Свойства на наклонени прави, излизащи от една точка. 1. Перпендикулярът винаги е по-къс от наклонения, ако са изтеглени от една и съща точка. 2. Ако наклонените са равни, то проекциите им са равни и обратно. 3. По-голям наклонен кореспондира с по-голяма проекция и обратно.
Слайд 10от презентацията "Перпендикулярно и наклонено към равнината".Размерът на архива с презентацията е 327 KB.
Геометрия 10 класрезюме. Площ на успоредник. Диагонали на успоредник. Диагонал. Четириъгълник. Триъгълници. „Методи за конструиране на сечения“ - Формиране на умения за конструиране на сечения. Нека разгледаме четири случая на конструиране на сечения на паралелепипед. Построете сечения на тетраедъра. Методинтериорен дизайн
. Работа с дискове. Паралелепипедът има шест лица. Режеща равнина. Построяване на сечения от многостени. Следата е правата линия на пресичане на равнината на сечението и равнината на всяко лице на полиедъра. Метод на проследяване. Бележка. ““Правилни многостени” 10 клас” - Прогнозиран резултат. Тетраедър, описан близо до орбиталната сфера на Марс. Център O, ос a и равнина. Лица на многостен. Радиолария. Съдържание. Правилни полиедри. Правилни полиедри във философската картина на света на Платон. Феодариа. В живата природа се срещат правилни полиедри. Прогрес на урока. Точка (права линия, равнина) се нарича център (ос, равнина). Кое от следнитегеометрични тела
не е правилен многостен. „Определяне на двустенни ъгли“ - Точка K се отстранява от всяка страна. Точките M и K лежат вътре. различни лицаГрадусна мярка ъгъл. Собственосттристенен ъгъл . Бележки за решаване на проблеми. На един от ръбоветедвустенен ъгъл , равна на 30, се намира точка М. Конструкциялинеен ъгъл . Начертайте перпендикуляр. Права линия, начертана в дадена равнина. Двустенни ъгли в пирамидите. Разрешаване на проблеми. Точка К.Тази пирамида
„Методи за конструиране на сечения на полиедри“ - Всяка равнина. Художници. Закони на геометрията. Блиц анкета. Взаимна позицияравнина и многостен. Построете сечение на многостен. Многоъгълници. Аксиоматичен метод. Задачи. Кораб. Задача. Аксиоми. Построяване на сечения от многостени. Разрези по различни равнини. Древна Китайска поговорка. Самостоятелна работа. Диагонални секции. Затвърдяване на придобитите знания. Режеща равнина.
“Равностранни многоъгълници” - хексаедър (куб) Кубът е съставен от шест квадрата. Октаедър Октаедърът се състои от осем равностранни триъгълници. Тетраедърът има 4 лица, 4 върха и 6 ръба. Има 5 вида правилни полиедри. Правилни многоъгълници. Додекаедърът има 12 лица, 20 върха и 30 ръба. Икосаедърът има 20 лица, 12 върха и 30 ръба. Така един куб има 6 лица, 8 върха и 12 ръба. Тетраедър Тетраедърът се състои от четири равностранни триъгълника.
Ако през някаква точка, взета извън права, начертаем права, перпендикулярна на нея, тогава за краткост отсечката от тази точка до правата се нарича с една дума перпендикулярен.
Отсечката CO е перпендикулярна на правата AB. Точка О се нарича основа на перпендикуляра CO (ориз).
Ако права линия, прекарана през тази точка, пресича друга права, но не е перпендикулярна на нея, тогава нейната отсечка от дадена точка до точката на пресичане с друга права се нарича наклоненкъм тази линия.
Отсечка BC - наклонена към права AO. Точка C се нарича базанаклонен (фиг.).
Ако пуснем перпендикуляри от краищата на дадена отсечка върху произволна права, тогава отсечката, затворена между основите на перпендикулярите, се нарича проекция на сегментакъм тази права линия.
Отсечка АВ - проекция на отсечка AB върху EC. Отсечката OM се нарича още проекция на отсечката OM върху EC.
Проекцията на сегмента KP, перпендикулярен на EC, ще бъде точката K (фиг.).
2. Свойства на перпендикуляра и наклонения.
Теорема 1. Перпендикуляр, начертан от точка към права линия, е по-малък от всеки наклонен, начертан от същата точка към тази права линия.
Отсечката AC (фиг.) е перпендикулярна на правата линия OB, а AM е една от наклонените линии, прекарана от точка A към правата линия OB. Изисква се да се докаже, че AM > AC.
В ΔMAC сегментът AM е хипотенузата, а хипотенузата е по-голяма от всеки от катетите на този триъгълник. Следователно AM > AC. Тъй като взехме наклонената AM произволно, можем да кажем, че всяка наклонена линия към права линия е по-голяма от перпендикуляра към тази права (а перпендикулярът е по-къс от всяка наклонена линия), ако те са начертани към нея от една и съща точка.
Обратното твърдение също е вярно, а именно: ако отсечката AC (фиг.) е по-малка от всяка друга отсечка, свързваща точката AC с която и да е точка от правата OB, то тя е перпендикулярна на OB. Всъщност сегментът AC не може да бъде наклонен към OB, тъй като тогава той не би бил най-късият от сегментите, свързващи точка A с точките на правата линия OB. Това означава, че тя може да бъде перпендикулярна само на OB.
Дължината на перпендикуляра, пуснат от дадена точка до права линия, се приема като разстояние от дадена точка до тази права линия.
Теорема 2. Ако две наклонени прави, начертани към права от една и съща точка, са равни, тогава техните проекции са равни.
Нека BA и BC са наклонени прави, прекарани от точка B до права линия AC (фиг.), и AB = BC. Необходимо е да се докаже, че техните проекции също са равни.
За да докажем това, нека спуснем перпендикуляра BO от точка B към AC. Тогава AO и OS ще бъдат проекции на наклонени AB и BC върху права AC. Триъгълник ABCравнобедрен според теоремата. VO е височината на този триъгълник. Но височината е равнобедрен триъгълник, изтеглена към основата, е в същото време медианата на този триъгълник.
Следователно AO = OS.
Теорема 3 (обратна). Ако две наклонени линии, начертани към права линия от една и съща точка, имат равни проекции, тогава те са равни помежду си.
Нека AC и CB са наклонени към правата AB (фиг.). CO ⊥ AB и AO = OB.
Необходимо е да се докаже, че AC = BC.
В правоъгълните триъгълници AOC и BOC катетите AO и OB са равни. CO е общият катет на тези триъгълници. Следователно ΔAOC = ΔBOC. От равенството на триъгълниците следва, че AC = BC.
Теорема 4. Ако две наклонени линии са начертани от една и съща точка към права линия, тогава тази, която има по-голяма проекция върху тази права линия, е по-голяма.
Нека AB и BC са наклонени към правата AO; VO ⊥ AO и AO>CO. Изисква се да се докаже, че AB > BC.
1) Наклонените са разположени от едната страна на перпендикуляра.
Ъгъл ACE външен към правоъгълен триъгълник SOV (фиг.), и следователно ∠ASV > ∠SOV, т.е. той е глупав. От това следва, че AB > CB.
2) Наклонените са разположени от двете страни на перпендикуляра. За да докажем това, нека начертаем отсечката OK = OS на AO от точка O и да свържем точка K с точка B (фиг.). Тогава по теорема 3 имаме: VC = BC, но AB > VC, следователно AB > BC, т.е. теоремата е валидна и в този случай.
Теорема 5 (обратна). Ако две наклонени линии са начертани от една и съща точка към права линия, тогава по-голямата наклонена линия също има по-голяма проекция върху тази права линия.
Нека KS и BC са наклонени към правата CV (фиг.), SO ⊥ CV и KS > BC. Изисква се да се докаже, че KO > OB.
Между сегментите KO и OB може да има само една от трите връзки:
1) КО< ОВ,
2) KO = OV,
3) KO > OV.
KO не може да бъде по-малко от OB, тъй като тогава, съгласно теорема 4, наклонената KS ще бъде по-малка от наклонената BC, а това противоречи на условията на теоремата.
По същия начин KO не може да е равно на OB, тъй като в този случай според теорема 3 KS = BC, което също противоречи на условията на теоремата.
Следователно остава вярно само последното съотношение, а именно, че KO > OB.
Перпендикуляр, пуснат от дадена точка до дадена равнина, се нарича отсечка, свързваща дадена точка с точка в равнината и лежаща на права линия, перпендикулярна на равнината. Краят на този сегмент, лежащ в равнината, се нарича основа на перпендикуляра. Разстоянието от точка до равнина е дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка към равнината.
Наклонът, начертан от дадена точка към дадена равнина, е всеки сегмент, свързващ дадена точка с точка от равнината и не е перпендикулярен на тази равнина. Краят на сегмент, лежащ в равнина, се нарича наклонена основа. Отсечка, свързваща основите на перпендикуляр и наклонена, изтеглени от една и съща точка, се нарича наклонена проекция.
На фигура 136 от точка A към равнината са прекарани перпендикуляр AB и наклонена AC. Точка B е основата на перпендикуляра, точка C е основата на наклонения, BC е проекцията на наклонения AC върху равнината a.
Тъй като разстоянията от точките на права до успоредна на нея равнина са еднакви, разстоянието от права до успоредна на нея равнина е разстоянието от всяка точка от нея до тази равнина.
Права линия, начертана в равнина през основата на наклонена равнина, перпендикулярна на нейната проекция, също е перпендикулярна на самата наклонена. И обратното: ако права линия в равнина е перпендикулярна на наклонена, то тя е перпендикулярна и на проекцията на наклонената (теорема за трите перпендикуляра).
На фигура 137 перпендикуляр AB и наклонена AC са начертани към равнина a. Правата o, лежаща в равнината a, е перпендикулярна на BC - проекцията на наклонената AC върху равнината a. Според T. 2.12 правата a е перпендикулярна на наклонената AC. Ако се знае, че правата a е перпендикулярна на наклонената AC, то според Т. 2.12 тя би била перпендикулярна на своята проекция - BC.
Пример. Правоъгълни крака триъгълник ABCса равни на 16 и От вр прав ъгълС е начертан перпендикуляр на равнината на този триъгълник CD = 35 m (фиг. 138). Намерете разстоянието от точка D до хипотенузата AB.
Решение. нека го направим Съгласно условието DC е перпендикулярна на равнината, т.е. DE е наклонена, CE е нейната проекция, следователно от теоремата за три перпендикуляра следва от условието, че
От намираме За да намерим височината CE в намираме
От друга страна, къде
От Питагоровата теорема
46. Перпендикулярност на равнините.
Две пресичащи се равнини се наричат перпендикулярни, ако всяка равнина, перпендикулярна на линията на пресичане на тези равнини, ги пресича по перпендикулярни прави.
Фигура 139 показва две равнини, които се пресичат по права линия a. Равнината y е перпендикулярна на правата a и се пресича. В този случай равнината y пресича равнината a по правата c, а равнината се пресича по правата d, т.е.
Т. 2.13. Ако една равнина минава през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава тези равнини са перпендикулярни (знак за перпендикулярност на равнините).
На фигура 140 равнината минава през права линия, т.е. равнината е перпендикулярна.
ТРИЪГЪЛНИЦИ.
§ 31.ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛЕН КЪМ ПРАВА.
1. Проекция на сегмент върху права линия.
Ако през някаква точка, взета извън права, начертаем права, перпендикулярна на нея, тогава за краткост отсечката от тази точка до правата се нарича с една дума перпендикулярен.
Отсечката CO е перпендикулярна на правата AB. Точка О се нарича основа на перпендикуляра CO (чертеж 168).
Ако права, прекарана през дадена точка, пресича друга права, но не е перпендикулярна на нея, тогава нейната отсечка от дадена точка до точката на пресичане с друга права се нарича наклоненкъм тази линия.
Отсечка BC - наклонена към права AO. Точка C се нарича базанаклонена (фиг. 169).
Ако пуснем перпендикуляри от краищата на дадена отсечка върху произволна права, тогава отсечката, затворена между основите на перпендикулярите, се нарича проекция на сегментакъм тази права линия.
Сегмент A "B" е проекцията на сегмент AB върху EC. Отсечка OM" се нарича още проекция на отсечка OM върху EC.
Проекцията на сегмента KR, перпендикулярен на ЕС, ще бъде точка K" (фиг. 170).
2. Свойства на перпендикуляра и наклонения.
Теорема 1. Перпендикуляр, начертан от точка към права линия, е по-малък от всеки наклонен, начертан от същата точка към тази права линия.
Отсечката AC (фиг. 171) е перпендикулярна на правата OB, а AM е една от наклонените линии, прекарани от точка A до правата OB. Изисква се да се докаже, че AM > AC.
IN /\ Отсечката MAC AM е хипотенузата, а хипотенузата е по-голяма от всеки от катетите на този триъгълник (§ 30). Следователно AM > AC. Тъй като взехме наклонената AM произволно, можем да кажем, че всяка наклонена линия към права линия е по-голяма от перпендикуляра към тази права (а перпендикулярът е по-къс от всяка наклонена линия), ако те са начертани към нея от една и съща точка.
Обратното твърдение също е вярно, а именно: ако отсечката AC (фиг. 171) е по-малка от всяка друга отсечка, свързваща точката AC с произволна точка от правата OB, то тя е перпендикулярна на OB. Всъщност сегментът AC не може да бъде наклонен към OB, тъй като тогава той не би бил най-късият от сегментите, свързващи точка A с точките на правата линия OB. Това означава, че тя може да бъде перпендикулярна само на OB.
Дължината на перпендикуляра, пуснат от дадена точка до права линия, се приема като разстояние от дадена точка до тази права линия.
Теорема 2. Ако две наклонени прави, начертани към права от една и съща точка, са равни, тогава техните проекции са равни.
Нека BA и BC са наклонени прави, прекарани от точка B до права AC (фиг. 172), и AB = BC. Необходимо е да се докаже, че техните проекции също са равни.
За да докажем това, нека спуснем перпендикуляра BO от точка B към AC. Тогава AO и OS ще бъдат проекции на наклонени AB и BC върху права AC. Триъгълник ABC е равнобедрен според теоремата. VO е височината на този триъгълник. Но височината в равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е в същото време медианата на този триъгълник (§ 18).
Следователно AO = OS.
Теорема 3(обратно). Ако две наклонени линии, начертани към права линия от една и съща точка, имат равни проекции, тогава те са равни една на друга.
Нека AC и CB са наклонени към правата AB (фиг. 173). CO_|_ AB и AO = OB.
Необходимо е да се докаже, че AC = BC.
В правоъгълните триъгълници AOC и BOC катетите AO и OB са равни. CO е общият катет на тези триъгълници. следователно /\ AOC = /\ СЛЪНЦЕ. От равенството на триъгълниците следва, че AC = BC.
Теорема 4. Ако две наклонени линии са начертани от една и съща точка към права линия, тогава тази, която има по-голяма проекция върху тази права линия, е по-голяма.
Нека AB и BC са наклонени към правата AO; VO_|_AO и AO>SO. Изисква се да се докаже, че AB > BC.
1) Наклонените са разположени от едната страна на перпендикуляра.
Ъгъл ACE е външен по отношение на правоъгълния триъгълник COB (фиг. 174) и следователно / DIA > / БУХАЛ, т.е. той е глупав. От това следва, че AB > CB.
2) Наклонените са разположени от двете страни на перпендикуляра. За да докажем това, нека начертаем отсечката OK = OS на AO от точка O и свържем точка K с точка B (фиг. 175). Тогава по теорема 3 имаме: VC = BC, но AB > VC, следователно AB > BC, т.е. теоремата е валидна и в този случай.
Теорема 5(обратно). Ако две наклонени линии са начертани от една и съща точка към права линия, тогава по-голямата наклонена линия също има по-голяма проекция върху тази права линия.
Нека KS и BC са наклонени към правата KB (фиг. 176), SO_|_KB и KS > BC. Изисква се да се докаже, че KO > OB.
Между сегментите KO и OB може да има само една от трите връзки:
1) КО< ОВ,
2) KO = OV,
3) KO > OV.
KO не може да бъде по-малко от OB, тъй като тогава, съгласно теорема 4, наклонената KS ще бъде по-малка от наклонената BC, а това противоречи на условията на теоремата.
По същия начин KO не може да е равно на OB, тъй като в този случай според теорема 3 KS = BC, което също противоречи на условията на теоремата.
Следователно само последното отношение остава вярно, а именно това
KO > OV.
Теорема . Ако перпендикулярни и наклонени линии са изчертани от една точка извън равнината, тогава:
1) наклонените с равни проекции са равни;
2) от двете наклонени по-голяма е тази, чиято проекция е по-голяма;
3) равни коси имат равни проекции;
4) от двете проекции по-голяма е тази, която съответства на по-голямата наклонена.
Теорема за три перпендикуляра . За да бъде една права, лежаща в равнина, перпендикулярна на наклонена, е необходимо и достатъчно тази права да е перпендикулярна на проекцията на наклонената (фиг. 12.3).
Теорема за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина. Площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина е равна на произведението на площта на многоъгълника и косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.
Пример 1. През дадена точка начертайте права, успоредна на дадената равнина.
Решение. Анализ.Да приемем, че правата е построена (фиг. 12.4). Правата е успоредна на равнина, ако е успоредна на права, лежаща в равнината (въз основа на паралелността на правата и равнината). Две успоредни прави лежат в една равнина. Това означава, че чрез построяване на равнина, минаваща през дадена точка и произволна права в дадена равнина, ще бъде възможно да се построи успоредна права.
Строителство.
1. В самолет провеждаме директен А.
3. В самолет през точката Анека направим директен b, успоредна на правата А.
4. Построена е права линия b, успоредна на равнината .
Доказателство.Въз основа на успоредността на права линия и равнина, права линия bуспоредна на равнината , тъй като е успоредна на правата А, принадлежащ на самолета .
Проучване.Проблемът има безкраен брой решения, тъй като правата линия Ав самолета се избира произволно.
Пример 2.
Определете на какво разстояние от равнината се намира точката А, ако е прав ABпресича равнината под ъгъл 45º, разстоянието от точката Адо точката IN, принадлежаща на равнината, е равно на 
cm.
Решение. Нека направим чертеж (фиг. 12.5):
AC– перпендикулярна на равнината
,
AB– наклонен, ъгъл ABC– ъгъл между права ABи самолет
. Триъгълник ABC– правоъгълна, 
защото AC– перпендикулярно. Необходимото разстояние от точката Адо самолета - това е кракът ACправоъгълен триъгълник. Познавайки ъгъла 
и хипотенуза 
да намерим крака AC:
В отговор получаваме : AC = 3 см.
Пример 3. Определете на какво разстояние от равнината на равнобедрен триъгълник има точка, отдалечена на 13 cm от всеки от върховете на триъгълника, ако основата и височината на триъгълника са равни на 8 cm.
Решение. Нека направим чертеж (фиг. 12.6). Точка Сдалеч от точките А, INИ СЪСна същото разстояние. Така че, склонен S.A., С.Б. И S.C. равен, ТАКА– общият перпендикуляр на тези наклонени. По теоремата за косите и проекциите AO = VO = CO.
Точка ЗА– център на окръжност, описана около триъгълник ABC. Нека намерим неговия радиус:
Къде слънце– основа; AD– височината на даден равнобедрен триъгълник.
Намиране на страните на триъгълник ABCот правоъгълен триъгълник ABDспоред Питагоровата теорема:
Сега намираме ОВ:
Помислете за триъгълник SOB:
С.Б.= 13 см, ОВ= 5 см. Намерете дължината на перпендикуляра ТАКАспоред Питагоровата теорема:
В отговор получаваме: ТАКА= 12 см.
Пример 4.Дадени са успоредни равнини И . През точката М, което не принадлежи на нито едно от тях, са начертани прави линии АИ b, които пресичат равнината по точки А 1 и IN 1 и самолета – по точки А 2 и IN 2. Намерете А 1 IN 1, ако е известно, че MA 1 = 8 см, А 1 А 2 = 12 см, А 2 IN 2 = 25 см.
Решение. Тъй като условието не казва как е разположена точката спрямо двете равнини М, тогава са възможни два варианта: (фиг. 12.7, a, b). Нека разгледаме всеки от тях. Две пресичащи се линии АИ bдефинирайте равнина. Тази равнина пресича две успоредни равнини И по успоредни линии А 1 IN 1 и А 2 IN 2 съгласно теорема 5 за успоредни прави и успоредни равнини.
Триъгълници MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 са подобни (ъгли А 2 MV 2 и А 1 MV 1 – вертикални, ъгли MA 1 IN 1 и MA 2 IN 2 – вътрешна напречно разположена с успоредни линии А 1 IN 1 и А 2 IN 2 и секанс А 1 А 2). От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на страните:
Оттук 
Вариант а):
Вариант б):
Получаваме отговора: 10 см и 50 см.
Пример 5.През точката Асамолет беше начертана пряка линия AB, образувайки ъгъл с равнината . Чрез директно ABначертана е равнина , образувайки с равнината ъгъл . Намерете ъгъла между проекцията на права линия ABдо самолета и самолет .
Решение.
Нека да направим чертеж (фиг. 12.8). От точка INпуснете перпендикуляра към равнината
.
Линеен двустенен ъгъл между равнините
И
- това е ъгълът 
Направо ADDBC, въз основа на перпендикулярността на права линия и равнина, тъй като 
И 
Въз основа на перпендикулярността на равнините, равнината
перпендикулярна на равнината на триъгълника DBC, тъй като минава през линията AD. Изграждаме желания ъгъл, като пускаме перпендикуляр от точката СЪСдо самолета
, нека го обозначим 
Намерете синуса на този ъгъл на правоъгълен триъгълник СЕБЕ СИ. Нека въведем един спомагателен сегмент BC = a. От триъгълник ABC:
От триъгълник ВМС
(
)
ще го намерим.