مساحة شبه منحرف منحني باستخدام التكاملات. التكامل المحدد (تكامل ريمان) مساحة شبه المنحرف المنحني

تحتاج إلى حساب المنطقة شبه منحرف منحني، تحدها خطوط مستقيمة،
,
والمنحنى
.

دعونا نقسم الجزء
دوتمينا الأجزاء الأولية، الطول
الجزء الرابع
. دعونا نستعيد الخطوط المتعامدة من نقاط تقسيم القطعة إلى التقاطع مع المنحنى
، يترك
. ونتيجة لذلك نحصل شبه منحرف أولي، فمن الواضح أن مجموع مساحاته يساوي مجموع شبه منحرف منحني الأضلاع.

دعونا نحدد القيم الأكبر والأصغر للدالة في كل فترة أولية؛
، في الثاني
وهكذا. دعونا نحسب المبالغ

يمثل المجموع الأول مساحة كل الموصوف، والثاني هو مساحة جميع المستطيلات المدرج في شبه منحرف منحني.

من الواضح أن المبلغ الأول يعطي قيمة تقريبية لمنطقة شبه المنحرف "مع وجود فائض"، والثاني - "مع نقص". ويسمى المبلغ الأول مجموع دربوكس العلوي، والثاني - وفقا لذلك، مجموع دربوكس السفلي. وبالتالي فإن مساحة شبه المنحرف المنحني هي يرضي عدم المساواة
. دعونا نكتشف كيف تتصرف مجاميع داربوكس مع زيادة عدد نقاط تقسيم القطعة
. دع عدد نقاط التقسيم يزيد بمقدار واحد، ويكون في منتصف الفاصل الزمني
.

الآن الرقم مثل
زادت المستطيلات المنقوشة والمحدودة بمقدار واحد. دعونا نفكر في كيفية تغير مجموع داربوكس السفلي. بدلا من مربع
المستطيل المنقوش، يساوي
نحصل على مجموع مساحات مستطيلين
، منذ الطول
لا يمكن أن يكون أقل
أصغر قيمة للدالة في
. على الجانب الآخر،
، لأن
لا يمكن أن يكون هناك المزيد
أكبر قيمة للدالة في الفترة . لذلك، فإن إضافة نقاط جديدة لتقسيم القطعة يزيد من قيمة مجموع دربوكس السفلي ويقلل مجموع دربوكس العلوي. في هذه الحالة، لا يمكن أن يتجاوز مجموع داربوكس السفلي، مع أي زيادة في عدد نقاط التقسيم، قيمة أي مجموع أعلى، حيث أن مجموع مساحات المستطيلات الموصوفة يكون دائمًاأكثر من المبلغ

مساحات المستطيلات المدرجه في شبه منحرف منحني.

وبالمثل، فإن تسلسل مجاميع دربوكس العلوي يتناقص مع زيادة عدد نقاط تجزيء المجال ويحد من الأسفل بأي مجموع دربوكس أقل، مما يعني أن له حدًا أيضًا، كما أنه يساوي مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

لذلك، لحساب مساحة شبه منحرف منحني، يكفي تقسيم الفاصل الزمني، وحدد إما مجموع داربوكس السفلي أو العلوي، ثم قم بالحساب
، أو
.

ومع ذلك، فإن مثل هذا الحل للمشكلة يفترض مسبقا أي شخص، بشكل تعسفي عدد كبيرأقسام
، العثور على أكبر أو أصغر قيمة للدالة في كل فترة زمنية أولية، وهي مهمة كثيفة العمالة.

يتم الحصول على حل أبسط باستخدام مجموع ريمان التكاملي، وهو

أين
نقطة ما من كل فترة أولية، وهذا هو
. وبالتالي، فإن مجموع تكامل ريمان هو مجموع مساحات جميع المستطيلات الممكنة، و
. كما هو موضح أعلاه، فإن حدود مجموعي داربوكس العلوي والسفلي هي نفسها وتساوي مساحة شبه المنحرف المنحني. وباستخدام إحدى خصائص نهاية الدالة (قاعدة الشرطتين)، نحصل على ذلك لأي قسم من القطعة
واختيار النقاط يمكن حساب مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة
.

مثال1 . حساب مساحة الشكل، محدودة بالخطوط: س + 2ص - 4 = 0، ص = 0، س = -3، و س = 2

دعونا نبني شكلاً (انظر الشكل) نبني خطًا مستقيمًا x + 2y - 4 = 0 باستخدام النقطتين A(4;0) وB(0;2). بالتعبير عن y خلال x، نحصل على y = -0.5x + 2. باستخدام الصيغة (1)، حيث f(x) = -0.5x + 2، a = -3، b = 2، نجد

S = = [-0.25=11.25 متر مربع وحدات

مثال 2. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: x – 2y + 4 = 0، x + y – 5 = 0 و y = 0.

حل. دعونا نبني هذا الرقم.

دعونا نبني خطًا مستقيمًا x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); س = 0، ص = 2، ب(0؛ 2).

دعونا نبني خطًا مستقيمًا x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

لنجد نقطة تقاطع الخطوط عن طريق حل نظام المعادلات:

س = 2، ص = 3؛ م (2 ؛ 3).

لحساب المساحة المطلوبة نقسم المثلث AMC إلى مثلثين AMN و NMC، حيث أنه عندما تتغير x من A إلى N تكون المساحة محدودة بخط مستقيم، وعندما تتغير x من N إلى C - بخط مستقيم

بالنسبة للمثلث AMN لدينا: ; ص = 0.5س + 2، أي و(س) = 0.5س + 2، أ = - 4، ب = 2.

بالنسبة للمثلث NMC لدينا: y = - x + 5، أي f(x) = - x + 5، a = 2، b = 5.

وبحساب مساحة كل مثلث وإضافة النتائج نجد:

مربع وحدات

مربع وحدات

9 + 4، 5 = 13.5 متر مربع وحدات تحقق: = 0.5AC = 0.5 متر مربع. وحدات

مثال 3. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = x 2 ، ص = 0، س = 2، س = 3.

في في هذه الحالةتحتاج إلى حساب مساحة شبه منحرف منحني يحده القطع المكافئ y = x 2 ، الخطوط المستقيمة x = 2 و x = 3 ومحور الثور (انظر الشكل) باستخدام الصيغة (1) نجد مساحة شبه المنحرف المنحني

= = 6 متر مربع وحدات

مثال 4. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = - x 2 + 4 و ص = 0

دعونا نبني هذا الرقم. المساحة المطلوبة محصورة بين القطع المكافئ y = - x 2 + 4 ومحور الثور.

دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور الثور. بافتراض y = 0، نجد x = وبما أن هذا الشكل متماثل حول محور Oy، فإننا نحسب مساحة الشكل الواقع على يمين محور Oy، ونضاعف النتيجة التي تم الحصول عليها: = +4x]sq. وحدات 2 = 2 متر مربع وحدات

مثال 5. احسب مساحة الشكل المحدود بالخطوط: y 2 = س، ص = 1، س = 4

هنا تحتاج إلى حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها الفرع العلوي من القطع المكافئ 2 = x، محور الثور والخطوط المستقيمة x = 1 وx = 4 (انظر الشكل)

وفقًا للصيغة (1)، حيث f(x) = a = 1 وb = 4، لدينا = (= وحدات مربعة.

مثال 6 . احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

المساحة المطلوبة محدودة بنصف موجة الشكل الجيبي ومحور الثور (انظر الشكل).

لدينا - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 مربع. وحدات

مثال 7. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = - 6x، y = 0 و x = 4.

يقع الشكل تحت محور الثور (انظر الشكل).

ولذلك نجد مساحتها باستخدام الصيغة (3)

= =

مثال 8. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y = و x = 2. أنشئ منحنى y = من النقاط (انظر الشكل). وهكذا نجد مساحة الشكل باستخدام الصيغة (4)

مثال 9 .

X 2 + ص 2 = ص 2 .

هنا تحتاج إلى حساب المنطقة، تحدها دائرة X 2 + ص 2 = ص 2 أي مساحة دائرة نصف قطرها r ومركزها نقطة الأصل. لنجد الجزء الرابع من هذه المساحة بأخذ حدود التكامل من 0

قبل؛ لدينا: 1 = = [

لذلك، 1 =

مثال 10. احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط: y= x 2 و ص = 2س

هذا الرقممحدودة بالقطع المكافئ y=x 2 والخط المستقيم y = 2x (انظر الشكل) لتحديد نقاط تقاطع الخطوط المعطاة، نحل نظام المعادلات: x 2 – 2س = 0 س = 0 و س = 2

وباستخدام الصيغة (5) لإيجاد المساحة نحصل على

= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* مثال 2. لنحسب المساحة المحددة بالجيب y = sinXy، الثور المحور والخط المستقيم (الشكل 87). بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf مثال 3. دعونا نحسب المساحة المحددة بقوس الشكل الجيبي ^у = sin jc ، محصور بين اثنين النقاط المجاورةالتقاطعات مع محور الثور (على سبيل المثال، بين نقطة الأصل ونقطة الإحداثي المحوري i). لاحظ أنه من الاعتبارات الهندسية فمن الواضح أن هذه المنطقة ستكون مرتين المزيد من المساحةالمثال السابق. ومع ذلك، دعونا نقوم بالحسابات: I 5= | s\nxdx= [ - cosx)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o بالفعل، تبين أن افتراضنا صحيح. مثال 4. احسب المساحة التي يحدها المحور الجيبي والثور في فترة واحدة (الشكل 88). تشير الحسابات الأولية إلى أن المساحة ستكون أكبر بأربع مرات مما كانت عليه في المثال 2. ومع ذلك، بعد إجراء الحسابات، نحصل على "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. هذه النتيجة تتطلب التوضيح. لتوضيح جوهر الأمر، نحسب أيضًا المساحة المحدودة بنفس الجيوب الأنفية y = sin l: ومحور الثور في المدى من l إلى 2i. بتطبيق الصيغة (I)، نحصل على 2l $2l sin xdx=[ - cosx]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. وهكذا نرى أن هذه المنطقة أصبحت سلبية. وبمقارنتها بالمساحة المحسوبة في التمرين 3، نجد أن القيم المطلقةهي نفسها، ولكن العلامات مختلفة. إذا طبقنا الخاصية V (انظر الفصل الحادي عشر، § 4)، فسنحصل على 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 ما حدث في هذا المثال ليس حادثًا. دائمًا ما يتم الحصول على المساحة الواقعة أسفل محور الثور، بشرط أن يتغير المتغير المستقل من اليسار إلى اليمين، عند حسابها باستخدام التكاملات. في هذه الدورة سنأخذ بعين الاعتبار دائمًا المناطق التي لا تحتوي على علامات. ولذلك، فإن الإجابة في المثال الذي تمت مناقشته للتو ستكون: المساحة المطلوبة هي 2 + |-2| = 4. مثال 5. لنحسب مساحة BAB الموضحة في الشكل. 89. هذه المنطقة محدودة بمحور الثور، والقطع المكافئ y = - xr والخط المستقيم y - = -x+\. مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع المنطقة المطلوبة OAB تتكون من جزأين: OAM وMAV. بما أن النقطة A هي نقطة تقاطع القطع المكافئ مع الخط المستقيم، فسنجد إحداثياتها من خلال حل نظام المعادلات 3 2 Y = mx. (نحن بحاجة فقط إلى العثور على نهاية النقطة أ). بحل النظام نجد l; = ~. ولذلك، لا بد من حساب المساحة في أجزاء، المربع الأول. OAM ثم رر. المركبة الفضائية: .... جي 3 2، 3 جي x بي 3 1/2 يو 2. QAM-^x)