Разширяване на функция в серия Тейлър, Маклорен и Лоран на сайт за обучение на практически умения. Това серийно разширение на функция позволява на математиците да оценят приблизителната стойност на функцията в някакъв момент от нейната област на дефиниция. Много по-лесно е да се изчисли такава функционална стойност в сравнение с използването на таблицата на Bredis, която е толкова неуместна в този век компютърна технология. Развиването на функция в редица на Тейлър означава изчисляване на коефициентите преди това линейни функциитази серия и я запишете правилна форма. Учениците объркват тези две серии, без да разбират какво е общ случай, и какво е частен случай на второто. Припомняме ви веднъж завинаги поредицата Maclaurin - специален случайРедът на Тейлър, тоест това е редът на Тейлър, но в точката x = 0. Всички кратки записи за разширяване на добре познати функции, като e^x, Sin(x), Cos(x) и други, са разширения на редица Тейлър, но в точка 0 за аргумента. За функциите на сложен аргумент серията на Лоран е най-често срещаният проблем в TFCT, тъй като представлява двустранна безкрайна серия. Това е сумата от две серии. Предлагаме ви да разгледате пример за разлагане директно на уебсайта; това е много лесно да се направи, като щракнете върху „Пример“ с произволен номер и след това върху бутона „Решение“. Точно това разширяване на функция в серия, която е свързана с мажорна серия, която ограничава оригиналната функция в определена област по ординатната ос, ако променливата принадлежи към областта на абсцисата. Векторен анализСравнява се още една интересна дисциплина в математиката. Тъй като всеки термин трябва да бъде разгледан, процесът изисква доста време. Всеки ред на Тейлър може да бъде свързан с ред на Маклорен чрез замяна на x0 с нула, но за ред на Маклорен понякога не е очевидно да се представи редът на Тейлър в обратна посока. Колкото и да е необходимо това да се направи в чиста форма, но интересни за общо саморазвитие. Всеки ред на Лоран съответства на двустранен безкраен степенен ред в цели числа правомощия z-a, с други думи, серия от същия тип Тейлър, но малко по-различна в изчисляването на коефициентите. Ще говорим за областта на сближаване на серията на Лоран малко по-късно, след няколко теоретични изчисления. Както през миналия век, стъпка по стъпка разширяване на функция в серия едва ли може да бъде постигнато просто чрез намаляване на членовете до общ знаменател, тъй като функциите в знаменателите са нелинейни. Приблизително изчисление функционално значениеизисква поставяне на задачи. Помислете за факта, че когато аргументът на редица на Тейлър е линейна променлива, тогава разширяването се извършва на няколко стъпки, но картината е напълно различна, когато аргументът на функцията, която се разширява, е сложна или нелинейна функция, тогава процесът на представянето на такава функция в степенен ред е очевидно, тъй като по този начин е лесно да се изчисли, макар и приблизителна стойност, във всяка точка от областта на дефиницията, с минимална грешка, която има малък ефект върху по-нататъшните изчисления. Това важи и за серията Maclaurin. когато трябва да оцените функция в нулева точка. Въпреки това, самата серия на Лоран е представена тук чрез разширение в равнината с въображаеми единици. Също така няма да остане без успех правилно решениезадачи по време на общ процес. Този подход не е познат в математиката, но обективно съществува. В резултат на това можете да стигнете до извода за така наречените поточкови подмножества и при разширяването на функция в серия трябва да използвате методи, известни за този процес, като например прилагането на теорията на производните. Още веднъжУбедени сме, че е прав учителят, който е направил своите предположения за резултатите от следизчислителните изчисления. Нека отбележим, че серията Тейлър, получена според всички канони на математиката, съществува и е дефинирана по цялата числена ос, но, скъпи потребители на услугата на сайта, не забравяйте вида на оригиналната функция, защото може да се окаже че първоначално е необходимо да се установи областта на дефиниция на функцията, тоест да се напишат и изключат от по-нататъшно разглеждане онези точки, в които функцията не е дефинирана в региона реални числа. Така да се каже, това ще покаже вашата ефективност при решаването на проблема. Изграждането на ред на Маклорен с нулева стойност на аргумента няма да бъде изключение от казаното. Процесът на намиране на домейна на дефиниция на функция не е отменен и трябва да подходите към него с цялата сериозност математическа операция. В случай на серия на Лоран, съдържаща основната част, параметърът "а" ще се нарича изолирана особена точка, а серията на Лоран ще бъде разширена в пръстен - това е пресечната точка на областите на сближаване на неговите части, следователно ще последва съответната теорема. Но не всичко е толкова сложно, колкото може да изглежда на пръв поглед на неопитен ученик. След като сте изучавали серията Тейлър, можете лесно да разберете серията Лоран - обобщен случай за разширяване на пространството на числата. Всяко серийно разширение на функция може да се извърши само в точка от областта на дефиниране на функцията. Следва да се вземат предвид свойства на функции като периодичност или безкрайна диференцируемост. Също така ви предлагаме да използвате таблицата с готови разширения на серия Тейлър елементарни функции, тъй като една функция може да бъде представена с до десетки различни степенни редове, както може да се види от използването на нашия онлайн калкулатор. Онлайн сериалиОпределянето на Maclaurin е лесно като белене на круши, ако използвате уникалната услуга на сайта, трябва само да въведете правилната писмена функция и ще получите представения отговор след няколко секунди, той ще бъде гарантирано точен и стандартен писмена форма. Можете да копирате резултата директно в чисто копие за изпращане на учителя. Би било правилно първо да се определи аналитичността на въпросната функция в пръстени и след това недвусмислено да се каже, че тя е разширима в серия на Лоран във всички такива пръстени. Важно е да не изпускате от поглед съдържанието отрицателни силичленове на серията Laurent. Съсредоточете се върху това колкото е възможно повече. Използвайте добре теоремата на Лоран за разлагането на функция в цели числа.
За студенти висша математикатрябва да се знае, че количеството на определен степенни редове, принадлежащ на интервала на сходимост на дадения ни ред, се оказва непрекъснат и неограничен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: може ли да се каже, че даденото произволна функция f(x) е сумата от някои степенни редове? Тоест при какви условия може да се изобрази функцията f(x)? степенни редове? Важността на този въпрос се крие във факта, че е възможно приблизително да се замени функцията f(x) със сумата от първите няколко членове на степенен ред, тоест полином. Тази подмяна на функция е доста прост израз- полином - удобен е и при решаване на определени задачи, а именно: при решаване на интеграли, при пресмятане и др.
Доказано е, че за определена функция f(x), в която е възможно да се изчислят производни до (n+1)-ти ред, включително последния, в близост до (α - R; x 0 + R ) някаква точка x = α, вярно е, че формулата:
Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Серията, която се получава от предишната, се нарича серия на Маклорен:
Правилото, което прави възможно извършването на разширение в серия Maclaurin:
- Определете производните на първи, втори, трети... ред.
- Изчислете на какво са равни производните при x=0.
- Запишете реда на Maclaurin за тази функция и след това определете интервала на нейната конвергенция.
- Определете интервала (-R;R), където е остатъкът от формулата на Маклорен
R n (x) -> 0 при n -> безкрайност. Ако такъв съществува, функцията f(x) в него трябва да съвпада със сумата от реда на Маклорен.
Нека сега разгледаме сериите Maclaurin за отделни функции.
1. И така, първото ще бъде f(x) = e x. Разбира се, по своите характеристики, такава функция има производни от много различни порядъци и f (k) (x) = e x, където k е равно на всички. Получаваме f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Въз основа на горното, серията e x ще изглежда така:
2. Ред на Маклорен за функцията f(x) = sin x. Нека незабавно да изясним, че функцията за всички неизвестни ще има производни, освен това f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), където k е равно на всяко естествено число. Тоест, след като направихме прости изчисления, можем да стигнем до извода, че серията за f(x) = sin x ще бъде със следната форма:
3. Сега нека се опитаме да разгледаме функцията f(x) = cos x. За всички неизвестни има производни от произволен ред и |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
И така, ние изброихме най-важните функции, които могат да бъдат разширени в серия Маклорен, но те са допълнени от серия Тейлър за някои функции. Сега ще ги изброим. Също така си струва да се отбележи, че редовете на Тейлър и Маклорен са важна част от практическата работа по решаване на редове във висшата математика. И така, серия Тейлър.
1. Първият ще бъде редът за функцията f(x) = ln(1+x). Както в предишните примери, за даденото f(x) = ln(1+x) можем да добавим серията, използвайки общата форма на серията на Маклорен. но за тази функция серията Maclaurin може да се получи много по-лесно. След като интегрирахме определена геометрична серия, получаваме серия за f(x) = ln(1+x) от такава извадка:
2. И втората, която ще бъде последна в нашата статия, ще бъде серията за f(x) = arctan x. За x, принадлежащ на интервала [-1;1], разширението е валидно:
Това е всичко. Тази статия разглежда най-използваните серии на Тейлър и Маклорен във висшата математика, по-специално в икономическите и техническите университети.
Ако функцията f(x)има на някакъв интервал, съдържащ точката А, производни на всички поръчки, тогава формулата на Тейлър може да се приложи към него:
Където r n– така нареченият остатъчен член или остатък от серията, той може да бъде оценен с помощта на формулата на Лагранж:
, където числото x е между хИ А.
Ако за някаква стойност x r n®0 при н®¥, тогава в границата формулата на Тейлър се превръща в конвергентна формула за тази стойност Серия Тейлър:
Така че функцията f(x)може да се разшири в серия на Тейлър във въпросната точка х, ако:
1) има производни от всички поръчки;
2) построеният ред се събира в тази точка.
При А=0 получаваме серия, наречена близо до Маклорен:
Пример 1 f(x)= 2х.
Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0
f(x) = 2х, е( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2х ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2хв 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2хвътре н 2, f(n)( 0) = 2 0 вътре н 2=в н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:
Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, следователно това разширение е валидно за -¥<х<+¥.
Пример 2 х+4) за функция f(x)=д х.
Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.
f(x)= д х, е(-4) = д -4 ;
f¢(x)= д х, f¢(-4) = д -4 ;
f¢¢(x)= д х, f¢¢(-4) = д -4 ;
f(n)(x)= д х, f(n)( -4) = д -4 .
Следователно търсеният ред на Тейлър на функцията има формата:
Това разширяване е валидно и за -¥<х<+¥.
Пример 3 . Разширяване на функция f(x)=вн хв серия от мощности ( Х- 1),
(т.е. в серията на Тейлър в близост до точката х=1).
Решение. Намерете производните на тази функция.
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:
Използвайки теста на д'Аламбер, можете да проверите дали редът се събира, когато
½ Х- 1½<1. Действительно,
Редът се събира, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на критерия на Лайбниц. При х=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).
Нека представим получените по този начин разширения в редицата на Маклорен (т.е. в близост до точката х=0) за някои елементарни функции:
(2) 
,
(3) 
,
(се нарича последното разлагане биномен ред)
Пример 4 . Разгънете функцията в степенен ред
Решение. В разширението (1) заместваме хНа - х 2, получаваме:
Пример 5
. Разширете функцията в серия Maclaurin 
Решение. Ние имаме 
Използвайки формула (4), можем да запишем:
замествайки вместо това хвъв формулата -Х, получаваме:
От тук намираме:
Отваряйки скобите, пренареждайки термините на поредицата и привеждайки подобни термини, получаваме
Този ред се събира в интервала
(-1;1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се събира в този интервал.
Коментирайте .
Формули (1)-(5) могат също да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1)-(5), в която вместо хструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да направите промяна на променлива T=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.
Този метод илюстрира теоремата за уникалността на разширение в степенен ред на функция. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширение.
Пример 6 . Разгънете функцията в ред на Тейлър в околност на точка х=3.
Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която трябва да намерим производните на функцията и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да използвате съществуващото разширение (5):
Полученият ред се събира при 
или –3<х- 3<3, 0<х< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Пример 7
. Напишете реда на Тейлър в степени ( х-1) функции 
.
Решение.
Поредицата се сближава в 
, или 2< х£5.
16.1. Развиване на елементарни функции в редове на Тейлър и
Маклорен
Нека покажем, че ако произволна функция е дефинирана върху множество 
, в близост до пункта 
има много производни и е сумата от степенен ред:
тогава можете да намерите коефициентите на тази серия.
Нека заместим в степенен ред 
. Тогава 
.
Нека намерим първата производна на функцията 
:
При 
:
.
За втората производна получаваме:
При 
:
.
Продължаване на тази процедура нслед като получим: 
.
Така получихме степенен ред от вида:
,
което се нарича до Тейлърза функция 
в близост до точката 
.
Специален случай на серията Тейлър е Серия Maclaurinпри 
:
Останалата част от серията на Тейлър (Маклорен) се получава чрез изхвърляне на основната серия нпърви членове и се означава като 
. След това функцията 
може да се запише като сума нпървите членове на поредицата 
и остатъка 
:,
.
Остатъкът обикновено е 
изразени в различни формули.
Един от тях е във форма на Лагранж:
, Където 
.
.
Имайте предвид, че на практика серията Maclaurin се използва по-често. По този начин, за да напишем функцията 
под формата на сума от степенни редове е необходимо:
1) намерете коефициентите на серията Maclaurin (Taylor);
2) намерете областта на конвергенция на получената степенна серия;
3) докажете, че този ред сходен към функцията 
.
Теорема1
(необходимо и достатъчно условие за сходимост на реда на Маклорен). Нека радиусът на сходимост на серията 
. За да се сближи този ред в интервала 
да функционира 
е необходимо и достатъчно, за да е изпълнено условието: 
в посочения интервал.
Теорема 2.Ако производни от произволен ред на функцията 
в някакъв интервал 
ограничени по абсолютна стойност до същото число М, това е 
, то в този интервал функцията 
може да се разшири в серия Maclaurin.
Пример1
.
Разгънете в серия на Тейлър около точката 
функция.
Решение.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Област на конвергенция 
.
Пример2
.
Разширяване на функция 
в серия на Тейлър около точка 
.
Решение:
Намерете стойността на функцията и нейните производни при 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Нека поставим тези стойности в ред. Получаваме:
или 
.
Нека намерим областта на сходимост на тази серия. Според теста на д'Аламбер редица се събира, ако
.
Следователно, за всяка 
тази граница е по-малка от 1 и следователно диапазонът на сходимост на серията ще бъде: 
.
Нека разгледаме няколко примера за разширение в редица на Маклорен на основни елементарни функции. Спомнете си, че серията Maclaurin:
.
се сближава на интервала 
да функционира 
.
Имайте предвид, че за разширяване на функция в серия е необходимо:
а) намерете коефициентите на реда на Maclaurin за тази функция;
б) изчисляване на радиуса на конвергенция за получената серия;
в) докажете, че полученият ред сходен към функцията 
.
Пример 3.Помислете за функцията 
.
Решение.
Нека изчислим стойността на функцията и нейните производни при 
.
Тогава числените коефициенти на редицата имат формата:
за всеки н.Нека заместим намерените коефициенти в реда на Maclaurin и получаваме: 
Нека намерим радиуса на сходимост на получената серия, а именно:
.
Следователно редът се събира на интервала 
.
Този ред се сближава към функцията 
за всякакви стойности 
, защото на всеки интервал 
функция 
и неговите производни по абсолютна стойност са ограничени от число 
.
Пример4
.
Помислете за функцията 
.
Решение.
:
Лесно се вижда, че производните от четен ред 
, а производните са от нечетен ред. Нека заместим намерените коефициенти в серията Maclaurin и получим разширението:
Нека намерим интервала на сходимост на този ред. Според знака на д'Аламбер:
за всеки 
. Следователно редът се събира на интервала 
.
Този ред се сближава към функцията 
, защото всички негови производни са ограничени до единица.
Пример5
.
.
Решение.
Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при 
:
По този начин коефициентите на тази серия: 
И 
, следователно:
Подобно на предишния ред, зоната на конвергенция 
. Редът се събира към функцията 
, защото всички негови производни са ограничени до единица.
Моля, имайте предвид, че функцията 
разширение на нечетни и редове в нечетни степени, функция 
– четно и разширяване в редица в четни степени.
Пример6
.
Биномиална серия: 
.
Решение.
Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при 
:
От това се вижда, че:
Нека заместим тези стойности на коефициента в серията Maclaurin и да получим разширяването на тази функция в степенна серия:
Нека намерим радиуса на сходимост на този ред:
Следователно редът се събира на интервала 
. В граничните точки при 
И 
една серия може или не може да се сближи в зависимост от експонентата 
.
Изследваният ред се събира на интервала 
да функционира 
, тоест сумата от серията 
при 
.
Пример7
.
Нека разширим функцията в серията Maclaurin 
.
Решение.
За да разширим тази функция в серия, използваме биномната серия при 
. Получаваме: 
Въз основа на свойството на степенните редове (степенен ред може да бъде интегриран в областта на неговата конвергенция), намираме интеграла на лявата и дясната страна на този ред:
Нека намерим областта на конвергенция на тази серия: 
,
т.е. зоната на сближаване на тази серия е интервалът 
. Нека определим сходимостта на редицата в краищата на интервала. При 
. Тази серия е хармонична серия, тоест тя се разминава. При 
получаваме числова серия с общ член 
.
Серията се сближава според теста на Лайбниц. По този начин областта на конвергенция на тази серия е интервалът 
.
16.2. Приложение на степенни редове при приближени изчисления
При приблизителните изчисления степенните редове играят изключително важна роля. С тяхна помощ са съставени таблици на тригонометрични функции, таблици на логаритми, таблици на стойности на други функции, които се използват в различни области на знанието, например в теорията на вероятностите и математическата статистика. В допълнение, разширяването на функциите в степенен ред е полезно за тяхното теоретично изследване. Основният проблем при използване на степенни редове в приблизителни изчисления е въпросът за оценката на грешката при заместване на сумата на серия със сумата на първата нчленове.
Нека разгледаме два случая:
функцията се разширява в серия с редуващи се знаци;
функцията се разширява в серия с постоянен знак.
Изчисление с помощта на редуващи се серии
Нека функцията 
разширена в променлива степенна серия. След това при изчисляване на тази функция за конкретна стойност 
получаваме числова серия, към която можем да приложим критерия на Лайбниц. В съответствие с този критерий, ако сумата на серия се замени със сумата на първата нтермини, тогава абсолютната грешка не надвишава първия член от остатъка от тази серия, тоест: 
.
Пример8
.
Изчисли 
с точност до 0,0001.
Решение.
Ще използваме серията Maclaurin за 
, замествайки стойността на ъгъла в радиани:
Ако сравним първия и втория член на реда с дадена точност, тогава: .
Трети срок на разширение:
по-малка от определената точност на изчисление. Следователно, за да се изчисли 
достатъчно е да оставите два термина от поредицата, т.е
.
По този начин 
.
Пример9
.
Изчисли 
с точност до 0,001.
Решение.
Ще използваме формулата на биномен ред. За да направите това, нека напишем 
като: 
.
В този израз 
,
Нека сравним всеки от членовете на серията с посочената точност. Това е ясно 
. Следователно, за да се изчисли 
достатъчно е да оставите три термина от поредицата.
или 
.
Изчисление с използване на положителни серии
Пример10
.
Изчислете числото 
с точност до 0,001.
Решение.
В ред за функция 
да заместим 
. Получаваме:
Нека оценим грешката, която възниква при замяна на сумата на редица със сумата на първата 
членове. Нека запишем очевидното неравенство:
това е 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Според проблема трябва да намерите нтака че е в сила следното неравенство: 
или 
.
Лесно е да проверите кога н= 6:
.
следователно 
.
Пример11
.
Изчисли 
с точност до 0,0001.
Решение.
Имайте предвид, че за изчисляване на логаритми можем да използваме серия за функцията 
, но този ред се сближава много бавно и за постигане на дадената точност ще е необходимо да се вземат 9999 члена! Следователно, за изчисляване на логаритми, като правило, се използва серия за функцията 
, който се събира на интервала 
.
Нека изчислим 
използвайки тази серия. Позволявам 
, Тогава 
.
следователно 
,
За да се изчисли 
с определена точност вземете сумата от първите четири члена: 
.
Останалата част от поредицата 
нека го изхвърлим. Нека оценим грешката. Това е очевидно 
или 
.
По този начин в серията, която беше използвана за изчислението, беше достатъчно да се вземат само първите четири члена вместо 9999 в серията за функцията 
.
Въпроси за самодиагностика
1. Какво е серия на Тейлър?
2. каква форма имаше серията Maclaurin?
3. Формулирайте теорема за разлагането на функция в ред на Тейлър.
4. Запишете разширението на серията Maclaurin на основните функции.
5. Посочете областите на сходимост на разглежданите редове.
6. Как да оценим грешката в приблизителните изчисления с помощта на степенни редове?
Ако функцията f(x) има производни от всички порядъци на определен интервал, съдържащ точка a, тогава към нея може да се приложи формулата на Тейлър:
,
Където r n– така нареченият остатъчен член или остатък от серията, той може да бъде оценен с помощта на формулата на Лагранж:
, където числото x е между x и a.
Правила за въвеждане на функции:
Ако за някаква стойност х r n→0 при н→∞, тогава в границата формулата на Тейлър става сходяща за тази стойност Серия Тейлър:
,
По този начин функцията f(x) може да бъде разширена в серия на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни от всички поръчки;
2) построеният ред се събира в тази точка.
Когато a = 0, получаваме серия, наречена близо до Маклорен:
,
Разширение на най-простите (елементарни) функции в серията Maclaurin:
Експоненциални функции
, R=∞
Тригонометрични функции 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява по степени на x, защото ctg0=∞
Хиперболични функции
Логаритмични функции
, -1
Биномни редове
.
Пример №1. Разгънете функцията в степенен ред f(x)= 2х.
Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0
f(x) = 2х, е( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2х ln2, е"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2хв 2 2, е""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2хвътре н 2, f(n)( 0)
= 2 0
вътре н 2=в н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:
Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, следователно това разширение е валидно за -∞<х<+∞.
Пример №2. Напишете реда на Тейлър в степени ( х+4) за функция f(x)=д х.
Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.
f(x)= д х, е(-4)
= д -4
;
f"(x)= д х, е"(-4)
= д -4
;
f""(x)= д х, е""(-4)
= д -4
;
…
f(n)(x)= д х, f(n)( -4)
= д -4
.
Следователно търсеният ред на Тейлър на функцията има формата:
Това разширение е валидно и за -∞<х<+∞.
Пример №3. Разширяване на функция f(x)=вн хв серия от мощности ( Х- 1),
(т.е. в серията на Тейлър в близост до точката х=1).
Решение. Намерете производните на тази функция.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:
Използвайки теста на d'Alembert, можете да проверите, че редът се събира при ½x-1½<1 . Действительно,
Редът се събира, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на критерия на Лайбниц. Когато x=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).
Пример №4. Разгънете функцията в степенен ред. Пример №5. Разширете функцията в серия Maclaurin. Коментирайте
.
Този метод се основава на теоремата за уникалността на разлагането на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширение. Пример № 5а. Разгънете функцията в редица на Маклорен и посочете областта на конвергенция. Дробта 3/(1-3x) може да се разглежда като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример №6. Разгънете функцията в редица на Тейлър в близост до точката x = 3. Пример № 7. Напишете реда на Тейлър по степени (x -1) на функцията ln(x+2) . Пример № 8. Разгънете функцията f(x)=sin(πx/4) в редица на Тейлър в близост до точката x =2. Пример №1. Изчислете ln(3) с точност до 0,01. Пример №2. Изчислете с точност до 0,0001. Пример №3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x с точност до 10 -5 . Пример №4. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001.
Решение. В разширението (1) заместваме x с -x 2, получаваме:
, -∞
Решение. Ние имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:
замествайки –x вместо x във формулата, получаваме:
От тук намираме: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Отваряйки скобите, пренареждайки термините на поредицата и привеждайки подобни термини, получаваме
. Този ред се събира в интервала (-1;1), тъй като се получава от два реда, всеки от които се събира в този интервал.
Формули (1)-(5) могат също да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1)-(5), в която вместо хструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да направите промяна на променлива T=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.
Решение. Първо намираме 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
до елементарно:
с област на конвергенция |x|< 1/3.
Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която трябва да намерим производните на функцията и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да използвате съществуващото разширение (5):
=
Полученият ред се събира при или –3
Решение.
Серията се събира при , или -2< x < 5.
Решение. Нека направим замяната t=x-2:
Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t на мястото на x, получаваме:
Полученият ред се събира към дадената функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приблизителни изчисления с помощта на степенни редове
Степеновите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ можете да изчислите стойностите на корени, тригонометрични функции, логаритми на числа и определени интеграли с определена точност. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.
Помислете за разширяването на функция в степенен ред:
За да се изчисли приблизителната стойност на функция в дадена точка х, принадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първите са оставени в неговото разширение нчленове ( н– краен брой), а останалите членове се изхвърлят:
За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък rn (x) . За да направите това, използвайте следните техники:
Решение. Нека използваме разширението, където x=1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):
Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението, за да направим това, ще го оценим, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:
Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим
Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5. 
тъй като вече четвъртият член на получената редуваща се серия, удовлетворяваща критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:
, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на първоизводната, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антипроизводно да е възможно, но е ненужно трудоемко. Въпреки това, ако функцията интегранд се разшири в степенен ред и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.
Решение. Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. представлява „непостоянен интеграл“. Тук не може да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.
Разделяне на термин по термин на серията за грях хНа х, получаваме: 
Интегрирайки този ред термин по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:
Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме 
.
Решение.
. Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.