни позволяват да дадем примери за тъждествено равни изрази.
Нека започнем с идентично равни числови изрази. Числовите изрази 1+2 и 2+1 са идентично равни, тъй като отговарят на равни стойности 3 и 3. Изразите 5 и 30:6 също са идентично равни, както и изразите (2 2) 3 и 2 6 (стойностите на последните изрази са равни по силата на ). Но числовите изрази 3+2 и 3−2 не са тъждествено равни, тъй като съответстват съответно на стойностите 5 и 1 и не са равни.
Сега нека дадем примери за идентично равни изрази с променливи. Това са изразите a+b и b+a. Наистина, за всякакви стойности на променливите a и b, писмените изрази приемат същите стойности (както следва от числата). Например, с a=1 и b=2 имаме a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3. За всякакви други стойности на променливите a и b също ще получим равни стойности на тези изрази. Изразите 0·x·y·z и 0 също са идентично равни за всякакви стойности на променливите x, y и z. Но изразите 2 x и 3 x не са идентично равни, тъй като, например, когато x=1 техните стойности не са равни. Наистина, за x=1, изразът 2 x е равен на 2 x 1=2, а изразът 3 x е равен на 3 x 1=3.
Когато обхватите на допустимите стойности на променливите в изразите съвпадат, като например в изразите a+1 и 1+a, или a·b·0 и 0, или и, и стойностите на тези изрази са равни за всички стойности на променливите от тези области, то тук всичко е ясно - тези изрази са идентично равни за всички допустими стойности на променливите, включени в тях. Така че a+1≡1+a за всяко a, изразите a·b·0 и 0 са идентично равни за всякакви стойности на променливите a и b, а изразите и са идентично равни за всички x от ; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Нека разгледаме две равенства:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Това равенство ще се проведе за всякакви стойности на променливата a. Диапазонът от приемливи стойности за това равенство ще бъде целият набор от реални числа.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Това неравенство ще бъде вярно за всички стойности на променливата a, с изключение на равно на нула. Диапазонът от приемливи стойности за това неравенство ще бъде целият набор от реални числа, с изключение на нула.
За всяко от тези равенства може да се твърди, че то ще бъде вярно за всякакви допустими стойности на променливите a. Такива равенства в математиката се наричат идентичности.
Концепцията за идентичност
Идентичността е равенство, което е вярно за всякакви допустими стойности на променливите. Ако заместите някакви валидни стойности в това равенство вместо променливи, трябва да получите правилно числено равенство.
Струва си да се отбележи, че истинските числени равенства също са идентичности. Идентичностите, например, ще бъдат свойства на действия върху числа.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Ако два израза за всякакви допустими променливи са съответно равни, тогава такива изрази се извикват идентично равни. По-долу са дадени някои примери за идентично равни изрази:
1. (a 2) 4 и a 8;
2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10.
Винаги можем да заменим един израз с всеки друг израз, идентично равен на първия. Такава подмяна ще бъде трансформация на идентичността.
Примери за идентичности
Пример 1: идентични ли са следните равенства:
1. а + 5 = 5 + а;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Не всички изрази, представени по-горе, ще бъдат идентичности. От тези равенства само 1, 2 и 3 равенства са тъждества. Каквито и числа да заместим в тях, вместо променливите a и b пак ще получим правилни числени равенства.
Но 4 равенството вече не е идентичност. Тъй като това равенство няма да се запази за всички валидни стойности. Например със стойностите a = 5 и b = 2 ще се получи следният резултат:
Това равенство не е вярно, тъй като числото 3 не е равно на числото -3.
тема "Доказателства за самоличност» 7 клас (KRO)
Учебник Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Цели на урока
Образователни:
въведе и първоначално консолидира понятията „идентично равни изрази“, „идентичност“, „идентични трансформации“;
обмислят начини за доказване на самоличност, насърчават развитието на умения за доказване на самоличност;
да провери усвояването на обхванатия материал от учениците, да развие способността да използва наученото, за да възприема нови неща.
Развитие:
Развийте компетентната математическа реч на учениците (обогатете и усложнете речника при използване на специални математически термини),
развиват мисленето,
Образователни: култивиране на трудолюбие, точност и правилно записване на решенията за упражнения.
Тип урок: изучаване на нов материал
Напредък на урока
1 . Организационен момент.
Проверка на домашните.
Въпроси за домашна работа.
Анализ на решението на дъската.
Нужна е математика
Без нея не може
Ние учим, ние учим, приятели,
Какво си спомняме сутрин?
2 . Да направим загрявка.
Резултатът от добавянето. (сума)
Колко числа знаете? (десет)
Стотна част от число. (процент)
Резултат от разделянето? (Лично)
Най-малкото естествено число? (1)
Възможно ли е да се получи нула при деление на естествени числа? (не)
Назовете най-голямото отрицателно цяло число. (-1)
На какво число не може да се дели? (0)
Резултат от умножението? (Работа)
Резултат от изваждане. (Разлика)
Комутативно свойство на събирането. (Сборът не се променя при пренареждане на местата на членовете)
Комутативно свойство на умножението. (Произведението не се променя от пренареждане на местата на факторите)
Изучаване на нова тема (дефиниция с писане в тетрадка)
Нека намерим стойността на изразите за x=5 и y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите стойностите на изразите 3(x+y) и 3x+3y са равни.
Нека сега разгледаме изразите 2x+y и 2xy. Когато x=1 и y=2 те приемат равни стойности:
Можете обаче да посочите стойности на x и y така, че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава
Определение: Два израза, чиито стойности са равни за всякакви стойности на променливите, се наричат идентично равни.
Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.
Равенството 3(x+y) и 3x+3y е вярно за всякакви стойности на x и y. Такива равенства се наричат тъждества.
определение:Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.
Истинските числени равенства също се считат за идентичности. Вече се сблъскахме с идентичности. Тъждествата са равенства, които изразяват основните свойства на операциите с числа (Учениците коментират всяко свойство, като го произнасят).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Дайте други примери за идентичности
Определение: Замяната на един израз с друг идентично равен израз се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз.
Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.
Идентичните трансформации на изрази се използват широко при изчисляване на стойностите на изрази и решаване на други проблеми. Вече трябваше да извършите някои идентични трансформации, например въвеждане на подобни термини, отваряне на скоби.
5 . № 691, № 692 (с произнасяне на правилата за отваряне на скоби, умножаване на отрицателни и положителни числа)
Тъждества за избор на рационално решение:(предна работа)
6 . Обобщаване на урока.
Учителят задава въпроси, а учениците отговарят по желание.
За кои два израза се казва, че са идентично равни? Дайте примери.
Какъв вид равенство се нарича идентичност? Дайте пример.
Какви трансформации на идентичността познавате?
7. домашна работа. Научете дефиниции, Дайте примери за еднакви изрази (поне 5), запишете ги в тетрадката си