Отсечката с права линия, свързваща средните точки на страничните страни на трапеца, се нарича средна линия на трапеца. За това как да намерите средна линиятрапец и как се свързва с други елементи на тази фигура, ще опишем по-долу.
Теорема за централната линия
Нека начертаем трапец, в който AD - по-голяма основа, BC - по-малка основа, EF - средна линия. Нека продължим основата AD отвъд точка D. Начертайте права BF и я продължете, докато се пресече с продължението на основата AD в точка O. Разгледайте триъгълниците ∆BCF и ∆DFO. Ъгли ∟BCF = ∟DFO като вертикални. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к ВС // АД. Следователно триъгълниците ∆BCF = ∆DFO. Следователно страните BF = FO.
Сега разгледайте ∆ABO и ∆EBF. ∟ABO е общ за двата триъгълника. BE/AB = ½ по условие, BF/BO = ½, тъй като ∆BCF = ∆DFO. Следователно триъгълниците ABO и EFB са подобни. Оттук и отношението на страните EF/AO = ½, както и съотношението на останалите страни.
Намираме EF = ½ AO. Чертежът показва, че AO = AD + DO. DO = BC като страни равни триъгълници, което означава AO = AD + BC. Следователно EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Тези. дължината на средната линия на трапец е равна на половината от сбора на основите.
Винаги ли средната линия на трапец е равна на половината от сбора на основите?
Да предположим, че има такъв специален случай, когато EF ≠ ½ (AD + BC). Тогава BC ≠ DO, следователно ∆BCF ≠ ∆DCF. Но това е невъзможно, тъй като те имат два равни ъгъла и страни помежду си. Следователно теоремата е вярна при всички условия.
Проблем със средната линия
Да предположим, че в нашия трапец ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, диагоналът AC е перпендикулярен на страната. Намерете средната линия на трапеца EF.
Ако ∟A = 90°, тогава ∟B = 90°, което означава, че ∆ABC е правоъгълен.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° по конвенция, следователно ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°. 
Ако в правоъгълен триъгълник ∆ABC един ъгъл е равен на 45°, то катетите в него са равни: AB = BC = 2 cm.
Хипотенуза AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.
Нека разгледаме ∆ACD. ∟ACD = 90° според условията. ∟CAD = ∟BCA = 45° като ъглите, образувани от напречната на успоредните основи на трапеца. Следователно краката AC = CD = √8.
Хипотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.
Средна линия на трапец EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.
В тази статия е направена друга селекция от задачи с трапец за вас. Условията по някакъв начин са свързани със средната му линия. Типовете задачи са взети от отворена банка типични задачи. Ако желаете, можете да освежите своя теоретични знания. В блога вече са обсъждани задачи, чиито условия са свързани, както и. Накратко за средната линия:
Средната линия на трапеца свързва средните точки на страничните страни. Тя е успоредна на основите и равна на тяхната полусума.
Преди да решим задачи, нека разгледаме един теоретичен пример.
Даден е трапец ABCD. Диагоналът AC, пресичащ се със средната линия, образува точка K, диагоналът BD образува точка L. Докажете, че отсечката KL равен на половинатабазови разлики.
Нека първо да отбележим факта, че средната линия на трапец разполовява всеки сегмент, чиито краища лежат върху основите му. Това заключение се налага от само себе си. Представете си сегмент, свързващ две точки от основите, той ще се раздели този трапецна другите двама. Оказва се, че сегментът успоредни на основитетрапец и преминавайки през средата на страната от другата страна ще премине през средата му.
Това също се основава на теоремата на Талес:
Ако на една от двете прави линии начертаем няколко равни сегментии през техните краища начертайте успоредни линии, пресичащи втората линия, след което те ще отрежат равни сегменти на втората линия.
Тоест в в такъв случай K е средата на AC и L е средата на BD. Следователно EK е средната линия триъгълник ABC, LF е средната линия на триъгълник DCB. Според свойството на средната линия на триъгълник:
Сега можем да изразим сегмента KL по отношение на бази:
Доказано!
Този пример е даден с причина. В задачите за независимо решениеима точно такава задача. Само че не се казва, че отсечката, свързваща средите на диагоналите, лежи на средната линия. Нека разгледаме задачите:
27819. Намерете средната линия на трапеца, ако основите му са 30 и 16.
Изчисляваме по формулата:
27820. Средната линия на трапеца е 28, а по-малката основа е 18. Намерете по-голямата основа на трапеца.
Нека изразим по-голямата база:
По този начин:
27836. Перпендикуляр, спуснат от върха тъп ъгълна по-голяма база равнобедрен трапец, го разделя на части с дължини 10 и 4. Намерете средната линия на този трапец.
За да намерите средната линия, трябва да знаете основите. Основата AB е лесна за намиране: 10+4=14. Да намерим DC.
Нека построим втория перпендикуляр DF:
Отсечките AF, FE и EB ще бъдат равни съответно на 4, 6 и 4. Защо?
В равнобедрен трапец перпендикуляри, спуснати към по-голямата основа, го разделят на три сегмента. Две от тях, които са с отрязани крака правоъгълни триъгълници, са равни помежду си. Третият сегмент е равен на по-малката основа, тъй като при конструирането на посочените височини се образува правоъгълник, а в правоъгълника противоположни страниса равни. В тази задача:
Така DC=6. Изчисляваме:
27839. Основите на трапеца са в отношение 2:3, а средната линия е 5. Намерете по-малката основа.
Нека въведем коефициента на пропорционалност x. Тогава AB=3x, DC=2x. Можем да напишем:
Следователно по-малката основа е 2∙2=4.
27840. Периметърът на равнобедрен трапец е 80, средната му линия е равна на страничната страна. намирам странатрапецовидни.
Въз основа на условието можем да напишем:
Ако означим средната линия през стойността x, получаваме:
Второто уравнение вече може да бъде написано като:
27841. Средната линия на трапеца е 7, а едната му основа е с 4 по-голяма от другата.
Нека означим по-малката основа (DC) като x, тогава по-голямата (AB) ще бъде равна на x+4. Можем да го запишем
Открихме, че по-малката основа е началото на пет, което означава, че по-голямата е равна на 9.
27842. Средната линия на трапеца е 12. Един от диагоналите го разделя на две отсечки, чиято разлика е 2. Намерете по-голямата основа на трапеца.
Лесно можем да намерим по-голямата основа на трапеца, ако изчислим отсечката EO. Това е средната линия в триъгълник ADB и AB=2∙EO.
какво имаме Казват, че средната линия е равна на 12, а разликата между отсечките EO и ОF е равна на 2. Можем да напишем две уравнения и да решим системата:
Ясно е, че в този случай можете да изберете двойка числа без изчисления, това са 5 и 7. Но въпреки това нека решим системата:
Така че EO=12–5=7. Така по-голямата основа е равна на AB=2∙EO=14.
27844. В равнобедрен трапец диагоналите са перпендикулярни. Височината на трапеца е 12. Намерете средната му линия.
Нека веднага да отбележим, че височината, прекарана през пресечната точка на диагоналите в равнобедрен трапец, лежи на оста на симетрия и разделя трапеца на два равни правоъгълни трапеци, тоест основите на тази височина са разделени наполовина.
Изглежда, че за да изчислим средната линия, трябва да намерим причини. Тук възниква малка задънена улица... Как, знаейки височината, в този случай да изчислим основите? Няма начин! Има много такива трапеци с фиксирана височина и диагонали, пресичащи се под ъгъл от 90 градуса. Какво трябва да направя?
Вижте формулата за средната линия на трапец. В крайна сметка не е необходимо да знаем самите причини; достатъчно е да знаем тяхната сума (или полусума). Ние можем да направим това.
Тъй като диагоналите се пресичат под прав ъгъл, се образуват равнобедрени правоъгълни триъгълници с височина EF:
От горното следва, че FO=DF=FC и OE=AE=EB. Сега нека запишем на какво е равна височината, изразена чрез отсечките DF и AE:
Така че средната линия е 12.
* Като цяло това е задача, както разбирате, за умствено броене. Но съм сигурен, че представеното подробно обяснениенеобходимо. И така... Ако погледнете чертежа (при положение, че при построяването е спазен ъгълът между диагоналите), веднага ви хваща окото равенството FO=DF=FC, а OE=AE=EB.
Прототипите включват и типове задачи с трапец. Той е изграден върху лист хартия в клетка и трябва да намерите средната линия; страната на клетката обикновено е равна на 1, но може да бъде различна стойност.
27848. Намерете средната линия на трапеца ABCD, ако страните на квадратните клетки са равни на 1.
Просто е, изчисляваме основите по клетки и използваме формулата: (2+4)/2=3
Ако основите са изградени под ъгъл спрямо мрежата на клетката, тогава има два начина. Например!
Средната линия на трапеца е равна на половината от суматаоснования. Той свързва средните точки на страните на трапеца и винаги е успореден на основите.
Ако основите на трапец са равни на a и b, тогава средната линия m е равна на m=(a+b)/2.
Ако площта на трапеца е известна, тогава средната линия може да се намерии по друг начин, разделяйки площта на трапеца S на височината на трапеца h:
Това е, средна линия на трапец m=S/h
Има много начини да намерите дължината на средната линия на трапец. Изборът на метод зависи от първоначалните данни.
Тук формули за дължината на средната линия на трапец:
За да намерите средната линия на трапец, можете да използвате една от петте формули (няма да ги напиша, тъй като те вече са в други отговори), но това е само в случаите, когато стойностите на първоначалните данни, от които се нуждаем познати.
На практика се налага да решаваме много проблеми, когато няма достатъчно данни и правилен размервсе още трябва да го намеря.
Тук има такива опции
решение стъпка по стъпка за привеждане на всичко под формулата;
като използвате други формули, съставете и решете необходимите уравнения.
намиране на дължината на средата на трапец, използвайки формулата, от която се нуждаемс помощта на други знания за геометрията и използването алгебрични уравнения:
Имаме равнобедрен трапец, диагоналите му се пресичат под прав ъгъл, височината му е 9 cm.
Правим чертеж и виждаме, че този проблем не може да бъде решен директно (няма достатъчно данни)
Затова ще опростим малко и ще начертаем височината през пресечната точка на диагоналите.
Това е първото важна стъпка, което води до бързо решение.
нека обозначим височината с две неизвестни, ще видим тези, от които се нуждаем равнобедрени триъгълницисъс страните хИ при
и лесно можем да го намерим сбор от основаниятрапецовидни
то е равно 2х+2у
И едва сега можем да приложим формулата където
и е равно x+yи според условията на задачата това е дължината на височината, равна на 9 см.
И сега изведехме няколко момента за равнобедрен трапец, чиито диагонали се пресичат под прав ъгъл
в такива трапеци
средната линия винаги е равна на височината
площта винаги е равна на квадрата на височината.
Средната линия на трапец е отсечка, която свързва средните точки на страните на трапеца.
Средната линия на всеки трапец е лесна за намиране, ако използвате формулата:
m = (a + b)/2
m е дължината на средната линия на трапеца;
a, b дължини на основите на трапеца.
Така, дължината на средната линия на трапец е равна на половината от сбора от дължините на основите.
Основната формула за формулата за средна линия на трапец: дължината на средната линия на трапец е равна на половината от сбора на основите a и b: MN=(a+b)2. Доказателството за тази формула е формула за средна линия на триъгълник. Всеки трапец може да бъде представен след изчертаване на по-малка основа с височина върху по-голяма основа. След това се разглеждат формулата за средната линия на трапеца лесно се доказва.
За да намерим средната линия на трапеца, трябва да знаем стойностите на основите.
След като сме намерили тези стойности или може би са ни били известни, събираме тези числа и просто ги разделяме наполовина.
Ето какво ще стане средна линия на трапец.
Доколкото си спомням уроците по геометрия в училище, за да намерите дължината на средната линия на трапец, трябва да съберете дължините на основите и да разделите на две. Така дължината на средната линия на трапеца е равна на половината от сбора на основите.