Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи
Изчисляване на площ
Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен на площта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y = f(x), оста O x и правите линии x = a и x = б. В съответствие с това формулата за площ се записва, както следва:
Нека да разгледаме някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.
Задача № 1. Да се изчисли площта, ограничена от правите y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Решение.Нека построим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.
y = x 2 + 1 е парабола, чиито клонове са насочени нагоре и параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).
Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1
Задача № 2. Изчислете площта, ограничена от правите y = x 2 – 1, y = 0 в диапазона от 0 до 1.
 |
Решение.Графиката на тази функция е парабола от клонове, които са насочени нагоре и параболата е изместена спрямо оста O y надолу с една единица (Фигура 2).
Фигура 2. Графика на функцията y = x 2 – 1
Задача № 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите
y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.
Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, насочени надолу, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.
За да построим парабола, намираме координатите на нейния връх: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисата на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е неговият връх.
Сега нека намерим пресечните точки на параболата и правата, като решим системата от уравнения:
Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.
Получаваме 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откъдето 
.
И така, точките са пресечните точки на парабола и права линия (Фигура 1).
Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4
Да построим права линия y = 2x – 4. Тя минава през точките (0;-4), (2;0) на координатните оси.
За да конструирате парабола, можете също да използвате нейните пресечни точки с оста 0x, т.е. корените на уравнението 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. Използвайки теоремата на Виета, е лесно за да намерите неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.
Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.
Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интеграл по формулата 
.
Във връзка с това условие получаваме интеграла: 
2 Изчисляване на обема на ротационно тяло
Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y = f(x) около оста O x, се изчислява по формулата:
При завъртане около оста O y формулата изглежда така:
Задача No4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от прави x = 0 x = 3 и крива y = около оста O x.
Решение.Нека нарисуваме картина (Фигура 4).
Фигура 4. Графика на функцията y =
Необходимият обем е 
Задача No5. Изчислете обема на тялото, получено от въртенето на извит трапец, ограничен от кривата y = x 2 и прави линии y = 0 и y = 4 около оста O y.
Решение.Ние имаме:
Въпроси за преглед
а)
Решение.
Първата и най-важна точка в решението е рисуването.
Да направим чертежа:
Уравнението y=0задава оста "x";
- х=-2И х=1- права, успоредна на оста OU;
- y=x 2 +2 -парабола, чиито клонове са насочени нагоре, с върха в точката (0;2).
Коментирайте. За да се изгради парабола, достатъчно е да се намерят точките на нейното пресичане с координатните оси, т.е. поставяне х=0намерете пресечната точка с оста OUи решавайки съответното квадратно уравнение, намерете пресечната точка с оста о .
Върхът на парабола може да се намери с помощта на формулите: 
Можете също да изграждате линии точка по точка.
На интервала [-2;1] графиката на функцията y=x 2 +2разположен над оста вол, Ето защо:
Отговор: С=9 кв. единици
След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще има около 9, изглежда е вярно. Абсолютно ясно е, че ако получим, да речем, отговора: 20 квадратни единици, то очевидно е, че някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът е отрицателен, значи и задачата е решена неправилно.
Какво да направите, ако под оста се намира извит трапец О?
б) Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите y=-e x , х=1и координатни оси.
Решение.
Да направим рисунка.
Ако извит трапец е напълно разположен под оста о , тогава неговата площ може да се намери с помощта на формулата:
Отговор: S=(e-1)кв. единици“ 1,72 кв. единици
внимание! Не трябва да се бъркат двата вида задачи:
1) Ако бъдете помолени да решите просто определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да е отрицателен.
2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що обсъдената формула.
На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.
в) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии y=2x-x 2, y=-x.
Решение.
Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от точките на пресичане на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата 
и прав 
Това може да стане по два начина. Първият метод е аналитичен.
Решаваме уравнението:
Това означава, че долната граница на интеграция а=0, горна граница на интеграция b=3 .
|
Построяваме дадените прави: 1. Парабола - връх в точка (1;1); пресичане на осите О-точки (0;0) и (0;2). 2. Права - ъглополовяща на 2-ри и 4-ти координатни ъгли. А сега Внимание! Ако на сегмента [ a;b] някаква непрекъсната функция f(x)по-голяма или равна на някаква непрекъсната функция g(x), тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата: И няма значение къде се намира фигурата - над оста или под оста, но има значение коя графика е ПО-ВИСОКО (спрямо друга графика) и коя е ПО-ДОЛУ. В разглеждания пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от |
.Можете да конструирате линии точка по точка и границите на интеграцията стават ясни „сами по себе си“. Независимо от това, аналитичният метод за намиране на граници все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или подробната конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).
Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента 
, по съответната формула:
Отговор: С=4,5 кв. единици
Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?
Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.
Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.
Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.
Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.
Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.
Всеки фрактал се конструира според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.
Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.
Фигура, ограничена от графиката на непрекъсната неотрицателна функция $f(x)$ върху отсечката $$ и правите $y=0, \ x=a$ и $x=b$, се нарича криволинеен трапец.
Площта на съответния криволинеен трапец се изчислява по формулата:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Условно ще разделим задачите за намиране на площта на криволинейния трапец на $4$ типове. Нека разгледаме всеки тип по-подробно.
Тип I: извит трапец е посочен изрично. След това веднага приложете формулата (*).
Например, намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функцията $y=4-(x-2)^(2)$ и правите $y=0, \ x=1$ и $x =3$.
Нека начертаем този извит трапец.
Използвайки формула (*), намираме площта на този криволинеен трапец.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).
Тип II: извитият трапец е посочен имплицитно. В този случай правите линии $x=a, \ x=b$ обикновено не са посочени или са частично посочени. В този случай трябва да намерите пресечните точки на функциите $y=f(x)$ и $y=0$. Тези точки ще бъдат точки $a$ и $b$.
Например, намерете площта на фигура, ограничена от графиките на функциите $y=1-x^(2)$ и $y=0$.
Да намерим пресечните точки. За да направим това, приравняваме десните части на функциите.
Така $a=-1$ и $b=1$. Нека начертаем този извит трапец.
Нека намерим площта на този извит трапец.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).
Тип III: площта на фигура, ограничена от пресечната точка на две непрекъснати неотрицателни функции. Тази фигура няма да бъде извит трапец, което означава, че не можете да изчислите площта му с формула (*). Как да бъдем?Оказва се, че площта на тази фигура може да се намери като разликата между площите на криволинейни трапеци, ограничени от горната функция и $y=0$ ($S_(uf)$), и долната функция и $y =0$ ($S_(lf)$), където ролята на $x=a, \ x=b$ играят $x$ координатите на точките на пресичане на тези функции, т.е.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Най-важното при изчисляването на такива площи е да не „пропускате“ с избора на горната и долната функция.
Например, намерете площта на фигура, ограничена от функциите $y=x^(2)$ и $y=x+6$.
Нека намерим пресечните точки на тези графики:
Според теоремата на Виета,
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Тоест $a=-2,\b=3$. Нека нарисуваме фигура:
По този начин горната функция е $y=x+6$, а долната функция е $y=x^(2)$. След това намираме $S_(uf)$ и $S_(lf)$ с помощта на формула (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (единици$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (единици$^(2)$).
Нека заместим това, което намерихме в (**) и да получим:
$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (единици$^(2)$).
Тип IV: площта на фигура, ограничена от функция(и), която не отговаря на условието за неотрицателност. За да намерите площта на такава фигура, трябва да сте симетрични спрямо оста $Ox$ ( с други думи,поставете „минуси“ пред функциите) покажете областта и, като използвате методите, описани в типове I – III, намерете площта на показаната област. Тази област ще бъде необходимата област. Първо, може да се наложи да намерите пресечните точки на функционалните графики.
Например, намерете площта на фигура, ограничена от графиките на функциите $y=x^(2)-1$ и $y=0$.
Нека намерим пресечните точки на графиките на функциите:
тези. $a=-1$ и $b=1$. Нека начертаем областта.
Нека да покажем областта симетрично:
$y=0 \ \Дясна стрелка \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Резултатът е криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията $y=1-x^(2)$ и $y=0$. Това е проблем да се намери извит трапец от втори тип. Вече го решихме. Отговорът беше: $S= 1\frac(1)(3)$ (единици $^(2)$). Това означава, че площта на необходимия криволинеен трапец е равна на:
$S=1\frac(1)(3)$ (единици$^(2)$).
Нека разгледаме извит трапец, ограничен от оста Ox, кривата y=f(x) и две прави: x=a и x=b (фиг. 85). Нека вземем произволна стойност на x (само не a и b). Нека да му дадем увеличение h = dx и да разгледаме лента, ограничена от прави линии AB и CD, оста Ox и дъгата BD, принадлежаща на разглежданата крива. Ще наричаме тази лента елементарна лента. Площта на елементарна лента се различава от площта на правоъгълника ACQB от криволинейния триъгълник BQD, а площта на последния е по-малка от площта на правоъгълника BQDM със страни BQ = =h= dx) QD=Ay и площ, равна на hAy = Ay dx. Когато страната h намалява, страната Du също намалява и едновременно с h клони към нула. Следователно площта на BQDM е безкрайно малка от втори ред. Площта на елементарна лента е нарастването на площта, а площта на правоъгълника ACQB, равна на AB-AC ==/(x) dx> е диференциалът на площта. Следователно намираме самата площ чрез интегриране на нейния диференциал. В рамките на разглежданата фигура независимата променлива l: се променя от a на b, така че търсената площ 5 ще бъде равна на 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Нека изчислим площта, ограничена от параболата y - 1 -x*, правите X =--Fj-, x = 1 и оста O* (фиг. 86). на фиг. 87. Фиг. 86. 1 Тук f(x) = 1 - l?, границите на интегриране са a = - и £ = 1, следователно J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Нека изчислим площта, ограничена от синусоидата y = sinXy, оста Ox и правата (фиг. 87). Прилагайки формула (I), получаваме A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Изчислете площта, ограничена от дъгата на синусоидата ^у = sin jc, оградена между две съседни пресечни точки с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Имайте предвид, че от геометрични съображения е ясно, че тази площ ще бъде два пъти по-голяма от предишния пример. Нека обаче направим изчисленията: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Наистина предположението ни се оказа правилно. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоидата и оста Ox в един период (фиг. 88). Предварителните изчисления предполагат, че площта ще бъде четири пъти по-голяма, отколкото в пример 2. Въпреки това, след извършване на изчисленията, получаваме “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Този резултат изисква пояснение. За да изясним същността на въпроса, ние също изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y = sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2i. Прилагайки формула (I), получаваме 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Така виждаме, че тази област се оказа отрицателна. Сравнявайки го с площта, изчислена в упражнение 3, установяваме, че техните абсолютни стойности са еднакви, но знаците са различни. Ако приложим свойство V (виж Глава XI, § 4), получаваме 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Случилото се в този пример не е инцидент. Винаги площта, разположена под оста Ox, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава, когато се изчислява с помощта на интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме области без знаци. Следователно отговорът в току-що обсъдения пример ще бъде: необходимата площ е 2 + |-2| = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на BAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата линия y - = -x+\. Площ на криволинеен трапец Необходимата област OAB се състои от две части: OAM и MAV. Тъй като точка A е пресечната точка на парабола и права линия, ще намерим нейните координати, като решим системата от уравнения 3 2 Y = mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; = ~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първи квадрат. OAM и след това pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)