أنت تعلم أن كل زوج مرتب من الأرقام يتوافق مع نقطة معينة خطة تنسيق. بما أن كل حل لمعادلة ذات متغيرين x وy هو زوج مرتب من الأرقام، فيمكن تمثيل جميع حلولها بنقاط على المستوى الإحداثي. عند هذه النقاط، الإحداثي السيني هو قيمة المتغير x، والإحداثي هو القيمة المقابلة للمتغير y. وبالتالي، نحصل على رسم بياني لمعادلة بمتغيرين.
يتذكر!
الرسم البياني لمعادلة ذات متغيرين هو الصورة الموجودة على المستوى الإحداثي لجميع النقاط التي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة المعطاة.
انظر إلى الشكلين 64 و65. ترى رسمًا بيانيًا للمعادلة 0.5 x - y = 2، حيث x هو رقم زوجي (الشكل 64)، ورسم بياني للمعادلة x 2 + y 2 = 4 (الشكل 64) 65). يحتوي الرسم البياني الأول على أربع نقاط فقط لأن المتغيرين x وy يمكن أن يأخذا أربع قيم فقط. الرسم البياني الثاني هو خط على المستوى الإحداثي. يحتوي على العديد من النقاط، حيث أن المتغير x يمكن أن يأخذ أي قيمة من -2 إلى 2 وهناك العديد من هذه الأرقام. هناك أيضًا العديد من القيم المقابلة. وهي تختلف من 2 إلى 2.
يوضح الشكل 66 الرسم البياني للمعادلة x + y = 4. وعلى عكس الرسم البياني للمعادلة x 2 + y 2 = 4 (انظر الشكل 65)، فإن كل نقطة قاطعة من هذا الجدول الزمنييتوافق مع إحداثي واحد. وهذا يعني أن الشكل 66 يوضح الرسم البياني للوظيفة. أقنع نفسك أن الرسم البياني للمعادلة في الشكل 64 هو أيضًا الرسم البياني للدالة.
ملحوظة
لا تحتوي كل معادلة على رسم بياني للدالة، ولكن كل رسم بياني للدالة هو رسم بياني لبعض المعادلات.
المعادلة x + y = 4 هي معادلة خطية في متغيرين. وبعد حلها من أجل y، نحصل على: y = -x + 4. ويمكن فهم المساواة الناتجة على أنها صيغة تحدد دالة خطية y = -x + 4. الرسم البياني لهذه الدالة هو خط مستقيم. إذن، الرسم البياني للمعادلة الخطية x + y = 4، والذي يظهر في الشكل 66، هو خط مستقيم.
هل يمكننا القول إن التمثيل البياني لأي معادلة خطية في متغيرين هو خط مستقيم؟ لا. على سبيل المثال، معادلة خط مستقيم 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 يتم تحقيقها بواسطة أي زوج من الأرقام، وبالتالي فإن الرسم البياني لهذه المعادلة يحتوي على جميع نقاط المستوى الإحداثي.
دعونا نكتشف ما هو الرسم البياني للمعادلة الخطية بمتغيرين ax + bу + c = 0 اعتمادًا على قيم المعاملات a و b و c. مثل هذه الحالات ممكنة.
دع a ≠ 0، b ≠ 0، c ≠ 0. ثم يمكن تمثيل المعادلة ax + by + c = 0 على النحو التالي:
لقد حصلنا على مساواة تحدد الدالة الخطية y(x). جدولها الزمني، وبالتالي الجدول الزمني معادلة معينةهو خط مستقيم لا يمر بأصل الإحداثيات (الشكل 67).
2. افترض أن a ≠ 0، b ≠ 0، c = 0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الشكل ax + by + 0 = 0، أو y = x.
لقد حصلنا على المساواة التي تحدد التناسب المباشر مع y(x). الرسم البياني الخاص بها، وبالتالي الرسم البياني لهذه المعادلة، هو خط مستقيم يمر عبر أصل الإحداثيات (الشكل 68).
3. افترض أن a ≠ 0، b = 0، c ≠ 0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الصيغة ax + 0 ∙ y + c = 0، أو x = -.
لا تحدد المساواة المتلقاة الدالة y(). يتم تحقيق هذه المساواة من خلال أزواج من الأرقام (x؛ y)، حيث x = و y هو أي رقم. على المستوى الإحداثي، تقع هذه النقاط على خط مستقيم موازٍ لمحور OY. إذن، الرسم البياني لهذه المعادلة هو خط مستقيم، موازية للمحورالإحداثيات (الشكل 69).
4. افترض أن a ≠ 0، b = 0، c = 0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الصيغة ax + 0 ∙ y + 0 = 0، أو x = 0.
يتم تحقيق هذه المساواة من خلال أزواج من الأرقام (x؛ y)، حيث x = 0، وy هو أي رقم. على المستوى الإحداثي، تقع هذه النقاط على محور OY. إذن، التمثيل البياني لهذه المعادلة هو خط مستقيم يصادف المحور الإحداثي.
5. دع أ ≠ 0، ب ≠ 0، ج ≠0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الشكل 0 ∙ x + by + c = 0، أو y = -. تحدد هذه المساواة الدالة y(x)، التي تأخذ نفس القيم لأي قيم x، أي أنها ثابتة. الرسم البياني الخاص بها، وبالتالي الرسم البياني لهذه المعادلة، هو خط مستقيم موازٍ لمحور الإحداثي السيني (الشكل 70).
6. افترض أن a = 0، b ≠ 0، c = 0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الشكل 0 ∙ x + by + 0 = 0، أو b = 0. لقد حصلنا على دالة ثابتة y( x)، حيث تقع كل نقطة من الرسم البياني على محور OX. إذن، الرسم البياني لهذه المعادلة هو خط مستقيم يصادف محور الإحداثي السيني.
7. افترض أن a = 0، b = 0، c ≠ 0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الصيغة 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0، أو 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . وهذه المعادلة الخطية ليس لها حلول، لذا فإن تمثيلها البياني لا يحتوي على نقطة واحدة على المستوى الإحداثي.
8. افترض أن a = 0، b = 0، c = 0. ثم تأخذ المعادلة ax + by + c = 0 الصيغة 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0، أو 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 تحتوي هذه المعادلة الخطية على العديد من الحلول، لذا فإن الرسم البياني لها هو المستوى الإحداثي بأكمله.
يمكننا تلخيص النتائج التي تم الحصول عليها.
رسم بياني لمعادلة خطية ذات متغيرين ax + bу + с = 0:
يكون مستقيماً إذا كان a ≠ 0 أو b ≠ 0؛
هو المستوى بأكمله إذا كان a = 0، b = 0 و c = 0؛
لا يحتوي على نقطة واحدة من المستوى الإحداثي إذا كان a = 0، b = 0 و c ≠ 0.
مهمة. ارسم المعادلة 2س - ص - 3 = 0
حلول. المعادلة 2س - ص - 3 = 0 خطية. لذلك، الرسم البياني الخاص به هو الخط y = 2x - 3. ولبنائه يكفي تحديد نقطتين تنتميان إلى هذا الخط. لنقم بعمل جدول بقيم y لشخصين القيم التعسفية x، على سبيل المثال، لـ x = 0 وx = 2 (الجدول 27).
الجدول 27
على المستوى الإحداثي، نحدد النقاط بالإحداثيات (0؛ -3) و (2؛ 1) ونرسم خطًا مستقيمًا من خلالها (الشكل 70). هذا الخط المستقيم هو الرسم البياني المطلوب للمعادلة 2x - y - 3 = 0.
هل من الممكن التعرف على الرسم البياني لمعادلة خطية بمتغيرين ورسم بياني لمعادلة من الدرجة الأولى بمتغيرين؟ لا، لأن هناك معادلات خطية ليست معادلات من الدرجة الأولى. على سبيل المثال، هذه هي المعادلة 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0، 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.
ملحوظة:
يمكن أن يكون الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين خطًا مستقيمًا، أو المستوى بأكمله، أو لا يحتوي على نقطة واحدة على المستوى الإحداثي؛
الرسم البياني لمعادلة الدرجة الأولى في متغيرين يكون دائمًا مستقيمًا.
اكتشف المزيد
1. دع ≠ 0. ثم قرار مشتركيمكن أيضًا عرض المعادلات بهذا الشكل: X = - y -. لقد حصلنا على دالة خطية x(y). الرسم البياني الخاص به هو خط مستقيم. لإنشاء مثل هذا الرسم البياني، تحتاج إلى الجمع بين محاور الإحداثيات بشكل مختلف: أولاً محور الإحداثيات(المتغير المستقل) فكر في محور المرجع أمبير والثاني (المتغير التابع)
محور الثور. ومن ثم يكون من الملائم وضع محور OU أفقيًا ومحور OX
عموديا (الشكل 72). سيتم أيضًا وضع الرسم البياني للمعادلة في هذه الحالة بشكل مختلف على المستوى الإحداثي اعتمادًا على علامات المعاملين b وc. استكشفها بنفسك.
2. نيكولاي نيكولايفيتش بوجوليوبوف (1909-1992) - رائع عالم الرياضيات المحليوالميكانيكي، الفيزيائي النظري، المؤسس المدارس العلميةحصل على الدكتوراه في الميكانيكا غير الخطية والفيزياء النظرية، وهو أكاديمي في أكاديمية العلوم في جمهورية أوكرانيا الاشتراكية السوفياتية (1948) وأكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية (منذ عام 1953). مولود في نيزهني نوفجورود الإمبراطورية الروسية. في عام 1921 انتقلت العائلة إلى كييف. بعد تخرجه من مدرسة مدتها سبع سنوات، درس بوغوليوبوف الفيزياء والرياضيات بشكل مستقل، ومنذ سن الرابعة عشرة شارك بالفعل في ندوة القسم الفيزياء الرياضيةجامعة كييف تحت قيادة الأكاديمي D. A. Grave. في عام 1924، عندما كان عمره 15 عامًا، كتب بوغوليوبوف أول عمل علمي له، وفي العام القادمتم قبوله في كلية الدراسات العليا في ANURSR للأكاديميين. كريلوف، الذي تخرج منه عام 1929، وحصل على درجة الدكتوراه في العلوم الرياضية وهو في العشرين من عمره.
في عام 1929 ص. مم. أصبح بوجوليوبوف متابعة البحث الأكاديمية الأوكرانيةالعلوم، في عام 1934 بدأ التدريس في جامعة كييف(منذ عام 1936 - أستاذ). منذ أواخر الأربعينيات من القرن العشرين. في الوقت نفسه كان يعمل في روسيا. وكان مدير المعهد المشترك للأبحاث النووية، وبعد ذلك - مدير المعهد الرياضي الذي سمي باسمه. A. Steklova في موسكو، يدرس في موسكو جامعة الدولةسميت على اسم ميخائيل لومونوسوف. وفي عام 1966 أصبح أول مدير للمعهد الذي أنشأه الفيزياء النظريةأكاديمية العلوم في جمهورية أوكرانيا الاشتراكية السوفياتية في كييف، في نفس الوقت (1963-1988) هو أكاديمي وسكرتير قسم الرياضيات في أكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية.
مم. بوغوليوبوف - بطل مرتين العمل الاشتراكي(1969،1979)، منحت جائزة لينين(1958)، جائزة الدولة لاتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية (1947.1953،1984)، الميدالية الذهبية التي سميت باسمها. أكاديمية إم في لومونوسوف للعلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية (1985).
21 سبتمبر 2009 على واجهة المبنى الأحمر في كييف جامعة وطنيةسميت على اسم افتتاح تاراس شيفتشينكو لوحة تذكاريةللأكاديمي اللامع نيكولاي بوجوليوبوف تكريما للذكرى المئوية لميلاده.
في عام 1992 الأكاديمية الوطنيةعلوم أوكرانيا، جائزة NAS of أوكرانيا التي سميت باسم N.M. Bogolyubov، والتي يمنحها قسم الرياضيات في NAS في أوكرانيا للتميز الأعمال العلميةفي الرياضيات والفيزياء النظرية. وقد سميت على اسم العالم كوكب صغير"22616 بوجوليوبوف."
تذكر المهم
1. ما هو الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين؟
2. على أية حال، الرسم البياني للمعادلة ذات المتغيرين هو خط مستقيم؛ طائرة؟
3. في أي حالة يمر الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين عبر نقطة الأصل؟
حل المشاكل
1078 . أي من الأشكال 73-74 يوضح الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين؟ اشرح اجابتك.
1079 . عند أي قيم للمعاملات a و b و c يكون الخط المستقيم ax + bу + c = 0.
1) يمر عبر الأصل؛
2) بالتوازي مع المحور السيني.
3) بالتوازي مع المحور الإحداثي.
4) يتزامن مع محور الإحداثي السيني.
5) يتزامن مع المحور الإحداثي؟
1080 . دون إجراء البناء، حدد ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى الرسم البياني لمعادلة خطية بمتغيرين 6x - 2y + 1 = 0:
1)أ(-1;2.5); 2)ب(0;3.5); 3) ج(-2؛ 5.5)؛ 4)د(1,5;5).
1081 . دون إجراء الإنشاء، حدد ما إذا كانت النقطة تنتمي إلى الرسم البياني لمعادلة خطية بمتغيرين 3x + 3y - 5 = 0:
1) أ (-1؛ )؛ 2) ب (0؛ 1).
1082
1) 2س + ص - 4 = 0 إذا س = 0؛ 3) 3س + 3ص - 1 = 0 إذا س = 2؛
2) 4س - 2ص + 5 = 0، إذا كانت س = 0؛ 4) -5س - ص + 6 = 0 إذا س = 2.
1083 . في معادلة خطية معينة ذات متغيرين، أوجد قيمة y المقابلة لها خلف قيمة معينةالعاشر:
1)3س - ص + 2 = 0 إذا س = 0؛ 2) 6س - 5ص - 7 = 0 إذا كانت س = 2.
1084
1) 2س + ص - 4 = 0؛ 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5س - 10 = 0؛
2) 6س - 2ص + 12 = 0؛ 5)-س - 2ص + 4 = 0؛ 8)-2у + 4 = 0؛
3) 5س - 10ص = 0؛ 6)س - ص = 0؛ 9) س - ص = 0.
1085 . ارسم معادلة خطية بمتغيرين:
1) 4س + ص - 3 = 0؛ 4) 10س - 5ص - 1 = 0؛
2) 9س - 3ص + 12 = 0؛ 5) 2س + 6 = 0؛
3) -4س - 8ص = 0؛ 6) ص - 3 = 0.
1086 . أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني لمعادلة خطية ذات متغيرين 2x - 3y - 18 = 0 مع المحور:
1) المحاور. 2) المحاور.
1087 . أوجد إحداثيات نقطة تقاطع الرسم البياني لمعادلة خطية ذات متغيرين 5x + 4y - 20 = 0 مع المحور:
1) المحاور. 2) المحاور.
1088 . على الخط المستقيم، وهو الرسم البياني للمعادلة 0.5 x + 2y - 4 = 0، تتم الإشارة إلى نقطة. أوجد إحداثية هذه النقطة إذا كان الإحداثي الإحداثي لها هو:
5) 4(س - ص) = 4 - 4ص؛
6) 7س - 2ص = 2(1 + 3.5 س).
1094 . الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين يمر عبر النقطة A(3; -2). أوجد المعامل المجهول للمعادلة:
1) الفأس + 3ص - 3 = 0؛
2) 2س - بواسطة + 8 = 0؛
3)-س + 3ص - ج = 0.
1095 . تحديد نوع الشكل الرباعي الذي تكون رؤوسه نقاط تقاطع الرسوم البيانية للمعادلات:
س - ص + 4 = 0، س - ص - 4 = 0، -س - ص + 4 = 0، -س - ص - 4 = 0
1096 . ارسم المعادلة:
1) أ - 4ب + 1 = 0؛ 3) 3أ + 0 ∙ ب - 12 = 0;
2) 0 ∙ أ + 2ب + 6 = 0; 4) 0 ∙ أ + 0 ∙ ب + 5 = 0.
ضعها موضع التنفيذ
1097 . قم بإنشاء معادلة خطية بمتغيرين بناءً على البيانات التالية: 1) تكلفة 3 كجم من الحلويات و2 كجم من البسكويت 120 غريفنا؛ 2) قلمان أغلى بـ 20 غريفنا من 5 أقلام رصاص. ارسم المعادلة التي قمت بإنشائها.
1098 . أنشئ رسمًا بيانيًا لمعادلة المشكلة حول: 1) عدد الفتيات والفتيان في صفك؛ 2) شراء دفاتر مسطرة ومربعة.
مشاكل المراجعة
1099. سار سائح مسافة 12 كيلومترا في الساعة. كم ساعة يحتاج السائح ليقطع مسافة 20 كم بنفس السرعة؟
1100. ما هي سرعة القطار حسب الجدول الجديد حتى يتمكن من قطع المسافة بين محطتين في 2.5 ساعة، إذا كان حسب الجدول القديم يتحرك بسرعة 100 كم/ساعة يقطعها في 3 ساعات؟
أنا ) الحل الرسومي معادلة من الدرجة الثانية:
خذ بعين الاعتبار المعادلة التربيعية المعطاة: x2+px+q=0;
لنعيد كتابتها بهذا الشكل: x2=-px-q.(1)
دعونا نبني الرسوم البيانية التبعية: y=x2 وy=-px-q.
نحن نعرف الرسم البياني للاعتماد الأول وهو القطع المكافئ؛ ثانية الاعتماد خطي; الرسم البياني الخاص به هو خط مستقيم. يتضح من المعادلة (1) أنه في الحالة التي تكون فيها x هو حلها، فإن إحداثيات نقطتي الرسمين البيانيتين تكون متساوية مع بعضها البعض. هذا يعني أن قيمة معينة x تتوافق مع نفس النقطة على كل من القطع المكافئ والخط المستقيم، أي أن القطع المكافئ والخط المستقيم يتقاطعان عند النقطة مع الإحداثي السيني لـ x.
ومن هنا التالي طريقة الرسمحلول المعادلة التربيعية: ارسم قطعًا مكافئًا y=x2، ارسم (بالنقاط) خطًا مستقيمًا y=-px-q.
إذا تقاطع خط مستقيم مع قطع مكافئ، فإن حدود نقاط التقاطع هي جذور المعادلة التربيعية. هذه الطريقة ملائمة إذا لم تكن هناك حاجة إلى دقة كبيرة.
1. حل المعادلة: 4x2-12x+7=0
لنتخيلها على الصورة x2=3x-7/4.
لنقم بإنشاء قطع مكافئ y=x2 وخط مستقيم y=3x-7/4.
الصورة 1.
لإنشاء خط مستقيم، يمكنك أن تأخذ، على سبيل المثال، النقاط (0;-7/4) و(2;17/4) ويتقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم عند نقطتين مع الإحداثيات x1=0.8 وx2=. 2.2 (انظر الشكل 1).
2.حل المعادلة: x2-x+1=0.
لنكتب المعادلة على الصورة: x2=x-1.
بعد بناء القطع المكافئ y=x2 والخط المستقيم y=x-1، نرى أنهما لا يتقاطعان (الشكل 2)، مما يعني أن المعادلة ليس لها جذور.
الشكل 2.
دعونا التحقق من ذلك. دعونا نحسب المميز:
د=(-1)2-4=-3<0,
وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور.
3. حل المعادلة: x2-2x+1=0
الشكل 3.
إذا رسمنا القطع المكافئ y=x2 والخط المستقيم y=2x-1 بعناية، فسنرى أن لديهما نقطة مشتركة واحدة (الخط المستقيم يلامس القطع المكافئ، انظر الشكل 3)، x=1، y=1؛ المعادلة لها جذر واحد x=1 (تأكد من التحقق من ذلك عن طريق الحساب).
ثانيا ) أنظمة المعادلات.
الرسم البياني للمعادلة ذات المتغيرين هو مجموعة النقاط على المستوى الإحداثي التي تحول إحداثياتها المعادلة إلى مساواة حقيقية. الرسوم البيانية للمعادلات في متغيرين متنوعة تمامًا. على سبيل المثال، الرسم البياني للمعادلة 2x+3y=15 عبارة عن خط مستقيم، والمعادلة y=0.5x2 –2 عبارة عن قطع مكافئ، والمعادلة x2 +y2=4 عبارة عن دائرة، وما إلى ذلك.
يتم تحديد درجة المعادلة بأكملها ذات متغيرين بنفس طريقة تحديد درجة المعادلة بأكملها ذات متغير واحد. إذا كان الجانب الأيسر من معادلة ذات متغيرين هو كثيرة الحدود بالشكل القياسي، والجانب الأيمن هو الرقم 0، فإن درجة المعادلة تعتبر مساوية لدرجة كثيرة الحدود. لمعرفة درجة أي معادلة ذات متغيرين، يتم استبدالها بمعادلة مكافئة، طرفها الأيسر كثير حدود بالشكل القياسي، وطرفها الأيمن صفر. دعونا نفكر في حل رسومي.
مثال 1: حل النظام ⌠ x2 +y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5 (2)
لنقم بإنشاء رسوم بيانية للمعادلات في نظام إحداثي واحد (الشكل 4):
دعونا نبني الرسوم البيانية في نظام إحداثي واحد)
x2 +y2=25 و y=-x2+2x+5
إحداثيات أي نقطة من الدائرة المبنية هي حل للمعادلة 1، وإحداثيات أي نقطة من القطع المكافئ هي حل للمعادلة 2. وهذا يعني أن إحداثيات كل نقطة من نقاط تقاطع الدائرة والقطع المكافئ تلبي كل من المعادلة الأولى للنظام والثانية أي. هي الحل للنظام قيد النظر. باستخدام الشكل نجد القيم التقريبية لإحداثيات نقاط تقاطع الرسوم البيانية: A(-2.2; -4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4;-) 3) لذلك فإن نظام المعادلات له أربعة حلول:
x1≈-2.2، y1≈-4.5؛ x2≈0، y2≈5؛
x3≈2.2، y3≈4.5؛ x4≈4، y4≈-3.
من خلال استبدال القيم الموجودة في معادلات النظام، يمكنك التأكد من أن الحلين الثاني والرابع من هذه الحلول دقيقان، والحل الأول والثالث تقريبيان.
III) المعادلات المثلثية:
يتم حل المعادلات المثلثية تحليليا وبيانيا. دعونا نلقي نظرة على الحل الرسومي باستخدام مثال.
الشكل 5.
مثال 1: sinx+cosx=1. لنرسم الدوال y=sinx u y=1-cosx (الشكل 5).
يتضح من الرسم البياني أن المعادلة لها حلان: x = 2πп، حيث nЄZ و x = π/2+2πk، حيث kЄZ (تأكد من التحقق من ذلك من خلال الحسابات). الشكل 6.
مثال 2: حل المعادلة: tg2x+tgx=0. سنحل هذه المعادلة وفق مبدأ حل المعادلة السابقة. أولاً، دعونا نبني رسومًا بيانية (انظر الشكل 6) للدوال: y=tg2x u y=-tgx. يوضح الرسم البياني أن المعادلة لها حلان: x=πп, пЄZ u x=2πk/3، حيث kЄZ (تحقق من ذلك من خلال الحسابات)
تطبيق الرسوم البيانية في حل عدم المساواة.
1) عدم المساواة مع المعامل.
حل المتراجحة |x-1|+|x+1|<4.
في التكامل (-1;-∞)، حسب تعريف المقياس، لدينا |x-1|=-x+1,|x+1|=-x-1، وبالتالي، في هذا التكامل المتباينة يعادل عدم المساواة الخطية -2x<4,которое справедливо при х>-2. وبالتالي فإن مجموعة الحلول تتضمن التكامل (-2,-1) وعلى القطعة [-1,1] فإن المتباينة الأصلية تعادل المتباينة العددية الصحيحة 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.
في التكامل (1;+∞) نحصل مرة أخرى على عدم المساواة الخطية 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
ومع ذلك، يمكن الحصول على نفس النتيجة من اعتبارات بصرية وفي نفس الوقت اعتبارات هندسية صارمة. يوضح الشكل 7 الرسوم البيانية للوظائف: y=f(x)=|x-1|+|x+1| و ص = 4.
الشكل 7.
في التكامل (-2;2)، يقع الرسم البياني للدالة y=f(x) أسفل الرسم البياني للدالة y=4، مما يعني أن المتباينة f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)
II) عدم المساواة مع المعلمات.
يعد حل عدم المساواة باستخدام معلمة واحدة أو أكثر، كقاعدة عامة، مهمة أكثر تعقيدًا مقارنة بالمشكلة التي لا توجد بها معلمات.
على سبيل المثال، المتباينة √a+x+√a-x>4، التي تحتوي على المعلمة a، تتطلب بطبيعة الحال جهدًا أكبر بكثير لحلها من المتباينة √1+x + √1-x>1.
ماذا يعني حل أول هذه المتباينات؟ وهذا، في جوهره، لا يعني حل متباينة واحدة فحسب، بل حل فئة كاملة، ومجموعة كاملة من المتباينات التي يتم الحصول عليها إذا أعطينا المعلمة قيمًا عددية محددة. والمتباينة الثانية من المتباينات الكتابية هي حالة خاصة من المتباينات الأولى، حيث يتم الحصول عليها منها بالقيمة a = 1.
وبالتالي، فإن حل عدم المساواة التي تحتوي على معلمات يعني تحديد قيم المعلمات التي تحتوي على حلول لعدم المساواة ولجميع قيم المعلمات هذه للعثور على جميع الحلول.
حل المتراجحة|x-a|+|x+a|
لحل هذه المتباينة ذات المعلمتين aub، نستخدم الاعتبارات الهندسية. يوضح الشكلان 8 و9 الرسوم البيانية الوظيفية.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| uy=b.
ومن الواضح، ل ب<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|، فإن الخط المستقيم y=b يتقاطع مع الرسم البياني للدالة y=f(x) عند نقطتين (-b/2;b) u (b/2;b) (الشكل 6) والمتباينة في هذه الحالة صالحة لـ - ب/2 الجواب: إذا ب<=2|a| , то решений нет, إذا كان b>2|a|، فعندئذٍ x €(-b/2;b/2). ثالثا
) المتباينات المثلثية: عند حل عدم المساواة مع الدوال المثلثية، يتم استخدام دورية هذه الوظائف ورتابةها على الفواصل الزمنية المقابلة بشكل أساسي. أبسط المتباينات المثلثية. دالة sinx لها فترة موجبة قدرها 2π. ولذلك، فإن المتباينات بالشكل: sinx>a، sinx>=a، الخطيئة س يكفي حل الجزء الأول من الخط 2π أولاً. نحصل على مجموعة جميع الحلول عن طريق إضافة أرقام من النموذج 2πп, пЄZ إلى كل من الحلول الموجودة في هذا الجزء. المثال 1: حل المتراجحة sinx>-1/2 (الشكل 10). أولًا، دعونا نحل هذه المتراجحة على الفترة [-π/2;3π/2]. دعونا نفكر في الجانب الأيسر منها - القطعة [-π/2;3π/2]. هنا للمعادلة sinx=-1/2 حل واحد x=-π/6؛ وتزداد الدالة sinx بشكل رتيب. وهذا يعني أنه إذا -π/2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>الخطيئة(-ط/6) = –1/2. كل قيم x هذه ليست حلولاً للمتباينة. في المقطع المتبقي [π/2;3π/2]، تتناقص الدالة sinx بشكل رتيب وتكون المعادلة sinx = -1/2 لها حل واحد x=7π/6. لذلك، إذا كان π/2<=x<7π/, то sinx>الخطيئة(7π/6)=-1/2، أي كل قيم x هذه هي حلول للمتباينة. من أجل x Є لدينا sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6). نظرًا لدورية الدالة sinx مع فترة 2π، فإن قيم x من أي تكامل بالشكل: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ، هي أيضًا حلول للمتباينة . لا توجد قيم أخرى لـ x تمثل حلولاً لهذا عدم المساواة. الجواب: -ط/6+2ط الشكل 10. ارسم خط الأعداد.وبما أن المحور الواحد يكفي لتصوير عدم المساواة بمتغير واحد، فليست هناك حاجة لرسم نظام إحداثيات مستطيل. بدلا من ذلك، مجرد رسم خط مستقيم. ارسم المتباينة.هذا أمر بسيط جدًا نظرًا لوجود إحداثي واحد فقط. لنفترض أننا بحاجة إلى تمثيل عدم المساواة س<1. Для начала следует найти на оси число 1.
ارسم خطا.ارسم خطًا من النقطة التي حددتها للتو على خط الأعداد. إذا كان المتغير أكبر من هذا الرقم، حرك السطر إلى اليمين. إذا كان المتغير أصغر، ارسم خطًا إلى اليسار. ضع سهمًا في نهاية السطر لتوضيح أنه ليس مقطعًا نهائيًا ويستمر أكثر. تحقق من الإجابة.بديل للمتغير سأي رقم وحدد موضعه على خط الأعداد. إذا كان هذا الرقم يقع على الخط الذي رسمته، فإن الرسم البياني صحيح. استخدم صيغة الخط المستقيم.تم استخدام صيغة مماثلة أعلاه للمعادلات الخطية العادية، ولكن في هذه الحالة، بدلاً من علامة "="، يجب عليك وضع علامة المتباينة. قد تكون هذه إحدى العلامات التالية:<, >, ≥ (\displaystyle \leq )أو ≥ (\displaystyle \geq ).
ارسم المتباينة.أوجد نقطة تقاطع الخط مع المحور ذومنحدره، ثم ضع علامة على الإحداثيات المقابلة. على سبيل المثال، النظر في عدم المساواة ذ>1/2س+1. في هذه الحالة، سوف يتقاطع الخط المستقيم مع المحور ذفي س=1، وسيكون ميله ½، أي أنه عند التحرك إلى اليمين بمقدار وحدتين، فإننا سنرتفع بمقدار وحدة واحدة. ارسم خطا.قبل القيام بذلك، انظر إلى علامة المتباينة. اذا هذا< или >، يجب عليك رسم خط منقط. إذا كانت المتراجحة تحتوي على العلامة ≥ (\displaystyle \leq )أو ≥ (\displaystyle \geq )، يجب أن يكون الخط ثابتًا. تظليل الرسم البياني.بما أن المتراجحة لها العديد من الحلول، فيجب أن يوضح الرسم البياني جميع الحلول الممكنة. وهذا يعني تظليل المنطقة الموجودة أعلى الخط أو أسفله.
انظر إلى الصيغة.في المعادلة التربيعية، يتم تربيع متغير واحد على الأقل. عادة، يتم كتابة المعادلة التربيعية على النحو التالي: ص=الفأس 2 +بx+ج.
يُعرِّف أ، بو ج.
على سبيل المثال، في مكافئ. ص=س 2 +2س+1 أ=1, ب=2 و ج=1. كل معلمة هي رقم يسبق المتغير إلى القوة المقابلة. على سبيل المثال، إذا كان من قبل سلا يكلف أي رقم، فهذا يعني ب=1، حيث يمكن كتابة المصطلح المقابل على الصورة 1 س. أوجد رأس القطع المكافئ.للعثور على نقطة المنتصف للقطع المكافئ، استخدم التعبير -ب/2أ. على سبيل المثال، نحصل على -2/2(1)، أي -1. اصنع طاولة.إذن نحن نعلم أن الإحداثي سالقمم تساوي -1. ومع ذلك، هذا إحداثي واحد فقط. للعثور على الإحداثيات المقابلة ذ، بالإضافة إلى النقطتين الأخريين من القطع المكافئ، عليك إنشاء جدول. أنشئ جدولاً مكونًا من ثلاثة صفوف وعمودين.
استخدم المعادلة والجدول للعثور على الإحداثيات غير المعروفة ذ.
خذ إحداثي x واحدًا في كل مرة من الجدول، واستبدله في المعادلة المعطاة وأوجد إحداثي y المقابل. رسم النقاط على الرسم البياني.إذن، لديك الآن على الأقل ثلاث نقاط ذات إحداثيات معروفة يمكن تحديدها على الرسم البياني. قم بتوصيلها بمنحنى على شكل قطع مكافئ. مستعد! ارسم رسمًا بيانيًا للقطع المكافئ.تستخدم المتباينة التربيعية صيغة مشابهة للمعادلة التربيعية، ولكن بدلاً من علامة '=' توجد علامة عدم المساواة. على سبيل المثال، قد تبدو المتباينة التربيعية كما يلي: ذ
الرسم البياني الخطي لعدم المساواة
الرسم البياني للمعادلة التربيعية
الرسم البياني لعدم المساواة التربيعية