Документ

20? в колко веднъжкилометър повечемилиметри? ... двеконтейнер с вместимост 3 и 5 литра, събират 4 литра вода? 7) Дан ... радиус) 78. Твърдението, което трябва да се докаже (теорема) 79. Най по-малък... кръгъл компас Обемедна... разграничителна граница топкасфера Независима...

Загадки, свързани с физическите явления в природата

Документ

Трябва да двеснаряд; двеединична палуба... в колко веднъжквадрат голямбутало повече... с център ( радиус) Маса 1 ... за да получите числото повече 2 и по-малко 3? (запетая) ... обем) Множеството от точки на равнината, еднакво отдалечени от дадено..., надуваеми топка, хартиена кутия...

Кух топка(външен радиус R1, вътрешен R2), изработен от...

Документ

Според тези данниКонстанта на Болцман 604 28064 604 28064 двееднакви цилиндри са свързани... . 909 317032 в колко веднъженергия на заряд, разпределен равномерно по повърхността топкас радиус , повече(или по-малко) енергия...

Методическа разработка за организиране на самостоятелна работа по дисциплината „Математика“

Методическа разработка

... топка. колкопроцент от загубения материал? 8. Ако радиуситри топкиса свързани като 1: 2: 3, тогава обем повече топкана три пъти повечесуми обеми по-малък топки ...

Изчислително-графична задача No1

Документ

... радиус R = 10 cm спрямо оста, допирателна към пръстена. 3. в колко веднъжрелативистка протонна маса повече...описано около даденошестоъгълник. 4. Топка... в точката на пресичане на височини. 8. две топкамаси m и 2m (m... почти 10 веднъж по-малкоотколкото...

Комбинаторни задачи

1 . Катя, Маша и Ира играят с топка. Всеки от тях трябва да хвърли топката към всеки приятел по веднъж. Колко пъти всяко момиче трябва да хвърли топката? Колко пъти ще бъде хвърлена топката? Определете колко пъти ще бъде хвърлена топката, ако в играта участват: четири деца; пет деца.

2 . Дадени са три фасади и два покрива с еднаква форма, но боядисани в различни цветове: фасадите са жълто, синьо и червено, а покривите са синьо и червено. Какви къщи могат да се строят? Колко комбинации има общо?

3 . Дадени са три фасади на къщи с еднаква форма: синьо, жълто и червено - и три покрива: син, жълт и червен. Какви къщи могат да се строят? Колко комбинации има общо?

4 . Дизайните на знамената могат да бъдат под формата на кръг, квадрат, триъгълник или звезда и могат да бъдат оцветени в зелено или червено. Колко различни знамена може да има?

5. В училищната столова се приготвяха месо, котлети и риба за обяд като второ ястие. За десерт - сладолед, плодове и пай. Можете да изберете едно основно ястие и един десерт. Колко различни опции за обяд има?

6. В училищната столова за обяд приготвиха супа с месо и вегетарианска супа като първи ястия, месо, котлети и риба за второ ястие и сладолед, плодове и пай за десерт. Колко различни опции има за тристепенно хранене?

7. По колко начина могат да се настанят трима ученика в редица на столове? Запишете всички възможни случаи.

8 . По колко начина могат да се наредят четирима (петима) души?

9 . Три пътеки се изкачват на хълма от различни страни и се събират на върха. Създайте множество маршрути за изкачване и слизане по хълма. Решете същия проблем, ако трябва да се качвате и слизате по различни пътеки.

10 . От Акулово до Рибница водят три пътя, а от Рибница до Китово - четири. По колко начина можете да пътувате от Акулово до Китово през Рибница?

11 . Сричката се нарича отворена, ако започва със съгласна и завършва с гласна. Колко отворени двубуквени срички могат да бъдат написани с буквите „а“, „б“, „в“, „г“, „е“, „и“, „о“? Запишете тези срички.

12. Колко различни костюма могат да се направят от една блуза и една пола, ако има 4 блузи и 4 поли?

13. Когато Петя ходи на училище, понякога се среща с един или повече от приятелите си: Вася, Леня, Толя. Избройте всички възможни случаи, които могат да възникнат.

14 . Запишете всички възможни двуцифрени числа, като използвате числата 7 и 4.

15 . Миша планира да купи: молив, линийка, бележник и тетрадка. Днес той купи само два различни артикула. Какво би могъл да купи Миша, ако приемем, че в магазина имаше всички образователни пособия, от които се нуждаеше?

16 . Четиримата си подадоха ръце.

17 Колко ръкостискания имаше общо?

18 . Колко са двуцифрените числа, които не съдържат цифрата 0?

19 . Запишете всички възможни трицифрени числа, които могат да бъдат съставени от числата 1 и 2.

20 . Запишете всички възможни четни трицифрени числа, съставени от цифри 1 и 2.

21 . Запишете всички възможни двуцифрени числа, които използват числата 2, 8 и 5.

22 . Колко различни двуцифрени числа има, всичките чиито цифри са нечетни?

23 . Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 2, 4, 6, ако нито една цифра не се използва повече от веднъж? Колко от тези числа ще бъдат четни? Колко странни?

24 . В колата има пет места. По колко начина могат да се качат петима души в тази кола, ако само двама от тях могат да заемат шофьорското място?

25. В класната стая има 5 единични бюра. По колко начина могат да седнат на тях двама (трима) новодошли ученици?

26 . Спомнете си баснята на И. Крилов „Квартет“:

Палавата маймуна, магарето, козата и клисната мечка започнаха да играят квартет. Те удрят лъковете, бият се, но няма смисъл. „Спрете, братя, спрете! - вика Маймуна. - Чакай! Как трябва да върви музиката? Не седи така.“ По колко различни начина тези музиканти могат да се опитат да седнат? Може ли това да подобри качеството на тяхната игра?

27 . Момчетата и момичетата са настанени в редица на последователни места, като момчетата седят на нечетни места, а момичетата на четни места. По колко начина може да стане това, ако:

а) 3 момчета и 3 момичета са настанени на 6 места;

б) На 10 места са настанени 5 момчета и 5 момичета?

28 . На празна дъска за пулове трябва да поставите два пула - черен и бял. Колко различни позиции могат да заемат на дъската?

29. Нека номерът на автомобила се състои от две букви, последвани от две цифри, например AB-53. Колко различни числа можете да направите, ако използвате 5 букви и 6 цифри?

30 . Номерът на автомобила се състои от три букви и четири цифри. Колко различни регистрационни номера има (три букви са взети от 29-те букви на руската азбука)?

31 . Да кажем, че трябва да отидете до библиотеката, спестовната каса, пощата и да поправите обувките си. За да изберете най-краткия маршрут, трябва да разгледате всички възможни варианти. Колко възможни маршрута има, ако библиотеката, спестовната каса, пощата и обущарницата са далеч една от друга?

32. Да кажем, че трябва да отидете до библиотеката, спестовната каса, пощата и да поправите обувките си. За да изберете най-краткия маршрут, трябва да разгледате всички възможни варианти. Колко разумни маршрута има, ако библиотеката и пощата са наблизо, но са на голямо разстояние от спестовната каса и обущарницата, които са далеч една от друга?

33. Между пътниците, пътуващи във вагона, имаше оживена дискусия за четири списания. Оказа се, че всеки е абониран за две списания, като всяка от възможните комбинации от две списания е абонирана от един човек. Колко души бяха в тази група?

34 . Има пет кубчета, които се различават едно от друго само по цвят: 2 червени, 1 бяло и 2 черни. Има две кутии A и B, като A съдържа 2 кубчета, а B съдържа 3. По колко различни начина могат да бъдат поставени тези кубчета в кутии A и B?

35. За да донесе подмладяващи ябълки на царя-баща, Иван Царевич трябва да намери единствения истински път към вълшебната градина. Иван Царевич срещна стар гарван на разклона на три пътя и ето какъв съвет чу от него:

1) вървете сега по правилния път;

2) на следващото разклонение не поемате по правилния път;

3) на третото разклонение не поемайте по лявата пътека.

Един гълъб, прелитащ покрай него, прошепна на Иван Царевич, че само един съвет на гарвана е правилен и че е наложително да се следват пътища в различни посоки. Нашият герой изпълни задачата и се озова в магическа градина. По какъв маршрут е тръгнал?

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните стени са равни правоъгълници

Странично ребро- е общата страна на две съседни странични лица

Височина на призмата- това е сегмент, перпендикулярен на основите на призмата

Диагонал на призмата- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и нейните странични ръбове

Диагонално сечение- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)- това е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на нейните странични ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са обозначени със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични лица AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сумата от площите на всички странични стени на призмата
• Обща повърхност - сумата от площите на всички основи и странични лица (сума от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.
• Диагонал B 1 D
• Диагонал на основата BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2.

Свойства на правилната четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страничните лица са правоъгълници
• Страничните ръбове са равни един на друг
• Страничните лица са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни едно на друго и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ребра и успоредно на основите
• Ъгли на перпендикулярно сечение - прави
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикуляр (ортогонално сечение), успореден на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

При решаване на проблеми по темата " правилна четириъгълна призма“ означава, че:

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат. (вижте свойствата на правилната четириъгълна призма по-горе) Забележка. Това е част от урок със задачи по геометрия (раздел стереометрия - призма). Ето проблеми, които са трудни за решаване. Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. За да се обозначи действието за извличане на корен квадратен при решаване на задачи, се използва символът√ .

Задача.

В правилна четириъгълна призма площта на основата е 144 cm 2, а височината е 14 cm. Намерете диагонала на призмата и общата повърхност.

Решение.
Правилен четириъгълник е квадрат.
Съответно страната на основата ще бъде равна

√144 = 12 см.
От където ще бъде равен диагоналът на основата на правилна правоъгълна призма
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагоналът на правилната призма образува правоъгълен триъгълник с диагонала на основата и височината на призмата. Съответно, според теоремата на Питагор, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

отговор: 22 см

Задача

Определете общата повърхност на правилна четириъгълна призма, ако нейният диагонал е 5 cm, а диагоналът на страничната й страна е 4 cm.

Решение.
Тъй като основата на правилната четириъгълна призма е квадрат, ние намираме страната на основата (означена като a), използвайки Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Тогава височината на страничната повърхност (означена като h) ще бъде равна на:

Н 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Общата повърхност ще бъде равна на сумата от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Тип работа: 8
Тема: Призма

Състояние

В правилна триъгълна призма ABCA_1B_1C_1 страните на основата са 4, а страничните ръбове са 10. Намерете площта на напречното сечение на призмата от равнината, минаваща през средните точки на ръбовете AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Покажи решение

Решение

Помислете за следната фигура.

Следователно отсечката MN е средната линия на триъгълник A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2.по същия начин, KL=\frac12BC=2.Освен това MK = NL = 10. От това следва, че четириъгълникът MNLK е успоредник. Тъй като MK\parallel AA_1, тогава MK\perp ABC и MK\perp KL. Следователно четириъгълникът MNLK е правоъгълник. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 20.

10\cdot 2 =

Тип работа: 8
Тема: Призма

Състояние

отговор

Покажи решение

Решение

Обемът на правилна четириъгълна призма ABCDA_1B_1C_1D_1 е 24 . Точка K е средата на ръба CC_1. Намерете обема на пирамидата KBCD.

Според условието KC е височината на пирамидата KBCD. CC_1 е височината на призмата ABCDA_1B_1C_1D_1. Тъй като K е средата на CC_1, тогава KC=\frac12CC_1. Тогава нека CC_1=H KC=\frac12H . Обърнете внимание и на това S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). тогава, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). следователно

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Тип работа: 8
Тема: Призма

Състояние

Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Покажи решение

Решение

Намерете площта на страничната повърхност на правилна шестоъгълна призма, чиято основна страна е 6, а височината е 8. · Площта на страничната повърхност на призмата се намира по формулата S страна. = P основно

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Тип работа: 8
Тема: Призма

Състояние

h = 6a\cdot h, където P основно. и h са съответно периметърът на основата и височината на призмата, равна на 8, а a е страната на правилен шестоъгълник, равна на 6. Следователно, S страна. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Покажи решение

Решение

Водата се налива в съд с форма на правилна триъгълна призма. Нивото на водата достига 40 см. На каква височина ще бъде нивото на водата, ако се налее в друг съд със същата форма, чиято страна на основата е два пъти по-голяма от първата? Изразете отговора си в сантиметри. Нека a е страната на основата на първия съд, тогава 2 a е страната на основата на втория съд. По условие обемът на течността V в първия и втория съд е еднакъв. Нека означим с Н нивото, до което се е повишила течността във втория съд. Тогава V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40=\frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, и, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Оттук \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Тип работа: 8
Тема: Призма

Състояние

В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 всички ръбове са равни на 2. Намерете разстоянието между точки A и E_1.

Покажи решение

Решение

Триъгълник AEE_1 е правоъгълен, тъй като ръбът EE_1 е перпендикулярен на равнината на основата на призмата, ъгъл AEE_1 ще бъде прав ъгъл.

Тогава, по Питагоровата теорема, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Нека намерим AE от триъгълник AFE, използвайки косинусовата теорема. Всеки вътрешен ъгъл на правилен шестоъгълник е 120^(\circ). Тогава AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\наляво (-\frac12 \надясно).

Следователно AE^2=4+4+4=12,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Тип работа: 8
Тема: Призма

Състояние

AE_1^2=12+4=16, AE_1=4.Намерете страничната повърхност на права призма, в основата на която лежи ромб с диагонали, равни на

Покажи решение

Решение

4\sqrt5 · и 8, и страничен ръб, равен на 5.

Площта на страничната повърхност на права призма се намира по формулата S страна. = P основно

h = 4a\cdot h, където P основно. и h, съответно периметърът на основата и височината на призмата, равна на 5, а a е страната на ромба. Нека намерим страната на ромба, като използваме факта, че диагоналите на ромба ABCD са взаимно перпендикулярни и се разделят на две от точката на пресичане.

Правилото за добавяне се използва, ако имаме две или повече множества, които са по двойки несвързани, тоест нямат общи елементи. И трябва да намерим колко елемента се съдържат в обединението на тези множества. В този случай събираме броя на елементите във всеки комплект. Най-простият пример: ако имаме две кошници с плодове: едната съдържа 5 ябълки, а другата съдържа 7 круши. Ако изсипем тези плодове в една кошница (комбинираме комплектите), то новата кошница ще съдържа 5+7=12 плода.

Правило за умножение

Правилото за умножение се използва, когато имаме две множества и съставяме всички възможни двойки от елементите на тези множества. Например, ако вземем комплект, състоящ се от 5 ябълки и комплект, състоящ се от 7 круши и направим всички възможни двойки от тези плодове, тогава ще получим всички възможни двойки. Наистина. Да вземем първата ябълка. Можем да сложим всяка от седемте круши върху него, тоест получаваме 7 чифта. Нека вземем втората ябълка и можем също да добавим някоя от 7-те круши към нея, получаваме още 7 чифта. И т.н. Общо е пара."

Нека едно двуцифрено число има формата , където е броят на десетиците и е броят на единиците. В този случай цифрата може да приема стойности от 1 до 9 (цифрата 0 не може да бъде на първо място, тъй като в този случай ще получим едноцифрено число), цифрата може да приема стойности от 0 до 9.

Нека , и имаме 10 варианта на числа, които могат да бъдат на второ място. Тогава имаме 10 двуцифрени числа, съдържащи 1 десетица.

След това вземаме и също получаваме 10 двуцифрени числа, които сега имат 2 десетици.

Тъй като едно число може да приема 9 различни стойности, получаваме двуцифрени числа.

Знаейки, че на първо място може да има 9 различни цифри, а на второ 10, получаваме комбинации от тези цифри, тоест всички възможни двуцифрени числа. Тук е важно да се разбере, че всяко число на първо място може да се комбинира с всяко число на второ място.

Като цяло правило за умножениезвучи така:

Ако елемент A може да бъде избран по n начина и за всеки избор на A, елемент B може да бъде избран по m начина, тогава двойката (A, B) може да бъде избрана по n m начина. Това правило се прилага за произволен брой независимо избираеми елементи.

Ако искаме да отговорим на въпроса колко трицифрени числа има, ще забележим, че в едно трицифрено число първата цифра може да приеме 9 стойности, втората - 10, а третата - 10 стойности. И получаваме трицифрени числа.

Формула за включване-изключване

се използва, ако трябва да намерим броя на елементите в обединението на две множества, ако тези множества се пресичат.

Нека множество A съдържа n елемента, множество B съдържа m елемента и пресечната точка на тези множества съдържа k елемента. Тоест, k елемента се съдържат както в множество A, така и в множество B. Тогава обединението на множествата съдържа m+n-k елемента.

Наистина, когато комбинирахме две множества, преброихме k елемента два пъти и сега трябва да ги извадим веднъж.

Броят на елементите в комплекта се обозначава с общия символ #. Тогава формулата за преброяване на броя на елементите в обединението на три множества е:

## # # # # # #

Нека да разгледаме примери за проблеми.

1. Колко трицифрени числа съдържат поне една цифра 3?

Ако проблемният въпрос съдържа думите „поне“, тогава в повечето случаи първо трябва да отговорите на противоположното твърдение.

Нека намерим колко трицифрени числа НЕ съдържат цифрата 3. В този случай първо, второ и трето място в числото може да бъде всяка цифра с изключение на 3. Тоест, първата цифра може да приеме 8 стойности, втората - 9, а третият - 9 стойности. Тогава получаваме трицифрени числа, които НЕ съдържат цифрата 3. Следователно останалите числа съдържат поне една цифра 3.

2. Колко четирицифрени числа са кратни на 5?

Знаем, че едно число се дели на 5, ако завършва на 0 или 5. Следователно в четирицифрено число последната цифра може да приема само две стойности: 0 и 5.
Първата цифра може да приеме 9 стойности, втората - 10, третата - 10 стойности, четвъртата - 2 стойности.

Тогава получаваме четирицифрени числа, които се делят на 5.

Пренареждания

Нека използваме правилото за умножение, за да отговорим на въпроса, " По колко начина могат да се подредят 7 души?".

Човекът, който стои първи в редицата, може да бъде избран по седем начина, вторият може да бъде избран от останалите шест души, тоест по шест начина. Третият, съответно, е пет. И т.н. Последният може да бъде избран само по един начин. Общо получаваме начини да образуваме 7 души в една линия.

Като цяло, ако имаме обекти, които искаме да подредим в определен ред (да ги номерираме), тогава ще получим

начини за подреждане на тези обекти.

Факториалестествено число е произведението на всички естествени числа от 1 до:

По определение 0!=1; 1!=1.

Пренарежданена обекти е всеки метод за номериране на тези обекти (метод за подреждането им в ред).

Брой пермутацииелементи е равно на .

3. Има 10 компютърни диска и 10 кутии от тях. Намерете вероятността, че ако произволно поставим дискове в кутии, ще открием това

1. Всеки диск е в отделна кутия.

2. Поне един диск не е в кутията си.

3. Два конкретни диска се разменят, а останалите са в собствените си кутии.

4. Точно един не е в кутията си, а останалите са в кутиите си.

1. Да номерираме дисковете и кутиите. Нека подредим кутиите в определена последователност. Нуждаем се от това, че ако дисковете са произволно подредени в редица, техните номера също ще бъдат разположени в същата последователност.

Има само един начин да подредим 10 числа в определена последователност, тоест имаме 1 благоприятен изход.

Можете да подредите 10 числа в произволен ред 10! начини.

Следователно вероятността всеки диск да се окаже в собствената си кутия е равна на

2. Събитие " поне един диск не е в кутията му"обратно на събитието" “, а вероятността му е равна на

3. Събитие " два конкретни диска са разменени, а останалите са в кутиите си"същото като събитието" всеки диск е в отделна кутия", има един благоприятен изход, така че вероятността за това събитие е равна на

4. Събитие " точно един не е в кутията си, а останалите са в кутиите си"е невъзможно, защото ако един диск не е в кутията си, тогава трябва да има друг, който също е в грешната кутия. Следователно вероятността за това събитие е нула.

4. Думата "МАТЕМАТИКА" беше написана върху лента от картон и лентата беше нарязана на букви. Намерете вероятността, че като поставим всички тези букви произволно в един ред, отново ще получим думата "МАТЕМАТИКА".

МАТЕМАТИКА"?

Вероятността буквата М да е на първо място е 2/10 - имаме две букви М и общо 10 букви.

Вероятността буквата А да е на второ място е 3/9 – остават ни 9 букви, от които 3 са А.

Вероятността буквата Т да е на второ място е 2/8 – остават ни 8 букви, от които 2 са Т.

Нека номерираме всички букви в думата "МАТЕМАТИКА". Нека намерим по колко начина можем да ги подредим в определен ред. В една дума има 10 букви и можем да ги подредим по 10!=3628800 различни начина.

Тъй като думата има еднакви букви, когато пренаредим тези букви, получаваме същата дума:

в думата "МАТЕМАТИКА" има 2 букви "М"; 3 букви "А"; 2 букви "T", следователно, според правилото за продукта, това ни дава начини да пренаредим тези букви, като запазим думата "MATHEMATICS".

По този начин вероятността да получите отново думата "MATH" е:

Колко буквени комбинации могат да бъдат направени от буквите на думата " МАТЕМАТИКА"?

От 10 букви на думата " МАТЕМАТИКА"можете да направите 10! буквени комбинации. Но някои от тях ще бъдат еднакви, тъй като когато пренареждаме едни и същи букви, ще получим същите комбинации от букви. Тоест в крайна сметка ще получим

буквени комбинации.

Разположения

В проблемите на теорията на вероятностите често има нужда да се определи по колко начина определен брой обекти могат да бъдат избрани и подредени в определен ред.

5. Колко различни опции има за избор на 4 кандидата от 9 специалисти, които да пътуват до 4 различни държави?

Нека използваме правилото за умножение.

За първата държава избираме от 9 специалиста, тоест имаме 9 възможности за избор. След като бъде избран специалистът за пътуването до първата страна, оставаме с 8 специалиста, а за пътуването до втората държава имаме 8 опции за избор. И така... за четвъртата държава можем да изберем кандидат от 6 специалиста.

Така имаме възможност да изберем 4 кандидата от 9 специалисти, които да пътуват до 4 различни държави.

Нека обобщим този проблем към случая на избор k кандидати от n специалисти да пътуват до k различни държави.

Като спорим по подобен начин, получаваме

опции.

Ако умножим и разделим този израз на , получаваме следната формула:

В този проблем, от набор, състоящ се от елементи, ние избрахме поръчанподмножества (редът на елементите в подмножеството беше важен за нас), състоящ се от елементи. Задачата се свеждаше до намиране на броя на тези подмножества.

Такива подредени подмножества се наричат ​​подреждане на n елемента по k.

Настаняване(от n до k) се извиква подредено подмножествоот различни елементи от някакво множество, състоящо се от различни елементи.

Брой разположения от елементи от се обозначава и намира по формулата:

Поставяния с повторения

6. Заровете се хвърлят три пъти. Колко различни комбинации от изпуснати точки ще има?

Когато хвърляме заровете за първи път, ще получим 6 различни опции: 1 точка, 2, 3... или 6. По същия начин, когато хвърляме заровете втори и трети път, също ще получим 6 различни опции. Използвайки правилото за умножение, получаваме броя на различни комбинации от три числа, като приемаме стойности от 1 до 6:

Като цяло:

Нека имаме множество, състоящо се от елементи.

Всеки поръчан комплект елементи на множество, състоящо се от елементи се нарича настаняване с повторение от елементи от . Броят на различните поставяния с повторения е равен на

Наистина. Представете си кутия с номерирани топки. Изваждаме топката, записваме нейния номер и я връщаме обратно и т.н веднъж. Колко комбинации от числа можем да получим?

Тъй като топките се връщат всеки път, всеки път, когато извадим топка от кутията, която съдържа топки, можем да получим различни числа. Според правилото за умножение, което имаме

Комбинации

Нека разгледаме задача, подобна на задача 5, но със съществена разлика.

7. Колко различни варианта има за избор на 4 кандидата от 9 специалисти?

В тази задача трябва да изберем 4 кандидата, но няма значение в какъв ред ги избираме, интересуваме се само композицията на избраните елементи, но не и реда на тяхното подреждане.

Ако се интересуваме от реда на елементите, както в задача 5, тогава бихме могли да приложим формулата, за да намерим броя на разположенията от 9 до 4:

4 различни елемента могат да бъдат подредени в определен ред 4! по различни начини. Тъй като ние неинтересуваме се от реда на елементите, броят на начините, по които можем да изберем 4 елемента, без да ги подреждаме в определен ред, е намален с 4! пъти в сравнение с предишния проблем (тъй като за този проблем различните подредби на тези елементи се считат по един начин) и получаваме

начини.

В този проблем се появява понятието комбинации.

Комбинации от n елемента, всеки от k елемента се нарича подмножества, състоящи се от k елемента на набор (множество, състоящо се от n елемента).

внимание!Една комбинация се различава от друга само по състава на избраните елементи (но не и по реда на тяхното подреждане, както при разположенията).

Брой комбинацииот пелементи от келементи е обозначен

и се намира по формулата:

Брой комбинации от пот кпоказва колко много начини можем да избираме келементи от пелементи или колко начина можем да подредим кобекти от пместа .

Лесно е да се види това

8. Кутията съдържа 8 червени молива и 4 сини. От кутията се изваждат произволно 4 молива. Каква е вероятността сред тях да има 2 червени и 2 сини?

В кутията има общо 12 молива. Нека намерим по колко начина могат да се извадят 4 молива от кутията. Тъй като не се интересуваме от реда, в който моливите се изваждат от кутията, а само от състава на моливите, това число е равно на броя на комбинациите от 12 на 4:

От 8 червени молива можете да извадите два молива начини.

От 4 сини молива можете да извадите два молива начини.

Според правилото за продукта откриваме, че има начини да извлечем 2 сини и 2 червени молива.

Следователно изискваната вероятност е:

Метод с топка и преграда

9. По колко начина могат да се подредят 10 топки в 4 кутии? Очаква се някои кутии да са празни.

Помислете за 10 топки:

Ще „поставим топките в кутии“, като поставим прегради.

Например така:

В този пример първата кутия има 3 топки, втората има 2, третата има 4 и четвъртата има 2. Чрез пренареждане на топките и преградите получаваме различни комбинации от топки в кутиите. Например, пренареждайки последната топка в първата кутия и първата вътрешна преграда, получаваме следната комбинация:

Така получаваме различен брой топки в кутиите, като комбинираме позициите на 10 топки и 3 вътрешни прегради. За да определим колко различни комбинации можем да получим, трябва да намерим броя на комбинациите от 13 до 3. (Или, еквивалентно, броя на комбинациите от 13 до 10.) Има толкова много начини да изберете 3 места за разделяне от 13 възможни позиции. Или, което е същото, 10 полета за топки.

10. Колко решения има уравнението? в неотрицателни цели числа?

Тъй като променливите могат да приемат само неотрицателни цели числа, следователно имаме 10 променливи и те могат да приемат стойностите 0, 1, 2, 3 и 4. Представете си, че имаме 10 полета (това са променливи) и трябва да фактор има 4 топки в тези кутии. Колко топки попадат в кутията е стойността на съответната променлива. Следователно, ако имаме 10 кутии, 10-1 = 9 вътрешни прегради. И 4 топки. Местата са общо 13. Трябва да поставим 4 топки на тези 13 места. Брой такива възможности:

Като цяло, ако трябва да подредим топки в кутии, получаваме комбинации от топки и вътрешна преграда. И броят на тези комбинации е равен на броя на комбинациите от .

В този проблем, с който се занимавахме комбинации с повторения.

Комбинации с повторения

Комбинации от елементи и елементи с повторения са групи, съдържащи елементи, като всеки елемент принадлежи към един от типовете.

Какво представляват комбинациите от елементи по елементи с повторения, може да се разбере с помощта на такъв мисловен експеримент. Представете си кутия с номерирани топки. Изваждаме топката, записваме нейния номер и я връщаме обратно и т.н веднъж. За разлика от поставянията с повторения, ние не се интересуваме от реда на изписаните числа, а само от техния състав. Например групите числа (1,1,2,1,3,1,2) и (1,1,1,1,2,2,3) се считат за еднакви. От колко такива групи има числа можем да получим?

В крайна сметка се интересуваме колко елемента от всеки тип (общо птипове елементи) се съдържа във всяка група (от келементи ) , и колко различни опции може да има. Тоест намираме колко цели неотрицателни решения има уравнението - задачата е подобна на задачата за разлагане птопки в ккутии

Броят на комбинациите с повторения се определя по следната формула:

По този начин броят на комбинациите с повторения е броят на начините за представяне на числото k като сбор от n члена.