Координатите на върховете на пирамидата са дадени \(A_1A_2A_3A_4\). Координати на точка: A1(4;-1;3) A2(-2;1;0) A3(0;-5;1) A4(3;2;-6)
1) Намерете дължините на ръбовете \(A_1A_2;A_1A_3;A_1A_4\).
Ще считаме дължината на ръбовете на пирамида (всяка фигура) като разстояние между точките. Разстоянието между точките се намира с помощта на формулата $$d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)$$заместете координатите на точките в формула и вземете дължините на ръбовете
$$A_1A_2 = \sqrt((-2-4)^2+(1+1)^2+(0-3)^2) = 7$$
$$A_1A_3 = \sqrt((0-4)^2+(-5+1)^2+(1-3)^2) = 6$$
$$A_1A_4 = \sqrt((3-4)^2+(2+1)^2+(-6-3)^2) = \sqrt(91)$$
2) Ъгълът между ръбовете \(A_1A_2\) и \(A_1A_4\).
За да намерим ъгъла между ръбовете, намираме уравненията на линиите на тези ръбове, а след това и ъгъла между линиите. Ще търсим уравнения на прави като уравнение на права, минаваща през две дадени точки$$ \frac(x-x_1)(x_2-x_1) = \frac(y-y_1)(y_2-y_1) = \frac(z-z_1)(z_2-z_1)$$ Заместете координатите на точките и получете уравненията на линиите \ (A_1A_2 = \frac(x-4)(-2-4) = \frac(y+1)(1+1) = \frac(z-3)(0-3) => \) $$ A_1A_2 = \frac(x-4)(-6) = \frac(y+1)(2) = \frac(z-3)(-3) $$
\(A_1A_4 = \frac(x-4)(3-4) = \frac(y+1)(2+1) = \frac(z-3)(-6-3) =>\) $$ A_1A_4 = \frac(x-4)(-1) = \frac(y+1)(3) = \frac(z-3)(-9)$$
Ъгълът между прави линии се намира по формулата $$ \cos\phi = \frac(l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2)( \sqrt(l_1^2+m_1^2+n_1^2) \sqrt(l_2^2+m_2 ^2+n_2 ^2))$$ където \(S_1(l_1;m_1;n_1)\) е векторът на посоката на първата линия \(S_2(l_2;m_2;n_2)\) е втората линия. Предоставяме координатите на векторите на посоката $$ \cos \widehat(A_4A_1A_2) = \frac((-6)(-1) + 2*3+(-3)(-9))( \sqrt((-6 )^2+ 2^2+(-3)^2) \sqrt((-1)^2+3^2+(-9)^2)) = \frac(6+6+27)(\sqrt (36+4 +9) * \sqrt(1+9+81)) = \frac(39)(7*\sqrt(91)) => \widehat(A_4A_1A_2) \приблизително 34^0$$
3) Област на лицето \(A_1A_2A_3\).
В основата лежи триъгълник, чиито страни \(A_1A_2 = 7\) и \(A_1A_3 = 6\), координатите на всички точки вече са известни, т.е. можете да намерите дължината на третата страна и да използвате формулата на Heron, за да намерите площта, можете да знаете дължината на основата \(A_1A_2\) и уравнението на правата \(A_1A_2\) ще намерим разстоянието от точката \(A_3\) към този ред това ще бъде височината на триъгълника и намерете площта по формулата \(S = \frac(1)(2)ah\).
Нека намерим третата страна и използваме формулата на Heron $$S = \sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), \quad p = \frac(a+b+c)(2)$$ $$A_2A_3 = \sqrt ((0+2)^2+(-5-1)^2+(1-0)^2) = \sqrt(41)$$ тогава полупериметърът е равен на \(p = \frac (6+7+\sqrt (41))(2) = \frac(13+\sqrt(41))(2)\) $$S = \sqrt( \frac(13+\sqrt(41))( 2)* \frac(13 +\sqrt(41)-12)(2)* \frac(13+\sqrt(41)-14)(2)* \frac(13+\sqrt(41)-2\ sqrt(41))(2 )) = $$$$ = \sqrt( \frac(13+\sqrt(41))(2)* \frac(1+\sqrt(41))(2)* \frac (\sqrt(41)- 1)(2)* \frac(13-\sqrt(41))(2)) = $$ ще използваме формулата за съкратено умножение - формулата за разликата на квадратите \(a^2- b^2 = (a-b)(a+b) \) $$ = \frac(1)(4)\sqrt( (13^2-41)(41-1)) = \frac(32)(4) \sqrt(5) = 8 \sqrt(5) $$
4) Уравнението на правата \(A1A2\).
Уравнението на правата е намерено в параграф 2
$$ A_1A_2 = \frac(x-4)(-6) = \frac(y+1)(2) = \frac(z-3)(-3) $$
5) Уравнение на равнината \(A_1A_2A_3\).
Координатите на точките са известни \(A_1(4;-1;3), A_2(-2;1;0), A_3(0;-5;1)\)
Нека напишем уравнението на равнина, която минава през три дадени точки в координатна форма $$\left|\begin(array)(c) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \край (масив)\right| = 0$$ Заместете координатите на точките $$\left|\begin(array)(c) x-4 & y+1 & z-3\\ -2-4 & 1+1 & 0-3 \\ 0-4 & -5+1 & 1-3 \end(array)\right| = \left|\begin(array)(c) x-4 & y+1 & z-3\\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end(array)\right| = $$$$ = (x-4)*2*(-2)+(y+1)(-3)(-4)+(-6)(-4)(z-3)-(-4 )2(z-3)-(-4)(-3)(x-4)-(-2)(-6)(y+1)=$$$$ =-4(x-4)+12 (y+1)+24(z-3)+8(z-3)-12(x-4)-12(y+1) = -16(x-4)+32(z-3)= $ $$$ =-16x+64+32z-96=-16x+32z-32 = 0$$ Уравнение на равнината $$-16x+32z-32 = 0 => -x+2z-2=0$$
6) Уравнение на височината, спусната от върха \(A_4\) до лицето \(A_1A_2A_3\).
Координатите на точката \(A_4(3;2;-6)\) са известни, уравнението на равнината, в която лежи лицето \(A_1A_2A_3\) \(-x+2z-2=0\) от това уравнение получаваме координатите на нормалния вектор към равнината \(\vec(N)=(-1;0;2)\). Този вектор е насочващият вектор на правата линия, нека заместим координатите на вектора в него канонично уравнениеправа линия и координатите на точката \(A_4\) \(\frac(x-3)(-1) = \frac(y-2)(0) = \frac(z+6)(2) \) открихме, че правата линия, перпендикулярна на оста Oy, уравнението на правата линия също може да бъде написано както следва: $$\frac(x-3)(-1) = \frac(z+6)(2), \quad x=1 $$
7) Ъгълът между ръба \(A_1A_4\) и лицето \(A_1A_2A_3\).
Има права линия, на която лежи ръбът, нейното уравнение е \(A_1A_4 = \frac(x-4)(-1) = \frac(y+1)(3) = \frac(z-3)(- 9)\) .
Има равнина, на която принадлежи лицето \(A_1A_2A_3\) \(-x+2z-2=0\).
Нека напишем каноничното уравнение на правата \(\frac(x-x_0)(m) = \frac(y-y_0)(n) = \frac(z-z_0)(p)\, каноничното уравнение на равнината \(Ax+By+ Cz+D=0\), тогава ъгълът между правата и равнината ще бъде изчислен по формулата $$ \sin \phi = \frac(|Am + Bn + Cp|)( \sqrt(A^2+B^2+C^ 2) \sqrt(m^2+n^2+p^2))$$Заместете данните от задачата във формулата $$\sin \phi = \ frac(|(-1)(-1) + 0*3 + 2(-9)|)( \sqrt((-1)^2+0^2+2^2) \sqrt((-1)^ 2+3^2+(-9)^2)) = \ frac(17)( \sqrt(455)) => \arcsin (\frac(17)( \sqrt(455))) \приблизително 52,84^0 $$
8) Обем на пирамидата.
Обемът на пирамидата е равен на $$V_(pir) = \frac(1)(3)Sh$$, където \(S = 8 \sqrt(5)\) е площта на основата. Трябва да намерим височината, спусната върху тази основа, и това е разстоянието от точката до равнината, което се изчислява по формулата $$d = |\frac(Ax_0+By_0+Cz_0+D)(\sqrt(A ^2+B^2+ C^2))|$$ където \((x_0;y_0;z_0)\) са координатите на точката \(A_4(3,2,-6)\) и \( Ax+By+Cz+D=0\ ) е уравнението на равнината, което е равно на \(-x+2z-2=0\). Заменяме координатите и получаваме $$h = |\frac(-3+2*(-6)-2)(\sqrt((-1)^2+2^2))| = \frac(17)(\sqrt(5)) $$ Заместване във формулата за обем $$V_(pir) = \frac(1)(3) 8 \sqrt(5)*\frac(17)(\sqrt ( 5)) = \frac(136)(3)$$
Пирамидата е фигура, която има основа под формата на многоъгълник и странични лицас върхове, събиращи се на върха. Границите на страничните повърхности се наричат ръбове. Как да намерим дължината на ръба на пирамидата?
Спонсор на публикуване P&G Статии по темата "Как да намерим дължината на ръба на пирамида" Как да добавим квадратни корени Как да намерим диагонала на квадрат Как да намерим координатите на върха на парабола
Инструкции
Намерете граничните точки на ръба, чиято дължина търсите. Нека това са точки A и B.
Посочете координатите на точки A и B. Те трябва да бъдат посочени в три измерения, т.к пирамидата е триизмерна фигура. Вземете A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2).
Изчислете необходимата дължина, като използвате обща формула: дължината на ръба на пирамидата е равна на корена от сумата на квадратите на разликите на съответните координати на граничните точки. Заменете числата на вашите координати във формулата и намерете дължината на ръба на пирамидата. По същия начин намерете дължината на ръбовете не само правилна пирамида, но също и правоъгълни, пресечени и произволни.
Намерете дължината на ръба на пирамида, в която всички ръбове са равни, страните на основата на фигурата са дадени и височината е известна. Определете местоположението на основата на височината, т.е. най-ниската си точка. Тъй като ръбовете са равни, това означава, че можем да начертаем кръг, чийто център ще бъде точката на пресичане на диагоналите на основата.
Начертайте прави свързващи линии противоположни ъглиоснова на пирамидата. Маркирайте точката, в която се пресичат. Същата точка ще бъде долна границависочина на пирамидата.
Намерете дължината на диагонала на правоъгълник, като използвате Питагоровата теорема, където сумата от квадратите на краката правоъгълен триъгълникравно на квадрата на хипотенузата. Вземете a2+b2=c2, където a и b са катети, а c е хипотенузата. Тогава хипотенузата ще бъде равна на корена на сумата от квадратите на катетите.
Намерете дължината на ръба на пирамидата. Първо, разделете дължината на диагонала наполовина. Заменете всички получени данни във формулата на Питагор, описана по-горе. Подобно на предишния пример, намерете корена на сумата от квадратите на височината на пирамидата и половината от диагонала.
Колко простоДруги новини по темата:
Пирамида означава една от разновидностите на полиедри, чиято основа е многоъгълник, а лицата му са триъгълници, които се свързват в един общ връх. Ако спуснете перпендикуляр от върха към основата на пирамидата, полученият сегмент ще се нарича височина
Пирамида с триъгълник в основата си се нарича триъгълна пирамида. Височината на такава пирамида ще бъде перпендикулярът, спуснат от върха към равнината на нейната основа. За да намерите правилната височина триъгълна пирамида, тоест такава пирамида, всички лица на която са равностранни
Пирамидата е триизмерна фигура, всяка от страните на която има формата на триъгълник. Ако основата също съдържа триъгълник и всички ръбове имат същата дължина, тогава това е правилна триъгълна пирамида. този обемна фигурачетири лица, поради което често се нарича „тетраедър“ - от
Апотема в пирамида е сегмент, начертан от върха й до основата на едно от страничните лица, ако сегментът е перпендикулярен на тази основа. Страничното лице на такава обемна фигура винаги има триъгълна форма. Следователно, ако е необходимо да се изчисли дължината на апотемата, е допустимо да се използват свойствата
Обемни геометрична фигура, чиито странични стени са с триъгълна форма и имат поне един общ връх, се нарича пирамида. Лицето, което не е съседно на върха, общ за останалите, се нарича основа на пирамидата. Ако всички страни и ъгли на образуващия го многоъгълник са еднакви,
Ако от двете страни на определена равнина има точки, принадлежащи на триизмерна фигура (например многостен), тази равнина може да се нарече секуща равнина. Образува се двуизмерна фигура общи точкиравнина и многостен, в този случай се нарича сечение. Такава секция ще бъде диагонална,
Пирамидата е многостен, съставен от определен бройс един общ връх на плоски странични повърхности и една основа. Основата от своя страна има един общ ръб с всяка странична повърхност и следователно нейната форма определя общ бройръбовете на фигурата. В дясно
Пирамида - комплекс геометрично тяло. Тя се образува от плосък многоъгълник (основата на пирамидата), точка, която не лежи в равнината на този многоъгълник (върхът на пирамидата) и всички сегменти, които свързват точките на основата на пирамидата с отгоре. Как да намерите площта на пирамидата? Ще ви трябва линийка,
Пирамидата е фигура, която има основа под формата на многоъгълник и странични лица с върхове, събиращи се на върха. Границите на страничните лица се наричат ребра. Как да намерите дължинаребра пирамиди?
Инструкции
Намерете граничните точки на ръба, дължинакоето търсите. Нека това са точки A и B.
Посочете координатите на точки A и B. Те трябва да бъдат посочени в три измерения, т.к пирамидата е триизмерна фигура. Вземете A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2).
Изчислете необходимите дължина, използвайки общата формула: дължина на ръба пирамидие равен на корена от сумата на квадратите на разликите на съответните координати на граничните точки. Заменете числата на вашите координати във формулата и намерете дължинаребра пирамиди. Намерете по същия начин дължинаребрата са не само правилни пирамиди, но също и правоъгълни, пресечени и произволни.
Намерете дължинаребра пирамиди, в която всички ръбове са равни, страните на основата на фигурата са дадени и височината е известна. Определете местоположението на основата на височината, т.е. най-ниската си точка. Тъй като ръбовете са равни, това означава, че можем да начертаем кръг, чийто център ще бъде точката на пресичане на диагоналите на основата.
Начертайте прави линии, свързващи противоположните ъгли на основата пирамиди. Маркирайте точката, в която се пресичат. Същата тази точка ще бъде долната граница на височината пирамиди.
Намерете дължинадиагонали на правоъгълник с помощта на Питагоровата теорема, където сумата от квадратите на катетите на правоъгълен триъгълник е равна на квадрата на хипотенузата. Вземете a2+b2=c2, където a и b са катети, а c е хипотенузата. Тогава хипотенузата ще бъде равна на корена на сумата от квадратите на катетите.
Намерете дължинаребра пирамиди. Първо разделение дължинадиагонално наполовина. Заменете всички получени данни във формулата на Питагор, описана по-горе. Подобно на предишния пример, намерете корена на сумата от квадратите на височината пирамидии половин диагонал.
Внимание, само ДНЕС!
Всичко интересно
Задачите за изчисляване на страната на основата на пирамида съставляват доста голям раздел в книгата със задачи по геометрия. Много зависи каква хемометрична цифра е в основата, както и какво е дадено в условията на задачата. на теб…
Пирамидата е геометрично тяло с многоъгълник в основата и странични триъгълни стени с общ връх. Броят на страничните лица на пирамидата е равен на броя на страните на основата. Инструкция 1Б правоъгълна пирамидаедно от страничните ребра...
Четириъгълна пирамида е петоъгълник с четириъгълна основа и странична повърхност от четири триъгълни лица. Страничните ръбове на многостена се пресичат в една точка - върха на пирамидата. Инструкции 1 Четириъгълна пирамида може да бъде...
Специален случай на конус се нарича пирамида, ако основата на фигурата е многоъгълник. Ако този многоъгълник е изпъкнал, всичките му страни са с еднаква дължина и върхът на многостена стърчи към центъра на основата, пирамида се нарича...
Триизмерна геометрична фигура, чиито странични стени са с триъгълна форма и имат поне един общ връх, се нарича пирамида. Лицето, което не е съседно на върха, общ за останалите, се нарича основа на пирамидата. Ако всички страни и...
Пирамидата е многостен, съставен от определен брой плоски странични повърхности с един общ връх и една основа. Основата от своя страна има по един общ ръб с всяка странична повърхност и следователно нейната форма определя...
Ако от двете страни на определена равнина има точки, принадлежащи на триизмерна фигура (например многостен), тази равнина може да се нарече секуща равнина. А двумерна фигура, образувана от общи точки на равнина и многостен, в този случай се нарича...
Пирамидата е многостен, чиито лица са триъгълници, които имат общ връх. Изчисляване странично реброизучавани в училище, на практика често се налага да си спомняте полузабравена формула. Инструкции 1 Според вида на основата...
Пирамидата е триизмерна фигура, всяка от страните на която има формата на триъгълник. Ако има и триъгълник в основата и всички ръбове имат еднаква дължина, тогава това е правилна триъгълна пирамида. Тази триизмерна фигура има четири страни,...
Развитието на правилна многостенна пресечена пирамида може да бъде конструирано с помощта на специфичен алгоритъм. Достатъчно е да го разгледаме с помощта на примера за конструиране на развитието на тетраедрична пресечена пирамида, в основата на която лежат две подобни равностранни...
Триизмерната геометрична фигура, образувана от четири лица, се нарича тетраедър. Всяко от лицата на такава фигура може да има само триъгълна форма. Всеки от четирите върха на полиедър е образуван от три ръба, а общият брой на ръбовете е...
Много хора имат формата на полиедри, включително пирамиди. реални обекти, например известните пирамиди на Египет. Тази геометрична фигура има няколко параметъра, основният от които е височината. Инструкции 1 Определете дали...
Пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, а лицата му са триъгълници с общ връх. За правилната пирамида същото определение е вярно, но в основата й лежи правилното...
Пирамида означава една от разновидностите на полиедри, чиято основа е многоъгълник, а лицата му са триъгълници, които се свързват в един общ връх. Ако пуснете перпендикуляр от върха към основата на пирамидата,...
Пирамида с триъгълник в основата си се нарича триъгълна пирамида. Височината на такава пирамида ще бъде перпендикулярът, спуснат от върха към равнината на нейната основа. За да се намери височината на правилна триъгълна пирамида, тоест такава пирамида...
Пирамидата е многостен с многоъгълник в основата си. Всички лица от своя страна образуват триъгълници, които се събират в един връх. Пирамидите са триъгълни, четириъгълни и т.н. За да се определи кои...