Фигура, образувана от три лъча, излизащи от една точка О и не лежащи в една и съща равнина, и три части от равнини, затворени между тези лъчи, се нарича тристенен ъгъл (фиг. 352).
Точка O се нарича връх на ъгъла, лъчите a, b, c са нейните ръбове, части от равнините. Лицата са равни ъгли, наричани още равни ъгли на даден тристенен ъгъл. Ъглите между плоските стени се наричат двустенни ъгли на даден тристенен ъгъл.
Теорема 1. В тристенния ъгъл всеки равнинен ъгъл е по-малък от сумата на другите два.
Доказателство. Достатъчно е да се докаже теоремата за най-големия от равнинните ъгли. Нека най-големият плосък ъгъл на тристенния ъгъл на фиг. 353. Да построим ъгъл в равнината, равен на ъгъла, през който нейната страна b преминава вътре в ъгъла (най-големият от равнинните ъгли!).
Нека поставим произволно на правите c и b равни сегментиНека начертаем произволна равнина през точките, пресичащи лъчите a и b съответно в точки N и M.
Триъгълниците са равни като имащи равни ъглисключен между равноправни страни. Нека покажем, че ъгълът с върха O в е по-голям от ъгъла със същия връх в . Наистина, тези ъгли се съдържат между двойки равни страни, третата страна е по-голяма в триъгълника
Това показва, че сумата от два равнинни ъгъла е по-голяма от третия равнинен ъгъл, което трябваше да се докаже.
Теорема 2. Сборът от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малък от четири прави ъгъла.
Доказателство. Нека вземем три точки A, B и C на ръбовете на тристенния ъгъл и начертайте секуща равнина през тях, както е показано на фиг. 354. Сборът от ъглите на триъгълник ABC е равен на Следователно сборът от шестте ъгъла OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA е по-голям от този според предишната теорема. Но сборът от ъглите на три триъгълника OAB, OBC, OCA в лицата на тристенен ъгъл е равен на . По този начин делът на плоските ъгли на тристенен ъгъл остава по-малък от четири прави: . Тази сума може да бъде произволно малка („тристенен шпил“) или произволно близка до, ако намалим височината на пирамидата SABC на фиг. 355, запазвайки основата си, тогава сумата от равнинните ъгли при върха S ще клони към
Сумата от двустенните ъгли на тристенния ъгъл също има граници. Ясно е, че всеки от двустенните ъгли и следователно тяхната сума е по-малка от . За същата пирамида на фиг. 355 тази сума се доближава до своята граница, когато височината на пирамидата намалява. Може също да се покаже, че тази сума винаги, въпреки че може да се различава от толкова малко, колкото желаете.
Така за равнинни и двустенни ъгли на тристенен ъгъл са валидни следните неравенства:
Съществува значително сходство между геометрията на триъгълник върху равнина и геометрията на тристенен ъгъл. В този случай може да се направи аналогия между ъглите на триъгълника и двустенните ъгли на тристенния ъгъл, от една страна, и между страните на триъгълника и плоските ъгли на тристенния ъгъл, от друга. Например при посочената подмяна на понятията теоремата за равенството на триъгълниците остава в сила. Нека представим паралелно съответните формулировки:
Обаче два тристенни ъгъла, чиито съответни двустенни ъгли са равни, са еднакви. Междувременно два триъгълника, чиито ъгли са съответно равни, са подобни, но не непременно равни. За тристенните ъгли, както и за триъгълниците, се поставя задачата за решаване на тристенен ъгъл, тоест задачата за намиране на някои от неговите елементи от други дадени. Нека дадем пример за такава задача.
Задача. Дадени са равнинните ъгли на тристенен ъгъл. Намерете неговите двустенни ъгли.
Решение. Нека положим отсечка върху ръба a и начертаем нормално сечение ABC на двустенния ъгъл a. от правоъгълен триъгълникНие намираме OAV Ние също имаме
За BC намираме по косинусовата теорема, приложена към триъгълника BAC (за краткост означаваме равнинните ъгли просто като ab, ac, bc, двустенните ъгли - a, b, c)
Сега прилагаме косинусовата теорема към триъгълник BOC:
От тук намираме
и подобно
Използвайки тези формули, можете да намерите двустенни ъгли, като знаете равнинни ъгли. Нека отбележим, без доказателства, забележителната връзка
наречена синусова теорема.
Обяснение на дълбоката аналогия между геометрията на тристенния ъгъл и геометрията на триъгълника не е трудно да се получи, ако извършим следната конструкция. Нека поставим центъра на сфера с единичен радиус във върха на тристенния ъгъл O (фиг. 357).
Тогава ръбовете ще пресичат повърхността на сферата в три точки A, B, C, ръбовете на ъгъла ще изрежат дъги върху сферата големи кръгове AC, AB, BC. Върху сферата е образувана фигура ABC, наречена сферичен триъгълник. Дъгите („страните“ на триъгълника) се измерват с равнинните ъгли на тристенния ъгъл, ъглите при върховете са равнинните ъгли на двустенния ъгъл. Следователно решаването на тристенни ъгли не е нищо друго освен решение на сферични триъгълници, което е предмет на сферичната тригонометрия. Съотношения (243.1) и (243.2) са сред основните отношения на сферичната тригонометрия. Сферична тригонометрияТо има важноза астрономия. По този начин теорията на тристенните ъгли е теорията на сферичните триъгълници и следователно е в много отношения подобна на теорията на триъгълника в равнина. Разликата между тези теории е, че: 1) в сферичен триъгълник и ъглите, и страните се измерват в ъглова мярка, следователно, например, в теоремата за синусите не се появяват страните, а синусите на страните AB , AC, BC;
Многостенен ъгъл част от пространството, ограничено от една многостенна кухина конична повърхност, чиято посока е плосък многоъгълник без самопресечения. Лицата на тази повърхност се наричат лица на мозайката, а горната част се нарича горна част на мозайката. М. у. се нарича правилен, ако всички негови линейни ъгли и всички негови двустенни ъгли са равни. Мерой М. у. е площта, ограничена от сферичния многоъгълник, получен от пресичането на лицата на многоъгълника, сфера с радиус равно на едно, и с център във върха на M. y. Вижте също Телесен ъгъл.
Голям Съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .
Вижте какво е "многостенен ъгъл" в други речници:
Вижте плътен ъгъл... Голям енциклопедичен речник
Вижте плътен ъгъл. * * * МНОГОСТЪЛЕН ЪГЪЛ МНОГОСТЪЛЕН ЪГЪЛ, вижте Телесен ъгъл (вижте ТВЪРДЕН ЪГЪЛ) ... енциклопедичен речник
Част от пространството, ограничено от една кухина на многостенна коника. повърхност, насочваща към рояк плосък многоъгълник без самопресичане. Лицата на тази повърхност се наричат. ръбовете на M. u., горната част на върха на M. u. Многостенен ъгъл се нарича правилно... Математическа енциклопедия
Вижте Плътен ъгъл... Естествени науки. енциклопедичен речник
многостенен ъгъл- математика. Част от пространството, ограничено от няколко равнини, минаващи през една точка (връх на ъгъл) ... Речник на много изрази
МНОГОЛИКА, многостранна, многостранна (книга). 1. Имащ няколко лица или страни. Многостранен камък. Многостенен ъгъл (част от пространството, ограничена от няколко равнини, пресичащи се в една точка; мат.). 2. трансфер...... РечникУшакова
- (мат.). Ако начертаем прави OA и 0B от точка O на дадена равнина, получаваме ъгъл AOB (фиг. 1). глупости. 1. Точка 0 извика върха на ъгъла и правите OA и 0B като страни на ъгъла. Да предположим, че са дадени два ъгъла ΒΟΑ и Β 1 Ο 1 Α 1, така че... ...
- (мат.). Ако начертаем прави OA и 0B от точка O на дадена равнина, получаваме ъгъл AOB (фиг. 1). глупости. 1. Точка 0 извика върха на ъгъла и правите OA и 0B като страни на ъгъла. Да предположим, че са дадени два ъгъла ΒΟΑ и Β1Ο1Α1. Нека ги насложим така, че върховете O... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон
Този термин има други значения, вижте Ъгъл (значения). Ъгъл ∠ Размер ° SI единици Радиан ... Wikipedia
Апартамент, геометрична фигура, образуван от два лъча (страни на U.), излизащи от една точка (върха на U.). Всяка U., имаща връх в центъра O на някаква окръжност (централна U.), определя върху окръжността дъга AB, ограничена от... ... Велика съветска енциклопедия
Слайд 1
Фигурата, образувана от определената повърхност и една от двете части на пространството, ограничено от нея, се нарича многостенен ъгъл. Общият връх S се нарича връх на многостенен ъгъл. Лъчите SA1, ..., SAn се наричат ръбове на многостенния ъгъл, а самите равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 се наричат лица на многостенния ъгъл. Многостенният ъгъл се обозначава с буквите SA1...An, указващи върха и точките на неговите ръбове. Повърхност, образувана от краен набор от равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 с общ връх S, в който съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на точките на общ лъч, и несъседни ъгли нямам общи точки, в допълнение към общ връх, ще се нарича многостенна повърхност.
Слайд 2
В зависимост от броя на лицата многостенните ъгли биват тристенни, четиристенни, петоъгълни и др.
Слайд 3
ТРИСТЪПНИ ЪГЛИ
Теорема. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сбора на другите му два равнинни ъгъла. Доказателство: Разгледайте тристенния ъгъл SABC. Нека най-големият от неговите равнинни ъгли е ъгъл ASC. Тогава са изпълнени неравенствата ASB ASC
Слайд 4
Имот. Сумата от равнинните ъгли на тристенния ъгъл е по-малка от 360°. По същия начин за тристенните ъгли с върхове B и C са валидни следните неравенства: ABC
Слайд 5
ИЗПЪКНАЛИ МНОГОСТЪЛНИ ЪГЛИ
Многостенният ъгъл се нарича изпъкнал, ако е такъв изпъкнала фигура, т.е., заедно с произволни две от неговите точки, той изцяло съдържа отсечката, която ги свързва, показва примери за изпъкнали и неизпъкнали многостенни ъгли. Свойство: Сумата от всички равнинни ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°. Доказателството е подобно на доказателството на съответното свойство за тристенен ъгъл.
Слайд 6
Вертикални многостенни ъгли
Фигурите показват примери за тристенни, четиристенни и петостенни вертикални ъгли. Вертикални ъглиса равни.
Слайд 7
Измерване на многостенни ъгли
Тъй като градусната стойност на развит двустенен ъгъл се измерва със градусната стойност на съответния линеен ъгъли е равен на 180°, тогава ще приемем, че градусната стойност на цялото пространство, което се състои от два разгънати двустенни ъгъла, е равна на 360°. Размерът на полиедърния ъгъл, изразен в градуси, показва колко място заема даден полиедърен ъгъл. Например тристенен ъгъл на куб заема една осма от пространството и следователно неговата градусна стойност е 360°: 8 = 45°. Триъгълен ъгълвдясно n-ъгълна призма равен на половинатадвустенен ъгъл на страничния ръб. Като се има предвид, че това двустенен ъгълравен, откриваме, че тристенният ъгъл на призмата е равен.
Слайд 8
Измерване на триъгълни ъгли*
Нека изведем формула, изразяваща големината на тристенен ъгъл по отношение на неговите двустенни ъгли. Нека опишем единична сфера близо до върха S на тристенния ъгъл и означим точките на пресичане на ръбовете на тристенния ъгъл с тази сфера като A, B, C. Равнините на лицата на тристенния ъгъл разделят тази сфера на шест по двойки равни сферични двуъгълници, съответстващи на двустенните ъгли на този тристенен ъгъл. Сферични триъгълник ABCи симетричният сферичен триъгълник A"B"C" са пресечната точка на три двуъгълника. Следователно удвоената сума от двустенните ъгли е равна на 360o плюс четирикратно тристенния ъгъл, или SA +SB + SC = 180o + 2 SABC.
Слайд 9
Измерване на многостенни ъгли*
Нека SA1…An е изпъкнал n-фасетен ъгъл. Разделяйки го на тристенни ъгли, начертавайки диагонали A1A3, ..., A1An-1 и прилагайки към тях получената формула, ще имаме: SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… Ан. Многостенните ъгли също могат да се измерват с числа. Наистина, триста и шестдесет градуса от цялото пространство съответства на числото 2π. Преминавайки от градуси към числа в получената формула, ще имаме: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.
Слайд 10
Упражнение 1
Може ли да има тристенен ъгъл с плоски ъгли: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°? Без отговор; б) не; в) да.
Слайд 11
Упражнение 2
Дайте примери за многостени, чиито лица, пресичащи се във върховете, образуват само: а) тристенни ъгли; б) четиристенни ъгли; в) петоъгълни ъгли. Отговор: а) тетраедър, куб, додекаедър; б) октаедър; в) икосаедър.
Слайд 12
Упражнение 3
Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Какви са границите на третия плосък ъгъл? Отговор: 10o
Слайд 13
Упражнение 4
Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 45°, 45° и 60°. Намерете ъгъла между равнините на равнинни ъгли от 45°. Отговор: 90o.
Слайд 14
Упражнение 5
В тристенен ъгъл два равнинни ъгъла са равни на 45°; двустенният ъгъл между тях е прав. Намерете третия ъгъл на равнината. Отговор: 60o.
Слайд 15
Упражнение 6
Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 60°, 60° и 90°. По ръбовете му от върха са положени равни отсечки OA, OB, OC. Намерете двустенния ъгъл между ъгловата равнина 90° и равнината ABC. Отговор: 90o.
Слайд 16
Упражнение 7
Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е 60°. На един от ръбовете му е отложена отсечка, равна на 3 cm от върха, и от края му е пуснат перпендикуляр към противоположната страна. Намерете дължината на този перпендикуляр. Отговор: виж
Слайд 17
Упражнение 8
намирам локус вътрешни точкитристенен ъгъл, равноотдалечен от лицата му. Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнините, разделящи двустенните ъгли наполовина.
Слайд 18
Упражнение 9
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от ръбовете му. Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнини, минаващи през ъглополовящите на равнинни ъгли и перпендикулярни на равнинитетези ъгли.
Слайд 19
Упражнение 10
За двустенните ъгли на тетраедъра имаме: , откъдето 70o30". За тристенните ъгли на тетраедъра имаме: 15o45". Отговор: 15o45". Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на тетраедъра.
Слайд 20
Упражнение 11
Намерете приблизителните стойности на тетраедричните ъгли на октаедъра. За двустенните ъгли на октаедъра имаме: , откъдето 109о30". За четиристенните ъгли на октаедъра имаме: 38о56". Отговор: 38o56".
Слайд 21
Упражнение 12
Намерете приблизителните стойности на пентаедричните ъгли на икосаедъра. За двустенните ъгли на икосаедъра имаме: , откъдето 138о11". За петостенните ъгли на икосаедъра имаме: 75о28". Отговор: 75o28".
Слайд 22
Упражнение 13
За двустенните ъгли на додекаедъра имаме: , откъдето 116o34". За тристенните ъгли на додекаедъра имаме: 84o51". Отговор: 84o51". Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на додекаедъра.
Слайд 23
Упражнение 14
В правилна четириъгълна пирамида SABCD страната на основата е 2 cm, височината е 1 cm. Намерете четириъгълния ъгъл при върха на тази пирамида. Решение: Дадените пирамиди разделят куба на шест равни пирамиди с върхове в центъра на куба. Следователно 4-странният ъгъл на върха на пирамидата е една шеста от ъгъла от 360°, т.е. равен на 60o. Отговор: 60o.
Слайд 24
Упражнение 15
В дясно триъгълна пирамида странични ребраравно на 1, ъгли на върха 90°. Намерете тристенния ъгъл при върха на тази пирамида. Решение: Посочените пирамиди разделят октаедъра на осем равни пирамиди с върхове в центъра O на октаедъра. Следователно 3-странният ъгъл на върха на пирамидата е една осма от ъгъла 360°, т.е. равен на 45o. Отговор: 45o.
Слайд 25
Упражнение 16
В правилна триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, а височината Намерете тристенния ъгъл при върха на тази пирамида. Решение: Посочените пирамиди са счупени правилен тетраедърс четири равни пирамидис върхове в центъра на Отетраедъра. Следователно, тристранният ъгъл на върха на пирамидата е една четвърт от ъгъл от 360°, т.е. равен на 90o. Отговор: 90o.
Вижте всички слайдове
ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:
В планиметрията един от обектите на изследване е ъгъл.
Ъгълът е геометрична фигура, състояща се от точка - върха на ъгъла и два лъча, излизащи от тази точка.
Два ъгъла, едната страна на които е обща, а другите две са продължение един на друг, се наричат съседни в планиметрията.
Компасът може да се разглежда като модел на равнинен ъгъл.
Нека си припомним понятието двустенен ъгъл.
Това е фигура, образувана от права a и две полуравнини c обща границаА непринадлежността към една и съща равнина в геометрията се нарича двустенен ъгъл. Полуравнините са лицата на двустенния ъгъл. Правата a е ребро на двустенен ъгъл.
Покривът на къщата ясно демонстрира двустенния ъгъл.
Но покривът на къщата на фигура две е направен под формата на фигура, образувана от шест плоски ъгъла с общ връх, така че ъглите са взети на в определен реди всяка двойка съседни ъгли, включително първия и последния, има обща страна. Как се нарича тази форма на покрива?
В геометрията, фигура, съставена от ъгли
А ъглите, от които е съставен този ъгъл, се наричат равнинни ъгли. Страните на равнинните ъгли се наричат ръбове на многостенния ъгъл. Точка O се нарича връх на ъгъла.
Примери за многостенни ъгли могат да бъдат намерени в тетраедъра и паралелепипеда.
Лицата на тетраедъра DBA, ABC, DBC образуват многостенния ъгъл BADC. По-често се нарича тристенен ъгъл.
В паралелепипед лицата AA1D1D, ABCD, AA1B1B образуват тристенния ъгъл AA1DB.
Е, покривът на къщата е направен във формата на шестоъгълен ъгъл. Състои се от шест плоски ъгъла.
Редица свойства са верни за многостенния ъгъл. Нека ги формулираме и докажем. Тук се казва, че изявлението
Първо, за всеки изпъкнал полиедърен ъгъл има равнина, пресичаща всичките му ръбове.
За доказателство разгледайте многостенния ъгъл OA1A2 A3…An.
По условие той е изпъкнал. Ъгълът се нарича изпъкнал, ако лежи от едната страна на равнината на всеки от неговите равнинни ъгли.
Тъй като по условие този ъгъл е изпъкнал, то точките O, A1, A2, A3, An лежат от едната страна на равнината OA1A2
Нека изпълним средна линия KM на триъгълника OA1A2 и изберете от ръбовете OA3, OA4, OAn ръба, който образува най-малкия двустенен ъгъл с равнината OKM. Нека това е край OAi. (оа общо)
Нека разгледаме полуравнината α с границата CM, разделяща двустенния ъгъл OKMAi на два двустенни ъгъла. Всички върхове от A до An лежат от едната страна на равнината α, а точка O от другата страна. Следователно равнината α пресича всички ръбове на многостенния ъгъл. Твърдението е доказано.
Изпъкналите полиедрични ъгли имат друго важно свойство.
Сумата от равнинните ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°.
Да разгледаме изпъкнал многостенен ъгъл с връх в точка O. По силата на доказаното твърдение има равнина, която пресича всички негови ръбове.
Нека начертаем такава равнина α, нека тя пресича ръбовете на ъгъла в точки A1, A2, A3 и така нататък An.
Равнината α от външната област на равнинния ъгъл ще отреже триъгълника. Сборът на ъглите е 180°. Получаваме, че сумата от всички равнинни ъгли от A1OA2 до AnOA1 е равна на израза, трансформираме този израз, пренареждаме членовете, получаваме
IN този изразсумите, посочени в скоби, са сумите от равнинните ъгли на тристенен ъгъл и както е известно, те са по-големи от третия равнинен ъгъл.
Това неравенство може да се напише за всички тристенни ъгли, образуващи даден многостенен ъгъл.
Следователно получаваме следното продължение на равенството
Отговорът доказва, че сборът от равнинните ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малък от 360 градуса.
20. Многостепенно изучаване на многостенни ъгли, свойства на равнинни ъгли на тристенен ъгъл и многостенен ъгъл.
Основно ниво на:
Атанасян
Отчита само двустенния ъгъл.
Погорелов
Първо той разглежда двустенния ъгъл и веднага след това тристенния и многостенния ъгъл.
Нека разгледаме три лъча a, b, c, излизащи от една и съща точка и лежащи в една и съща равнина. Тристенният ъгъл (abc) е фигура, съставена от три плоски ъгъла (ab), (bc) и (ac) (фиг. 400). Тези ъгли се наричат лица на тристенен ъгъл, а страните им се наричат ръбове. Общият връх на равнинните ъгли се нарича връх на тристенен ъгъл. Двустенните ъгли, образувани от лицата на тристенния ъгъл, се наричат двустенни ъгли на тристенния ъгъл.
По същия начин се въвежда понятието многостенен ъгъл (фиг. 401).
Фиг. 400 и Фиг. 401
П 
ниво на профил(А.Д. Алексндров, А.Л. Вернер, В.И. Рижих):
Оставяйки дефинирането и изучаването на произволни многостенни ъгли до § 31, сега ще разгледаме най-простия от тях - тристенните ъгли. Ако в стереометрията двустенните ъгли могат да се разглеждат като аналози на равнинните ъгли, тогава тристенните ъгли могат да се разглеждат като аналози на равнинните триъгълници и в следващите параграфи ще видим как те са естествено свързани със сферичните триъгълници.
Можете да конструирате (и следователно конструктивно да дефинирате) тристенен ъгъл като този. Вземете произволни три лъча a, b, c, имащи общо начало O и не лежи в една и съща равнина (фиг. 150). Тези лъчи са страните на три изпъкнали равнинни ъгъла: ъгъл α със страни b, c, ъгъл β със страни a, c и ъгъл γ със страни a, b. Обединението на тези три ъгъла α, β, γ се нарича тристенен ъгъл Oabc (или накратко тристенен ъгъл O). Лъчи a, b, c се наричат ръбове на тристенния ъгъл Oabc, а равнинните ъгли α, β, γ са негови лица. Точка O се нарича връх на тристенен ъгъл.
3 забележка Би било възможно да се определи тристенен ъгъл с неизпъкнало лице (фиг. 151), но ние няма да разглеждаме такива тристенни ъгли. 
За всеки ръб на тристенен ъгъл се определя съответен двустенен ъгъл, чийто ръб съдържа съответния ръб на тристенния ъгъл и чиито лица съдържат лицата на тристенния ъгъл, съседни на този ръб.
Стойностите на двустенните ъгли на тристенния ъгъл Oabc в ръбовете a, b, c ще бъдат означени съответно с a^, b^, c^ (главни букви директно над буквите).
Три лица α, β, γ на тристенния ъгъл Oabc и трите му двустенни ъгъла при ребра a, b, с, както и величините α, β, γ и а^, b^, с^ ще наричаме елементи на тристенния ъгъл. (Запомнете, че елементите на плоския триъгълник са неговите страни и ъгли.)
Нашата задача е да изразим някои елементи на тристенния ъгъл чрез другите му елементи, тоест да изградим „тригонометрия“ на тристенните ъгли.
1) Нека започнем с извеждането на аналог на косинусовата теорема. Първо, разгледайте тристенен ъгъл Oabc, който има поне две лица, например α и β, остри ъгли. Да вземем точка C на нейния ръб c и да прекараме от нея в лица α и β перпендикуляри CB и CA към ръб c, докато се пресекат с ръбовете a и b в точките A и B (фиг. 152). Нека изразим разстоянието AB от триъгълниците OAB и CAB с помощта на косинусовата теорема.
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) и AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.
Като извадим първото от второто равенство, получаваме:
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). защото триъгълниците OSV и OCA са правоъгълни, тогава AC 2 -AC 2 =OS 2 и OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
Следователно от (1) и (2) следва, че OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
тези. 
Но 
,
,
,
. Ето защо
(3) – аналог на косинусовата теорема за тристенните ъгли - косинус формула.
И двете лица α и β са тъпи ъгли.
Единият от ъглите α и β, например α, е остър, а другият, β, е тъп.
Поне 1 от ъглите α или β е прав.
Признаци за равенство на тристенни ъглиподобно на знаците за равенство на триъгълници. Но има разлика: например два тристенни ъгъла са равни, ако техните двустенни ъгли са съответно равни. Запомнете, че два равнинни триъгълника, чиито съответни ъгли са равни, са подобни. А за тристенните ъгли подобно условие води не до сходство, а до равенство.
Тристенните ъгли имат забележителен Имоткоето се нарича дуалност. Ако във всяка теорема за тристенния ъгъл Oabc заместваме стойности a, b, от към π-α, π-β, π-γи, обратно, заменете α, β, γ с π-a^, π-b^, π-c^, тогава отново получаваме вярно твърдение за тристенните ъгли, двойна на оригиналната една теорема. Вярно е, че ако се направи такава замяна в теоремата за синусите, тогава отново стигаме до теоремата за синусите (тя е двойствена на себе си). Но ако направим това в косинусовата теорема (3), получаваме нова формула
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
Защо възниква такава двойственост ще стане ясно, ако за тристенен ъгъл построим тристенен ъгъл, двоен към него, чиито ръбове са перпендикулярни на лицата на първоначалния ъгъл (виж раздел 33.3 и фиг. 356).
Някои от най-простите повърхности са многостенни ъгли. Те са съставени от обикновени ъгли (сега често ще наричаме такива ъгли плоски), точно както затворената начупена линия е съставена от отсечки. А именно, дадено е следното определение:
Многостенен ъгъл се наричафигура, образувана от равни ъгли, така че да са изпълнени следните условия:
1) Няма два ъгъла, които да имат общи точки, освен техния общ връх или цяла страна.
2) За всеки от тези ъгли всяка негова страна е обща с един и само един друг такъв ъгъл.
3) От всеки ъгъл можете да отидете до всеки ъгъл по ъглите, които имат общи страни.
4) Никакви два ъгъла с обща страна не лежат в една равнина (фиг. 324).
При това условие равнинните ъгли, образуващи един полиедърен ъгъл, се наричат негови лица, а техните страни - негови ръбове.
Под това определениеПодходящ е и двустенен ъгъл. Съставен е от два разгънати плоски ъгъла. Неговият връх може да се счита за всяка точка от неговия ръб и тази точка разделя ръба на два ръба, които се срещат във върха. Но поради тази несигурност в позицията на върха, двустенният ъгъл е изключен от броя на многостенните ъгли.
П 
Концепцията за полиедърен ъгъл е важна, по-специално, при изучаването на полиедри - в теорията на полиедрите. Структурата на многостена се характеризира с това от какви лица е направен и как те се събират във върховете, т.е. какви многостенни ъгли има.
Разгледайте полиедричните ъгли на различни полиедри.
Обърнете внимание, че лицата на многостенните ъгли също могат да бъдат неизпъкнали ъгли.