В допълнение към математическото очакване и дисперсията, теорията на вероятностите използва редица числени характеристики, които отразяват определени характеристики на разпределението.
Определение. Мода Mo(X) случайна променлива X е най-вероятната му стойност(за което вероятността r gили плътност на вероятността
Ако вероятността или плътността на вероятността достигне максимум не в една, а в няколко точки, се извиква разпределението мултимодален(фиг. 3.13).
Мода мъх),при която вероятност p(или плътността на вероятността (p(x) достига глобален максимум се нарича най-вероятно значениеслучайна променлива (на фиг. 3.13 това е Mo(X) 2).
Определение. Медианата Ме(Х) на непрекъсната случайна променлива X е нейната стойност, за което
тези. вероятността случайната променлива Xще приеме стойност, по-малка от медианата кожа)или по-голямо от него, е същото и равно на 1/2. Геометрично вертикална права линия X = кожа), минаваща през точка с абциса, равна на кожа), разделя площта на фигурата йод на кривата на разпределение на две равни части (фиг. 3.14). Очевидно, в точката X = кожа)функцията на разпределение е равна на 1/2, т.е. P(Me(X))= 1/2 (фиг. 3.15).
Забележка важна собственостмедиана на случайна променлива: математическо очакване абсолютна стойносттогава отклонението на случайната величина X от постоянната стойност C е минимално, когато тази константа C е равна на медианата Me(X) = m, т.е. 
(свойството е подобно на свойството (3.10") на минималния квадрат на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване).
O Пример 3.15. Намерете модата, медианата и математическото очакване на случайна променлива X sплътност на вероятността f(x) = 3x 2 за xx.
Решение.Кривата на разпределение е показана на фиг. 3.16. Очевидно плътността на вероятността φ(x) е максимална при X= Mo(X) = 1.
Медиана кожа) = b намираме от условие (3.28):
където 
Нека изчислим математическото очакване по формула (3.25):
Взаимно подреждане на точките M(X)>Me(X) И мъх) във възходящ ред на абсцисата е показано на фиг. 3.16. ?
Заедно с цифровите характеристики, отбелязани по-горе, концепцията за квантили и процентни точки се използва за описание на случайна променлива.
Определение. Квантилно ниво y-квантил )
тази стойност x q на случайна променлива се нарича , при което неговата функция на разпределение приема стойност равна на d, т.е.
Някои квантили са получили специално име. Очевидно горното въведено медиана случайна променлива е квантил от ниво 0,5, т.е. Me(X) = x 05. Квантилите dg 0 2 5 и x 075 бяха наименувани съответно по-ниска И горен квартилK
Тясно свързано с понятието квантил е понятието процентен пункт.Под YuOuHo-noy точка
се подразбира квантил x x (( ,
тези. такава стойност на случайна променлива X,
при което 
0 Пример 3.16. Въз основа на данните в пример 3.15 намерете квантила x 03 и 30% точка на случайната променлива X.
Решение. Съгласно формула (3.23), функцията на разпределение
Намираме квантила 0 s от уравнение (3.29), т.е. x $3 =0,3, откъдето L "oz -0,67. Нека намерим 30% точка на случайната променлива X, или квантил x 0 7, от ур. x $ 7 = 0,7, от където x 0 7 «0,89. ?
Сред числените характеристики на случайна величина специално значениеимат моменти – начален и централен.
Определение. Началният моментK-тият ред на случайна променлива X се нарича математическо очакване та степентази стойност :
Определение. Централен моментk-тият ред на случайна променлива X е математическото очакване на k-та степен на отклонение на случайна променлива X от нейното математическо очакване:
Формули за изчисляване на моменти за дискретни случайни променливи (като се вземат стойности х 1 с вероятности p,) и непрекъснати (с плътност на вероятността cp(x)) са дадени в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Лесно се забелязва, че когато k = 1 първи начален момент на случайна величина Xе неговото математическо очакване, т.е. h x = M[X) = a,при до= 2 втори централен момент - дисперсия, т.е. p 2 = T)(X).
Централните моменти p A могат да бъдат изразени чрез началните моменти, но по формулите:
и т.н. 
Например c 3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (при извеждането взехме предвид, че А = M(X)= V, е неслучайна стойност). ?
По-горе беше отбелязано, че математическото очакване M(X),или първият начален момент, характеризира средната стойност или позиция, центърът на разпределението на случайна променлива Xна числовата ос; дисперсия ОХ),или вторият централен момент p 2, - s t s - разпределителен дисперсионен пън Xотносително M(X).За повече подробно описаниеразпределенията служат като моменти от по-високи порядки.
Трета централна точка p 3 служи за характеризиране на асиметрията (изкривеността) на разпределението. Има размерите на случаен куб. За да се получи безразмерна величина, тя се разделя на o 3, където a е средната стойност стандартно отклонениеслучайна променлива X.Получената стойност Анаречен коефициент на асиметрия на случайна променлива.
Ако разпределението е симетрично спрямо математическото очакване, тогава коефициентът на асиметрия A = 0.
На фиг. Фигура 3.17 показва две криви на разпределение: I и II. Крива I има положителна (дясна) асиметрия (L > 0), а крива II има отрицателна (лява) асиметрия (L 
Четвърта централна точка p 4 служи за характеризиране на стръмността (рязкост или плоскост) на разпределението.
Сред числовите характеристики на случайните променливи е необходимо на първо място да се отбележат тези, които характеризират позицията на случайната променлива върху числовата ос, т.е. посочете някаква средна, приблизителна стойност, около която са групирани всички възможни стойности на случайна променлива.
Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в грубо приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".
От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите жизненоважна роляиграе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайната променлива.
Нека разгледаме дискретна случайна променлива с възможни стойности с вероятности. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайна променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За тази цел е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” на стойностите, като всяка стойност при осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло”, пропорционално на вероятността на тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива, която ще обозначим с:
или предвид това,
. (5.6.1)
Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в внимание един от най-важните понятиятеория на вероятностите - концепцията за математическото очакване.
Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.
Имайте предвид, че в горната формулировка дефиницията на математическото очакване е валидна, строго погледнато, само за дискретни случайни променливи; По-долу ще обобщим тази концепция за случая на непрекъснати количества.
За да направим концепцията за математическото очакване по-ясна, нека се обърнем към механичната интерпретация на разпределението на дискретна случайна променлива. Нека на абсцисната ос има точки с абциси, в които са съсредоточени масите съответно и . Тогава, очевидно, математическото очакване, определено с формула (5.6.1), не е нищо повече от абсцисата на центъра на тежестта на дадена система от материални точки.
Математическото очакване на случайна променлива е свързано чрез особена зависимост със средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива при голям бройексперименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (конвергира по вероятност) до нейното математическо очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване.
Наистина, разгледайте дискретна случайна променлива, характеризираща се със серия на разпределение:
Къде 
.
Нека се проведат независими експерименти, във всеки от които количеството приема определена стойност. Да приемем, че стойността се появи веднъж, стойността се появи веднъж и стойността се появи веднъж. очевидно,
Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на величината, която, за разлика от математическото очакване, означаваме:
Но няма нищо повече от честотата (или статистическата вероятност) на дадено събитие; тази честота може да бъде обозначена. Тогава
,
тези. средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива е равна на сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайната променлива и честотите на тези стойности.
Тъй като броят на експериментите се увеличава, честотите ще се доближават (сближават по вероятност) до съответните вероятности. Следователно средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива ще се доближи (сближи по вероятност) до нейното математическо очакване с увеличаване на броя на експериментите.
Формулираната по-горе връзка между средното аритметично и математическото очакване съставлява съдържанието на една от формите на закона големи числа. Ще дадем строго доказателство за този закон в Глава 13.
Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. тук ние говорим завърху стабилността на средното аритметично от поредица от наблюдения на едно и също количество. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се приближава постоянна стойност– математическо очакване.
Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например при претегляне на тяло в лаборатория точни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.
Формула (5.6.1) за математическото очакване отговаря на случая на дискретна случайна величина. За непрекъсната стойностматематическото очакване естествено се изразява не като сума, а като интеграл:
, (5.6.2)
където е плътността на разпределение на количеството.
Формула (5.6.2) се получава от формула (5.6.1), ако я заменим индивидуални ценностинепрекъснато променящ се параметър x, съответните вероятности са вероятностният елемент, крайна сума– интегрална. В бъдеще често ще използваме този метод за разширяване на формулите, получени за прекъснати количества към случая на непрекъснати количества.
В механичната интерпретация математическото очакване на непрекъсната случайна променлива запазва същото значение - абсцисата на центъра на тежестта в случая, когато масата е разпределена по абсцисата непрекъснато, с плътност. Тази интерпретация често позволява да се намери математическото очакване, без да се изчислява интегралът (5.6.2), от прости механични съображения.
По-горе въведохме нотация за математическото очакване на количеството. В редица случаи, когато количеството е включено във формулите като конкретно число, е по-удобно да се обозначи с една буква. В тези случаи ще обозначим математическото очакване на стойност с:
Означенията и за математическото очакване ще се използват паралелно в бъдеще, в зависимост от удобството на конкретен запис на формулите. Нека също така се съгласим, ако е необходимо, да съкращаваме думите „математическо очакване“ с буквите m.o.
Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията – математическото очакване – не съществува за всички случайни променливи. Възможно е да се съставят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават.
Помислете, например, за прекъсната случайна променлива със серия на разпределение:
Лесно е да се провери, че т.е. серия за разпространение има смисъл; обаче сумата в в този случайсе разминава и следователно няма математическо очакване на стойността. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничена площ възможни стойностии, разбира се, има математическо очакване.
По-горе дадохме формули (5.6.1) и (5.6.2), изразяващи съответно математическото очакване за прекъсната и непрекъсната случайна променлива.
Ако количеството принадлежи на количествата смесен тип, тогава неговото математическо очакване се изразява с формула от вида:
, (5.6.3)
където сумата се простира до всички точки, в които функцията на разпределение е прекъсната, а интегралът се простира до всички области, в които функцията на разпределение е непрекъсната.
В допълнение към най-важната характеристика на позицията - математическото очакване - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайна променлива.
Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Нека се съгласим да обозначим режима с буквата . На фиг. 5.6.1 и 5.6.2 показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.
Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича „мултимодално“ (фиг. 5.6.3 и 5.6.4).
Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум (фиг. 5.6.5 и 5.6.6). Такива разпределения се наричат „антимодални“. Пример за антимодално разпределение е разпределението, получено в Пример 5, № 5.1.
IN общ случайрежимът и математическото очакване на случайна променлива не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, то то съвпада с мода и центъра на симетрия на разпределението.
Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива.
Медианата на случайна променлива е нейната стойност, за която
тези. еднакво вероятно е случайната променлива да бъде по-малка или по-голяма от . Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена наполовина (фиг. 5.6.7).
Математическо очакване. Математическо очакванедискретна случайна променлива X, домакин крайно числоценности Xiс вероятности ri, сумата се нарича:
Математическо очакваненепрекъсната случайна променлива Xсе нарича интеграл от произведението на неговите стойности Xвърху плътността на разпределението на вероятностите f(х):
(6b)
Неправилен интеграл (6 b) се приема за абсолютно конвергентен (в иначеказват, че математическото очакване М(X) не съществува). Математическото очакване характеризира средна стойностслучайна променлива X. Размерността му съвпада с размерността на случайната променлива.
Свойства на математическото очакване:
дисперсия. Дисперсияслучайна променлива Xномерът се нарича:
Дисперсията е характеристика на разсейванестойности на случайни променливи Xспрямо средната му стойност М(X). Размерността на дисперсията е равна на размерността на случайната променлива на квадрат. Въз основа на дефинициите на дисперсия (8) и математическо очакване (5) за дискретна случайна променлива и (6) за непрекъсната случайна променлива, получаваме подобни изрази за дисперсията:
(9)
тук м = М(X).
Дисперсионни свойства:
Стандартно отклонение:
(11)
Тъй като измерението на средната квадратно отклонениесъщото като това на случайна променлива, по-често се използва като мярка за дисперсия, отколкото за дисперсия.
Моменти на разпространение. Понятията математическо очакване и дисперсия са специални случаи на повече обща концепцияза числени характеристики на случайни променливи – разпределителни моменти. Моментите на разпределение на случайна величина се въвеждат като математически очаквания на някои прости функции на случайна величина. И така, редовен момент кспрямо точката X 0 се нарича математическо очакване М(X–X 0 )к. Моменти за произхода X= 0 се извикват начални моменти и са обозначени:
(12)
Началният момент на първия ред е центърът на разпределението на разглежданата случайна променлива:
(13)
Моменти за центъра на разпространение X= мсе наричат централни точкии са обозначени:
(14)
От (7) следва, че централният момент от първи ред е винаги равно на нула:
Централните моменти не зависят от произхода на стойностите на случайната променлива, тъй като при изместване с постоянна стойност СЪСнеговият разпределителен център се измества със същата стойност СЪС, а отклонението от центъра не се променя: X – м = (X – СЪС) – (м – СЪС).
Сега това е очевидно дисперсия- Това централен момент от втори ред:
Асиметрия. Централен момент от трети ред:
(17)
служи за оценка асиметрии на разпределение. Ако разпределението е симетрично спрямо точката X= м, тогава централният момент от трети ред ще бъде равен на нула (както всички централни моменти от нечетни редове). Следователно, ако централният момент от трети ред е различен от нула, тогава разпределението не може да бъде симетрично. Големината на асиметрията се оценява с помощта на безразмерна коефициент на асиметрия:
(18)
Знакът на коефициента на асиметрия (18) показва дясно- или ляво-странна асиметрия (фиг. 2).
ориз. 2. Видове асиметрия на разпределението.
Излишък. Централен момент от четвърти ред:
(19)
служи за оценка на т.нар излишък, което определя степента на стръмност (заостреност) на кривата на разпределението близо до центъра на разпределението по отношение на кривата нормално разпределение. Тъй като за нормално разпределение стойността, взета като ексцес, е:
(20)
На фиг. 3 показва примери за криви на разпределение с различни значенияизлишък. За нормално разпределение д= 0. Кривите, които са по-заострени от нормалното, имат положителен ексцес, тези с по-плосък връх имат отрицателен ексцес.
ориз. 3. Криви на разпределение с различни степенипрохлада (излишък).
Моменти от по-висок порядък в инженерните приложения математическа статистикаобикновено не се използва.
Мода
дискретнислучайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Мода непрекъснатослучайна променлива е нейната стойност, при която плътността на вероятността е максимална (фиг. 2). Ако кривата на разпределение има един максимум, тогава разпределението се нарича унимодален. Ако кривата на разпределение има повече от един максимум, тогава се извиква разпределението мултимодален. Понякога има разпределения, чиито криви имат минимум, а не максимум. Такива разпределения се наричат антимодални. В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В специалния случай, за модален, т.е. имащ режим, симетрично разпределение и при наличие на математическо очакване, последното съвпада с мода и центъра на симетрия на разпределението.
Медиана случайна променлива X- това е смисълът му мех, за които е изпълнено равенство: т.е. еднакво вероятно е случайната променлива Xще бъде по-малко или повече мех. Геометрично медианае абсцисата на точката, в която площта под кривата на разпределение е разделена наполовина (фиг. 2). В случай на симетрично модално разпределение медианата, модата и математическото очакване са еднакви.