أمثلة على حل معادلة عقلانية كسرية صحيحة. المعادلات العقلانية – المعرفة هايبر ماركت

في هذه المقالة سننظر في طرق تحديد المسافة من نقطة إلى نقطة نظريًا وباستخدام مثال مهام محددة. في البداية، دعونا نقدم بعض التعريفات.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

المسافة بين النقاطهو طول الجزء الذي يربط بينهما، على المقياس الحالي. من الضروري وضع مقياس حتى تكون هناك وحدة طول للقياس. لذلك، يتم حل مشكلة إيجاد المسافة بين النقاط بشكل أساسي باستخدام إحداثياتها على خط إحداثي، أو في مستوى إحداثي، أو في فضاء ثلاثي الأبعاد.

البيانات الأولية: الخط الإحداثي O x ونقطة عشوائية A تقع عليه أي نقطة على الخط لها شيء واحد رقم حقيقي: دع النقطة A تكون رقمًا معينًا س أ,وهو أيضًا إحداثي النقطة أ.

بشكل عام، يمكننا القول أن طول مقطع معين يتم تقييمه بالمقارنة مع مقطع مأخوذ كوحدة طول على مقياس معين.

إذا كانت النقطة A تتوافق مع عدد صحيح صحيح، من خلال الاستغناء بالتتابع من النقطة O إلى النقطة على طول الخط المستقيم O A - وحدات الطول، يمكننا تحديد طول المقطع O A من إجمالي عدد مقاطع الوحدة الموضوعة جانبًا.

على سبيل المثال، النقطة A تتوافق مع الرقم 3 - للوصول إليها من النقطة O، ستحتاج إلى الاستغناء عن ثلاث قطع من الوحدات. إذا كانت النقطة A لها إحداثيات - 4، فسيتم وضع أجزاء الوحدة بطريقة مماثلة، ولكن في اتجاه سلبي مختلف. وبالتالي، في الحالة الأولى، المسافة O A تساوي 3؛ وفي الحالة الثانية O A = 4.

إذا كانت النقطة A هي الإحداثية الخاصة بها رقم عقلاني، ثم من الأصل (النقطة O) نضع جانبًا عددًا صحيحًا من أجزاء الوحدة، ثم الجزء الضروري منها. ولكن من الناحية الهندسية ليس من الممكن دائمًا إجراء القياس. على سبيل المثال، يبدو من الصعب رسم الكسر 4111 على خط الإحداثيات.

باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه، ضعه على خط مستقيم رقم غير عقلانيومستحيل تماما. على سبيل المثال، عندما تكون إحداثيات النقطة أ هي 11. في هذه الحالة، من الممكن اللجوء إلى التجريد: إذا كان الإحداثي المحدد للنقطة A أكبر من الصفر، فإن O A = x A (يؤخذ الرقم على أنه المسافة)؛ إذا كان الإحداثي أقل من الصفر، فإن O A = - x A . بشكل عام، هذه العبارات صحيحة بالنسبة لأي عدد حقيقي x A.

لتلخيص: المسافة من الأصل إلى النقطة التي تتوافق مع رقم حقيقي على خط الإحداثيات تساوي:

• 0 إذا كانت النقطة تتزامن مع الأصل؛

• س أ، إذا س أ > 0؛

• - س أ إذا س أ< 0 .

في هذه الحالة، من الواضح أن طول المقطع نفسه لا يمكن أن يكون سالبًا، لذلك باستخدام علامة المعامل نكتب المسافة من النقطة O إلى النقطة A بالإحداثيات س أ: يا أ = س أ

العبارة التالية ستكون صحيحة: المسافة من نقطة إلى أخرى ستكون مساوية لمعامل فرق الإحداثيات.أولئك. للنقطتين A وB الواقعتين على نفس الخط الإحداثي لأي موقع ولهما إحداثيات مقابلة س أو س ب: أ ب = س ب - س أ .

البيانات الأولية: النقطتان A وB ملقاتان على المستوى نظام مستطيلالإحداثيات Oxys الإحداثيات المعطاة: A (x A , y A) و B (x B , y B) .

دعونا نرسم خطوطًا متعامدة عبر النقطتين A وB على محوري الإحداثيات O x وO y ونحصل نتيجة لذلك على نقاط الإسقاط: A x، A y، B x، B y. بناءً على موقع النقطتين A وB، تكون الخيارات التالية ممكنة:

إذا تطابقت النقطتان A وB، فإن المسافة بينهما تساوي صفرًا؛

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O x (محاور الإحداثي السيني)، ثم تتطابق النقاط، و | أ ب | = | ا ي ب ي | . بما أن المسافة بين النقاط تساوي معامل الفرق في إحداثياتها، فإن A y B y = y B - y A، وبالتالي A B = A y B y = y B - y A.

إذا كانت النقطتان A و B تقعان على خط مستقيم عمودي على المحور O y (المحور الإحداثي) - قياسًا على الفقرة السابقة: أ ب = أ × ب × = × ب - × أ

إذا كانت النقطتان A وB لا تقعان على خط مستقيم عمودي على أحد محاور الإحداثيات، فسنجد المسافة بينهما عن طريق اشتقاق الصيغة الحسابية:

نلاحظ أن المثلث ABCC مستطيل الشكل في البناء. في هذه الحالة، A C = A x B x و B C = A y B y. باستخدام نظرية فيثاغورس، ننشئ المساواة: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 ، ثم نحولها: A B = A x B x 2 + A y B ص 2 = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

دعونا نستنتج من النتيجة التي تم الحصول عليها: يتم تحديد المسافة من النقطة أ إلى النقطة ب على المستوى عن طريق الحساب باستخدام الصيغة باستخدام إحداثيات هذه النقاط

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2

تؤكد الصيغة الناتجة أيضًا العبارات التي تم تشكيلها مسبقًا لحالات تطابق النقاط أو المواقف عندما تقع النقاط على خطوط مستقيمة متعامدة مع المحاور. لذا، إذا تطابقت النقطتان A وB، ستكون المساواة صحيحة: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

في الحالة التي تقع فيها النقطتان A وB على خط مستقيم عمودي على المحور السيني:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = 0 2 + (ص ب - ص أ) 2 = ص ب - ص أ

في الحالة التي تقع فيها النقطتان A وB على خط مستقيم عمودي على المحور الإحداثي:

أ ب = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ص أ) 2 = (س ب - س أ) 2 + 0 2 = س ب - س أ

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات المستطيل O x y z مع الكذب عليه نقاط تعسفيةبإحداثيات معينة A (x A، y A، z A) وB (x B، y B، z B). من الضروري تحديد المسافة بين هذه النقاط.

دعونا نفكر حالة عامةعندما لا تقع النقطتان A وB في مستوى موازٍ لإحدى النقطتين تنسيق الطائرات. دعونا نرسم مستويات متعامدة مع محاور الإحداثيات من خلال النقطتين A و B ونحصل عليها النقاط المقابلةالتوقعات: A x , A y , A z , B x , B y , B z

المسافة بين النقطتين A و B هي قطري متوازي السطوح الناتج. حسب بناء قياسات هذا المتوازي: A x B x , A y B y و A z B z

من المعروف من مقرر الهندسة أن مربع القطر متوازي السطوح يساوي المبلغمربعات قياساتها. وبناءً على هذه العبارة نحصل على المساواة: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

وباستخدام الاستنتاجات التي تم التوصل إليها في وقت سابق، نكتب ما يلي:

أ × ب × = × ب - × أ، أ ذ ب ذ = ص ب - ص أ، أ ض ب ض = ض ب - ض أ

دعونا نحول التعبير:

أ ب 2 = أ × ب × 2 + أ ذ ب ص 2 + أ ض ب ض 2 = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 + ض ب - ض أ 2 = = (س ب - س أ) 2 + (ص ب - ذ أ) 2 + ض ب - ض أ 2

أخير صيغة لتحديد المسافة بين النقاط في الفضاءسوف تبدو مثل هذا:

أ ب = س ب - س أ 2 + ص ب - ص أ 2 + (ض ب - ض أ) 2

الصيغة الناتجة صالحة أيضًا للحالات التي:

النقاط تتطابق.

الكذب على واحد محور الإحداثياتأو خط مستقيم موازي لأحد محاور الإحداثيات.

أمثلة على حل المسائل المتعلقة بإيجاد المسافة بين النقاط

مثال 1

البيانات الأولية: تم تقديم خط إحداثي ونقاط تقع عليه بإحداثيات معينة A (1 - 2) و B (11 + 2). من الضروري إيجاد المسافة من نقطة الأصل O إلى النقطة A وبين النقطتين A وB.

حل

1. المسافة من النقطة المرجعية إلى النقطة تساوي معامل إحداثيات هذه النقطة على التوالي O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. نحدد المسافة بين النقطتين A وB بأنها مقياس الفرق بين إحداثيات هذه النقاط: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

الإجابة: أ = 2 - 1، أ ب = 10 + 2 2

مثال 2

البيانات الأولية: تم تقديم نظام إحداثي مستطيل ونقطتين عليه A (1، - 1) و B (lect + 1، 3). α هو عدد حقيقي. من الضروري العثور على جميع قيم هذا الرقم حيث تكون المسافة A B مساوية لـ 5.

حل

للعثور على المسافة بين النقطتين A وB، عليك استخدام الصيغة A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

بالتعويض بقيم الإحداثيات الحقيقية نحصل على: A B = (lect + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = lect 2 + 16

نستخدم أيضًا الشرط الموجود وهو A B = 5 وبعد ذلك سيكون المساواة الحقيقية:

2 + 16 = 5 2 + 16 = 25 25 = ± 3

الإجابة: أ ب = 5 إذا كانت lect = ± 3.

مثال 3

البيانات الأولية: محددة الفضاء ثلاثي الأبعادفي نظام إحداثيات مستطيل O x y z والنقاط A (1، 2، 3) و B - 7، - 2، 4 تقع فيه.

حل

لحل المشكلة نستخدم الصيغة A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

بالتعويض بالقيم الحقيقية نحصل على: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

الجواب: | أ ب | = 9

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter